13.3.1 等腰三角形-【重难点手册】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形 13.3.1 等腰三角形 重点和难点 课标要求 1.通过前等腰三角形,体会等腰三角形是轴对称图形,并借 助轴对称来研究等腰三角形的性质 重点:等腰三角形的定义. 2.学会运用等腰三角形的性质和判定证明一些线段和角的 难点:等腰三角形的性质和判定 几何问题,从而体会等腰三角形的性质和判定在线段和角的互 相转化中的作用 01-备知识梳理 知识点 1等腰三角形的概念和性质 这时的已知条件是“ B一 C”,结论是 1.等腰三角形的相关概念 “AB一AC”.证明的方法同样有三种,即三种添 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形, 加辅助线的方法,请读者自已证明 相等的两条边叫作腰,另一条边叫作底边,两 由此可见: 腰的夹角叫作顶角,腰与底边的夹角叫作底角 性质定理。 等腰三角形- -两角相等 (如图). 判定定理 二者的题设与结论正好相反 /顶角 例等腰三角形一腰上的高与另一腰所 腰 成的夹角为40{,则这个等腰三角形的底角的 /底角底角 大小为 底边 2.等腰三角形的性质定理 一般情况下,若问题中涉及三角形的高,则要 等腰三角形的两个底角相等(简称“等边 对等角”),可利用三角形全等来证明,但需要 考虑三角形的高是在三角形的外部还是在三角形 的内部,分两种情况讨论 添加辅助线 证法一 作底边的中线,证法见教材 解析如图1,当一腰上的高在三角形的内 证法二 作底边上的高,证明 部时,ACD-40{,:A-50{。 全等(如图) 证法三 作顶角的平分线,请 读者自己证明 如图2,当一腰上的高在三角形的外部时 3.等腰三角形的判定定理 ACD-40*.DAC-50* 如果一个三角形有两个角相等,那么这两 *. /DAC-B+ ACB-2/B 个角所对的边也相等(简称“等角对等边”) .B- ACB-25{* 85 甲册 八年级数学 上册 A 点F. D .AB=AC,AD=AE, '$BF'=CF',DF'=EF$ # C C '$BF'-DF'=CF'-EF. 图1 图2 ..BD-CE 答案65{或25{。 (2)'.BD=CE,F为DE的中点; 知识点 2等腰三角形中的“三线合一” '.BD+DF=CE+EF. .'.BF=CE “.AB-AC. ..AF BC 等腰三角形的顶角平分线、底 .' B-90{*-70{-20。$ 边上的中线、底边上的高相互重合 '. C-B-20* (简称“三线合一”). 总结在等腰三角形中,顶角的平分线、底 如图,在等腰三角形ABC中,B D 边上的中线、底边上的高相互重合,三者可以 AB-AC. 互相转化. (1)若AD平分 BAC.则AD BC且 易错点 忽略“三线合一”的前提是等腰三角形 BD-DC. 例如图,在△ABC中,AD是BC边上 [证明△ABD△ACD(SAS)即得 的中线,AD是BC边上的高,求证:AD是 (2)若AD BC,则AD平分 BAC且 /BAC的角平分线. BD-DC. [证明△ABD2ACD(HL)即得 (3)若BD=DC,则AD平分 BAC且 ADBC. C [证明△ABD△ACD(SSS)即得 正解 ..AD BC.BD=CD 例如图1,点D,E在△ABC的边BC 'AD是BC的垂直平分线. 上,AB-AC. .AB-AC. (1)若AD-AE,求证:BD=CE .AD是BC边上的中线, (2)如图2,若BD-CE,F为DE的中点 ..AD是BAC的角平分线 BAF-70{*,求C的度数 错解 .AD BC,BD=CD. 'AD是 /BAC的角平分线. 错因 忽略“三线合一”的前提是等腰三 B D ECBDFECBDFEC 图2 图3 图1 角形,片面地认为AD是中线、高线,直接得 解析(1)如图3,过点A作AF'[BC于 到AD是 /BAC的角平分线 02-关建能力提升 题型 1.作平行于等腰三角形一边的直线 如图1,2,过点D作DE/腰AC,则DB 已知在等腰△ABC中,AB=AC,点D为 DE. 直线AB上一点. 如图3,4,过点D作DE/底BC,则AD 86 第十三章 轴对称 AE. D A.2 B.3 C.4 D.5 #### 图③ 题型2巧用“三线合一”解题 在学习中要理清等腰三角形的性质与判 定的关系,分清它们的作用,要重点掌握等腰 三角形“三线合一”的性质,在学习过程中,要 。 图4 图5 反复训练,达到能熟练运用的效果 如图5,过顶角顶点A作AE/底BC,则 例如图1,在△ABC中,AC-2AB,AD 1-2.反之,在△ABC中,若AE/底BC. 平分BAC,E是AD上一点,且EA=EC.求 1-2,则AB-AC 证:EB AB. B 0 B 如图6,过底角顶点B作BE/AC,则 2=C=1;若已知 1=2,则由2 C C 1=C,可得BE/AC 图1 图2 例B如图,AE,BC交于点D,且AB 证明如图2,过点E作EF|AC于点F. CE. ABC+DCE-180*},求证:AD-DE. 又'AB-AC,.AF-AB. A →E .AD平分/BAC. 证明如图,过点A作AF/CE交BC于 ..△AEF△AEB(SAS) 点 F,则/AFD= /BCE 'ABE-AFE-90{*。 :ABC+BCE=180{*}, AFD+ ..EBAB. AFB-180*, 总结在等腰三角形的问题中,作出等腰 '. AFB=/ABC...AB-AF 三角形底边上的高,也就同时得到了等腰三角 .AB-CE,..AF=CE. 形顶角的角平分线和底边上的中线,这样可以 又. AFD= BCE,ADF=EDC. 得到更多解决问题的条件 *.AFDFCD(AAS). '.AD-ED ·变式2如图,在△ABC中,ABC= 变式1如图,在△ABC中,ABC的外 9$0{*$, CBE- ABD-60*,BC-BE,求$$证;$ 角平分线BD与 ACB的外角平分线CE交 BDCE. 于点P,过点P作MN//AB交AC于点M,交 BC于点N,且AM-8.BN-5,则MN= ( E 87 重难册 八年级数学 上册 ② 题型3折半或加倍构造等腰三角形 'AC-AB-AC-AM=CM=BM-2 BE 基本图形:在\ABC中,ABC一2 /C 变式3在△ABC中,ACB=2A. 如图1.作 ABC的角平分线,构造等腰 AC-2BC,求证:B-90{。 △BDC. 题型445*角的用法 如图2.延长CB到点D,使BD一BA,构 已知等腰Rt△ABC,AB-AC 造等腰△ABD. 如图1,2,当点D为直线AC上一点时,过 2 点 D作DE BC于点E,可得新等腰Rt DEC DE-EC. # B C 图1 图2 如图3,作AC的垂直平分线交BC于点 B rE D.连接AD,则CD-AD=AB D 图1 图2 如图3,当点D为△ABC外一点时, BDC-90*$ADC-45*},点D.A在BC同 D 侧,过点A作AE AD交DC于点E,可得新 图3 等腰Rt△ADE,AD-AE且△ABD△ACE 例如图1,在△ABC中,AE平分BAC, 如图4,过点A分别作AE。 CD于点E BE AE,ABE-2/C求证:AC-AB-2BE AF IBD于点F,得等腰Rt△ADF,Rt△ADE. A 4 日△ACE△ABF. )E 如图5,作CD1BC,交BA的延长线于 C B C B 点D,得等腰Rt△ACD 图1 图2 △。 证明如图2,延长BE交AC于点M .BE AE. .AEB-AEM-90{} 在△ABE中,1+3+AEB-180* CB 3-90-1. 图3 图4 图5 同理,4-90*-2. 例△ABC为等腰直角三角形,BAC= 1-2,.3-4. 90{*,AB-AC,D是AC边上一点 ..AB-AM. (1)如图1.若CE BD交BD的延长线于 .BEIAE, ..BM-2BE 点E,连接AE,求证: AEB-45*。 .*.AC-AB-AC-AM-CM (2)如图2,若 AEB-45{*,求证:CE BD :4是△BCM的外角, '4=5+C.3=5+C “3=2C..2C=5+C .5- C .CM-BM. 图1 图2 88 第十三章 轴对称 证明(1)在线段BE上截取BF=CE,连 ..ABFAACE(SAS) 接AF. .3-4. ■.CE BD.. BEC=90{} 又 5=3+BAC=4+/BEC 又 BAC=90*..BEC=BA$C '. BEC-BAC-90{} $# $1=2+$BAD=3+BE$C$ .'.CE BD .2-3. 变式4已知△ABC为等腰直角三角 又AB-AC. 形,BAC-90*},AB-AC,点E为△ABC外 .ABF2ACE(SAS). 一点. .AE-AF,4-5. (1)如图1,当点A,E在直线BC同侧时, .. FAE-BAC-90{* 若 AFC=135{*,求证:CEIBE. ..AEB-45* (2)如图2,当点A,E在直线BC异侧时, (2)过点A作AF AE,交BE于点F 若 AEC-45*,求证:BE|CE .AEB-45*, '. AFE-45*-/AEB '.AE-AF. 又 /BAC=/FAE-90^{* E .1-2. 阁1 图2 03-执点考向聚焦 考回1等腰三角形中边角等量关系的 转换 例(2021·牡丹江中考)过等腰三角形 图1 图2 顶角顶点的一条直线,将该等腰三角形分成的 (2)如图2,在/ABC中,AB三AC 两个三角形均为等腰三角形,则原等腰三角形 AD=BD一CD,求 ABC的度数. 的底角度数为 .AB-AC.AD-BD=CD. 解析(1)如图1,在△ABC中,AB一AC . B- C- DAC- DAB BD一AD.AC=CD,求ABC的度数 '. BAC-2/ B. .AB=AC.BD-AD.AC=CD. “BAC+B+C-180*, .. B-C=BAD,CDA-CAD *4 /B-180*,B-45^{*} “ CDA-2/B. 答案36{或450。 .. BAC-3/B 考回2等腰三角形中“三线合一”的 “BAC+B+C-180*, .5/B-180* 应用 .'B-36 例(2023·武汉江夏区统考)如图1,已 89 重难用册八年级数学 上册 2 知在△ABC中,AC=BC. ACB-90*},BD平 BD于点E. 分 ABC,且 AE BD交BD的延长线于点 (1)求证:ACB-2 ABD E.求证:BD-2AE. (2)AB-6,求△ABD的面积 A A D MD ED ED C B 图1 阁2 图1 图2 分析 作底边的垂线,构造“三线合一” 分析BE既是角平分线又有垂直关系,与 解析(1)如图2,过点C作CF|AB于点F 等腰三角形中的“三线合一”联系,延长AE与 .'AC-BC, BC的延长线交于点F,构造等腰三角形AFB :. ACB-2 ACF-2 BCF 结合等腰三角形的性质及三角形全等可证明 .AC|BD于点E,.AEB-90{, BD-2AE. '. ABD+/BAC=ACF十BAC 证明如图2,延长AE交BC的延长线于 90{ 点F. : ABD=ACF,ACB=2 ACF “ACB-90*. 2/ABD. :. ACF-ACB-90{,CBD十/CDB (2)如图2,过点D作DM BA于点M -90{. ·:BD=AC,ABD-ACF .ADE-CDB. .△ACF△DBM(AAS). .. /CBD十 ADE-90{ .·AEIBE, .. BEA-BEF-90{* ..SBp- AB·DM-9. . /CAF+ADE=90”. 考回3 构造等腰三角形 ..CBD- CAF. 例(2024·武汉汉阳区质 “.BC-AC. 检)如图1.已知在RtABC中,C ..CBDCAF(ASA) .BD-AF. -90{},以△ABC的一边为边画等腰 三角形,使得它的第三个顶点在 # .BD乎分/ABC. 八ABC的其他边上,则可以画出的 图1 .ABD-CBD. 不同的等腰三角形的个数最多为( ). ·BE-BE...△ABE△FBE A.4 B.5 C.6 D.7 解析①以B为圆心,BC长为 . AE-BD. 半径画狐,交AB于点D,△BCD就 ..BD-2AE 是等腰三角形(图2); 例D(2023·武汉武路路中学检测)如图 ②以A为圆心,AC长为半径画 & 1,在四边形ABCD中,AC=BC=BD,AC 狐,交AB于点E,△ACE就是等腰 图2 90 第十三章 轴对称 三角形(图3); #### ③以C为圆心,BC长为半径画孤,交AC 于点F,△BCF就是等腰三角形(图4); ④以C为圆心,BC长为半径画孤,交AB 图3 图4 图5 于点K,△BCK就是等腰三角形(图5); 作AB的垂直平分线交AC于点G,则 △AGB是等腰三角形(图6) 作BC(AC)的垂直平分线交AB于点 E I(M),则入BCI和△ACI是等腰三角形(图7、 图6 图7 图8 图8中,M,I两点重合,是同一个图). 答案D 04-学业质量测评 基础过关练 E 测试时间:20分钟 4 1.如图,在△ABC中,AB=AC,点D为BC的 D 中点,BAD-35{*,则C的度数为 ). C A.35* B.45* C.55 D. 60* B.60{ A.45* C.67.5*D.75* _1_ 5.回答下列问题: (1)已知一个等腰三角形的两边长分别为2 D C 和4,则该等腰三角形的周长为 C B (2)已知一个等腰三角形两内角的度数比为 第1题图 第2题图 1.4,则这个等腰三角形顶角的度数为 2.如图,在ABC中,AB=AC,A=30*, B为圆心,BC长为半径画狐,交AC于点D 6.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东30^{}方 连接BD,则 ABD-( ). 向,距离灯塔4海里的A处,该海轮沿南偏 A.30{* B.45* C.60P D.90{ 东30{①}方向航行 海里后,到达位于 3.等腰三角形的一个外角等于100{},那么这个 灯塔P的正东方向的B处 三角形的三个内角分别是( ). A.50{,50{,80 B.80{,80{,20{ C. 100{,100{,20 D.50{,50{,80{}或80{},80{,20{ 7.如图,在△ABC中,BF,CF是角平分线; 4.如图,把一张长方形纸片沿对角线折叠,若 DE//BC,分别交AB,AC于点D,E,DE经 △EDF是等腰三角形,则 BDC-( ). 过点F,求证: 91 重难总用册八年级数学 上册 2J 点C一共有( (1)△BDF和△CEF都是等腰三角形 ). A.7个 B.8个 (2)DE-BD+CE C.10个 D.12个 11.如图,在ABC中,AB=AC,BC=BD.AE -DE-EB,则 A- . E /A 1 A B C C E 第11题图 第12题图 8.(2023·武汉四调)已知点A.B,C均在格点 12.如图所示,在平面直角坐标系中有等腰 上,只用无刻度的直尺按要求作图; Rt△ABC.ABC-90*,点E是点C关于 (1)如图1,AB-5,作出 BAC的角平分线 点B的对称点,A(0.3).B(-1.0),则点E AP. 的坐标是 (2)如图2,已知BD是△ABC的角平分线 13.如图,在△ABC中,AB一AC,EF为过点A 作 BCA的角平分线CE 的任一直线,CF 1BC,BE1BC.求证: (3)如图3,点D在AC上,AB-5,在AB上 AE-AF. 画出点P,使AP-AD B - B 图1 图2 图3 中考提能练 测试时间:30分钟 9.如图,在△ABC中,AB=AC=6,点D在边 AC上,AD的中垂线交BC于点E.若 14.如图,P为ABC的边BC的垂直平分线 ). 上的一点,且PBC-1 AED= B.CE-3BE,则CD等于( -A.,BP.CP的延 } C} B. 2 D.3 长线分别交AC,AB于点D,E.求证:BE CD. 0 #BE# C 第9题图 第10题图 10.如图,在6×6的正方形网格中,点A,B均 在正方形格点上,若在网格中的格点上找 出一点C,使△ABC为等腰三角形,这样的 92 第十三章 轴对称 15.(经典·成都中考)如图,已知线段AB/ 培优突破练 测试时间:10分钟 CD.AD与BC相交于点K,E是线段AD $7.在RtABC中,AB=AC,OB=OC,A 上一动点,连接BE,若BE平分 ABC,则 90{*}. MON一g,分别交直线AB,AC于点 M.N. (1)如图1.当。-90*时,求证:AM=CN 者之间有怎样的数量关系?请写出你的结 (2)如图2.当g-45*时,求证:BM-AN+ 论并予以证明 MN. 0 (3)当a=45*时,旋转 /MON至图3所示 位置,请你直接写出线段BM.MN,AN 之间的数量关系 1, 2 C 图1 图2 16.(经典·重庆中考)如图,在△ABC中, N /BAC=90{*,AB-AC.ADIBC,垂足为点 D.AE平分 /BAD,交BC于点E.在ABC 外有一点F,使FA AE,FC BC 0 B C (1)求证:BE-CF 图3 (2)在AB上取一点M,使BM-2DE,连接 MC.交AD于点N,连接ME.求证 ①ME BC. ②DE-DN. A E 18.已知一个三角形可以被分成两个等腰三角 D C 形,若原三角形的一个内角为36{},求原三 角形的最大内角的所有可能值 93参考答案与提示么超 12.5.提示：△PMN的周长为PM+MN+NP=PM +MN+NP:=PP:=5 cm. 1 阁2 13.40°.提示：依据反射角等于入射角及三角形内角和 为180°，得∠a十(180°-2∠3)+∠y=180°， 即∠y=2∠3-∠a=2×50°-60°=40°. 14.6.提示：如图所示，有6条对称轴，可作6个格点三 角形与△ABC成轴对称. 图3 图4 D 17.(1)如图，：∠DEB=∠DAB, ∠1=∠DEB+∠ADE=∠DAB+∠EBA, ∴.∠EBA=∠EDA=a=∠ABC 过点A作AC⊥BE于点C,即得△ABC 第14题图 第15题图 15.如图，连接AC,作线段AC的垂直平分线1，作点D关 于直线I的对称点E,连接AE,则AE即为线段a.故 D CD与AE关于I对称.作∠BAE的角平分线AF,则 (2)BE-BC=DC.证明如下： AE与AB关于AF对称. ,∠ABE=∠ABC=a 线段a与线段AB成轴对称，与线段CD也成轴 AC⊥DC于点C,AC⊥BE于点C, 对称 ∴.AC=AC. 16.(1)如图1所示：作AB的垂直平分线交AB于点M, 又AB=AB, 则M为AB的中点。 ∴.R1△ABC≌R△ABC(Hl). (2)作AD的垂直平分线，交AC于点N,连接ND,如 ∴BC=BC. 图2.AN=ND.∴∠NAD=∠NDA. 又AE=AD, 又：AD是△ABC的角平分线， ,Rt△AEC≌△Rt△ADC(HL). ∴.∠BAD=∠DAC=∠NDA..ND∥AB. ∴EC,=DC.∴.BE-BC=BE-BC=EC,=DC (3)如图3所示：过B点作BO⊥AD,交AD于点O, 13.3等腰三角形 使BO=OP,则点P与点B关于AD对称 13.3.1等腰三角形 (4)如图4，Q点的个数有5个，满足△QAB是等腰三 [变式1]B提示：如图，连接 C 角形.理由如下： AP,由角平分线的判定定理可 M 如图4，AQ为底，满足△QAB是等腰三角形的Q点 知，AP平分∠BAC,∴∠MAP 的个数有2个，AB为底，满足△QAB是等腰三角形 =∠BAP=∠MPA. 的Q点的个数有1个，BQ为底，满足△QAB是等腰 ∴.MA=MP=8.同理易证BN=NP=5. 三角形的Q点的个数有2个 ,∴.MN=MP-PN=8-5=3. 综上所述，Q点的个数有5个，可满足△QAB是等腰 [变式2]如图，连接CD,ED. 三角形. :∠ABC=90°，∠CBE=∠ABD=60°， 17 重雕手册人年级教学上册风则 ,.∠CBD=150°，∠EBD=150. ..BE CE. 在△CBD与△EBD中， 【学业质量测评】 BC=BE, L.C提示：，AB=AC,DB=DC,由“三线合一”得AD ∠CBD=∠EBD, 平分∠BAC,∠B=∠C..∠BAC=2∠BAD=70. BD-BD. ∴∠C=号×180-700=55 ∴.△CBD2△EBD(SAS). .CD-ED,BD平分∠CDE.∴.BD⊥CE 2.B提示：由等腰三角形的性质得∠ABC=75,∠CBD= [变式3]如图，作∠ACB的平分线交AB于点D,作 30°，.∠ABD=75-30°=45 DE⊥AC于点E. 3D提示：将外角分为顶角的外角和底角的外角两种情 :∠ACB=2∠ACD,∠ACB=2∠A 况讨论。 .∠A=∠ACD 4.C ..AD=CD. 5.(1)10. (2)20或120°.提示：2+2=4，.腰长 DE LAC,..AC=2EC. 为4，周长为4+4+2=10. .AC=2BC...EC=BC. 6.4.提示：易得∠APB=∠ABP=60, 易证△BCD≌△ECD,∴.∠B=∠CED=90. ∴.AB=AP=4海里. [变式4](1)如图1，过点A作AF⊥AE交CE的延长 7.(1),DE∥BC 线于点F, ∴.∠DFB=∠FBC.∠EFC=∠FCB. :∠AEC=135,∴.∠AEF-=45..∠F=90° :BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线， 45=45.,∠AEF=∠F.∴AE=AF ∴.∠FBC=∠DBF,∠FCE=∠FCB. :∠BAC=∠EAF, ∴，∠DBF=∠DFB,∠EFC=∠ECF .∠BAE=∠CAF 即△DFB和△FEC都是等腰三角形. 又AB=AC. (2)由(1)知DF=DB,FE=EC,即有DE=DF+FE= .△BAE≌△CAF(SAS) DB+EC. .∠I1=∠2.∠3=∠1+∠BAC=∠2+∠BEC. .∠BEC=∠BAC=90. BE⊥CE 图1 图2 9.B10.C 11.45°. 12.(2,一1)，提示：过点C作CF⊥x轴于点F,过点E 图1 图2 作EH⊥x轴于点H,则△ABO≌△BCF≌△BEH. (2)如图2.过点A作AF⊥AE,交EC的延长线于点F ∴.BH=AO=3,EH=BO=1..OH=3-1=2. ∴.∠BAC=∠EAF=90°.∴∠1=∠2 ∴.点E的坐标为(2，一1). 又∠AEC=45,.AE=AF 13.如图，延长BA交CF于点P 又AB=AC,.△ABE≌△ACF(SAS). 由AB=AC知∠1=∠2. ∴.∠ABE=∠ACF ,∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°， ∴.∠ABE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=18O. ∴∠3=∠4，AP=AC=AB. 而四边形ABEC的内角和为360°， ,BE∥FC,∠E=∠F ∴.∠BEC=360°-180°-90°=90. 又：∠B.AE=∠FAP,AB=AP 18 参考答架与提示么超 ,.△ABE≌△APF(AAS).,.AE=AF. ,.△ABE≌△ACF(ASA) ..BE=CF. (2)①如图，过点E作EH⊥AB于点H,则△BEH是 等腰直角三角形， ∴.HE=BH,∠BEH=45. 14.如图，在BD上截取BF,使得BF=CE,连接CF, ,AE平分∠BAD,AD⊥BC, PG为BC的垂直平分线， ∴.DE=HE.∴.DE=BH=HE ∴∠PBC=∠PCB=∠A BM=2DE. .HE=HM. 显然点E,F关于PG对称， ∴，△HEM是等腰直角三角形 ∴BE=CF,∠EBP=∠FCP. ∴∠MEH=45 :∠CDF=∠A+∠ABP, ∴.∠BEM=45+45=90..ME⊥BC ∠CFD=∠FBC+∠BCF=2∠PBC+∠FCP=∠A +∠FCP, ∴∠CDF=∠CFD. ∴，BE=CF-=CD 15.结论：AB=BC+CD证明如下： ②由题意得∠CAE=90°-2×45=67.5 如图，延长BE,DC交于点M,则DM∥AB. ∴.∠CEA=180°-45-67.5=67.5 ∴.∠M=∠1，∠3=∠A, ∠CAE=∠CEA=67,5 1∠1=∠M. ∴，AC=CE. 在△ABE和△DME中，∠A=∠3， CM-CM. AE-DE. 在Rt△ACM和Rt△ECM中， AC-CE, ,△ABE2△DME(AAS).∴.AB=DM .Rt△ACM≌Rt△ECM(HL). BE平分∠ABC,∴∠1=∠2. ∠ACM=∠M=号×45°=2.5 ∴∠2=∠M∴.CM=BC. ..AB=DM=CM+CD=BC+CD. 又：∠DAE=号×45°=2.5六 M 0 ∴.∠DAE=∠ECM. :∠BAC=90°，AB=AC,AD⊥BC, A AD-CD- 16.(1),∠BAC=90°，AB=AC, I∠DAE=∠DCN, .∠B=∠ACB=45 在△ADE和△CDN中，AD=CD. FC⊥BC,∴∠BCF=90. ∠ADE=∠CDN, ∴∠ACF=90°-45°=45. ∴.△ADE≌△CDN(ASA). .∠B=∠ACF ∴.DE=DN. 17.(1)如图1，连接0M,易证△O)NA2△OMB ∠BAC=90°，FA⊥AE, ..AN-BM...AM-CN. .∠B.AE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90° ∴.∠BAE=∠CAF I∠BAE=∠CAF, 在△ABE和△ACF中，{AB=AC ∠B=∠ACF. 图3 19 重雕手册人年级教学上册风则 (2)如图2，连接QA,过点O作OT⊥ON交AB于点T. 又：∠ACD=60°，∠AFB=∠ACD=60° 证△ONA≌△OTB,得AN=BT,OT=ON. ∠DFC=∠DCF 证△OTM≌△ONM,.MN=MT. ..DC=DF...BD+DC=BD+DF=BF=AB. ∴.BM=MT+BT=MN+AN 即BD+DC=AB. (3)结论：MN=BM+AN.如图3，连接OA,过点O作 (或者根据一角一边相等尝试过点A分别作BD,CD OR⊥ON交AB的延长线于点R. 的垂线来证明) 证△OBR≌△()AN,()R=ON,证△CMN≌△MR. [变式2]如图，延长BC到点E,使CE ..MN=MR=BM+BR=BM+AN. =CD,连接DE. 18.①原三角形是锐角三角形，最大角是72°的情况：如 :∠BCD=120°， 图1.∠ABC=∠ACB=72°.∠A=36.AD=BD=C ∠DCE=60 又'CE=CD △CDE是等边三角形， ,,DE=CD=CE,∠CDE=60 又：AB=AD,∠BAD=60, ∴△ABD是等边三角形. 图1 图2 图3 '.∠ADC=∠BDE. ②原三角形是直角三角形，最大角是90°的情况：如 AD-BD 图2，∠ABC=90°，∠A=36°，AD=(CD=BD, ..△ACD≌△BED(SAS)..AC=BE. ③原三角形是纯角三角形，最大角是108°的情况：如 ..AC=BE=BC+CE=BC+CD. 图3，∠BAC=108°，∠B=36,BD=AB,AD=DC. 【学业质量测评】 ④原三角形是纯角三角形，最大角是126°的情况：如 1.B 图4，∠ABC=126,∠C=36°，AD=BD=BC 2.D提示：易证△ABD≌△BCE,则∠1=∠EBD. ∠2=∠1+∠ABE=∠EBD+∠ABE=60°. 3.20°.提示：过点A作AD∥41 4.60. 提示：∠PAP=60°，AP=AP,△APP为等边三 角形 5.5.提示：过点P作PC⊥OB于点C 图4 图5 62≤AD<3.提示：由于DA=DE.要使AD最长，即DE ⑤原三角形是钝角三角形，最大角是132°的情况：如 最长 图5，∠C=132°，∠ABC=36°，AD=BD,CD=CB. 当DC=AD时，由于∠A=60°， 故原三角形的最大内角的所有可能值为72°，90°， 故△ACD为等边三角形，若D为AB的中点，则AD=3. 108°，126,132. 但点E不与点B,C重合 13.3.2等边三角形 所以AD<3 [变式1]如图，延长BD至点F,使 当DE⊥BC时，DE最短. BF=BA,连接AF,CF 由∠B=30知DE=2BD, :∠ABD=60°， 即AD十BD=AD+2AD=6,AD=2. .△ABF为等边三角形 故AD的取值范围为2≤AD<3. ,∴.AF=AB=AC=BF,∠AFB=60 7.如图，连接AE ∴∠ACF-=∠AFC :∠ABD=∠ADB. 20