12.2 三角形全等的判定-【重难点手册】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

八年级数学 上册 2 12.2 三角形全等的判定 重点和难点 课标要求 重点:三角形全等的四种判定方法,直 1.掌握用SSS.SAS,ASA和AAS证明两个三角形全等的 角三角形全等的判定方法。 方法,并会用HL证明两个直角三角形全等 难点:运用全等三角形的性质证明线 2.能根据条件灵活选择三角形全等的判定方法,并能综合 段相等和角相等 运用全等三角形的性质证明线段相等和角相等. 01-备知识梳理 知识点 判定一般三角形全等的条件 1.全等三角形的判定 如图,在下表所示的不同条件下均可推出△ABC和△DEF这两个三角形全等 A 。 B E 具体条件 简写 推理形式 特点 [AB-DE. 1.三边确定,则形状确定,体现了三角形的稳 “边边边” 在△ABC与△DEF中,{BC-EF, 定性; 三边分别相等 或“SSS" AC-DF, 2.除明显的对应边特征,常常还需挖掘图形和 ..△ABCDEF(SSS) 文字条件,如公共边、中线等可能成为对应边 [AB-DE. 在△ABC与△DEF中 B-E. “边角边” 1.夹角应写在中间; 两边和它们的 BC-EF. 2.注意区分错误条件“SSA”,即若不是夹角. 或“SAS” 夹角分别相等 而是一边的对角,则两个三角形不一定全等 '.△ABC△DEF(SAS) (乙B一/E. 1.夹边应写在中间; “角边角” 两角和它们的 在△ABC与△DEF中.BC-EF, 2.除明显的对应角特征,常常还需挖掘隐含 或“ASA" 夹边分别相等 C一二F,的等角,如公共角、对顶角、平行线中的同位 ..△ABC△DEF(ASA) 角、内错角、同角的补角或余角等 (乙A-/D. 两角分别相等 “角角边” 在△ABC与△DEF中,B-E. 1.边写在最后; 且其中一组等 BC-EF. 或“AAS” 2.由三角形内角和定理可知“AAS”与 角的对边相等 “ASA”可相互推导 ..△ABC△DEF(AAS) 2.根据条件选择判定三角形全等的方法 若已知两个三角形的三条边、三个角分别相等,则由全等三角形的定义可判定这两个三角形 全等,由于这六个条件中有些条件是相关的,根据课本研讨可知,只需具备含有一组边分别相等 的三个条件成立即有可能得到两个三角形全等 38 第十二章 全等三角形) 法 E.F,C在同一直线上,AE=CF,B-D 已知条件 判断三角形全等的思路 AD/BC.求证:AD=BC 三边分 证明·AD/BC.A- 。 根据“SSS”判定全等 别相等 .A-C. # 1.寻求第三边相等的条件,根据“SSS” .AE-CF. C 两边分 判定全等 '.AE+EF-CF+EF,即AF=CE 别相等 2.寻求这两边夹角相等的条件,根据 “SAS”判定全等 [D-B. 在△ADF和△CBE中,A-C. 1.寻求另两边分别相等的条件,用 AF-CE, “SSS”判定全等 一边 .ADF/CBE(AAS) 2.任寻求两角分别相等的条件,用 相等 “AAS”或“ASA”判定全等 ..AD-BC. 3.寻求另一边及这两边的夹角分别相 思 等的条件,用“SAS”判定全等 已知两个三角形的两组边分别相等,且其中一 边所对的角相等,这两个三角形不一定全等. 1.寻求两已知角的夹边相等的条件,用 说明如下: 两角分 “ASA”判定全等 别相等 2.寻求一已知角的对边相等的条件,用 如图,已知CD一CB. “AAS”判定全等 在△ABC和△ADC中, AC-AC.(公共边) 1.寻求夹此角的两边分别相等的条件, 一角 用“SAS”判定全等 CB=CD.(已知) 相等 2.任寻另一角和一边分别相等的条件, A一A.(公共角) 用“AAS”或“ASA”判定全等 则△ABC和△ADC满足两边及一边的对角分 例如图,AE=DB,AC=DF,BC-EF 别相等,即满足SSA. 求证:△ABC△DEF 很显然,人ABC不全等千ADC 所以SSA不能判定两个三角形全等 知识点 D 2判定直角三角形全等的条件 判定一般三角形全等的四个条件均适用 证明 .AE-DB. 于判定直角三角形全等,又由于直角三角形是 '$AE+EB-DB十EB,即AB=DE 特殊的三角形,因此它还有一般三角形所没有 [AB-DE, 的特殊判定方法 在△ABC和△DEF中,BC=EF. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三 AC-DF. 角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 故△ABC△DEF(SSS). 这里好像只有两个条件(两条边),但其前 例如图,在△AFD和△CEB中,点A. 提条件是“在直角三角形中”,即有一个直角,实 39 难群册八年级数学 上册 2 际上由勾股定理(第土七章)可知,在直角三角 如果不全等,请举出反例 形中,只要知道任意两边的长,第三条边很容易 正解 这两个三角形不一定全等,如图, 求得,因此,“HL”的本质是三边分别相等 虽有AB-A'B',AC-A'C',AD-A'D',但 例B如图,已知 B- E-90{},AC= BC关BC',因此ABC与△A'B'C'不全等 DF,BF=EC.求证,AB=DE. A A D _E D C B Bh B CD 错解 ABC△A'B'C',证明如下: 证明 .BF-CE. 在RtABD与Rt/A'B'D'中. *.BF+FC=CE+FC,即BC=EF [AB-AB'. [AC-DF, 在 Rt△ABC和Rt△DEF中, AD-AD', BC-EF, '.RtABDRt△AB'D'(HL). 'RtABC-Rt△DEF(HL). 同理,Rt△ACDRt△AC'D'(HL). ..AB-DE. ..△ABC△ABC'. 总结 直角三角形全等的判定条件“HL”实 错因 涉及三角形的高的问题时,要注 际上就是两边和一边的对角分别对应相等,当 意多种情况,因为锐角三角形的高在三角形 满足该条件时只能用“HL”,不要错写成“SSA” 内部,钝角三角形的高在三角形外部,直角三 易错点 忽略三角形高的多种可能性 例已知在△ABC和△AB'C'中,AB 角形的高可能在三角形的边上,所以无图时 A'B',AC=A'C',AD和A'D'分别是BC. 三种情况均有可能,若这两个三角形均为钝 BC'边上的高,且AD=A'D,问△ABC 角(或锐角)三角形,则全等;若一个是锐角三 和ABC'全等吗?如果全等,给出证明 角形,一个是钝角三角形,则不全等 02-关键能力提升 题型1三角形全等的判定与性质的 [找夹角→SAS 综合应用 已知两边{找第三边→SSS 找直角边、斜边→HL 已知一 边为角的对边→找任一角→AAS 1.证明两个三角形全等时,要认真分析已知条 边一角 [找夹角的另一边→SAS 件,仔细观察图形,弄清已具备了哪些条件,从中找 边为角的邻边找夹边的另一角→ASA 出已知条件和所要说明的结论的内在联系,从而选 找边的对角→AAS 已知两角 [找夹边→ASA 择最适当的方法,一般可按下面的思路进行 找任一边→AAS 40 第十二章 全等三角形 2.证明边或角相等的一些常用的依据: (1)等线段(角)的和或差相等。 (2)全等三角形的对应边(角)相等;公共边、公 /N 共角相等。 -. F (3)等角的余角或补角相等 其中正确的结论是 (填序号). (4)垂直的定义. 解析在Rt△AEB与Rt△AFC中, (5)角平分线的定义. [AE-AF, (6)由平行线得同位角、内错角相等,同旁内角 互补. AB-AC. (7)对顶角相等。 'RtABE-Rt△ACF(HL). 故/B-C.①正确. 例4如图,已知AB=DC. ABC=DCB 由△ABE△ACF,得 BAE= CAF 求证:△AOB△DOC .0 则 BAE-MAN=CAF-MAN A 即1一2.②正确. [E-F. B C 在△AEM与△AFN中,.AE=AF, 证明在△ABC和△DCB中, 乙1-2. [AB-DC: .△AEM△AFN(ASA). ABC= DCB. ..AM-AN. BC-CB. 又AC-AB. ..△ABC△DCB(SAS). '.AC-AM=AB-AN,即MC-NB .A-D ③正确. 在AOB和DOC中. 若要使AN-CM,因CM=NB,则点N [A-D. 需为AB的中点,显然④不正确. . AOB= DOC, 答案①②③. AB-DC. 变式2如图,已知CD,BE相交于点A. '△AOB2△DOC(AAS) 点M是BC的中点,1=2,3=4. ·变式1如图,AD与BC相交于点O.OA 求证:△BMD2△CME OC. A=/C,BF=DF.求证:OF IBD D E C M 题型2利用三角形全等证明垂直或 例如图,E=F-90{,AE-AF 平行 AB=AC.给出下列结论:①/B= C:②1= 利用全等可得到边与角的相等关系,而要 2;③MC-BN;④AN-CM 证明平行与垂直,都要转化成角的相等、互余、 41 难用册八年级数学 上册 2 互补来证明.可适时结合三角形的内角和定 两边和的一半. 理、平行线的判定与性质解决问题 例如图,已知AB/CD,OA=OD,AE =DE,求证:EB//CF 。 D C F C 图1 13D 如图1,在△ABC中,点D是BC边上的 中点. B E 求证:AD-AB+AC 证明 ·.AB//CD..3-4 证明如图2,延长AD至点E,使得DE 又1= 2,AO-DO. AD,连接BE. ..ABODCO(ASA) ..OC-OB. 又 OA=OD,AF-DF 1 1D C 'E0-FO.且1= 2. .△EBOFCO(SAS). E * /FCO-/EBO 图2 ..CF/EB. .点D是BC的中点 变式3如图,AD是△ABC的高,点E ..BD-CD 为AC上一点,BE交AD于点F,且BF=AC 在/BED和/CAD中, FD-CD.求证:BE AC [BD-CD. 。 BDE=/CDA. ED-AD. C '.△BED△CAD(SAS). D 题型3添加辅助线,构造全等三角形 '.BE一AC(全等三角形的对应边相等) 一“中线倍长法”构造全等三角形 在/ABE中,AE<AB+BE, .AE-AD+DE-2AD 巧添 一“截长补短法”求证线段的和差问题 辅助线 .2AD<AB十AC,即ADABAC 一“作垂法”构造全等三角形 -“延长法”构造全等三角形 总结 中线倍长法是证明三角形全等时常 1.中线倍长法 用的添加辅助线的方法,具有构造全等三 中线倍长的作用是平移线段、转移角,有 形、平移线段等作用,可将已知、未知的条件集 利于将题目条件集中在一个三角形中.题目条 中在一个三角形中 件或结论中凡涉及三角形的中线,都可以考虑 特殊地,当 BAC一90{}时,由图2可得 将中线倍长 例求证:三角形一边的中线小于其他 42 第十二章 全等三角形 变式4如图所示,已知CE,CB分别是 例如图1,已知AC/BD,EA,EB分别 △ABC,△ADC的中线,且AB-AC,ACB= 平分 CAB和 DBA,点E在CD上.求证; ABC求证:CD-2CE AB-AC+BD C 图1 例B如图1,AD为△ABC的中线,AB 证明方法一(截长法) 如图2,在AB上 AF,AC=AE.BAC+EAF=180{*,求证; 截取AF一AC,连接EF. EF-2/AD. 图2 DC 图1 在△ACE和△AFE中, (AC-AF, 证明如图2,延长AD至点M,使DM 1-2. AD.连接BM AE-AE. E ..ACE/AFE(SAS) . C一 5(全等三角形的对应角相等) B .AC/BD. '.C+D-180” 图2 .5+6-180”, 又.BD=DC.BDM=CDA. .D-6. 'BDM/CDA(SAS) [ 6-D. ..BM-AC,M- CAD 在△BEF和△BED中,3-4, .. MBA+/BAC=180 BE-BE, 又'BAC+EAF-180*, .BEF△BED(AAS). ../MBA-/EAF. ..BF-BD 又AE-AC..'.BM-AE 'AF+BFAC+BD.即 ABAC+BD 又AB-AF,..△ABM△FAE 方法二(补短法) 如图3,延长AC到点 *EF-AM-2AD F.使AF-AB,连接EF. 2.截长补短法 关于线段的和差问题,首先考虑采用截长 D 补短法,如果需要作辅助线,通常会证两次全 等,其中第一次全等的结果为第二次全等的证 明提供条件. 图3 43 重难册 7八年级数学 上册 2 在△AEF和△AEB中 在△AFC和△ADC中, [AF-AB. [AF-AD, 1-2, FAC= DAC. AE-AE, AC-AC(公共边). 'AFCADC(SAS) ..AEF△AEB(SAS). '.AFC= D .$EF=EB,F=3.$$$ 3=4..F=4. :AC//BD.'5=D. [F-4, .$AE-AF=AB-AE 在△CEF和△DEB中,5=D. '.EF-BE. EF-EB, 又CE AB于点E. '△CEFDEB(AAS) '. CEF-CEB-90*。 '.CF一DB(全等三角形的对应边相等) 在△CEF与△CEB中 [EF-EB. .AB-AF-AC+CF /CEF-/CEB '.AB-AC+BD CE一CE(公共边). 总结用截长补短法解题时,作辅助线可 ..△CEF△CEB(SAS). 以提供一个条件,根据全等判定所需的条件 . /CFE-B. 三个条件中缺什么条件就通过作辅助线补什 而 CFE+AFC-180” 么条件. ' B+ D-180*。 例1如图1所示,在四边形ABCD中, 变式5如图,在△ABC中,AB=AC 1=2,AE CD于点E.求证:DC-DB AC平分 BAD,CE AB于点E,且AE= 2DE. A D 3.作垂法 图1 已知一对边、一对角分别相等的两个三角 证明如图2,在线段AB上截取AF一 形,可用作垂法 例如图1,在Rt△ABC中,AC=BC. AD,连接FC C=90{},D为AB边的中点, EDF=90{ EDF绕点D旋转,它的两边分别交AC,CE D (或它们的延长线)于点E,F 当 EDF绕点D旋转到DE AC干点E B 时(如图1),易证Sper十Scrr= 图2 44 第十二章 全等三角形 当 EDF绕点D旋转到DE和AC不垂 在图3中结论不成立,SpEr.Scrr,SAc 直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是 否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立 ·变式6(1)如图1,在四边形ABCD中. S pE.SrF,Sc又有怎样的数量关系?请 AB=AD.B=$ D=90{*},E,F分别是边B$C 写出你的猜想,无须证明. A A A D BE+FD. (2)如图2,在四边形ABCD中,AB-AD. 图1 图2 图3 B十D-180{},E,F分别是边BC,CD上的 解析在图2中结论成立. 点,且EAF-1 1BAD,则(1)中的结论是否 如图4,过点D作DM |AC,DN BC 2 仍然成立(不用说明理由)? (3)如图3,在四边形ABCD中,AB一AD. ### D B十 ADC=180*},E,F分别是边BC,CE VB 图4 则 DME-DNF-MDN-90* 的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不 在△AMD和△BND中, 成立,请写出它们之间的数量关系,并证明 AMD- BND-90* A-B. D D AD-BD. Ef B ..AMD/BND(AAS). BEC BE C E .'.DM-DN. 图1 图2 图3 “MDE+ EDN=90*,EDN+ 4.延长法 NDF-90*. 在镜面角的题目中,延长法是解决问题的 '.MDE- NDF 重要方法. 在△DME和△DNF中 如图,若已知△ABC中,D,E,F分别为 [EMD-FND-90*, BC.AB,AC上一点,EDB-FDC,则可以 .DM-DN. 延长FD至点H,使DH=DE,可得△EDB MDE-NDF. △HDB. ..△DME△DNF(ASA) ..SpME-SDNF. ..Swcv-S选sDErF=SDEF+SCEF. B .S选DMCN二 例在△ABC中,AC=BC,C=90*, E.M,D分别为AC,AB,BC上一点,连接 45 难用册八年级数学 上册 2 ME,MD.AD.若 EMA= DMB。 AEM= ..△AFM△AEM 45*+DAM,求证:AD-EM+DM '. F=AEM.FAM-CAB 证明如图,延长DM至点F,使MF一ME. “.AC=BC,/C-90*. 连接AF. '. CAM-/B-45*. .'/FAM-45”. '. DAF=FAM+DAM=45$+ DAM. “.AEM-45*+DAM EF '. DAF- AEM-F .'AMF=DMB-EMA,AM-AM :.AD=DF=MF+DM=EM+DM 03-热点考向聚焦 考向1全等三角形的判定 当AF=DE时,无法证明/ABF DCE 例B(2023·凉山州中考)如图,点E, 故D符合题意 点F在BC上,BE=CF,B=C.添加一个 答案D ). 条件,不能证明△ABF△DCE的是( 考向2全等三角形的判定与性质的综 D 合应用 例14(2023·长沙中考)如图,AB-AC, BE FC CD AB,BE I AC,垂足分别为D,E A.A-D B. AFB- DEC (1)求证:△ABE△ACD D.AF-DE C.AB-DC (2)若AE-6,CD-8,求BD的长 分析根据BE-CF求出BF一CE,再根 据全等三角形的判定定理进行分析即可 解析.BE-CF, '.BE+EF-CF+EF 即BF-CE. 分析(1)利用AAS可证明△ABEACD. .当 A- D时,利用AAS可得△ABF △DCE,故A不符合题意; (2)先利用全等三角形的性质得到AD 当 AFB一 DEC时,利用ASA可得 AE一6,再利用勾股定理计算出AC的长,从而 △ABF △DCE,故B不符合题意; 得到AB的长,然后计算AB一AD即可 当AB-DC时,利用SAS可得ABF 解析(1):CD| AB,BE AC △DCE,故C不符合题意; ' AEB-ADC-90* 46 第十二章 全等三角形) 在△ABE和△ACD中 解析(1)如图1,延长AD到点E,使DE= AEB= ADC. AD,连接BE. BAE=CAD. .AD是BC边上的中线, AB-AC, ..BD=CD ..ABEACD(AAS). 在△BDE和△CDA中, (2).ABEACD ·BD=CD.BDE=/CDA,DE=AD *AD-AE-6. ..BDE/CDA(SAS) 在 RtACD中,AC=AD+CD=6+8 '.BE一AC一6,在△ABE中,由三角形的 -10. 三边关系得AB-BE<AE AB十BE ·.AB-AC-10 *10-6<AE<10+6,即4 AE16. *BD-AB-AD-10-6-4. ..2AD8. 考向3图形变换中全等三角形的探究 (2)如图2,延长FD至点M,使DM-DF. 例(经典·贵阳中考)(1)阅读理解: 连接BM,EM,同(1)中的方法得△BMD 如图1,在△ABC中,若AB-10,AC=6. △CFD(SAS),得出BM=CF,从而△EDF △EDM(SAS),得出EM-EF 求BC边上的中线AD的取值范围 在八BME中,由三角形的三边关系得出 解决此问题可以用如下方法:延长AD BE十BM一EM,即可得出结论 到点E,使DE一AD,再连接BE(或将△ACD (3)BE十DF-EF.证明如下: 绕着点D逆时针旋转180{*}得到△EBD),把 如图3,延长AB到点N,使BV-DF,连 AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三 接CN. 边的关系即可判断中线AD的取值范围是 .ABC+D=180$NBC+ABC 180{. (2)问题解决: .NBC-D. 如图2,在ABC中,D是BC边上的中 点,DEI DF于点D,DE交AB于点E,DF交 在NBC和/FDC中. “.BN=DF, NBC= D.BC=$DC$ AC于点F,连接EF,求证:BE+CF>EF .'.△NBC△FDC(SAS). (3)问题拓展: '.CN=CF,NCB-FCD 如图3,在四边形ABCD中,B十D · BCD=140{*.ECF-70*. 180{},CB-CD.BCD-140*,以点C为顶点 '. BCE+/FCD-70*. 作一个70{角,角的两边分别交AB,AD于E. .. ECN=70*- ECF F两点,连接EF,探索线段BE,DF.EF之间 在△NCE和△FCE中, 的数量关系,并加以证明. .CN=CF,ECN=/FCF,CE=CE FC FD ..△NCE△FCE(SAS) ..EN-EF. B~N . BE+BN=EN. .$BE+DF=EF # 图3 图1 答案(1)2<AD<8. 图2 0 (2)(3)见解析 47重雕手册人年级教学上册则 .由三角形内角和定理得∠ADB=∠A'DB=180°- 14.∠B=50,∠E=50°，AB=DE, 80°-35°=65° ,.点B对应点E,点A对应点D,即△ABC≌△DEF .∠A'DC=180°-∠ADB-∠A'DB=180°-130 又：∠A=180°-∠B-∠C=60, =50 ∴.∠D=∠A=60. 【学业质量测评】 12.2三角形全等的判定 1.B2.C3.A4.B5.102:13. [变式1]在△AOB与△COD中， 6.(1):△BAD≌△ACE,∴.BD=AE.AD=CE. [∠A=∠C, 又，AE=AD+DE=CE+DE,.BD=DE+CE. OA=C. (2)当△ABD满足∠ADB=90时，BD∥CE理由如下： ∠AOB=∠COD, :△BAD≌△ACE,∴∠ADB=∠CED. ∴.△AOB≌△COD(ASA). :∠ADB=90°，∠CED=90, ∴.OB=OD 又，∠ADB+∠BDE=180°，∴.∠BDE=90°. 在△FOB与△FOD中. ∠BDE=∠CED..BD∥CE. OB-OD. 7.C提示：·∠ABE=∠DBE,∠CBF=∠DBF,∠ABC OF=OF. BF=DF. =90,∴∠EBF=2×90=45 ∴.△BOF≌△DOF(SSS). 8.D提示：显然依全等三角形的性质知①②正确，又由 ∴.∠OFB=∠OFD ②知③正确. 又：∠BFD=180°， 9.D提示：∠A=30°，∠ABC=50°，∠BCA=100°，故 ∴.∠OFB=∠OFD=90 ∠BCD=8O°.依△EDC2△ABC知∠DCE=∠BCA OF⊥BD. =100°，所以∠BCE=∠DCE-∠BCD=100°-80°= [变式2]在△MDC和△MEB中， 20°.故∠BCE:∠BCD=20:80=1:4. '∠4=∠3，MC=MB, 10.100.提示：由折叠知识知△4BC2△ABE2△ADC, ∠DMC=∠2+∠5=∠1+∠5=∠EMB, ∴.∠EBA=∠2.∠DCA=∠3. ∴.△MCD≌△MBE(ASA).∴.MD=ME. ∠1∠2∠3=133：2，∠1+∠2+∠3=180°， MD=ME. .∠2=30°，∠3=20°. 在△BMD和△CME中，{∠1=∠2， .∠E0C=2∠2+2∠3=100°. MB=MC, 11.(1)△AB≌△DEF,∴∠A=∠D ,.△BMD≌△CME(SAS. .AB∥DE (2),△ABC≌△DEF,.AC=DF [变式3]：AD⊥BC. ∴.∠BDA=∠ADC=90°.∠1+∠2=90 ..AC-CF=DF-CF...AF=DC. BF=AC, (3x-2=5,「3x-2=7, 在Rt△BDF和R△ADC中， 12.两个三角形全等， 或 FD-CD {2y-1=72y-1=5, ∴.R△BDF≌Rt△ADC(HL).∴.∠2=∠C 7 解得 r+y=号或6 :∠1+∠2=90°，∴∠1+∠C=909 y=4 y=3, ∴∠BEC-90,.BE⊥AC 13.B提示：由折叠的保形性知∠AED十∠A'DE= [变式4]如图，延长CE到点F,使 ∠AED+∠ADE=∠B+∠C=180°-∠A.在四边形 EF=CE,则CF=2CE,连接FB. BCDE中，∠1+∠2=360°-（∠B+∠C)-(∠A'ED :CE是△ABC的中线， 十∠A'DE)=360°-2(180°-∠A)=2∠A ∴AE=BE 6 参考答案与提示么超 在△BEF和△AEC中， (2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立. BE=AE. (3)结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE-FD. ∠BEF=∠AEC. 证明如下： EF=EC. 如图2，在BE上截取BG,使BG=FD,连接AG. ∴.△BEF2△AEC(SAS). ∠B+∠ADC=180,∠ADF+∠ADC=180°， .∠EBF=∠A,BF=AC ∴∠B=∠ADF 又'∠ABC=∠ACB, AB=AD,∴.△ABG≌△ADF(SAS). ∴.∠CBD=∠A十∠ACB=∠EBF+∠ABC=∠CBF. ∴.∠BAG=∠DAF,AG=AF ,CB是△ADC的中线，∴.AB=BD ∴.∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF 又，AB=AC,AC=BF,∴.BF=BD CB=CB, ∠BAD∴∠GAE=∠EAE 在△CBF和△CBD中，∠CBF=∠CBD, ,AE=AE,,.△AEG≌△AEF(SAS) BF=BD. ..EG=EF. .△CBF≌△CBD(SAS). .EG=BE-BG..EF=BE-FD. ∴.CF=CD.∴.CD=2CE. 【学业质量测评】 [变式5]如图. 1.B提示：“两边夹角”与“两角一边” 方法一（裁长法） 2.B提示：全等三角形的判定条件要注意“对应”关系. 在CD上截取CF=BD, 3A提示：，AB∥ED,∠B=∠E 连接AF,证△ACF≌△ABD, AC∥FD,∴∠ACB=∠DFE. .AF=AD.∴.DE=EF 具备了两角对应相等，可利用“ASA”或“AAS”判定两 ..DC-DB=2DE. 三角形全等。 方法二（补短法）延长BD至点G,使BG=CD,证 选项A中，由∠A=∠D知，三角形满足三角对应相 △DAC2△GAB. 方法三（移多补少法）过点A作AH⊥BD于点H, 等，不能判定全等。 证△ACE≌△ABH. 选项B中，由AC=DF知， [变式6](1)如图1，延长EB到点G,使BG=FD,连 '∠B=∠E, 接AG. 在△ABC与△DEF中， ∠ACB=∠DFE. '∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD, AC=DF. .△ABG≌△ADF(SAS). ..△ABC≌△DEF(AAS) ∴.AG=AF,∠1=∠2. 选项C中，由AB=ED知， ∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF-∠BAD I∠ACB=∠DFE, 在△ABC与△DEF中，{∠B=∠E, ∴∠GAE=∠EAF AB=ED. 又：AE=AE,∴.△AEG≌△AEF(SAS). ∴·△ABC≌△DEF(AAS). ∴.EG=EF 选项D中，由BF=EC可得BF+FC=EC+FC .EG=BE+BG...EF=BE+FD. 即BC=EF. I∠B=∠E, 在△ABC与△DEF中，BC=EF, ∠ACB=∠DFE, ∴.△ABC≌△DEF(ASA). 图2 4.8. 7 重雅线手册八年级教学上册则 5.:∠BAF=∠CAE, .∠EAD+∠AED=90°. .∠BAF-∠CAF=∠CAE-∠CAF,即∠BAC :∠ACB=90°， ∠DAE .∠CAF+∠CFA=90°.∴.∠CFE=∠AED ∠B=∠D, 又，∠AED=∠CEF,∴∠CFE=∠CEF. 在△ABC和△ADE中，AB=AD, .CE=CF. ∠BAC=∠DAE, (2)BE=CF.证明如下： ∴.△ABC≌△ADE(ASA.∴.BC=DE 如图，过点F作FH⊥AB于 6.DF=BE还成立.理由如下： 点H,则∠FHB=90°. 如图，：正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度a, ,△ADE沿AB向右平移到△A'DE的位置， .∠FAD=∠EAB. .EE∥AB. 在△ADF与△ABE中， ∴.∠CEE=∠CDB,∠CEE=∠B. (AF-AE. CD⊥AB,∴.∠CDB=90 ∠FAD=∠EAB, ∴.∠CEE=90 AD=AB, ,AF平分∠CAB,.∠CAF=∠HAF ∴.△ADF≌△ABE(SAS). ∠CAF=∠HAF: ∴.DF=BE. 在△ACF和△AHF中，{∠ACF=∠AHF, 7.D AF=AF. 8.C提示：以AB为公共边的三角形有3个，以BC为公 ∴.△ACF≌△AHF(AAS). 共边的三角形有1个，以AC为公共边的三角形有 .CF-FH CF=CE,∴CE=FH. 3个，共3+3+1=7个 I∠CEE=∠B, 9.B提示：如图，过点A作AE LAC,交CB的延长线于 在△CEE和△FHB中，{∠CEE=∠FHB, 点E. CE=FH. :∠DAB=∠DCB=90°， .△CEE≌△FHB(AAS). .∠D+∠ABC=180°=D ∴.CE=FB.∴.BE=CF ∠ABE+∠ABC 12.(1)AC=BC,∠ACB=90 ∴∠D=∠ABE ∴.△ABC为等腰直角三角形， 又'∠DAB=∠CAE=90, .CD=AD=BD,CD平分∠ACB,CD⊥AB. ∴∠CAD=∠EAB. BF⊥CE,.∠CFG=90 又：AD=AB, :∠CGF=∠BGD,∴.∠FCG=∠DBG. .△ACD≌△AEB(ASA). I∠ECD=∠GBD, ∴AC=AE,即△ACE是等腰直角三角形， 在△CED和△BGD中，〈CD=BD, 且四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等. ∠CDE=∠BDG, ∴.△CED≌△BGD(ASA).∴.ED=DG. :Sx= 号×5×5=12.5 .AE=CG. .四边形ABCD的面积为12.5. (2)CM=BE.理由如下： 10.(1)90°.(2)120°.(3)先证明△OAC2△OBD. ,CD⊥AB,CH⊥AM,∴.∠CDE=∠CHM=90°. 在AM,BO基本图形中可证∠AMB=∠AOB=a, ,∠CED=∠AEH,∴.∠DCE=∠DAM. ∴.∠AMD=180°-a. |∠DCE=∠DAM, 1L.(1)AF平分∠CAB,.∠CAF=∠FAB. 在△CDE和△ADM中，CD=AD, CDLAB,.∠ADE=90, ∠CDE=∠ADM, 8 参考答案与提示么姐 ,.△CDE2△ADM(ASA)..ED=DM AC=DF, 在R△ACG和R△DFH中， 又CD=BD,,.CM=BE. CG=FH. 13.(1)不全等. .Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)..∠A=∠D. (2)△ABD和△ACE全等.理由 ∠A=∠D, 如下： D 在△ABC和△DEF中， ∠ABC=∠DEF. AD=AE, 图1 AC=DF. .△ADE是等腰三角形. ,∴.△ABC≌△DEF(AAS) .∠ADE=∠AED.∠ADB=∠AEC CF) ∴.△ABD≌△ACE(AAS)(如图1). (3)证明：如图2，在AB上取一点E,使得AE=AD. :CA平分∠BAD, D ∴∠DAC=∠EAC, 图1 图2 又AC=AC,AE=AD. (3)如图2，以点C为圆心，以AC的长为半径画弧，与 ∴.△ADC≌△AEC(SAS. AB交于点D,点E与点B重合，点F与点C重合，得 ∴.CD=CE,∠ADC=∠AEC 图2 到△DEF和△ABC不全等. 又∠ABC+∠ADC=180°，∠CEB+∠AEC=180°， (4)∠B≥∠A.提示：根据三种情况的结论，∠B不 ∠AIDC=∠AEC, 小于∠A即可.即若∠B>∠A,则△ABC≌△DEF ∴∠ABC=∠CEB.∴.CE=CB.∴.CD=CB. 16.(I),∠BGE=∠ADE,∠BGE=∠CGF, 14.如图，延长CE至点F,使EF=DE,连接BF ·∠ADE=∠(CGF. :∠DEB=∠CEA=∠BEF,BE=BE. AC⊥BD,BF⊥CD ,△DEB≌△FEB ·∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF. ∴∠F=∠EDB,BF=BD,∠EBF=∠CBA. ∴∠DAE=∠GCF AC=BC,∠ACB=90°， ∴.AD=CD ∴∠CAB=∠CBA=45. (2)设DE=a, ∠EBF=45. 则AE-2DE=2a,EG=DE=a, ∴∠CBF=∠EBF+∠CBA =90=∠ACB ∴Save=AE,DE=2a·a= :D为BC的中点， ,BH是△ABE的中线， ..CD=DB=BF. ..AH=HE=a. ,CB=CA,∴.△CBF≌△ACD. .AD=CD,ACLBD,..CE=AE=2a. ∴.∠ADC=∠E.∴.∠ADC=∠EDB. Sm=7AC…DE=7·(2a+2a)·a=2a= 1 15.(1)直角三角形全等的判定方法“HL” (2)如图1，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点 2S△ME· ∠AED=∠BEG, G,过点F作FH⊥DE交DE的延长线于点H, 在△ADE和△BGE中，DE=GE :∠ABC=∠DEF,且∠ABC,∠DEF都是纯角， ∠ADE=∠BGE, ∴.180°-∠ABC-180°-∠DEF,即∠CBG=∠FEH. ,.△ADE≌△BGE(ASA) ∠CB=∠FEH, ∴.BE=AE-2a 在△CBG和△FEH中， ∠G=∠H=90°， BC=EF. ∴S=AEBE= ·2a·2a=2a2, ,.△CBG≌△FEH(AAS)..CG=FH Sm=CE,BE= ·2a·2a=2a2, 9 重雅点手册人年级数学上册则 Sas=号HG,BE-}·a+a)…2a=2a ED-FD. 在△EDP和△FDP中，∠EDP=∠FDP, 综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有 DP=DP, △ACD,△ABE,△BCE,△BHG. ∴△EDP≌△FDP(SAS).∴.PE=PF. 12.3角的平分线的性质 6.:AD为△ABC的BC边上的中线，∴.BD=CD [变式1]：AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于 :BE⊥AD,交AD的延长线于点E,CF⊥AD, 点E,∠C=90°，.DC=DE ∴.∠E=∠CFD=90° (AD=AD. 在Rt△ACD和Rt△AED中， ∠E=∠CFD. DC-=DE. 在△BED和△CFD中， ∠BDE=∠CDF, .Rt△ACD≌Rt△AED(HL). BD-CD. 同理可得Rt△FCD≌Rt△BED. :.△BED≌△CFD(AAS.∴.BE=CF ..AC=AE,CF=BE..AE-BE=AF. 7.C提示：依角平分线的判定定理知AP平分∠BAC, [变式2]如图，分别作∠ABC,∠CAB的角平分线，设 进而可证△ASP≌△ARP,①正确：由AQ=PQ知 两线交于点P,则点P即为所求 ∠PAQ=∠APQ,故∠APQ=∠BAP,②正确. 作PD⊥AB.PE⊥AC,PF⊥B 8.B提示：可证EA是∠CAB的外角平分线.过点E作 BC,垂足分别为点D,E,F EF,EM,EN分别垂直于CB,AB,CA,垂足分别为点 则PD=PE=PF(角平分线上 F,M,N.因为BE,CE分别为∠ABC的外角平分线和 的点到角两边的距离相等)， ∠ACB的平分线，所以EF=EM=EN 设PD=PE=PF=,连接PC 9.10.提示：如图，过点P分别作 SPr十S△Px+S么Pm=S2· PE⊥OB于点E,PF⊥MN于点F, 即号r+号AC十gAB-号C,CM. PG⊥OA于点G,连接OP. 4 .3r+4r+5r=3×4..r=1. :点P是△MON外角平分线的交点， 【学业质量测评】 ∴.PF=PG=PE 1.D提示：△MTQ≌△MPQ(SAS) ,MN=2,△PMN的面积为2， 2.B ÷号MN,PF=2PF=2.PG=PE=2 3.QM=QN=QK.提示：依角平分线的性质可得. 4.4.提示：根据垂线段最短可知，当DP⊥BC时，DP的 △OMN的面积为8. 长度最小 ,∴.△OMP的面积+△ONP的面积-△PMN的面积 ,BD⊥CD,即∠BDC=90°， =8. 又∠A=90°，∴∠A=∠BDC ÷20MPG+20N·PE-2=8 :∠ADB=∠C,.∠ABD=∠CBD, ∴.OM+ON=10. ∴BD为∠ABC的平分线. I0.如图，过点E作EF⊥CB于点F,EG⊥BD于点G, 又DA⊥BA,DP⊥BC,.DP=AD=4. EH⊥AC于点H 5.(1),DE⊥AB,DF⊥BC,∴.∠DEB=∠DFB=90. ,∠EDF=124, ∴.∠ABC=360°-90°-90°-124°=56 (2):BM平分∠ABC,DE⊥AB.DF⊥BC, .ED=FD,∠ABD=∠CBD.∴.∠EDB=∠FDB :∠ABC=100°，∴∠FBE=80°. ∴∠EDP=∠FDP(等角的补角相等). 又∠DBC=20°，，∴.∠EBG=80°. 10