13.4 课题学习 最短路径问题-【重难点手册】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

重雕点手册八年级数学上册) 13.4课题学习最短路径问题 重点和难点 课标要求 重点：利用轴对称变换，将直线同侧两，点中的一点映射到 通过课本中的两个问题，了解解决最短 另一侧，而不玫变路径总长度，从而解决最短路径问题 路径问题的基本方法，并体会其中蕴含的化 难点：利用平移，将造桥选址问题转化为“两点之间，线段 归思想 最短”问题来求最短路径 01必备知识梳理 知识点1最短路径问题 ②求直线同侧的两点到直线上一点距离 1.作一个平面图形（或一个点）的轴对称 和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条 图形叫作轴对称变换.它是探求最值问题的一 直线的对称点，连接对称点与另一点，所得线 种重要方法 段与该直线的交点即为所求的位置.如图4，作 2.最短路径的求解原理，一般有“两点之 点A关于直线1的对称点A',连接A'B交直 间，线段最短”(“三角形两边之和大于第三边” 线l于点P 是其推论)和“垂线段最短”. (4)“两点两线”型 (1)“两点”型的最短路径：连接两点，由 ①两直线平行时，只研究两点在两直线的 “两点之间，线段最短”可知，此两点间线段即 外侧的情形. 为所求，如图1中的点A,B ②两直线相交，两点在一个角的内部， 中A 例I已知等边△ABC的边长为2，过点B P 的直线I⊥AB,且△ABC与△A'BC关于直线 图1 图2 I对称，点D为线段BC'上一动点，则AD十CD .B A 的最小值是( A.4 B.3w2 C.23 D.2+√3 图3 图4 解析如图，连接CC (2)“一点一线”型的最短路径：过此点向 此直线作垂线，由“垂线段最短”可知，垂线段 即为所求，如图2中点A与直线1，过点A作 AP⊥I于点P,AP即为所求， (3)“两点一线”型 ,'△ABC,△ABC均为等边三角形， ①求直线异侧的两点到直线上一点距离 ∴·△CBC是等边三角形 和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与 点C关于BC对称的点是A 直线的交点即为所求的位置.如图3，点A,B ∴.当点D与，点B重合时，AD十CD取最 与直线I,连接AB交l于点P. 小值， 102 第十三章轴对称么 此时AD+CD=2+2=4. 答案A 总结由等边三角形图形的特殊性，找到 图形中已有的对称，点C与A',则AD+CD可 A 转换为AD十A'D. 点A,A'关于直线L对称， 例②已知A,B两点在直线l的异侧，在( ∴.直线1为线段AA的垂直平分线，则有 上找一点C,使点C到点A,点B的距离之差 CA=CA'. 最大 ∴.CA-CB=CA'-CB=A'B. 解析如图，以直线1为对称轴，作点A关 又，点C在直线！上， 于直线I的对称点A',连接AB并延长交直线 ∴CA=CA l于点C,则点C即为所求 理由如下：如图，在直线1上任找一点C 在△A'BC中，CA'-CB<A'B. (异于点C),连接CA,CA,CA',CB. ∴.CA-CB<CA-CB. 02关键能力提升。 题型1最短路径的求解 C,作点D关于直线l2的对称点D,连接 轴对称变换是全等变换，它只改变图形的 CD',分别交直线1，l2于点P,P,则，点P, 位置和方向，不改变图形的形状和大小.利用 P即为所求的饮水，点 这一性质，可以为我们研究几何图形提供解题 C 思路.下面举例说明轴对称变换在解决距离和 最短问题时的应用.解这些题的关键是要把握 P 好“两点之间，线段最短”的原理。 例3如图1，某人从点C骑马出发到点D 图2 去，但必须先到河岸（上的点P让马饮水，然 ◆变式1如图，已知在△ABC中，AB 后再到河岸2上的点P?再次让马饮水，最后 AC,BC=4,△ABC的面积是16，AC的垂直平 骑马到点D,他应如何选择马的饮水点P和 分线EF分别交AC,AB边于E,F两点，若点 P2,才能使所走的路程CP,十PP2十P2D最短 D为BC边上的中点，点M为线段EF上一动 (假定河岸11,2都是直线)？ 点，则△CDM的周长的最小值为( .C D 图1 解析如图2，作，点C关于直线1的对称点 A.6 B.8 C.10 D.12 103 重雅点手⑧八年级数学上册2) 03热点老向聚焦◆ 考向1最短路径问题的应用 ∴.PM+PN+MN=5. 刷④如图1，点P是∠AOB内任意一点， ..DM+CN+MN=5, OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射 即CD=5=OP. 线OB上的动点，△PMN的周长的最小值是 ∴.OC=OD=CD=5, 5cm,则∠AOB的度数是( 即△OCD是等边三角形. ∴.∠COD=60°. ∴.∠A0B=30°. 答案B 图1 例固(2022·武汉江岸区模拟)如图是由 A.25°B.30 C.35 D.40 边长为1的小正方形构成的网格，△ABC的顶 解析分别作，点P关于OA,OB的对称，点 点在格点上。 D,C,连接CD,分别交OA,OB于点M,V,连 (1)如图1，点F是AC与网格线的交点， 接OC,OD,如图2所示. 请在BC边上作一点H,使FH∥AB. (2)如图2，直线a和直线b在网格线上， 点A和点H在两条直线的两侧，请在直线a 上作一点M,过点M作MN⊥b于点N,连接 HN,使得AM+MN+NH的值最小 图2 点P关于OA的对称，点为点D ∴.PM=DM,OP=OD,∠DOA=∠POA. B 点P关于OB的对称点为点C, ∴.PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB. H 图1 图2 ∴0C=OP=OD,∠A0B=2∠C0D, 解析(1)点H的位置如图1所示. ,'△PMN的周长的最小值是5cm, (2)MN的位置如图2所示. 104重雕手册人年级教学上册则 .PA+PC+PD-PB+PDBD. 11.12.提示：△AB'C为等边三角形. (3)如图3，以AO为边向下构造等边△AOD, 12.120°，30°，30.提示：设底角为x°，则6x=180,得r=30. 则△ADC≌△AOB,∴.∠ADC=∠AOB=90. 13.45,提示：过点E作HI∥BC交AB于点H,交CD :∠AD0=60°，∴∠ODH=30. 于点I,可得△BHE2△EIF 作OH1CD于点H,则OH=0D-2 14.1.提示：a=-2021,b=2022. 15.2.提示：如图，延长AD到 .OC≥OH=2,即OC的最小值为2. 点E,使DE=CD,连接CE 13.4课题学习最短路径问题 :∠ADC=120°， [变式1]C提示：如图，连接AD,AM .∠CDE=60°. ,△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴.△CDE是等边三角形. ∴.AD⊥BC .∠DCE=60°.CD=CE Sr=专C·AD=号X4AD=16,AD=8 :∠ACB=60,∴∠BCD=∠ACE. ,EF是线段AC的垂直平分线， ,BC=AC,∴.△BCD≌△ACE(SAS. ∴点C关于直线EF的对称点为点A. ..BD-AE. ..MA=MC. ,BD=5,AD=3,∴.DE=2.∴.CD=2. :AD≤AM+MD. 16.①②80⑤. ∴.AD的长为CM+MD的最小值. 17.如图，作出点A关于(1的对称点E,点B关于的对 “△CDM周长的最小值为AD+号BC=8+号×4 称点F,连接EF,分别交，h于点C,D,连接AC, BD,则A→C→D→B是山娃走的最短路线，其中点C 8+2=10. 是羊吃草的位置，点D是羊饮水的位置. 节地 D小河一 单元学能测评 18.(1)(2)如图所示，M(-2,一1.5). 1.D2.B 3B提示：只能腰长为4，底长为3，否则周长为偶数 4.B提示：三边不相等。 5.A6.D 7.A提示：注意满足OP=OA的点P有两种取法. 8.D提示：可动手操作，注意折登边。 9.C提示：AB=AC=a,∠A=36, (3)如图所示，取点H(0,1),连接BH,交AC于点F, ∴∠ABC=∠C=号180°-∠A=7E.又：BD平分 则线段BF即为所求作的高 ∠AB,∠DBC=∠ABD=号∠ABC=36=∠A. ∴.∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°=∠C.BD=AD .BD=BC=a∴.AD=h∴.DC=AC-AD=a-d 20.2. 10.C提示：分不同的边为新等腰三角形的腰。 2L.(1).'AD⊥BC.CE⊥AB 22