11.3 多边形及其内角和-【重难点手册】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

样册 八年级数学 上册 2 11.3 多边形及其内角和 重点和难点 课标要求 1.掌握多边形的有关概念,能正确识别多边形的边、内角。 重点:多边形的内角和公式与外角和 外角、项点、对角线。 定理. 2.认识正多边形,知道正多边形的每条边都相等,每个内角 难点:与多边形内角和、外角和有关的 都相等. 计算。 3.探索并掌握多边形的内角和公式与外角和定理,能灵活 运用多边形内角和与外角和的有关结论解决相关的计算问题。 01-少备知识梳理 知识点 多边形的有关概念 请举反例说明 1.多边形:在平面内,由一些线段首尾顺 (1)所有的角都相等的多边形是正多 次相接组成的封闭图形叫作多边形 边形. 2.内角:多边形相邻两边组成的角叫作它 (2)所有的边都相等的多边形是正多边形 的内角,如图,BAE,B,BCD,D,E (3)所有的多边形都有对角线 是五边形ABCDE的5个内角 解析(1)错误,矩形的四个角都相等,但 边不相等,不是正多边形, (2)错误,菱形的四条边都相等,但角不相 等,不是正多边形 (3)错误,三角形是多边形,但没有对 3.外角:多边形的边与它的邻边的延长线 角线. 组成的角叫作多边形的外角,如图,1是五边 总结要说明一个多边形是正多边形,必 形ABCDE的一个外角 须满足定义中的两个条件,缺一不可,既要所 4.对角线:连接多边形不相邻的两个顶点 有的边相等,又要所有的角相等. 的线段,叫作多边形的对角线,如图,AC是五 知识点2多边形对角线的条数 边形ABCDE的一条对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段 5.凸多边形:画出多边形的任何一条边所 叫作多边形的对角线,,边形的对角线共有 在的直线,如果整个多边形都在这条直线的同 一侧,那么这个多边形叫作凸多边形,否则叫作 2 凹多边形,初中阶段主要学习凸多边形 在n边形中选定一个顶点,与它不相邻的 6.正多边形:各个角都相等,各条边都相 顶点有(n一3)个,即可连成(n一3)条对角线 等的多边形叫作正多边形 依此类推,从n个顶点出发可连n(n一3)条对 例判断下列说法是否正确,若不正确, 角线,但每条线都被算了两次,故还要除以2. 18 第十一章 三角形 例画出四边形、五边形、六边形的所有 (3)如图3,在n边形的一边上取一点与各 对角线,猜想七边形、八边形有多少条对角线 顶点相连,得到(”一1)个三角形,”边形的内角 n边形呢? 和等于这(n一1)个三角形的内角和减去所取 解析如图所示。 点处的一个平角,即(n-1)·180{*}-180*} (n-2)·180. 例一个多边形的内角和与它的一个外 角的度数之和为1350{,求此多边形的边数 四边形 五边形 六边形 解析 设这个多边形的边数为1,这个外角 七边形有14条对角线,八边形有20条对 为x*,则0 x180 角线,边形有”n(n-3) 条对角线. 方法一.(n-2)·180+x-1350. 易错点 忽略多边形一个顶点引出的对角线 .一 180 与所有对角线的关系 .n为正整数, 例一个多边形从一个顶点引出的对角 ..(90一x)为180的整数倍 线有6条,这个多边形的边数是( 。 .:0<x<180. A.6 B.7 C.8 D.9 .90-x-0. 正解 n-3-6,n-9.故选D. '-9. 错解.n-2-6,.n-8. 方法二:0<x180. 错因 与已知项点不相邻的项点应有 ·.1350-1801350-1350,即1170 (n一3)个,此处少减了已知的这个顶点。 1350--1350. 知识点 多边形的内角和 又(n-2)·180-1350-x. 1.多边形的内角和定理 ·1170 (n-2)·1801350 n边形的内角和等于(n一2)·180* '.6.5~n-2<7.5. 2.多边形内角和定理的证明方法 .8.5n9.5. (1)如图1,在”边形内任取一点,并把这个 .n是正整数,.n-9. 点与各顶点连接起来,共构成”个三角形,这 总结设未知数,用代数的方法解决几何 n个三角形的内角和为·180{},再减去一个周 问题是常见的方法,此题用内角和公式和题中 角,即得到多边形的内角和为(一2)·180* 等量关系列式求解方程 知识点 4多边形的外角和 1.定义:在多边形每一个顶点处取这个多 边形的一个外角,它们的和叫作这个多边形的 图1 图2 图3 外角和. (2)如图2,过n边形的一个顶点连对角线 2.定理:多边形的外角和等于360^{} 可以得到(n一3)条对角线,并且将:边形分成 3.多边形外角和定理的证明方法 (n一2)个三角形,这(n一2)个三角形的内角和恰 多边形的每个内角与和它相邻的外角是 好是这个多边形的内角和,等于(n一2)·180*。 邻补角,所以”边形的内角和加外角和等于 19 难群册八年级数学 上册 2 n·180{},故外角和等于 2.将边长相同的多边形的顶点重合,使它 n·180*-(n-2)·180*-360 们不重叠、无空隙地把平面的一部分完全覆 例一个正多边形的每个外角为60{*},那 盖,即可进行平面镶嵌, 么这个正多边形的内角和是 注意镶嵌的关键在于顶点重合,在每个 解析 这个正多边形的边数为 公共项点处,各角的和是360^{①} 例(经典·济宁中考)只用下列哪一种 所以这个正多边形的内角和为(6一2)× 正多边形就可以进行平面镶嵌?( ). 180*-720. A.正五边形 B.正六边形 答案720{。 C.正八边形 D.正士边形 总结 先利用多边形的外角和为360{}计算 解析正五边形、正六边形、正八边形、正 出这个正多边形的边数,然后根据内角和公式 十边形的每个内角分别是108^{},120{③},135^{, 求解。n边形的内角和等于(n-2)·180{}(n 3 144^{*,其中只有120{}可整除360{},故只有正六 且n为整数). 边形可以进行平面镶嵌 知识点5平面镶嵌 答案B 1.定义;用一些不重叠摆放的多边形把平 总结 分别求出各个正多边形的每个内角 面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫作多 的度数,根据镶嵌应符合一个内角的度数能整 边形覆盖平面(或平面镶嵌)问题 除360{*}即可作出判断。 02 关建能力提升 题型 求多边形的边数 解析:多边形的内角和公式为(n-2)· 180{} 求多边形的边数可以从内角和去考虑,利用多 '.(n-2)x180{-900{,解得n-7 边形的内角和求边数的问题,相当于解一元一次方 '这个多边形的边数是7. 程的问题,当这个多边形是正多边形的时候,隐含 答案D 条件是每个内角都相等,此时内角和等于边数与一 ·变式1两个多边形的边数之比为3:4. 个内角度数的积 内角和之比为1:2,求这两个多边形的边数 题型2 如果题目中给出与外角有关的关系,要明确任 有关多边形中角的计算 何多边形的外角和都是360{},它不会随多边形边数 的变化而改变,这恰是利用外角和求多边形边数最 求多边形的角可以从内角和、外角和、边数这 关键的地方,应予以重视 三个方面去考虑,对于常见的星形问题,所求角多 例一个多边形的内角和是900{,则这 数不在同一个多边形内,这时常采用转化思想,将 多个角集中于一个或几个多边形中,既可以利用图 个多边形的边数是( 。 中现成的多边形,也可以通过添加辅助线来构造多 B.5 A.4 C.6 D.7 边形,将其中某些角通过构造出的多边形转换到同 分析根据多边形的内角和公式(n一2)· 一个多边形内,以便利用多边形内角和公式或者外 180{即可求得 角和定理求解. 20 第十一章 三角形 例(2018·南京中考)如图1,五边形 .1-2-72。 ABCDE是正五边形,若 /,则 1-2 答案72。 总结本题考查了多边形的内角、外角以 , A 及平行线的性质,关键是熟练掌握正五边形的 E. E. B4 _F 性质,以及添加辅助线的方法 B 变式2如图,1十2十3十4十 - C 5+ 6- C 图1 图2 G 解析如图2,过点B作BF/L. 。 3 ## .五边形ABCDE是正五边形, .'ABC-108* C .BF/. 变式2题图 “:BF//: 变式3题图 '3-180*-1.2- 4. 变式3如图,求 A十 B十C+ 180*-1+2-/ABC-108* D十 E十F十G的度数 03-热点考向聚焦 考向 1已知多边形的内(外)角求边数 答案D 例S(2021·襄阳中考)若正多边形的一个 点评 本题主要考查多边形的内角与外角 、. 外角等于60{},则这个多边形的边数是( 的关系,对于正多边形,利用多边形的外角和 D.12 C.9 A.3 B.6 除以每个外角的度数求边数更简便 考回2 已知多边形的边数求内角 解析 边数-360{}-60{-6. 答案B 例(2023·汉铁初中模拟)如果剪掉 例D(2023·武汉汉阳区期中)若一个正 四边形的一个角,那么所得多边形的内角和的 度数不可能是( . 多边形的每一个内角均为120{},则它是一个 A. 180* B.360* C.540* D.720* ( 解析如图,剪掉一个角的图形可能是三 A.正方形 B.正三角形 角形、四边形、五边形,不可能是六边形,故选D C.正八边形 D.正六边形 分析根据相邻的内角与外角互为邻补角 求出每个外角的度数为60{},再用外角和360 答案D 除以60}即可求出边数. 例(2018·台州中考)正十边形的每 解析,.正多边形的每个内角等于120{, -. 一个内角的度数为( '每个外角的度数为180*-120{*-60。 A. 120* B.135* C. 140* D. 144* '.边数为360-60{}-6 分析利用正十边形的外角和是360^{},并 21 难群册八年级数学 上册 2 且每个外角都相等,即可求出每个外角的度 的内角和是其外角和的3倍,则这个多边形的 数:再根据内角与外角的关系可求出正干边形 边数是__. 的每个内角的度数. 分析 任何多边形的外角和都是360{},即 解析.正十边形的每个外角都相等, 这个多边形的内角和是3×360{}又知n边形 '正十边形的一个外角为360{}-10-36*。 的内角和是(n一2)·180{},设已知多边形的边 '.每个内角的度数为180{*}-36^{}-144^* 数为”,就可以得到一个关千边数的方程,解方 答案D 程就可以求出多边形的边数。 考回3已知多边形的内角与外角的关 解析设多边形的边数为n,根据题意得 系求边数 (n-2)·180*-3×360{*,解得n-8 答案8. 例(2018·宿迁中考)若一个多边形 04-学业质量测评 基础过关练 测试时间:15分钟 5.从正六边形的一个顶点出发可以引 1.若在四边形ABCD中,A:B:/C: 条对角线,这些对角线将正六边形 分成 D-1:2:4:5,则 A与 D的度数分 个三角形,正六边形共有 别是( ). 条对角线. A.15*,75。 B.20^{.100* 6.一个多边形中各内角相等,且每个内角与外 C.30*.120* D.30{,150{ 角之差的绝对值为60{},求这个多边形的 2.(2024·武汉育才中学模拟)利用边长相等 边数. 的正三角形和正六边形地板砖镶嵌地面,在 每个顶点周围有a块正三角形和,块正六边 形地板砖(ab关0),则a+5的值为( ). A.3或4 B.4或5 C.5或6 D.4 3.两张三角形纸片如图摆放,量得 1十2十 3+4-220{,则5- 中考提能练 测试时间:30分钟 7.如图,已知小明从O点出发,前进6米后向 右转20{,再前进6米后又右转20{.......,这 A B 样一直走下去,则他第一次回到出发点O时 第3题图 第4题图 一共走了( ). 4.如图,在四边形ABCD中,ADAB,C= 0 -200 110{*},它的一个外角 ADE-60{},则 B的 20{~. 大小是 22 第十一章 三形) A.144米 B.120米 12.如图,在四边形ABCD中,A三C C.108米 D.72米 90{*. EDN=n /CDE.EBM=nCBE 8.若一个凸”边形除了一个内角外,其余 (n2),求BED的度数. (一1)个内角的和是1993{*},则n的值是 9.如图,五边形ABCDE的各边相等,各角也相 等,对角线AD,CE相交于点F,求 AED AFE的度数 B D 10.如图,在四边形ABCD中,A=C 90{*},BE,DF分别平分ABC与 ADC 交CD于点E,交AB于点F,试判断BE 与DF的位置关系,并说明你的理由 培优突破练 测试时间:10分钟 13.(2022·宁波校级自主招生)一名模型车手 遥控一辆赛车,先前进1m,然后原地逆时 C 针旋转角g(0{}<。<180{})被称为一次操作 若五次操作后,发现赛车回到出发点,则角 a为( ). A.72* B.108{*或144* C. 144* 11.如图,在正五边形ABCDE中,BG平分 D.72*或144* /ABC,DG平分正五边形的外角/EDF 14.把边长相等的正六边形ABCDEF和正五 求G. 边形GHCDL的CD边重合,按照如图所 , 示的方式叠放在一起,延长LG交AF于点 P,则APG-( ). AP 。 BH E7E C 2 A.141* B. 144* C.147* D. 150* 23参考答架与提示么超 ∴∠BAD=∠CAD=2∠BAC=35 (3)∠0C-(∠A+∠Dm, AE⊥BC,.∠AED=∠AEC=90° 11.3多边形及其内角和 在Rt△AEC中，∠CAE=90°一∠C=20°， [变式1]设两个多边形的边数分别为3m,4m, ∴.∠DAE=∠CAD-∠CAE=35°-20°=15. 则(31-2)×180°×2=(4n-2)×180°，解得n=1, (2)如图，过点A作AH⊥BC于点H. 即两个多边形的边数分别为3,4. [变式2]360°.提示：把∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6转 移到同一个多边形内即可得到答案， [变式3]如图，连接FG,AE D HE AH⊥BC,FE⊥BC, ∴∠AHD=∠FED=90, ∴AH∥EF, 在四边形BDFG中， ∴.∠DAH=∠DFE ∠B+∠D+∠DFG+∠BGF=360. 由(1)可知∠DAH=15, 在△ACE中， ∴∠DFE=15 ∠C+∠CAE+∠CEA=180° 14.(1)135:90. 在△AEH和△FGH中， (2)不变. ∠FGH+∠GFH+∠FHG=∠HAE+∠AEH+ 在Rt△BDC中，∠D=90°，∴∠DBC+∠DCB=90. ∠AHE=180, 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180' 而∠FHG=∠AHE 即∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACD+∠DCB=180°， 故∠FGH+∠GFH=∠HAE+∠AEH. ∴.（∠DBC+∠DCB)+(∠ABD+∠ACD)+∠A 则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=360°+ =180° 180°=540°. .90°+（∠ABD+∠ACD)+∠A=180° 【学业质量测评】 ∴.（∠ABD+∠ACD)+∠A=90. L.D提示：设∠A=x,则x十2x+4x+5r=360 ∴∠ABD+∠ACD=90°-∠A. 2.B提示：正三角形的每个内角为60°，正六边形的每个 15.(∠B0C=∠A.理由如下： 内角为120°，建立方程60a+1206=360,化简为a+2h :O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的 =6.又因为a,b均为整数，故a=2时，=2：a=4时，b 交点， =1,则a+b的值为4或5. 3.40°.提示：三角形内角和为180° ∴.∠OBC=号∠ABC,∠AC0-号∠ACD=∠OCD 4.40°.提示：四边形内角和为360 又∠ACD=∠ABC+∠A,∠OCD=∠OBC+ 5.3:4:9. ∠BC, 6.设多边形的边数为. ∴∠ABC+∠A=2∠OCD=2(∠OBC+∠BOC) :各内角相等，“各外角也相等，即均为360 ∠ABC+2∠BC. ∴2∠B0C=∠A,即∠B0C=号∠A m=2)180_360|=60.n=3或6. 7.C提示：共转360÷20°=18（次），18×6=108（米）. (2)∠B0C=90°-∠A 8.14.提示：：1993°+167°=12×180°，.n边形内 3 重雅线手册八年级教学上册则 角和应为12×180°，故1=14. 别用360°和720°除以5就可以得到答案. 9.,正五边形各边相等，各内角也相等， 14.B提示：如图，延长GH交BC于点K. ÷∠AED=180X6-2=108 ÷∠EAF=∠ADE=∠DEC=180°，108=36. 2 ∴.∠AFE=∠ADE+∠DEC=72 10.DF∥BE.理由如下： :∠A+∠C+∠ABC+∠ADC=360°，且∠A=∠C 正六边形的内角=6-2)X180=120. =90,.∠ABC+∠ALDC=180. 正五边形的内角=5-2》X180=108, 5 又BE.DF分别平分∠ABC与∠AIDC, ∴.∠ABE+∠ADF=90. ∠2=180°-108°=72°，∠1=120°-108°=12. 又在R△DAF中，∠AFD+∠ADF=9O°， 在五边形ABKGP中， ∴∠AFD=∠ABE..DF∥BE ∠APG=(5-2)×180°-∠A-∠B-∠BKG- 1.'∠ABC=∠C=∠CDE=180X6=2=108. ∠KGP=540°-120°-120°-（∠1+∠2）-(180°-108 5 =540°-120°-120°-84°-180°+108°-144° 且BG平分∠ABC,∴.∠CBG=54°，∠EDF=72. ,DG平分∠EDF,∠EDG=36,∠CDG 单元学能测评 144°，∴.在四边形BCDG中，∠G=360°-54°-108 1.C2.B3.C4.C5.D -144°=54. 6.A提示：能够围成三角形且边长为整数的有：①2,6， 12.:∠A=∠C=90°，∠A+∠C+∠1+∠2=360°. 6:②3,5,6：③4,4,6：④4,5,5.只有②符合题意 ∴.∠1十∠2=180°，又由题有∠6=n∠3，∠5=n∠4， 7.C提示：由(1-2)×180°=1080°，解得n=8. 而∠3+∠6+∠1=180°，∠4+∠5+∠2=180°， 8.B提示：问题相当于求多边形的外角中至多有儿个 ∴.∠3+∠6+∠1+∠4+∠5+∠2=360°. 钝角. ∴.∠1+∠2+∠3+n∠3+∠4+n∠4=360. 9.C提示：根据多边形内角和公式及角平分线的性质 ∠1+∠2+(n+1)∠3+(n+1)∠4=360. 易求 ∴.(n+1)(∠3+∠4)=360°-∠1-∠2. 10.B提示：因为点E是AC的中点，所以S△E=S△ 又∠1+∠2=180，∠3+∠4=180 n+1 =3.又Sx=4,所以Sr=10.因为BD=2DC, 而在四边形ABED(如图)中， 所以S△wW=2S△Mx=20,所以S△r=30. ∠A+∠2+∠4+∠E+∠3+∠1=360°，∠A=90°， 11.50°.提示：由题意得∠1+∠2+∠3+∠4=230°， 7=90°180 ·∠E=360°-90°-180-180 .∠5+∠6+∠7=360°-230°=130. '∠8=∠6+∠7： ∴.∠5+∠8=130°， ∴.∠P-180°-（∠5+∠8）=180°-130°=50°（如图）. M 13.D提示：因为赛车五次操作后回到出发点，所以操作 方式有两种，即“正五边形”和“五角星”，根据a最大 值小于180°，经过五次操作，绝对不可能绕三圈或三 圈以上，则赛车可能绕原地一圈360°或两圈720°，分 12.130:50:40.提示：可证∠B0C=90°+7∠A,