13.1 轴对称-【重难点手册】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

13 第十三章 轴对称 13.1轴对称 重点和难点 课标要求 1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形.通过对比，了解 重点：轴对称图形、图形的对称轴的概 轴对称图形和图形的对称轴的区别和联系 念，轴对称的基本性质。 2.根据轴对称的定义，通过折叠探究，理解抽对称的基本性质。 难点：线段的垂直平分线的性质， 3.通过测量、猜想、证明，理解线段垂直平分线的性质 意口01必备知识梳理。 知识点1轴对称图形与轴对称的概念 续表 1.轴对称图形 1.都是沿某条直线翻折后能够互 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁 相重合： 的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称 2.如果把成轴对称的两个图形看 图形，这条直线就是它的对称轴.这时，就说这 成一个整体，那么它就是一个轴 联系 个图形关于这条直线（成轴）对称. 对称图形： 2.轴对称 3.如果把一个轴对称图形沿对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它 轴分成两个图形，那么这两个图 能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形 形成轴对称 关于这条直线对称，称这两个图形成轴对称， 例①如图，判断下列图形是不是轴对称 这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应 图形，如果是，请画出它们所有的对称轴， 点，叫作对称点 分0点 轴对称图形与轴对称的区别与联系 ①D ② 轴对称图形 轴对称 一个构造特殊两个图形之间的特 意义不同 的图形 殊位置关系 ⑥ ⑦ ⑧ 对象不同 一个图形 两个图形 解析图①②④①⑤⑥是轴对称图形，对称 可能在两个图形的 轴如图所示 对称轴的 一定经过这个外部，也可能经过 位置不同图形的内部 两个图形的内部或 它们的公共边（点） 对称轴的 条或多条 只有一条 数量不同 3条 4条 6条 ① 70 第十三章轴对称收 2.线段垂直平分线的作法（尺规作图】 (1)如图，分别以线段两端点A,B为圆心， 2条 1条 ⑤ ⑥ 以大于之AB的长为半径作弧，两弧相交于C, 易错点忽略轴对称图形对折后两部分互相重合 D两点 例下列图形中是轴对称图形的有 D (2)作直线CD,则CD就是所要作的垂直 ① ② ④D A.1个B2个 C.3个D4个 平分线。 正解由轴对称图形的概念知②④为 例2如图1，已知△ABC和△DEF关于 轴对称图形.故选B. 某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ 答案B M D 错解C 错因误认为③沿直线折叠后，上下 两个全等图形会重合，错选答案C 图1 图2 知识点2轴对称图形的基本性质 解析如图2. 1.垂直平分线的定义 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直 (1)连接AD. 线，叫作这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）. (2)分别以A,D为圆心，以大于2AD的 依线段的垂直平分线的定义可得到轴对 长为半径作弧，两弧分别交于M,N两，点， 称图形的性质： (1)轴对称图形的对称轴，是任何一对对 (3)作直线MN,MN即为所求的对称轴. 应点所连线段的垂直平分线， 总结成轴对称的两个图形的对称轴与轴 (2)如果两个图形关于某条直线对称，那 对称图形的对称轴的画法相同.作出一对对应 么其对称轴是任何一对对应点所连线段的垂 点所连线段的垂直平分线即可. 直平分线 知识点3线段的垂直平分线的性质 花方陆 确定对称轴的方法 1.线段的垂直平分线的性质定理 (1)对于成轴对称的两个图形，只要找到一对 线段垂直平分线上的点与这条线段两个 对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可 端点的距离相等， 以得到这两个图形的对称轴。 2.线段的垂直平分线的性质的逆定理 (2)对于轴对称图形，只要找到任意一对对应 点，作出对应，点所连线段的垂直平分线，就可以得 与一条线段两个端点距离相等的点，在这 到此图形的对称轴。 条线段的垂直平分线上. 71 国避食手册人年级数学上册？] 3,线段的垂直平分线的相关知识 证明.AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥ 文字 图示 符号 AC,垂足分别为点E,F, .OA =OB. .DE=DF(角平分线上的，点到角两边的 经过线段的中 AB. .l是AB 距离相等). 点并且垂直于 的垂直平分线. ∴点D在线段EF的垂直平分线上（到线 义这条线段的直 A OB,1是AB的垂直 段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直 线 平分线，∴.OA =OB,l⊥AB 平分线上). 线 线段垂直平分 ,1是线段AB的 AD-AD. 的 在Rt△ADE和Rt△ADF中， 线上的点与这 垂直平分线，P在 DE-DF. 条线段两个端 l上， ∴.Rt△ADE≌Rt△ADF(HL). 点的距离相等 ∴.PA=PB ∴.AE=AF 与一条线段两 PA=PB, 点A也在线段E℉的垂直平分线上（到 个端点距离相 点P在线段 线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂 判 定 等的点，在这 AB的垂直平分 直平分线上). 条线段的垂直 线上 平分线上 两点确定一条直线 ∴.直线AD就是线段EF的垂直平分线， 例B已知CD是△ABC的高，∠B=23°， 即AD垂直平分EF. ∠A=46°.求证：BD=AD+AC. 易错点扩大线段的垂直平分线性质 证明如图，在DB上截取DE=AD,连接 CE. 逆定理的作用 CD⊥AB,.CD垂直平分AE 例如图，直线（与线段AB交于点O, ∴.CA=CE.∴.∠CEA=∠A=46 点P在直线L上，且PA=PB,则下列结论 ∴.∠ECB=∠CEA-∠B=23°. 中正确的有( ∴.∠ECB=∠B.∴.CE=EB ①AO=BO: ∴.CA=CE=EB, ②PO⊥AB: B ∴.BD=DE+EB=AD+AC ③∠APO=∠BPO: ④点P在线段AB的垂直平分线上. A.1个B.2个C.3个D.4个 A 正解由条件只能得到点P在线段AB 例④如图，已知AD是△ABC的角平分 的垂直平分线上，不能说明【是线段AB的 线，DE,DF分别是△ABD和△ACD的高.求 垂直平分线，故选A 证：AD垂直平分EF. 错解D 错因误认为，点P到线段AB两端点 的距离相等，则过点P的直线就是线段AB 的垂直平分线，从而选D 72 第十三章 轴对称么 02一关健能力提升。 题型1利用轴对称的性质解题 例6(2019·江西中考)如图，在△ABC 1.轴对称图形的对称轴两侧的部分全等， 中，点D是BC上的点，∠BAD=∠ABC 对应线段相等，对应角相等，对应点所连线段 40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED,则 被对称轴垂直平分。 ∠CDE 2.成轴对称的两个图形全等，对应线段相 等，对应角相等，对应点所连线段被对称轴垂 直平分 B 记方陆 利用轴对称的性质解决折叠问题 解析，∠BAD=∠ABC=40°， 在折叠问題中，解题的关键是理解折痕所在的 ∴·∠ADC=∠BAD+∠ABC=80. 直线是折叠前后的两个图形的对称轴，折叠前后的 ∴.∠ADB=180°-∠ADC=100° 两个图形是全等图形，利用对应边相等、对应角相 ,△ABD翻折得到△AED, 等进行条件的转化，将题目中的已知条件与要求的 ∴.∠ADE=∠ADB=100° 结论联系起来 ∴.∠CDE=∠ADE-∠ADC=100°- 例固图中的两个四边形关于某直线对 80°=20° 称，根据图形提供的条件求x,y的值 答案20. D H A E ◆变式2（经典·聊城中考）如图，把一张 21200 100° 1009 120° 70° x 矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD 6 G 边上的点A'处，点B落在点B处.若∠2= 解析，AB=EF=2,∠A=∠E=120°， 40°，则图中∠1的度数为( ∴.∠F=∠B,即x=70° 又：∠D=∠H=100°， .D与H,C与G是对称点 ∴.GF=BC,即y=6. 总结关于直线对称的两个图形全等，根 据条件确定对称点，从而确定对应线段、对 A.115 B.120 应角 C.130 D.140 ◆变式1正方形ABCD的 A D 题型2线段的垂直平分线性质的应用 边长为a,点E,F分别是对角 E 1.线段的垂直平分线的性质是证明线段 线BD上的两点，过点E,F分 相等的重要方法， 别作AD,AB的平行线，如图，B C 2.根据线段的垂直平分线是线段的对称 则图中阴影部分的面积之和等于( 轴，从而得到轴对称图形，进而解决角度和线 A.a2B.0.25a2C.0.5a2D.2a2 段的问题 73 重随令手册人年级教学上册圆 例7如图，AB比AC长2cm,BC的垂直 例8如图，在△ABC中，点D,E分别是 平分线交AB于点D,交BC于点E,△ACD的 AC,BC的垂直平分线与边AB的交点.若 周长是14cm,求AB和AC的长 ∠ACB=100°，求∠DCE的度数， B DE 分析由题意知BD=CD,结合△ACD的 解析，∠ACB=100°， 周长为14cm可知AB与AC的和，又已知AB ∴.∠A+∠B=180°-100°=80°. 与AC的差，因此可利用方程组求解 ,点D,E分别是AC,BC的垂直平分线 解析设AB=xcm,AC=ycm 与AB的交，点， :DE垂直平分BC,.DB=DC ∴·∠DCA=∠A,∠ECB=∠B. .AC+AD+DC=14 cm. ∴.∠ACD+∠BCE=∠A+∠B=80 .'.AC+AD+BD=14 cm, ∴.∠DCE=∠ACB-(∠ACD+∠BCE)= 即AC+AB=14cm. 100°-80°=20° 又.'AB-AC=2cm, +=14 总结线段的垂直平分线是线段的对称 解得/08， 轴，从而对称轴两边的三角形全等，进而得到 x-y=2, y=6. 角相等来解决角度问题 故AB的长为8cm,AC的长为6cm. ◆变式4如图，在△ABC中，∠C=31°， 变式3如图，AB=AC,DB=DC,点E 是线段AD上任意一点，求证：BE=CE ∠ABC的平分线BD交AC于点D,如果DE 垂直平分BC,那么∠A= 门-03热点考向聚焦一。 考向1识别轴对称图形 考向2利用轴对称的性质求线段长 例日(2021·鄂州中考)“国士无双”是人 例10（经典·聊城中考） 民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉.下列 如图，点P是∠AOB外的一 四个汉字中是轴对称图形的是( 点，点M,N分别是∠AOB两 0 A.国 B.士 边上的点，点P关于OA的对 称点Q恰好落在线段MN上， c无 D.双 点P关于OB的对称点R落在MN的延长线 答案B 上.若PM=2.5cm.PN=3cm,MN=4cm, 74 第十三章 釉对称底组 则线段QR的长为()cm. 60°，∠ACB=50°，则∠ADB+∠BEC+ A.4.5 B.5.5C.6.5 D.7 ∠CFA=( 解析，点P关于OA的对称，点Q恰好落 A.180° B.270 在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在 C.360 D.480° MN的延长线上， ..PM=MQ.PN=NR. .'PM=2.5 cm,PN=3 cm,MN=4 cm, .RN=3 cm,MQ=2.5 cm,NQ=MN- MQ=4-2.5=1.5(cm). 图1 图2 则线段QR的长为RN+NQ=3十1.5= 解析如图2，连接AP,BP,CP. 4.5(cm). ,点D,E,F是点P分别以AB,BC,AC 答案A 为对称轴的对称点， 考向3利用轴对称的性质求角度 .∠ADB=∠APB,∠BEC=∠BPC, 例1①(2024·武汉武珞路实验中学检 ∠CFA=∠APC 测)如图1，△ABC的内部有一点P,且点D, ∴.∠ADB+∠BEC+∠CFA=∠APB+ E,F是点P分别以AB,BC,AC为对称轴的对 ∠BPC+∠APC=360. 称点，若△ABC的内角∠BAC=70°，∠ABC= 答案C 口04学业质量测评◆ A基础过关练 测试时间：20分钟 3.(经典·泰安中考)在如下四个图形中，其中 1.下列手机手势解锁图案中，是轴对称图形的 是轴对称图形且对称轴为2条的图形的个 数是( 是(). p⊙⊙©⊙2 ⊙D⊙ ⊙0 ⊙ ⊙⊙⊙ C⊙印 ⊙ ① ⊙ ⊙⊙ ⊙ ① 2 A B C D A.1 B.2 C.3 D.4 2.(经典·济南中考)如图，△ABC与△AB'C 4.(经典·南充中考)如图，直线MN是四边形 关于直线1对称，则∠B的度数为( AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点， 下列判断中错误的是( ). A.AM=BM B.AP=BN 30° C C.∠MAP=∠MBP A.50° B.30° C.100° D.90° D.∠ANM=∠BNM 75 重难点手册人年级教学上册) 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC ●B中考提能练 测试时间：30分钟 上，将△BCD沿着直线BD翻折，使点C落 9.如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB, 在斜边AB上的点E处，DC=5cm,则点D CB均落在对角线BD上，得折痕BE,BF, 到斜边AB的距离是 cm. 则∠EBF的大小为( A.15° B.30 C.45° D.60 E A A B D B 第5题图 第6题图 A B B 6.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张 第9题图 第10题图 △ABC纸片，点D,E分别在边AB,AC上， 10.在4×4的正方形网格中，以格点为顶点的 将△ABC沿着DE折叠压平，点A与A'重 三角形称为格点三角形，在上图中画出与 合，若∠A=70°，则∠1十∠2 △ABC关于某条直线对称的格点三角形， 7.如图，在方格纸中选择标有序号①②③①⑤ 最多能画(). 中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构 A.5个B.6个 C.7个 D.8个 成轴对称图形 11.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF ④ 交∠ABC的平分线BD于点E,如果 ② ① ∠BAC=60°，∠ACE=24°，那么∠ABC的 ⑤③ 大小是( ). 8.如图，在△ABC中，∠B=∠C,点P,Q,R分 A.32 B.56 C.64° D.70 别在AB,BC,AC上，且BP=CQ,BQ=CR. 求证：点Q在PR的垂直平分线上， B 第11题图 第12题图 B 12.如图，在△ABC中，∠C=90°，点A关于 BC边的对称点为A',点B关于AC边的对 称点为B',点C关于AB边的对称点为 C',则△ABC与△A'B'C'的面积之比为 ( ). B c号 D 13.如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=90°，点 A关于BC的对称点是A',点B关于AC 的对称点是B',点C关于AB的对称点是 76 第十三章 釉对称底组 C,若△ABC的面积是号，则△AB'C'的面 16.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线DE 交AC于点E,交∠ABC的平分线于点D, 积是 DF⊥BC于点F. B (1)求证： ①BC-AB=2CF ②BC+AB=2BF. A (2)若∠ABC=60°，求∠ADE的度数. 14.如图，AB=CD,AC与BD的垂直平分线相 (3)若∠ABC=a,求∠DAE的度数 交于点E.求证：∠ABE=∠CDE. 15.如图，△ABC与△ADE关于直线MN对 称，BC与DE的交点F在直线MN上.若 ED=4cm,FC=1cm,∠BAC=76°，∠EAC =58°. (1)求BF的长度： (2)求∠CAD的度数. (3)连接EC,则线段EC与直线MN之间 有什么关系？ 77 重难食手册人年级教学上册网 ■C培优突破练 测试时间：20分钟 18.如图，顶角为钝角的等腰△ABC中，AC 17.严先生能言善辩，他说他能证明图中的直 AB.AD⊥AB交BC于点D,在AC上取点 角等于钝角.请你仔细审阅他的证明过程， E使CD=DE,连接BE. 指出错误所在. (1)作图：作△ADB关于AD的轴对称图 如图1，已知在四边形ABDC中，∠CAB 形，并简要说明作图过程. 90°，∠ABD是钝角，AC=BD,求证：∠ABD (2)求证：BE⊥DE =∠BAC (3)若AE=DE,则∠CAB= (直 证明：如图2，分别作AB,CD的垂直平分线 接写出答案) ME,NE,两线相交于点E,连接AE,BE,CE 和DE,那么根据垂直平分线的性质，得到 AE=BE,CE=DE,又已知AC=BD,所以 B △EAC≌△EBD,由此得∠EAC=∠EBD. 另一方面，在△EAB中，从AE=BE,得到 ∠EAB=∠EBA,将以上两式相减，最后得 到∠BAC=∠ABD,即直角等于钝角， B 图1 图2 78参考答案与提示么 又，∠MAN=45°， 【学业质量测评】 .∠EAM=45°，易证△MEA≌△MNA(SAS). 1.A ∴.ME=MN.∴.DM-BN=MN. 2.C提示：△ABC2△A'B'C. -P 3.C提示：图形①②③均有2条对称轴，图形④有3条对 称轴. 4.B提示：，直线MN是四边形AMBN的对称轴， 点A与点B对应 Q 图1 图2 Q ∴.AM=BM,AN=BN,∠ANM=∠BNM. :点P是直线MN上的点， (3)如图2，延长DC至点E,使DE=BN,连接AE,易 ·∠MAP=∠MBP. 证△ADE≌△ABN(SAS). ∴.A.C.D正确，B错误. AN=AE.∠DAE=∠BAN. 5.5.提示：：△BCD沿者直线BD翻折得到△BED, .∠DAB=∠EAN=90. ·△BED≌△BCD. 又∠PAQ=45°，∴∠PAE=45. ,∴.DE=DC=5cm,∠BED=∠C=90 ∴.∠MAN=∠MAE. 故点D到AB的距离DE=5m 易证△MAE≌△MAN(SAS), 6.140°. 提示：∠1十∠2=360°-∠A'EA-∠A'DA= ∴.MN=ME-MD+BN.即MN=DM+BN ∠A+∠A'=2×70°=140°. 7.如图，当把②，④或⑤涂黑时，阴影部分是轴对称图形 第十三章轴对称 13.1轴对称 [变式1]C提示：根据轴对称的性质可知阴影部分的 面积与三角形ABD的面积相等。 [变式2]A提示：根据折叠的特性和矩形的性质得出 ∠BFE=∠EFB,∠B=∠B=9O ∠2=40°，∠CFB=50 又：∠1+∠EFB-∠CFB=180°. 8.易证△BPQ≌△CQR(SAS),得PQ=QR,从而得点Q 在PR的垂直平分线上. ∴.∠1+∠1-50°=180°..∠1=115 9.C10.C11.C [变式3]如图，连接BC AB=AC, I2.B提示：如图，CD=CD=CE,S△w= A'B. ∴点A在BC的垂直平分线上. CE-ABX3CD=3S. 又：DB=DC, ∴点D在BC的垂直平分线上 ∴.DA是线段BC的垂直平分线. 又：点E在AD上，∴BE=CE [变式4]87”.提示：：DE是BC的垂直平分线， 13.1.提示：连接AA',BB,CC. .∠DBC=∠C=31° 14.如图，连接AE,CE,则由线段垂 又：BD平分∠ABC, 直平分线的性质得AE=CE,BE ∴.∠ABC=2∠DBC=2×31°=62. =DE. .∠A=180°-31°-62°=87. 又'AB=CD 15 重雕手偏人年级教学上册风) ,∴.△ABE≌△CDE(SSS) 13.2画轴对称图形 .∠ABE=∠CDE. [变式1]：点A,B关于y轴对称， 15.(1),△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED 2a-b=-(2h-1), a=-1. 4 cm.FC=1 cm..'BC=ED=4 cm. 解得 5+a=-a+b, b=3. ∴.BF=BC-FC=3cm. ∴.(4a十6)20=[4×(-1)+3]61=(-1)*9=-1. (2),'△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC 【学业质量测评】 =76,∠EAC=58,∴.∠EAD=∠BAC=76. 1.A 2.D 3.D 4.B ∴.∠CAD=∠EAD-∠EAC=76-58°=18. (3)直线MN垂直平分线段EC.理由如下： 5.(-2.0).5m=号×4X3=6. :点E,C关于直线MN对称， 6.(1)A:(2.3). .直线MN垂直平分线段EC. (2)A'(4,3).B(8.0).C(3,0). 16.(1)①如图，连接CD,AD,过点D作DG⊥AB于点 7.(1)(2)所作图形如图所示. G,证△DCF≌△DAG .CF=AG,易证BF=BG ..BC-AB=(BF+CF)-(BG-AG)=CF+AG= 2CF. ②同理可证BC+AB=2BF. (3)四边形AA,BC的面积为2×(4+6)×2=10， (2)由(1)得∠ADC=∠GDF=120°， 8.A提示：对于此类问题，一种方法是通过逆向思维，逐 ∴.∠ADE-∠CDE=60. 步画出图形：另一种方法是亲自动手操作，答案即可直 (3)∠ADC=∠(GDF=180°-a 观地呈现出来 ·∠ADE-∠CDE=180g 2 9.C提示：由于55=4×13十3，故A是第14个正方形 ∠DAE=90°-18m29=2a 上的第3个顶点，即A为第一象限内的点.又第一象限 2 内每个正方形的顶点均在直线y=x上，且其横、纵坐标 17.问题出在图形与文字条件不符，图中∠EBD必须大 为所在正方形的半边长.如A(1,1),A(2.2),A1(3, 于180°，图形才符合文字条件。 18.(1)如图，延长BA至点F,使得 3),·,故A(14,14) AF=AB.连接FD 10.A提示：：△ABC各顶点的纵坐标乘以一1，得到 (2)连接FC,先证∠FCB=90°， △ABC,∴△ABC与△ABC的各顶点横坐标 再证△FCD≌△BED(SAS), 相同，纵坐标互为相反数.·△ABC与△ABC ∴∠BED=∠FCD=90', 的位置关系是关于x轴对称 即BE⊥DE. 11.10或11.提示：如图，设点A落在BC边的中点D (3)设∠EAD=r, 上，则EF为AD的垂直平分线，连接DE,有DE=AE 则∠EAD=∠ADE=x,∠DEC=∠C=2.x=∠ABC 此时△CDE的周长为AC+号BC=6+4=10,当点B 又：∠CAD+∠C+∠ABC=90°，5.x=90°，x=18, .∠CAB=108. 落在AC边的中点时，其周长为BC+号AC=山. 16