12.2 全等三角形的判定课件2024-2025学年人教版数学八年级上册

12.2.1 三角形全等的判定 (SSS) 第十二章 全等三角形 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text 人教版 数学(初中) (八年级 上) 1 1 前 言 学习目标 1.掌握“边边边”条件的内容,并能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等 。。 2.使学生经历探索三角形全等条件的过程,体会如何探索研究问题,并初步体会分类思想,提高学生分析问题和解决问题的能力。。 3.通过画图、比较、验证,培养学生注重观察、善于思考、不断总结的良好思维习惯。 重点难点 重点:掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法。 难点:掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法。 1 2 1.什么叫全等三角形? 能够完全重合的两个三角形 2.全等三角形有什么性质? 全等三角形的对应边相等,对应角相等 3.已知 ,试找出其中相等的边与角 ≌ A B C ≌ 回顾 1 3 A B C 六个条件,可得到什么结论? ≌ 思考 1 4 三条边对应相等 三个角对应相等 两个三角形全等 与 满足上述六个条件中的一部分是否能保证 与 全等呢? A B C 本节我们就来讨论这个问题? 问题 1 5 先任意画一个 ABC,再画一个 A B C,使 ABC 和 A B C满足上述六个条件中的一个或两个。画出的这两个三角形一定全等吗? 满足一个条件: 一边相等 一角相等 不一定全等 探究1 1 6 先任意画一个 ABC,再画一个 A B C,使 ABC和 A B C满足上述六个条件中的一个或两个。画出的这两个三角形一定全等吗? 满足两个条件: 两边相等 两角相等 一边一角相等 不一定全等 探究1 1 7 先任意画一个 ABC,再画一个 A B C ,使 ABC和 A B C 满足六个条件中的三个。画出的这两个三角形一定全等吗? A B C 满足六个条件中的三个的情况分为 三个角相等 三条边相等 两边一角相等 两角一边相等 探究2 1 8 情况一:三个角相等,两三角形全等吗? 两底边平行 不一定 结论: 三个内角对应相等的三角形不一定全等。 思考 1 9 情况二:三个边相等,两三角形全等吗? 画一个 A B C,使对应的三边相等? A B C 画法: 思考 1 10 由以上尺规作图的方法可以得到以下基本事实: 三边分别相等的两个三角形全等。 (即 “边边边”或“SSS”) 小结 1 11 我们利用前面的结论,还可以得到作一个角等于已知角的方法。 例:已知∠AOB求作:∠A′O′B′=∠AOB O A B D O′ A′ B′ C′ D′ 作法: 1、以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C、D; 2、画一条射线O′A′,以点O′为圆心,OC长为半径画弧,交O′A′于点C′; 3、以点C′为圆心,CD长为半径画弧,与第2步中所画的弧交于点D′; 4、过点D′画射线O′B′,则∠A′O′B′=∠AOB C 思考 1 12 (SSS) A B C D 1.如图,在四边形ABCD中AB=CD,AD=BC,则∠A=∠C.请说明理由。 解:在 ABD和 CDB中 AB=CD (已知) AD=CB (已知) (公共边) ∴ ABD ≌ CBD ∴ ∠A= ∠C ( ) BD=DB 全等三角形的对应角相等 课堂测试 1 13 2.如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证∠A=∠D. 课堂测试 1 14 感谢各位的仔细聆听 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text 人教版 数学(初中) (八年级 上) 1 15 12.2.2 三角形全等的判定 (SAS) 第十二章 全等三角形 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text 人教版 数学(初中) (八年级 上) 1 16 前 言 学习目标 1.掌握“ 边角边”条件的内容,并能初步应用“ 边角边”条件判定两个三角形全等。 2.使学生经历探索三角形全等条件的过程,体会如何探索研究问题,并初步体会分类思想,提高学生分析问题和解决问题的能力。 3.通过画图、比较、验证,培养学生注重观察、善于思考、不断总结的良好思维习惯。 重点难点 重点:掌握“边角边”判定两个三角形全等的方法。 难点:掌握“边角边”判定两个三角形全等的方法。 1 17 情况1:两边和它们的夹角相等,两三角形全等吗? 画一个 A B C ,使两边和夹角相等? A B C 画法: A B C D E 1.画∠DA E=∠A; 2.在射线A E上截取A C =AC,在射线A D上截取A B =AB; 3.连接B C 。 (三角形三边相等两三角形全等) 全等 思考 1 18 由以上尺规作图的方法可以得到以下基本事实: 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 (即 “ 边角边”或“ SAS”) 小结 1 19 在 ABC与 DEF中 AB=DE ∠B=∠E BC=EF ∴ ABC≌ DEF(SAS) A B C D E F 用语言表达如下: 小结 1 20 情况2:两边和其中一边的对角相等,两三角形全等吗? 如图, ABC与 ABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,他们全等吗? B A C D B A D B A C 不全等 思考 1 21 因铺设电线的需要,要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆(如图),因无法直接量出A、B两点的距离,现有一足够的米尺.请你设计一种方案,粗略测出A、B两杆之间的距离.. 分析:先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C,连结AC并延长至D点,使DC=AC,连结BC并延长至E点,使EC=BC,连结DE,用米尺测出DE的长,这个长度就等于A,B两点的距离.请你说明理由. AC=DC ∠ACB=∠DCE BC=EC ACB≌ DCE AB=DE 对顶角相等 思考 1 22 A B D O 1.在下列推理中填写需要补充的条件,使结论成立: (1)如图,在 AOB和 DOC中 AO=DO(已知) _=_( ) BO=CO(已知) ∴ AOB≌ DOC( ) ∠ AOB ∠ DOC 对顶角相等 C SAS 课堂测试 1 23 (2)如图,在 AEC和 ADB中,已知AE=AD,AC=AB,请说明 AEC ≌ ADB的理由。 A E B D C _=_(已知) ∠A= ∠A( 公共角) _=_(已知) ∴ AEC≌ ADB( ) AE AD AC AB 解:在 AEC和 ADB中 SAS 课堂测试 1 24 (SAS) A B C D 2.如图,在四边形ABCD中AB=CD,∠ABD= ∠BDC,则AD=BC.请说明理由。 解:在 ABD和 CDB中 AB=CD (已知) ∠ABD= ∠BDC (已知) (公共边) ∴ ABD ≌ CDB ∴ AD= BC( ) BD=DB 全等三角形的对应边相等 课堂测试 1 25 A B C D 3.已知:如图AB=CB ,∠ABD=∠CBD , ABD和 CBD全等吗? 解:在 ABD和 CBD中 AB=CB (已知) ∠ABD= ∠CBD (已知) (公共边) ∴ ABD ≌ CBD BD=BD (SAS) 课堂测试 1 26 4.如图,AC=BD,∠CAB=∠DBA,你能判断BC=AD吗?说明理由. A B C D 解:在 ACB和 BDA中 AC=BD (已知) ∠CAB= ∠DBA (已知) (公共边) ∴ ACB≌ BDA AB=BA ∴ BC=AD (SAS) 课堂测试 1 27 A B C D F E 1.如图,已知AB=DE,AC=DF,要说明 ABC≌ DEF,还需增加一个什么条件? 1.BE = CF (SSS) 2.∠A = ∠D (SAS) …(答案不唯一) 探索提高 1 28 F C B E D A 2.如图:己知AD∥BC,AE=CF,AD=BC,E、F都在直线AC上,试说明DE∥BF。 解:在 AED和 CFB中 AE=CF (已知) ∠A=∠C (两直线平行内错角相等) (已知) ∴ AED ≌ CFB AD=BC ∴ ∠D=∠B ∴ ∠D+ ∠A = ∠B+ ∠C 即∠DEF=∠EFB ∴DE∥BF(内错角相等两直线平行) 探索提高 1 29 2.如图,AC=BD,∠1= ∠2 求证:BC=AD 变式1: 如图,AC=BD,BC=AD 求证:∠1= ∠2 A B C D 1 2 A B C D 1 2 变式2: 如图,AC=BD,BC=AD 求证:∠C=∠D A B C D 探索提高 1 30 A B C D 变式3: 如图,AC=BD,BC=AD 求证:∠A=∠B 探索提高 1 31 感谢各位的仔细聆听 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text 人教版 数学(初中) (八年级 上) 1 32 12.2.3 三角形全等的判定 (AAS ASA) 第十二章 全等三角形 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text 人教版 数学(初中) (八年级 上) 1 33 前 言 学习目标 1.探索并正确理解“ASA”和“AAS”判定方法。 2.会用“ASA”和“AAS”判定方法证明两个三角形全等。 3.通过画图、比较、验证,培养学生注重观察、善于思考、不断总结的良好思维习惯。 重点难点 理解两种判定方法,并掌握用这两种方法证明两个三角形全等。 1 34 先任意画一个 ABC,再画一个 A B C ,使 ABC和 A B C 满足六个条件中的三个。画出的这两个三角形一定全等吗? A B C 满足六个条件中的三个的情况分为 三个角相等 三条边相等 两边一角相等 两角一边相等 不一定 全等 本节讨论 { 两边和它们的夹角相等 两边和其中一边对角相等 全等 不全等 回顾 1 35 两个三角形中两角一边相等的情况分为: 1、两角和他们的夹边分别相等。 2、有两个角和其中一个角的对边相等。 思考 1 36 情况1:两角和他们对应的夹边相等,两三角形全等吗? 画一个 A B C ,使两角和夹边相等? 全等 画法:1、画A B =AB。 2、在 A B 的同旁画∠DA B =∠A , ∠E B A =∠B, A D, B E交于点C 。 A B E D A C B C 思考 1 37 在 ABC与 DEF中 ∠B=∠E BC=EF ∠C=∠F ∴ ABC≌ DEF(ASA) A B C D E F 用语言表达如下: 小结 1 38 情况2:有两个角和其中一个角的对边相等,两三角形全等吗? 如图: 在 ABC和 DEF中,∠A=∠D, ∠B=∠E ,BC=EF, ABC与 DEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗? A B C D E F 提示:三角形内角和是180 思考 1 39 证明: ∵ ∠A+∠B+∠C=180o ∠D+∠E+∠F=180o ∴ ∠C=∠F 又∵ ∠A=∠D, ∠B=∠E 在 ABC和 DEF中 ∠B=∠E ∠C=∠F BC=EF ∴ ABC≌ DEF (ASA) 情况2:有两个角和其中一个角的对边相等,两三角形全等吗? 全等 证明 1 40 由以上证明可以得到下面结论: 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。(即 “ 角角边”或“ AAS”) 小结 1 41 在 ABC与 DEF中 ∠B=∠E ∠A=∠D BC=EF ∴ ABC≌ DEF(AAS) A B C D E F 用语言表达如下: 小结 1 42 1.如图,O是AB的中点,∠C= ∠D, AOC与 BOD全等吗?为什么? O A B C D 证明:在 AOC和 BOD中, _ ( ) _ ( ) _ ( ) ∴ AOC≌ BOD(AAS) ∠C=∠D 已知条件 ∠AOC=∠BOD 对顶角相等 AO=BO 中点定义 课堂测试 1 43 2.已知∠1=∠2,∠C=∠D,求证:AD=AC. 证明:在 ABD和 ABC中 ∠1=∠2 ∠D=∠C AB=AB ∴ ABD≌ ABC(AAS) ∴AD=AC 1 A B C D 2 课堂测试 1 44 ∠1=∠2 AB=AB ∠ABD=∠ABC ∴ ABD≌ ABC(ASA) ∴ AD=AC 3.已知∠1=∠2,∠ABD=∠ABC,求证:AD=AC. 证明:在 ABD和 ABC中 1 A B C D 2 课堂测试 1 45 4.如图,E,F 在线段AC上,AD∥CB,AE=CF.若∠B =∠D, 求证:DF=BE. A B C D E F ∠A =∠C(两直线平行内错角相等) ∠D =∠B AF =CE ∴ ADF ≌ CBE (AAS) ∴ DF =BE 证明:在 ADF 和 CBE中, 课堂测试 1 46 6.若将条件 “∠B =∠D”变为“DF∥BE”,那么原结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. A B C D E F 课堂测试 1 47 1.如图,AC、BD交于点O,AC=BD,AB=CD. 求证:1)∠C= ∠B, 2)OA=OD A B C D O 1 2 证明: (1)连接AD, 在 ADC和 DAB中 AD=DA(公共边) AC=DB(已知) DC=AB(已知) ∴ ADC≌ DAB (SSS) ∴∠C=∠B(全等三角形的对应角相等) 探索提高 1 48 1.如图,AC、BD交于点O,AC=BD,AB=CD. 求证:1)∠C= ∠B, 2)OA=OD A B C D O 1 2 (2) 在 AOB 和 DOC中 ∠ B =∠ C (已证) ∠1=∠2 (对顶角相等) DC=AB(已知) ∴ DOC≌ AOB (AAS) ∴OA=OD (全等三角形的对应边相等) 探索提高 1 49 = = A B E C F D 2.如图∠B=∠DEF, BC=EF, 求证: ABC≌ DEF (1)若要以“ SAS”为依据,还缺条件 _; (2)若要以“ ASA”为依据,还缺条件_; (3)若要以“ SSS” 为依据,还缺条件_; (4)若要以“ AAS” 为依据,还缺条件_; ∠ACB= ∠DEF AB=DE AB=DE、AC=DF ∠A=∠D 探索提高 1 50 感谢各位的仔细聆听 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text 人教版 数学(初中) (八年级 上) 1 51 12.2.4 三角形全等的判定 (HL) 第十二章 全等三角形 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text 人教版 数学(初中) (八年级 上) 1 52 前 言 学习目标 1.能说出“ 斜边、直角边”证三角形全等的步骤。 2.会应用“ 斜边、直角边”证明两个直角三角形全等,并能解决实例中与全等三角形有关的问题。 3.通过画图、比较、验证,培养学生注重观察、善于思考、不断总结的良好思维习惯。 重点难点 重点:直角三角形全等判定方法。(HL) 难点:直角三角形全等的推理过程。 1 53 对于两个直角三角形,除了直角相等的条件,还要满足几个条件?这两个三角形就全等了? A B C A’ B’ C’ 1.若已知AB=A ’ B ’,BC=B’ C ’ ,则两个三角形全等( ) 3. 若已知∠A=∠A ’ ,BC=B’ C ’,则两个三角形全等( ) 2.若已知∠A=∠A ’ ,AB=A ’ B ’ ,则两个三角形全等( ) SAS AAS ASA 思考 1 54 对于两个直角三角形,除了直角相等的条件,还要满足以下条件? 1)满足两直角边分别相等(SAS) 2)满足一直角边及其相对(或相邻)的锐角分别相等(AAS/ASA) 3)斜边和一锐角分别相等(AAS) 这是我们前两课时学到的知识, 现在我们引入本节学习内容 小结 1 55 任意画一个Rt ABC,使∠C =90 ,再画一个Rt A'B'C',使∠C'=90 ,B'C'=BC,A'B'=AB,然后把画好的Rt A'B'C'剪下来放到Rt ABC上,你发现了什么? (1)画∠MC'N =90 ; (2)在射线C'M上取B'C'=BC; (3)以B'为圆心,AB为半径画弧, 交射线C' N于点A'; (4)连接A'B'. 现象:两个直角三角形能重合. 说明:这两个直角三角形全等. 画法: A B C A' N M C' B' 思考 1 56 由以上证明可以得到下面结论: 斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等。(即 “ 斜边-直角边”或“ HL”) 小结 1 57 小结 在Rt ABC与Rt DEF中 AB=DE BC=EF ∴Rt ABC≌ Rt DEF(HL) A B C D E F 用语言表达如下: 1 58 判断两个直角三角形全等的方法有: (1): ; (2): ; (3): ; (4): ; SSS SAS ASA AAS 小结 1 59 判断两个直角三角形全等的方法有: (5): ; HL 小结 1 60 (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) A B D C 1.已知∠ACB =∠ADB=90,要证明 ABC≌ BAD,还需一个什么条件? 判定全等的理由是什么? AD=BC HL ∠CAB=∠DBA AAS AC=BD HL ∠DAB=∠CBA AAS 课堂测试 1 61 2.如图:AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD.求证:BC=AD. A B C D 证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD, ∴∠C和∠D都是直角。 在Rt ABC和Rt BAD中, ∴Rt ABC≌ Rt BAD (HL) ∴BC=AD (全等三角形对应边相等) AB=BA AC=BD 课堂测试 1 62 3.如图,AC=AD,∠C,∠D是直角,将上述条件标注在图中,你能说明BC与BD相等吗? C D A B 解:在Rt ACB和Rt ADB中, ∴ Rt ACB≌Rt ADB (HL). ∴BC=BD(全等三角形对应边相等). AB=AB, AC=AD. 课堂测试 1 63 4.如图,AB =CD,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E ,F,CE=BF.求证:AE =DF. A B C D E F 证明:∵CE=BF, ∴CE-FE=BF-EF ∴CF=BE ∵ AE⊥BC,DF⊥BC ∴ AEB和 DFC为直角三角形 在Rt AEB和Rt DFC中 CF=BE AB=DC ∴ Rt AEB ≌ Rt DFC (HL) 即证AE=DF 课堂测试 1 64 感谢各位的仔细聆听 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text 人教版 数学(初中) (八年级 上) 1 65 $$