12.1 全等三角形-【重难点手册】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

第十二章全等三角形 12.1全等三角形 重点和难点 课标要求 重点：全等形及全等三角形的概念，对应边、对应角的识别 1.用平移、旋转、翻折的观点找对应边和 难点：全等三角形的表示方法和全等三角形的性质，用平 对应角 移，翻折和旋转的观，点看全等三角形 2.熟练掌提几种基本图形的位置关系。 01必备知识梳理。 知识点1全等形的概念及性质 错因此题中边的长短不是十分清晰， 1.全等形的概念：能够完全重合的两个图 即在△ABC和△CDA中，AB与BC的长、 形叫作全等形 AD与DC的长不确定，因此不能利用大小 2.全等形的性质：全等图形的形状和大小 关系确定对应边与对应角，而两个三角形有 都相同. 公共边AC,两个全等图形中的公共边一定 例①下列说法不正确的是( 是对应边， A.如果两个图形全等，那么它们的形状和 知识点2全等三角形的定义和表示 大小一定相同 方法 B.面积相等的两个图形是全等图形 1.全等三角形 C.图形全等，只与形状、大小有关，而与它 能够完全重合的两个三角形叫作全等三 们的位置无关 角形 D.全等三角形的对应边相等，对应角相等 2.全等三角形的对应元素 分析全等形必须形状与大小完全一样， 两个三角形全等，互相重合的顶点叫作对 与位置无关 应顶点，互相重合的边叫作对应边，互相重合 答案B 的角叫作对应角。 易错点忽略多种对应的可能性 3.全等三角形的表示方法 例已知在四边形ABCD中，△ABC与 “全等”用符号“2”表示 △CDA是全等三角形，则一定是一组对应边 符号“≌”读作“全等于”，如△ABC和 的是( △DEF全等，记作△ABC≌△DEF,其中点A A.AB和DC 和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点： B.AC和CA AB和DE,BC和EF,AC和DF是对应边： C.AD和CB ∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是对应角. D.AD和DC 注意记两个三角形全等时，一定要把表 正解B 示对应顶点的字母写在对应的位置上.例如， 31 国雕点手册人年级教学上册圆 △ABC≌△DEF与△ABC≌△EFD是两种 边，最短边对最短边，最大角对最大角，最小角 不同的对应关系。 对最小角 例2如图，已知△ABC≌△EDC,指出其 (2)公共角、对顶角必为对应角，公共边必 对应边和对应角， 为对应边 (3)全等三角形对应角所对的边是对应 边，两个对应角所夹的边是对应边。 (4)全等三角形对应边所对的角是对应 解析对应边为AB与ED,AC与EC,BC 角，两条对应边所夹的角是对应角。 与DC:对应角为∠A与∠E,∠B与∠D, (5)根据书写规范，按照对应顶点找对应 ∠ACB与∠ECD. 边或对应角，如△ABE≌△ACD,则对应边是 总结用“≌”记两个三角形全等时，对应 AB与AC,BE与CD,AE与AD:对应角是 顶点的字母写在对应位置上，所以可以根据其 ∠ABE与∠ACD,∠AEB与∠ADC,∠BAE 表达式找对应边、对应角.还可以根据图形的 与∠CAD. 特征直观地找出对应边和对应角 3.全等三角形性质的拓展 易错点忽略全等记法中的对应关系 全等三角形的周长相等，面积相等，对应 例如图，△PAD≌△PBC,∠PCD 边上的中线的长相等，对应角的平分线的长相 ∠PDC,∠A=∠B,指出其他的对应边和对 等，对应边上的高相等。 应角 例B如图，△EFG≌△NMH,在△EFG 中，FG是最长的边，在△NMH中，MH是最 长的边，∠F和∠M是对应角，EF=2.1cm, A D EH=1.9 cm,HN=3.3 cm. 正解对应边为PA与PB,PD与PC, AD与BC:对应角还有∠APD与∠BPC 错解除正解外，对应角还误添了∠AP℃ 与∠BPD,对应边误添了AC与BD. 错因没有将△PAD与△PBC从整个 (1)写出对应边及对应角， 图形中分离出来，导致找对应关系出错.AC (2)求线段NM及线段HG的长度， 与BD,∠APC与∠BPD根本不是△PAD 解析(1)对应边有FG与MH,EF与 与△PBC的边和角. NM,EG与NH:对应角有∠F与∠M,∠E与 知识点3全等三角形的性质及拓展 ∠N,∠EGF与∠NHM. 1.全等三角形的性质 (2)根据全等三角形的性质可得NM 全等三角形的对应边相等，对应角也相等。 EF=2.1 cm,HG=EG-EH=HN-EH= 2.确定全等三角形中对应边、对应角的一 3.3-1.9=1.4cm. 般方法 总结在全等三角形中，长边对长边，中边 (I)在两个全等三角形中，最长边对最长对中边，短边对短边. 32 第十二章 全等三角形么组 知识点4全等变换的保形性 易错点找错对应关系 只改变图形的位置而不改变其形状、大小 例如图，△ABC≌△EDA,∠BAC与 的图形变换叫作全等变换。 ∠DEA是对应角，AB与ED是对应边，写 一个图形经过（沿某直线）平移、（沿某直 出其他对应边及对应角， 线)翻折、（绕某点）旋转后，图形的位置发生了 变化，但形状、大小都保持不变（我们称其为保 形性)，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 例④如图，△ACF与△DBE全等，∠E ∠F,若AD=11,BC=7,求线段AB的长 正解AC与EA,BC与DA是对应边； ∠ABC与∠EDA,∠ACB与∠EAD是对应角. 错解对应边有AE与AC,对应角有 ∠ADE与∠ABC、∠E与∠C、∠DAE与 B ∠BAC. 解析由题意可知△ACF≌△DBE, 错因没有将题目中的条件与图形结 .'.AC=DB. 合起来分析，仅从图形上进行判断，误以为 ∴.AC-BC=DB-BC A,B,C三个点的对应点分别为A,D,E,犯 ∴AB=DC=2(AD-BC)=2X×4=2, 了主观性错误 02关键能幼提升。 题型1 利用全等三角形的性质求未知 ∠DFB和∠DGB的度数. 边和未知角 D 记方法 求角的几种方法 (1)将待求角看成某三角形的内角，用三角形 内角和定理 解析，△ABC≌△ADE, (2)将待求角看成某三角形的外角，用三角形 ·∠DAE=∠BAC 外角和定理 ·∠DAE=∠BAC=(∠EAB (3)将待求角看成几个小角的和，将小角的度 数相加。 ∠C4D)=2×(120°-109=5° (4)将待求角看成某大角的一部分，用大角的 .∠DFB=∠FAB+∠B=∠BAC+ 度数减去其余角的度数. ∠CAD+∠B=55+10°+25°=90°， 例5如图，△ABC≌△ADE,且∠CAD= ∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65. 10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，试求 ◆变式1如图，△ABE和△ADC是由 33 国雕白手细人年级教学上册团 △ABC分别沿着AB,AC边所在直线翻折180 cm. 形成的，若∠BAC=136°，求∠EFC的度数. 解析，△OA'B是由△OAB旋转得到的， E ∴.△OA'B'≌△OAB,且A'B'与AB是对 应边， .'.A'B'=AB=4 cm. B 又BB'=1cm, 题型2全等变换保形性的运用 ∴.A'B=A'B'-BB'=4-1=3cm. 全等变换包括以下三种： (1)平移变换：将图形沿某条直线平行移 动，这种变换叫作平移变换.如图1，将△ABC 沿直线BC移动到△A'B'C和△A"BC"的位 置都是平移变换. 答案3. ◆变式2如图，在△ABC中，∠A=80°， ∠C=30°，将其沿BD折叠后，点A恰好落在 B'C BC边上的点A'处，求∠A'DC的度数. 图1 (2)翻折变换：将图形沿直线翻折180°，这 种变换叫作翻折变换.如图2，将△ABC沿边 AB翻折180°到△ABD的位置，这种变换就是 例7如图，把长方形ABCD沿AE折叠， 翻折变换。 使点D落在BC边上的点F处，若BC=8cm, (3)旋转变换：将图形绕某点旋转一定的 ∠BAF=40°，求∠DAE的度数与AF的长度. 角度到另一个位置，这种变换叫作旋转变换 D 如图3，将△AOC绕点O旋转180°到△BOD 的位置，这种变换就是旋转变换， B 解析由题意可知△AFE≌△ADE, ∴.AF=AD,∠FAE=∠DAE 在长方形ABCD中，AD=BC=8cm, 图2 图3 ∠BAF+∠EAF+∠DAE=90, 例6如图，将△OAB绕点O按逆时针方 向旋转至△OA'B',使点B恰好落在A'B'上. ∴AF=8cm,∠DAE-号(90°-∠BAF) 已知AB=4cm,BB=1cm,则A'B的长是=25. 34 第十二章全等三角形收9 03热点考向聚焦一。 考向1利用全等三角形的性质求对应 FD=b,则□ABCD的周长为 E 边或对应角的大小 例8(2023·成都中考)如图所示，已知 △ABC≌△DEF,点B,E,C,F依次在同一条 直线上.若BC=8,CE=5,则CF的长为 解析由折叠知△AEC≌△ABC, ∴∠ACE=∠ACB. ,∠ACE=2∠ECD, ∴.∠ACE=∠ACB=2∠ECD. B E ,四边形ABCD是平行四边形， 解析，△DEF≌△ABC, ∴.∠FAC=∠FCA,∠B+∠BCD=180°， ∴.EF=BC=8. 即∠B+∠ACE+∠ACB+∠ECD=180. 又CE=5, ∴.CF=EF-EC=8-5=3. ∴.∠ECD=20°，∠ACE=∠ACB=40°= 答案3. ∠FAC, 考向2利用全等变换识别全等形，再 ∠CFD=-∠FAC+∠FCA=80°=∠B=∠D. 用全等三角形的性质求解 ∴.AF=CF=CD=a,即AD=a+b. 例日(2021·江西中考)如图，将□ABCD 则□ABCD的周长为2AD+2CD=4a 沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD +2b. 于点F,若∠B=80°，∠ACE=2∠ECD,FC=a, 答案4a十2b. 04学业质量测评。 ●A基础过关练 测试时间：15分钟 B.全等三角形是指面积相等的两个三角形 1.如图，小强利用全等三角形 C.全等三角形的周长和面积分别相等 M 的知识测量池塘两端M,V D.所有的等边三角形都是全等三角形 两点的距离，如果△PQO≌ 3.如图，△ABC≌△DEF,BE=4,AE=1,则 △NMO,则只需测出其长度 Q DE的长是( 的线段是( A.PO B.PQ A C.MO D.MQ 2.下列说法中正确的是( ) B A.全等三角形是指形状相同的两个三角形 A.5 B.4 C.3 D.2 35 重雕点手细人年级数学上册尺) 4.(2024·武汉七一华源中学摸拟)如图， ■B中考提能练 测试时间：20分钟 △ADC≌△ADE2△BDE,则∠B的度数 7.如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB, 为( CB均落在对角线BD上，折痕为BE,BF, 则∠EBF的大小为( A.20° B.30° C.45° D.60 5.已知△ABC≌△DEF,∠A=48°，∠B=30°， EF=13,则∠F= .BC= A.15 B.30° C.45 D.60 6.如图所示，A,D,E三点在同一条直线上，且 8.如图，已知△ABC≌△CDA,则下列结论中 △BAD≌△ACE 正确的是( ). (1)证明：BD=DE+CE. ①AB=CD,BC=DA:②∠BAC=∠DCA, (2)当△ABD满足什么条件时BD∥CE? ∠ACB=∠CAD:③AB∥CD,BC∥DA 请说明理由. A.① B.② C.①② D.①②③ B 第8题图 第9题图 9.如图，在△ABC中，∠A:∠ABC:∠BCA= 3:5:10.又△EDC≌△ABC,则∠BCE: ∠BCD等于( A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.1:4 10.(2024·武汉外校模拟)如图，△ABE和 △ADC是△ABC分别沿着AB,AC边翻 折形成的，若∠1：∠2：∠3=13：3：2， CD与BE交于点O,则∠EOC的度数为 36 第十二章全等三角形么组 11.如图，已知△ABC≌△DEF,且点D与点 ●C培优突破练 测试时间：10分钟 A对应，求证： 13.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落 (1)AB∥DE. B 在四边形BCDE内部的点A'处时，∠A与 (2)AF=DC. ∠1，∠2之间有一种数量关系始终保持不 C 变，请试着找一找这个规律.你发现的规律 是() A.∠A=∠1+∠2 B.2∠A=∠1+∠2 C.3∠A=2∠1+∠2C -A D.3∠A=2(∠1+∠2) 14.若△ABC和△EFD是两个全等三角形， AB=DE,∠B=50°，∠C=70°，∠E=50°， 求∠D的度数 12.(2024·武汉武昌区模拟)如果△ABC的三 边长分别为3,5,7，△DEF的三边长分别 为3,3x-2,2y一1，若这两个三角形全等， 求x十y的值 37参考答案与提示 G B$C-90- A D-A. BCM. '. M=70$BCM-50$$ $13.y-+90 14.48. '.BCD-180*-50*-130” 15.72^{。提示:正五边形的每一个内角都是108*,BAD 同理, AFE-180”-NFE-180”-[100*-(180” -360+-90*×2-108{-72。 -110)]-150{ 提示:D+E+C= CGE=BGF= 16.240%. 而 A+M-D+ M-180*, 乙A+B+F ./D- A-110* 17.7. 24.(1)2/BFD= ABC+/C.证明如下 18.(1)因为a=4,b-6.所以周长/的范围为12</<20. .AD平分/BAC,设/BAF=/CAD=x./AFE= 又因为周长是小于18的偶数,所以/-16或14. BFD-y. 当周长为16时,c一6:当周长为14时,c-4 ·BE AC..x+-90”..2x+2-180 (2)当c一6时,b=c.△ABC为等腰三角形 又2x+ABC+C-180*。 当c-4时,a三c.△ABC也为等腰三角形 *2y= ABC+C.即2 BFD= ABC+C 综上,△ABC为等腰三角形. (2)(1)中的结论仍成立,证明如下: 19..BE平分/ABC./ABE-21^* 如图.:AD平分BAC. .ABC-2X21*-42” *设BAD= CAD=x. 又:A+ ABC+B[CA=180A=50$ 乙AFE-3. ' BCA-180-50-42*-88{。 ·BECE,且CAD-FAE--. VCF平分BCA,.BCP=BCA-44 . '.+y-90.2x+2y-180 20.18{}. 又2x+ABC+C-180*. '2y= ABC+C.即2 BFD=ABC+C 21.设小华设计的图案是n边形 第十二章 全等三角形 ([n-2)×180*1125”. 由题意得 (n-2)×180”-1125*+180”. 12.1 全等三角形 解得8_。. [变式1] 如图,·△ABE和△ADC是由△ABC分别沿 .n是整数,.n-9. 着AB,AC边所在直线翻折180{得到的, '(9-2)X180*-1125*-135*. ..ABE/ADC△ABC 故小华设计的图案是九边形,少加的那个内角是135* ' E-DCA.DAC= BAE= BAC-136 $。$$ 22.不改变.理由如下: '. EAC-360*-BAE-BAC-360-136*-136$ -88 ·CAB+CBA-x(360*-90”)-135*, 在△EFM与△CAM中,E=DCA.FME= *.C=180*-(CAB+CBA)=180{-135^*-45^ CMA(对顶角相等)...EFC-MAC-88*。 故C为定值. .C的度数不会改变 ## 23.如图,延长AB.DC交于点M,延长AF,DE交于 点N. [变式2].A-80*,C=30{, .ABC=180*-A-C-70 由题意得△ABD2△A'BD,'ABD=A'BD .AF/CD,.A+M-180 2 ABC-35”,BA'D=乙A-80°。 . A=110{}, ABC=120*$ ABC=M+$$ 1 重国八年级数学 上册 2 '.由三角形内角和定理得乙ADB= A'DB-180$- 14. B-50{$, E-50*AB-DE 80-35*-65°. ..点B对应点E.点A对应点D.即AABC2△DEF ' A'DC-180*- ADB- A'DB-180*-130$ 又:A-180*-B-C-60{ -50 . D- A-60。 【学业质量测评】 12.2 三角形全等的判定 1.B 2.C 3.A 4.B 5.102;13. [变式1] 在△AOB与△COD中. 6.(1)·△BAD△ACE.'.BD-AE,AD-CE [乙A-C 又.AE-AD+DE-CE+DE. ..BD-DE+CE OA-OC. (2)当△ABD满足/ADB-90*时,BD/CE.理由如下 AOB- COD. .BADACE...ADB=CED .△AOB△COD(ASA) “.ADB-90*.CED-90*。 *OB-OD 又: ADB十 BDE-180*'BDE=90{$ 在FOB与△FOD中. . BDE-/CED. *BD//CE. [OB-OD, OF=OF. 7.C 提示:ABE-DBE.CBF=DBF,ABC IBF-DF. -90{}. EBF-×90*-45”。 'BOFDOF(SSS) 8.D 提示:显然依全等三角形的性质知①②正确,又由 .OFB-OFD ②知③正确. 又: BFD-180*. 9.D 提示: A-30{。ABC-50{}BCA-100*,故 'OFB-/OFD-90 BCD=80*依EDC ABC知 DCE= BCA .OFBD. =100*,所以 BCE= DCE- BCD=100*-80*= [变式2]在△MDC和△MEB中. 2 0{.故 BCE:BCD-20:80-1:4. ·4- 3.MC-MB. 10.100{.提示:由折叠知识知△ABCABEADC DMC- 2+5- 1+5-EMB .EBA-2.DCA-3. '.△MCD△MBE(ASA)..MD-ME . 1:2:3-13:3:2.1+2+3-180 (MD-ME. '2-30.3-20. 在△BMD和△CME中.1-2. MB一MC. 'F0C-22+23-100”. ../AB/DE. .△BMD△CME(SAS). 11.(1):△ABC△DEF...A-D [变式3].:ADBC. (2)''ABCADEF..AC-DF '.AC-CF-DF-CF '.AF-DC . BDA- ADC-90”.1+2-90 [BF-AC. [3x-2-5.[3x-2-7, 在Rt△BDF和Rt△ADC中. 12..两个三角形全等, 或 .: 1FD-CD. 2-1-7 (2-1-5. .R△BDFR△ADC(HL)...2=C (-3. .-1)或6. 解得 ·1+2-90.1+C=90。 3-4 '.BEC-90..BEAC 13.B 提示:由折叠的保形性知 AED十A'DE= [变式4] 如图,延长CE到点F,使 AED十乙ADE-B十C-180*-A.在四边形 EF-CE.则CF-2CE,连接FB BCDE中.1+2-360*-(B+C)-(AED .CE是△ABC的中线 +A'DE)-360*-2(180*- A)-2A .AE-BE 。