14.1.2 幂的乘方-【重难点手册】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

第十四章 整式的乘法与因式分解么 14.1.2幂的乘方 重点和难点 课标要求 重难点：(a)=am(m,n都是正整数) 掌提幂的乘方，并能熟练地进行有关计算。 01一必备知识梳理。 知识点1幂的乘方的运算法则 果标 1.法则的推导 幂的乘方的底数是括号内的部分，其特征是暴 依据乘方的定义和同底数幂的乘法法则， 的形式 我们可以得到幂的乘方的运算法则： 知识点2幂的乘方法则的拓展 对于任意底数a与任意正整数m,n,有 1.幂的乘方的推广 (a=am·a"…·a”=am++m=& [(a")"门P=(am")P=amwp(m,n,p均为正 个a 整数). 2.两种表述方式 2.幂的乘方运算的底数的推广 数学语言：(a")”=am(m,n都是正整数). [(a十b)"]”=(a十b)"(m,n均为正 文字语言：幂的乘方，底数不变，指数相乘， 整数). 例①计算：(1)(x)8.(2)(a+) (3)[(-x)7]6.(4)-[(a-b)]. 3.幂的乘方法则的逆用 解析(1)(x)5=xx6=x4. ar=(a”)m=(am)"(m,n均为正整数). (2)(ar+1)2=a2+D=a2a+2 例☑试比较()”与（日）”的大小 (3)[(-x)7]6=(-x)7x6=(-x)2=x2 (4)-[(a-b)3]=-(a-b)34=-(a-b)a. 解析()”=[(2)]°=(2)”，(g)” 总结运用暴的乘方法则作相关运算，注 意区分同底数幂的乘法法则和暴的乘方法则 [(》]=() 的不同之处 易错点混潘同底数幂的乘法运算与幂的 又()”=（产= 乘方运算 而20>20. 例计算(a)5. 正解(a)5=ax5=a”. 所以品品故产<)” 错解(a)5=a+5=a'. 总结当底数a>1时，指数n越大，幂a” 错因与暴的乘法运算混淆得到错误 的值越大：当底数0a<1时，指数n越大，暴 答案a a”的值越小 117 重雅点手⑧八年级数学上册2) 02一关建能力提升◆ 题型1幂的乘方法则的运用 题型2解幂的乘方的指数方程 切电怎 近几年中考经常涉及指数是参数的幂的 使用幂的乘方的运算法则时，注意与同底数幂 运算.用参数表示指数的有关的幂的乘方运 的乘法运算的区别，这两种运算的共性是底数不改 算，同样要求能够准确地识别底数，找出相同 变，只对指数进行运算，而区别是同底数幂的乘法 的底数.运算时，底数不变，直接根据运算法则 运算，指数相加：暴的乘方运算，指数相乘.两种运 对指数进行运算，再利用指数之间的关系，得 算法则都可以逆用，熟记两种运算法则是提高解题 到关于参数的方程，进而求解参数， 正确率的保证，运算时，先处理最的符号，再将底致 例4已知(9“)2=32，则n的值为( 化为同底鮫 A.4 B.3 例3先化简(a3)2·(-a)·a2,当a=5 C.2 D.1 时，求其值. 解析方法一(9)2=9,32=(32)‘=9， 解析(a3)2·(-a)·a2=-a3x2·a·a2 故21=6，n=3. =一a6+1+2 方法二(9”)2=[(32)"]2=32×2=3， =-a2. 由(9)2=32知4n=12,n=3. 当a=5时，-a9=-(5)9=-125. 答案B 总结化简时是正用暴的乘方的运算法 总结设法使等式两边的底数统一， 则，求值时是逆用幂的乘方的运算法则， ◆变式2若22·8·162=2”，则x ◆变式1已知a2=3,求an一a的值. 03热点考向聚焦一。寸 考向1幂的乘方运算 例⑥(2024·武汉砾口区模拟)已知m十 例5(2023·江西中考)计算(2m2)3的结 4n一3=0，求2m·16"的值， 果为(). 解析，m十4n一3=0， A.8m B.6m C.2m D.2m ∴.m十4n=3, 解析(2m2)3=23·m2x3=8m5. .2m·16=2m·(21)”=2m·2r=2m+m 答案A =23=8. 04学业质量测诎。 A基础过关练 测试时问：15分钟 2.下列式子中与am+1相等的是(). 1.计算-(-3a)2的结果是(). A.(a3·a")·a B.(a")·a3 A.-6a2B.-9a2C.6a2D.9a C.a·(a")3 D.(a"+1)3 118 第十四章整式的秉法与因式分解么 3.计算（一a)2·(一a")3的结果是( ). 12.在式子62=( )3中，括号内应填入的 A.a B. C.a D.一am 是 4.(2020·河北中考)若k为正整数，则 13.规定M=-2,M2=(一2)2，Ma= (k十k十…十k)=(). (-2)3,…,Mm=(-2) 女个性 (1)计算Ms十M的值. Ak2张 B.k2+1 (2)计算2XM21)十M2o1,的值. C.2k D.k2+ (3)试证明2×Mm与Mm+互为相反数. 5.化简：（一a3)'·a= 6.化简：(-y2)·(-y2)2= 7.若(4")2=16，则1= 8.计算： (1)-(a5)2.(2)(-y). (3)(xm-2)3.(4)[(x-y)r-1]. 14.已知10=5,10=6，求102+的值。 C培优突破练 测试时间：10分钟 15.若2×8"×(4")2=256，试求n的值. ●B中考提能练】 渊试时间：15分钟 9.(2020·哈尔滨中考)下列运算一定正确的 是(). 16.你能比较3,4“，5的大小吗？试试看，相 A.a2+a2=a B.a2·a'=a 信你会成功的. C.(a2)'=a D.(a+b)2=a2+b 10.有下列算式：①(a)2=a;②(a)2=a5: ③(a)2=a";④a5·a2=a2;⑤a5·a2= a“.其中错误的个数是(). A.1个B.2个C.3个D.4个 11.计算（一2）0+（一2）1的结果为(). A.-2B.-201C.20D.-2 119重雅线手册八年级教学上册则 ,'△ADM≌△NEM(已i证)，，.AD=NE +.一3+8，提示：原式=一34++=一3+ .AD-AB,..AB-NE. 5.6.提示：a=d5,.11=1十5.∴1=6. AB=NE. 6.3×10×6×3×10=5.4×108(千米). 在△ABC和△NEC中， ∠ABC=∠NEC. 7.原式=-x·(-1)·x2·(-1)·x2=-x++1=-x BC-EC. 8.原式=-(x-2)2·(x-2)2·(x2)=-(x-2)°. ,∴.△ABC≌△NEC(SAS). 9.B提示：设S=1十a十a2十…十a必， .AC=NC,∠ACB=∠NCE 则aS=a十a2+…十a225, .∠ACN=∠BCE=90. ∴.(a-1)S=a2-1. ∴.△ACN为等腰直角三角形. 5=g25-1 a-1(a≠0且a≠1). (3)△ACV仍为等腰直角三角形.证明如下： 10.21.提示：.+"=x"·=3×7=21. 此时A,B,V三点在同一条直线上 11.3. 提示：：am+1=a0,∴.3m十1=10..m=3. AD∥EN,∠DAB=90°， ∴.∠ENA=∠DAN=90°. 12.2.提示：由条件得(W2)“=2=(2),a=2. :∠BCE=90°， 13.8. ∴.∠CBN+∠CEN=360°-90°-90°=180°. 14.(1)32. :A,B,N三点在同一条直线上， (2)2×2+1=2,.2+x+1=4.x=1. 又∠ABC+∠CBN=180°.∴.∠ABC=∠NEC 15.由am+1·a-1=a得m十2n=8. ⊙ △ADM≌△NEM(已证)，.AD=NE 由+1·+2=b"得2m十n十3=10. ② .AD=AB,..AB=NE. 1川=2， 由①②得 ∴m=2=8. n=3. AB-NE. 在△ABC和△NEC中，∠ABC-∠NEC, 16.2×2=33,.2×2×2=66=2..2+wb=2. BC=EC. ∴.1+a十b=c ,∴.△ABC2△NEC(SAS). 14.1.2幂的乘方 ∴.AC=NC,∠ACB=∠NCE. [变式1]an-am=(a")2-(a)3=3-33=9-27= ∴.∠ACN=∠BCE=90 -18. .△ACN为等腰直角三角形. [变式2]4.提示：，22·8r·162=22·2·2= 2+0=22,∴.3x=12..x=4 第十四章整式的乘法与因式分解 【学业质量测评】 14.1整式的乘法 1.B提示：原式=-(-3)2·a2=一9a2 2.C 14.1.1同底数幂的乘法 3.B提示：原式=a·(一a)=一a" [变式1](r-y). 4.A提示：(k十k十十k=(k·=()=产 [变式2]16.提示：a""=a"·a"=2×8=16. 个 [变式3]由2=6=2×3=2×2=2+1，得b=a+1. 5.a.提示：原式=（一1）·ax4·a=a+4=a 由2=12=2×6=2×2=2*1.得c=b+1. 6一y.提示：原式=一y·y=一y, 故c=a十2. 7.1.提示：(4“)=(4)=16=16，故n=1 【学业质量测评】 8.(1)-a1w.(2)y.(3).x‘.(4)(x-y)-“. 1.A提示：①为a:②错误：③为x:④为2y 9.C提示：a+c=2a2,a2·a=a,(d)=a,(a+b)2 2.C提示：原式=一x·x2·x=一x++1=一x. =a2+2ab+f. 3.a'.提示：原式=a+m-+=a. 10.C提示：①(a)=a":②(a5)严=a:⑤a5·a=a. 24 参者答案与提示欧毁 11.D提示：原式=（一2）m十(-2)·(-2)0=-2 =(-D×(})》×4 12.b. 13.(1)2.(2)0. =(-1Dx(日)"×4m×4 (3),2×M+M+n=2×(一2)"+(-2)+1=0， ∴.2XMa与M+u互为相反数. =(-0×(×4)×4 14.102+%=102·10%=(10)·(10)1=52×62= =一4. 5400. (2)原式=（号）”×（得）×(-2)×（是） 15.2×8×(4")2=2×(2)"×(2)2=2×2m×2w= 2+w+"=21+#.又256=2，故1+7n=8,得1=1. (侵)×（得）×2×2×（是）”×是 16.35=(32)1=2430,44=(4)t=256,5= (53)4=125, =(号×2)×（得×是）×2×品 .44>35>58. 14.1.3积的乘方 14.a一3与6+1互为相反数， [变式1](1)4×0.25=(4×0.25)=1=1. 2(-)“×(1)》=(-子×号)- a-3十b十1=0..a+b=2. ∴.(-2)4·(-3)·6=[-2×(-3)]2·6% (-1)2m8=1. 6·6=62+当=(6*)2=(6)=1296. [变式2](1)由2+1·3+3=36-得(2×3)+1= 15.,5=2*=10. 66-4. ∴.(5)=10的，(2)=10， .x+3=2(x-2).∴.x=7. (2)原式=27(x)8-8(x)2=27×23-8×2=184. ∴.5=10,26=10， 【学业质量测评】 ∴.5·2=10·10， 1.B提示：(2a)户=23·(a)3=8a .(5×2)4=10+, 2.B提示：a2·a3=a,(ab)2=a,(a2)=a1=a, ..ab=a+b. a2+a2=2a2, 3.D提示：A项，(-2a)2=4a6:B项，(-a)3= 14.L.4整式的乘法 -a:C项，(ab)=a2. 4.-8xy2.提示：(-2xy)=(-2)1·(x产)3·y= [变式(-2y》÷(-y2）=-m, -8.xy2. 5.aW.提示：原式=a2·(-1)2·a2·()=a6. ∴(-8xy)÷(-号ry）=-mxy, 6.-3ry.提示：-27xy=(-3)x(y2)=(-3y2). 即16.x"y=一m.xy. 7.(1)16.xy2.(2)-27a. 16=一m, m=-16, 8.D9.-4x2. 依题意得9一1=7，解得n=2, 10.64.提示：(x2m)=x=(x). 4=p: p=4 11.1.28×10.提示：原式=4F×10×8×10=128× [变式2]原式=x-2+5.x-x-10=4x2-10 105=1.28×10. (2x)2-10=32-10=-1. 12.x=1. [变式3]原式=(x十y)(x-y)(x+2xy+1) 1&.)原武=（一×(}）"×4华） =(x2-y)(x2+2xy+1) 25