12.3 角的平分线的性质-【重难点手册】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

第十二章 全等三角形么组 12.3角的平分线的性质 重点和难点 课标要求 重点：角平分线的性质定理和判定 1,会用尺规作图法作一个角的平分线，能理解角的平分线 定理。 与三角形的角平分线的区别与联系 难点：应用角平分线的性质和判定解 2.掌握角平分线的性质和判定，会应用角平分线的性质和 决问题 判定解决问题。 01必备知识梳理◆一 知识点1角平分线的性质及判定 1.角平分线的定义 从一个角的顶点出发， 把这个角分成相等的两个角 图1 图2 的射线，叫作这个角的平分O 证明如图2，连接AD. 线.如图，射线OB就是∠AOC的平分线. AC=AB. 2.点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度 在△ACD和△ABD中，{CD=BD. 叫作这个点到直线的距离。 AD=AD. 3.角平分线的性质 '.△ACD≌△ABD(SSS) 角平分线上的点到角的两边的距离相等. .∠EAD=∠FAD,即AD平分∠EAF 4.角平分线的判定 DE⊥AE,DF⊥AF, 角的内部到角的两边的距离相等的点在 ..DE=DF. 角的平分线上 总结证两条垂线段相等时，首先考虑证 5.角平分线的性质定理与判定定理的联 角相等，利用角所在的三角形全等可证角相等. 系和区别 易错点用错角平分线的性质定理 两个定理是将题设（已知）和结论互换，因 例如图，AD平分∠EAF,过点D作 此在证明两个直角三角形全等时，应用的条件 E 和所依据的定理是不同的.在具体运用这两个 BC⊥AD,分别交AE, B 定理时，一定要分清楚各自的题设是什么、结 AF于点B,C 论是什么，不要混淆 求证：BD=DC. 例①如图1，已知AB=AC,BD=CD, 正解：BCLAD. DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证： .∠ADB=∠ADC=90°. DE-DF. 53 国避食手细八年级数学上册？] 在△ABD和△ACD中， BC于点F,DG⊥AC于点G I∠BAD=∠CAD, E M AD=AD. ∠ADB=∠ADC, .△ABD≌△ACD(ASA). 图2 ∴.BD=CD :BD平分∠ABC,.DE=DF. 错解，AD平分∠EAF,BC⊥AD,分 又，'AD平分∠CAM, 别交AE,AF于点B,C,.BD=DC ∴.DE=DG..DF=DG 错因本题易由AD平分∠EAF直接得 ∴.CD平分∠ACN. BD=DC,其实是没有正确理解角平分线的性 易错点只考虑了三角形的内部 质，应该是“角平分线上的，点到角的两边的距 例如图1，直线4,2,4表示三条相互交 离相等”，而这里给出的条件“过点D作BC⊥ 叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到 AD”并不能说明BD,CD是点D到角两边的 三条公路的距离相等，则可选择的地址有 距离，因此不符合应用角平分线的性质的条 件，故只能应用三角形全等加以证明. A.一处B.两处 C.三处 D.四处 知识点2三角形的内心和旁心 1.三角形的三个内角的角平分线交于一 点，且此点到三角形三边的距离相等，我们称 此点为三角形的内心 图1 2.三角形的两个外角的角平分线及一个内 正解如图2，△DEF内部有一处（即 角的角平分线交于一点，此点为三角形的旁心 点O),△DEF外部有三处（即点O,O2, 例2如图1，在△ABC中，已知∠ABC的 O).故选D. 平分线BD与∠MAC的平分线AD交于点D. 求证：CD平分∠ACN. M 图2 B 错解A 图1 错因本题的易错点在于只考虑到，点在 分析要证CD平分∠ACN,只要证点D 三角形的内部这一种情况，忽略了点在三角 到AC,CN的距离相等即可. 形外部的另外三种情况。 证明如图2，作DE⊥AB于点E,DF⊥ 54 第十二章全等三角形么 口-02一关建能提升 题型1角平分线性质的应用 “等线段”的转化，很多时候可取代证明三角形 方法一：作角平分线的垂线， 全等的步骤，同时也可大大简化解题过程， 如图，在△ABC中，若BD平分∠ABC, 从角平分线上一点作角的两边的垂线，垂 BD⊥AD,则： 线段相等，顶点到两垂足的距离也相等.借此， (1)△ABD≌△EBD:(2)AD=DE. 可在角的两边上实施截长或补短，甚至既截长 又补短，达到“移多补少”的目的.其实质是角 平分线两侧的“对称”位置的三角形全等。 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC, 例3在四边形ABCD中，点E在线段 DELAB,DF⊥AC,则： CD上，已知AD∥BC,BE⊥AE,BE平分 (1)DE=DF:(2)△ADE≌△ADF: ∠ABC.求证：DE=EC (3)§业=AB_BD S△CD AC CD· 证明如图，延长AE,BC交于点F. B B 图1 ,BE平分∠ABC,∠1=∠2. 如图2，当∠C=90°时，点C与点F重合， 又，BE⊥AE, 还可以得到AB·DE=BD·AC ∴.∠AEB=∠BEF=90. 又，BE=BE .'.△BAE≌△BFE(ASA). .'.AE=FE. CF ,AD∥BC,∴.∠DAE=∠F 图2 又，∠AED=∠FEC, 如图3，当∠C=90°且AC=BC时，还可以 ∴.△ABE≌△FBE(ASA). 得到AB=AC+CD. .'DE=EC. 方法二：过角平分线上的点向两边作垂线， 角平分线的性质： 点在角平分线上一点到这个角两边的州距离相等， D CE 角平分线的性质定理实现了由“等角”到 图3 55 国避食手细八年级数学上册？] 例④如图1，AD∥BC,DC⊥AD,AE平于点E,点F在AC上，且BD=FD.求证： 分∠BAD,且E是DC的中点.问：AD十BC与 AE-BE=AF. AB之间有何关系？ ◆变式2如图，在Rt△ACB中，已知AB 图1 5,AC=4,BC=3,∠ACB=90°.请在△ACB 解析AB=AD十BC.理由如下： 的内部找一点P,使点P到△ACB三边的距离 如图2，过点E作EF⊥AB于点F,连 相等，并求出这个距离(，点P为△ABC的内心). 接BE. 例5（经典·长春中考）已知：如图1，AD 图2 平分∠BAC,∠B+∠C=180°，∠B=90°.易知 .'AE平分∠BAD,DC⊥AD,EF⊥AB, DB=DC. ∴.EF=DE(角平分线上的点到角两边的 探究：如图2，AD平分∠BAC,∠ABD+ 距离相等). ∠ACD=180°，∠ABD90°.求证：DB=DC. .DE=CE...CE=EF. 应用：如图3，在四边形ABDC中，∠B 在Rt△BFE和Rt△BCE中， 45°，∠ACD=135°，DB=DC=a,则AB-AC EF=EC. (用含a的代数式表示). BE=BE, ,∴.Rt△BFE≌Rt△BCE(HL). ∴，BF=BC 同理可证AF=AD, 图1 图2 ∴.AD+BC=AF+BF=AB,即AB 解析探究：如图2，过点D作DE⊥AB于 AD+BC. 点E,DF⊥AC于点F 总结在四边形ABCD中，AD∥BC,AE, ,DA平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, BE分别平分∠DAB,∠CBA,AE⊥BE,DE= ∴.DE=DF CE,AD+BC=AB,CD⊥AD,BC⊥CD.上述 ,∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD= 关系中，已知其中几个就可推出其余结论 180°，.∠B=∠FCD. ◆变式1如图，已知在△ABC中，∠C 在△DFC和△DEB中， 90°，AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB '∠F=∠DEB,∠FCD=∠B,DF=DE, 56 第十二章全等三角形么 .△DFC≌△DEB(AAS). 180°. ∴.DC=DB. (1)若BE=AB,则△ABD≌△EBD: 应用：如图3，连接AD,过点D作DEI (2)若BF=BC,则△BFD≌△BCD. AB于点E,DF⊥AC于点F. 例6如图1，已知BF平分△ABC的外角 :∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD= ∠ABE,D为BF上一点，∠ABC=∠ADC 180°，.∠B=∠FCD. 在△DFC和△DEB中， '∠F=∠DEB,∠FCD=∠B,DC=DB, B '.△DFC≌△DEB(AAS). 图上 ∴.DF=DE,CF=BE (1)求证：∠DAB=∠DCB. 在Rt△ADF和Rt△ADE中， (2)判断△ACD的形状并证明. .AD=AD.DE=DF, (3)过点D作DH⊥AB于点H,若AH= '.Rt△ADF≌Rt△ADE(HL). 7,BH=1,求线段CB的长 ∴.AF=AE 解析(1).∠ABC=∠AIDC,∠BPC= ∠APD. ..AB-AC=(AE+BE)-(AF-CF)= .∠DAB=∠DCB. 2BE. (2)△ACD为等腰三角形.理由如下： 在Rt△DEB中， 如图2，在射线BE上截取BG=BA,连 :∠DEB=90°，∠B=∠EDB=45,BD=a 接DG. ·BE= 24. 易证△ABD≌△GBD(SAS), ∴.AB-AC=√2a. .DA=DG,∠DAB=∠G. ,∠DAB=∠DCB,∴∠G=∠DCB, 答案2a. ..DG=DC,..DA=DC, 题型2已知角平分线，利用截长补短 即△ACD为等腰三角形. 法构造对称全等 如图1，BD为△ABC的角平分线. D (1)若BE=AB,则△ABD≌△EBD: G E MB (2)若BF=BC,则△BFD≌△BCD. 图2 (3)如图2，作DM BE于点M, 易证△MBD≌△HBD(AAS). ∴.BM=BH=1,DM=DH, 易证△DAH≌△DCM(AAS), 图1 图2 ∴.CM=AH=7. 如图2，BD平分∠ABC,∠BAD十∠C= .∴.CB=CM-BM=7-1=6. 57 重避点手册人年级数学上册划 03热点考向聚焦一◆ 考向1作角平分线的垂线 DI=DI. 例7(2023·武汉外校模拟)在△ABC .△IDT≌△IDE(AAS). 中，∠A=90°，AB=AC,BD为△ABC的角平 ..DE=DT.IT=IE. 分线，CE⊥BD的延长线于点E.求证：BD= ,∠BEI=∠CTI=90° 2CE. .Rt△BEI≌Rt△CTI(HL). 证明如图，延长CE,BA交于点F .BE=CT,设BE=CT=x, .DE=DT. .10-x=x-2,∴.x=6. .BE=6. 考向3截长补短法构造全等 ,BD为△ABC的角平分线， 例9(2023·武汉江汉区模拟)在△ABC .∠FBE=∠CBE. 中，∠C=60°，AD,BE为△ABC的角平分线， ,'CE LBD,∴.∠BEC=∠BEF=90.° AD与BE交于点O. 易证△BEF≌△BEC,.EF=EC (1)求证：∠AOB=120°. 易证△BAD≌△CAF, (2)求证：AB=AE+BD. .BD=FC=2CE. 分析(1)由内角平分线模型可得∠AOB= 向2过角平分线上的点向角的两边 作垂线 90+号∠C=120. 例8(2023·武汉七一华源中学模拟)在 (2)利用角平分线构造对称全等三角形： △ABC中，AB=AC,点D在AC边上，△ABD 在AB上截取AM=AE,连接OM 的三条角平分线交于点I,过点I作IE⊥BD 证△AOE≌△AOM,△BOD≌△BOM. 于点E.若BD=10,CD=2,求BE的长 证明(1)，AD.BE为△ABC的角平分线， 解析如图，连接AI,BI,CI,DI,过点I作 ∠CA0=∠BA0=2∠CAB,∠CB0= IT⊥AC于点T. ∠ABO-2∠ABC ∴∠BAO+∠ABO-2∠CAB+2∠ABC 2(∠CAB+∠ABC)=2180°-∠C)=60° B ,AB=AC,∠BAI=∠CAI,AI=AI, '.∠AOB=180°-（∠BAO+∠ABO)= .△BAI≌△CAI(SAS). 120°. ..IB=IC. (2)如图，在AB上截取AM=AE,连接 ,∠ITD=∠IED=90°，∠IDT=∠IDE.OM. 58 第十二章全等三角形么组 .∴∠BOM=180°-∠AOM-∠AOE=60. .∠BOD=∠AOE=60°， ∴.∠BOM=∠BOD. .∠EAO=∠MAO,AO=AO, .BO=BO,∠DBO=∠MBO. ∴.△AOE≌△AOM. ∴.△BOM≌△BOD..BD=BM. .∴.∠AOM=∠AOE=180°-∠AOB=60°. ∴.AB=AM+BM=AE+BD. 口-04学业质量测评。 A基础过关练 测试时间：20分钟 4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P L.如图，MP⊥NP,MQ为∠NMP的平分线， 是BC边上一动点，则DP长度的最小值为 MT-MP,连接TQ,则下列结论中不正确的 是(). 5.如图，BM平分∠ABC,D是BM上一点，过 A.TQ-PQ M 点D作DE⊥AB,DF⊥BC,分别交AB于 B.∠MQT=∠MQP 点E,交BC于点F,P是BM上的另一点， C.∠QTN=909 连接PE,PF. D.∠NQT=∠MQT (1)若∠EDF=124°，求∠ABC的度数. 2.与相交的两条直线距离相等的点在( (2)求证：PE=PF A.一条直线上 B.两条互相垂直的直线上 C.一条射线上 D.两条互相垂直的射线上 3.如图，已知BQ是∠ABC的内角平分线，CQ 是∠ACB的外角平分线，由点Q出发，作点 Q到BC,AC和AB的垂线QM,QN和QK, 垂足分别为点M,N,K,则QM,QN,QK的 关系是 B CM 第3题图 第4题图 4.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD= 59 国雕白手细人年级教学上册团 6.如图，已知AD为△ABC的BC边上的中 OM+ON的长是 线，且CF⊥AD于点F,BE⊥AD交AD的 延长线于点E.求证：BE=CF. B 10.如图，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB 的平分线交AB于点E,在AC上取一点 D,使∠CBD=20°，连接DE,求∠CED的 度数 B中考提能练 测试时间：0分钟 7.如图，在△ABC中，P,Q分别是BC,AC上 的点，作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是点 R,S.若AQ=PQ,PR=PS,则有如下结论： ①AS=AR;②PQ∥AR:③△BRP≌△CSP.其 中正确的结论是( ) A.①③ B.②③ 11.如图，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC,EC C.①② D.①②③ =DC,直线AD与BE交于点F,连接CF. B R (1)求证：△BCE≌△ACD. (2)求证：CF平分∠BFD. Q SC 第7题图 第8题图 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB 30°，∠ACB的平分线CE与∠ABC的外角 平分线BE交于点E,则∠AEB=(). A.50° B.45°C.40° D.359 9.(2024·武汉华宜寄月考)如图，在∠AOB的 边OA,OB上取点M,N,连接MN,MP平 分∠AMN,NP平分∠MNB.若MN=2, △PMN的面积是2，△OMN的面积是8，则 60 第十二章全等三角形营组 12.如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC中角 13.如图，点P是△ABC中∠BAC的外角平分 平分线AD,CE相交于点O. 线上一点. (1)求证：AE+CD=AC. (1)求证：PB+PC>AB+AC. (2)若∠CAB=90°，线段AE,CD,AC之间 (2)若点P是△ABC中∠BAC的平分线上 有何数量关系？证明你的结论， 一点，且AC>AB,画出图形，试分析 PB,PC,AB,AC间有怎样的不等关系. D 61 国避手册人年级教学上册网 ●C培优突破练 测试时间：30分钟 15.(2023·武汉外校模拟)在△ABC与 14.已知AP是△ABC的外角平分线，连接 △BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，BC= PB.PC. DE,AC=BE,M,N分别为AB,BD的中 (1)①如图1，若BP平分∠ABC,且∠ACB= 点，连接MN交CE于点K. 28°，求∠APB的度数： (1)如图1，当C,B,D共线，AB=2BC时 ②如图1，若点P与点A不重合，请判断 探索CK与EK之间的数量关系，并 AB+AC与PB+PC的大小关系，并证 证明. 明你的结论 (2)如图2，当C,B,D不共线，且AB≠ (2)如图2，若过点P作PM⊥BA,交BA 2BC时，(1)中的结论是否成立？若成 的延长线于点M.且∠BPC=∠BAC 立，请证明：若不成立，请说明理由。 求ACAB的值， M 料2 E 图1 图2 62重雅点手册人年级数学上册则 Sas=号HG,BE-}·a+a)…2a=2a ED-FD. 在△EDP和△FDP中，∠EDP=∠FDP, 综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有 DP=DP, △ACD,△ABE,△BCE,△BHG. ∴△EDP≌△FDP(SAS).∴.PE=PF. 12.3角的平分线的性质 6.:AD为△ABC的BC边上的中线，∴.BD=CD [变式1]：AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于 :BE⊥AD,交AD的延长线于点E,CF⊥AD, 点E,∠C=90°，.DC=DE ∴.∠E=∠CFD=90° (AD=AD. 在Rt△ACD和Rt△AED中， ∠E=∠CFD. DC-=DE. 在△BED和△CFD中， ∠BDE=∠CDF, .Rt△ACD≌Rt△AED(HL). BD-CD. 同理可得Rt△FCD≌Rt△BED. :.△BED≌△CFD(AAS.∴.BE=CF ..AC=AE,CF=BE..AE-BE=AF. 7.C提示：依角平分线的判定定理知AP平分∠BAC, [变式2]如图，分别作∠ABC,∠CAB的角平分线，设 进而可证△ASP≌△ARP,①正确：由AQ=PQ知 两线交于点P,则点P即为所求 ∠PAQ=∠APQ,故∠APQ=∠BAP,②正确. 作PD⊥AB.PE⊥AC,PF⊥B 8.B提示：可证EA是∠CAB的外角平分线.过点E作 BC,垂足分别为点D,E,F EF,EM,EN分别垂直于CB,AB,CA,垂足分别为点 则PD=PE=PF(角平分线上 F,M,N.因为BE,CE分别为∠ABC的外角平分线和 的点到角两边的距离相等)， ∠ACB的平分线，所以EF=EM=EN 设PD=PE=PF=,连接PC 9.10.提示：如图，过点P分别作 SPr十S△Px+S么Pm=S2· PE⊥OB于点E,PF⊥MN于点F, 即号r+号AC十gAB-号C,CM. PG⊥OA于点G,连接OP. 4 .3r+4r+5r=3×4..r=1. :点P是△MON外角平分线的交点， 【学业质量测评】 ∴.PF=PG=PE 1.D提示：△MTQ≌△MPQ(SAS) ,MN=2,△PMN的面积为2， 2.B ÷号MN,PF=2PF=2.PG=PE=2 3.QM=QN=QK.提示：依角平分线的性质可得. 4.4.提示：根据垂线段最短可知，当DP⊥BC时，DP的 △OMN的面积为8. 长度最小 ,∴.△OMP的面积+△ONP的面积-△PMN的面积 ,BD⊥CD,即∠BDC=90°， =8. 又∠A=90°，∴∠A=∠BDC ÷20MPG+20N·PE-2=8 :∠ADB=∠C,.∠ABD=∠CBD, ∴.OM+ON=10. ∴BD为∠ABC的平分线. I0.如图，过点E作EF⊥CB于点F,EG⊥BD于点G, 又DA⊥BA,DP⊥BC,.DP=AD=4. EH⊥AC于点H 5.(1),DE⊥AB,DF⊥BC,∴.∠DEB=∠DFB=90. ,∠EDF=124, ∴.∠ABC=360°-90°-90°-124°=56 (2):BM平分∠ABC,DE⊥AB.DF⊥BC, .ED=FD,∠ABD=∠CBD.∴.∠EDB=∠FDB :∠ABC=100°，∴∠FBE=80°. ∴∠EDP=∠FDP(等角的补角相等). 又∠DBC=20°，，∴.∠EBG=80°. 10 参考答案与提示么超 ∠FBE=∠EBG. ,.∠AOE=∠AOF=∠COF=∠DOC=60° 又EF⊥BF,EG⊥BG,,.EF=EG. ∠COD=∠COF(已证)， :CE平分∠ACB,EH⊥AC,EF⊥CB, 在△COD和△COF中，OC=(OC(公共边). ..EH-EF ∠OCD=∠OCF(已知)， ∴.EG=EH.∴ED平分∠ADB. ∴.△COD≌△COF(ASA).∴.CD=CF ∴LADE=3∠ADB ..AE+CD=AF+CF=AC. (2)AE+CD=AC.证法同(1). ∴∠CED=∠ADE-LACE=支∠ADB-Z∠ACB 13.(1)如图1，在BA的延长线上取AC'=AC,连接PC -∠DBc-10 先证△APC≌△APC(SAS). 由PB+PC>BC.即得PB+PC>AB+AC. 11.(1),∠ACB=∠DCE=90°， ∴.∠BCE=∠ACD, BC=AC∠BCE=∠ACD,EC=DC, ,.△BCE≌△ACD(SAS). (2)如图，过点C作直线AD,BE的垂线，垂足分别为 图1 图2 点M,N (2)结论为AC-AB>PC-PB. 如图2，在AC上取AB'=AB 先证△ABP2△AB'P(SAS). 由B'C>PC-PB即得AC-AB>PC-PB. B 14.(1)①∠APB=14 由(1)知△BCE≌△ACD, 提示：根据双角平分线模型可得∠APB=号∠ACB ∴∠B=∠A :∠CVB=∠M=90°，∠B=∠A,BC'=AC, =148. ∴.△BCN≌△ACM(AAS). ②PB+PC>AB+AC如图1，延长BA到点D,使 ..CM=CN. AD=AC,证△PAC≌△PAD(SAS),.PC=PD, ,CM⊥AD,CN⊥BE,CM=CN, 在△PBD中，PB+PC>AB+AC ∴.FC平分∠BFD. (2)如图2，过点P作PN⊥AC于点N,证△PBM≌ 12.(1)如图，在AC上取一一点F,使AF=AE,连接OF △PCN(AAS),△APM≌△APN(AAS), 在△AEO和△AFO中， ∴.MB=NC,AM=AN. AE=AF(已知)， ..AC-AB=(AN+NC)-(MB-AM)=AN+AM ∠1=∠2（已知）， =2M%B A0=AO(公共边)， ∴.△AEO≌△AFO(SAS). ∠EA=∠FOA :∠B=60, .∠AOC=180°-（∠OAC+∠COCA) 图1 ☒2 =180°- 2∠BAC+∠BCA) 15.(1)CK=EK. 证明：：BC=DE,AC=BE,∠ABC=∠BDE=90°， =180°-2180°-60)=120. ∴.Rt△ABC≌Rt△BDE,∴.AB=BD. 11 重雕手册人年级教学上册风则 ,M,N分别为AB,BD的中点，AB=2BC, ,'.△DMC≌△DNB(AAS) .BM-AM-BC-ZAB-BD-DN-BN-DE. ,∴.DC=DB.故③错误， :∠MAN为公共角，∠B=∠C,AC=AN, 如图1，连接CM,EN, △ABM2△ACN.故④正确 ∴∠BMN=∠BNM=∠DNE=∠BMC=45, 4.A提示：有三个全等三角形，△ABC的内角和为 ∴.∠CMN=∠MNE=9o°. 180°. 易证△BCM≌△DEV(SAS),,∴.CM=NE. 5.A提示：△ABD2△ACD,△AEG≌△AFG,△BED≌ 又，∠CKM=∠EKN, △CFD,△EGD≌△FGD,△AED≌△AFD ∴，△CMK≌△EVK..CK=EK. 6.A提示：过点D作DH⊥AC于点H,如图 (2)如图2，过C,E分别作直线MK的垂线段，垂足分 :AD是△ABC中∠BAC的平分线，IDE⊥AB.DH LAC, 别为P,Q,由(1)知△ABC≌△BDE,△BCM≌ ∴.DE-DH. △DEN, 设DE=DH=x, ∴.BM=BN,CM=NE,∠DNE-∠CMB, :SAM十SAMB=S△AME, ∴.∠BNM=∠BMN. ∴.180°-∠BNM-∠DVE=180°-∠BMN-∠CMB. 即∠CMP=∠ENQ ∴a=9,即DE-9。 又，∠CPM=∠NQF=90°，CM=EN. 7.C提示：利用折叠的保形性， ∴.△CMP≌△ENQ.∴.PC=QE. 8.B提示：易证△ADC≌△CEB,得CD=BE=1,CE '∠CPQ-∠EQP=9o°，∠EKQ=∠CKP, AD=3. .△CPK≌△EQK.∴CK=KE ..DE=CE-CD=2. 9.B提示：如图，延长AD至点E,使DE=AD,连接 BE,可得△ACD≌△EBD(SAS). ..AC=BE. 在△ABE中，由三边关系可得AB-BE<AE<AB+ BE,.5-3<2AD3+5. :1<AD<4.故选B 图1 图2 单元学能测评 1.C2.D 3.B提示：∠E=∠F=90°，∠B=∠C,AE=AF, C材 .R△ABE2R△ACF(AAS). 第9题图 第10题图 .∠FAC=∠EAB,AC=AB. 10.A提示：如图，过点D作DN⊥AC于点N, ∴.∠EAB-∠MAN=∠FAC-∠MAN :CD平分∠ACE,DMLBE,∴.DN=DM. ∴∠EAC=∠FAB.故①正确. ∴.Rt△DCN≌Rt△DCM(HI). ∠E=∠F=90°，AE=AF, Rt△ADN≌Rt△BDM(HL). ∴.△EAM≌△FAN(ASA).∴.AM=AN. .CN=CM.AN=BM. ∴.AC-AM=AB-AN,即CM=BN.故②正确， .AN=AC-CN.BM-BC+CM. ,MC=BN,∠C=∠B,∠CDM=∠BDN, ∴.AC-CN=BC+CM∴，2CM=AC-BC 12