11.3.多边形及其内角和讲义2024-2025学年人教版数学八年级上册

11.3 多边形及其内角和 知识点1 多边形的有关概念 1.在平面内，由一些线段 顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2.多边形相邻两边组成的角叫做多边形的 . 3.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的 . 4.各个角都 ， 都相等的多边形叫做正多边形. 知识点2 多边形的对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的 .如图，AC，AD是五边形ABCDE的两条对角线. 知识点3 多边形的内角和 从五边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将五边形分为 个三角形，五边形的内角和等于 . 从六边形的一个顶点出发，可以作回 条对角线，它们将六边形分为 个三角形，六边形的内角和等于 . 从n边形的一个顶点出发，可以作条对角线，它们将n边形分为个三角形，n边形的内角和等于 . 知识点4 多边形的外角和 多边形的外角和等于 . 重点 1、三角形是边数最少的多边形 说明 多边形的分类 2、多边形对角线的计算方法 从n边形的一个顶点出发有条对角线，因为它有n个顶点，所以共有条对角线，其中每条对角线都重复数了一次，因此共有条对角线. 3、从多边形的不同顶点作出的对角线有重复，所以多边形对角线的条数不是所有顶点上对角线条数的和. 4、多边形内角和公式的拓展方法 把多边形的问题转化为三角形的问题进行解决. 5、推导多边形内角和公式的方法有很多，通常是将多边形内角和转化为三角形内角和来进行推导. 6、正多边形的外角度数 正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于. 课时1 多边形 基础巩固 题型1 多边形及其相关概念 1.下列说法中，正确的有（ ） ①由几条线段连接起来组成的图形叫多边形； ②三角形是边数最少的多边形； ③n边形有n条边、n个顶点. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.下列选项中的图形，不是凸多边形的是（ ） A. B. C. D. 题型2 多边形的对角线 3.下列多边形中，对角线是5条的多边形是（ ） A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 4.从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成几个三角形（ ） A.6 B.5 C.8 D.7 5.过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，则m+n=______. 6.观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，解答下列问题. 十边形有多少条对角线？n边形呢？ 题型3 正多边形 1.下列图形为正多边形的是（ ） A. B. C. D. 8.下列属于正多边形的特征的有（ ） ①各边相等；②各个内角相等；③各个外角相等；④各条对角线都相等；⑤从一个顶点引出的对角线将n边形分成面积相等的个三角形. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.如图所示，①中多边形是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的……依次类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为_______. 10.已知正多边形的周长为56，从其一个顶点出发共有4条对角线，求这个正多边形的边长. 11.如图，要把边长为12的正三角形纸板剪去三个小正三角形，得到正六边形，则剪去的小正三角形的边长是多少？ 课时2 多边形的内角和 基础巩固 题型1 多边形的内角和 1.如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（ ） A.180° B.360° C.540° D.720° 2.若一个n边形的内角和是1080°，则n的值为（ ） A.8 B.9 C.10 D.11 3.如图，在四边形ABCD中，如果∠A+∠B+∠C=260°，那么∠D的度数为（ ） A.120° B.110° C.100° D.90° 4.如果一个多边形的边数由8变成9，其内角和增加了_______. 5.如图是两位小朋友在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们是在求几边形的内角和？少加的内角为多少度？ 题型2 多边形的外角和 6.若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（ ） A.10 B.9 C.8 D.6 7.如图，六边形ABCDEF是正六边形，那么的度数是_______. 8.如图，五边形ABCDE的外角中，∠1=∠2=∠3=∠4=75°，则∠A的度数是______. 题型3 多边形内角和与外角和的综合应用 9.一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的内角和为（ ） A.1260° B.1080° C.1620° D.360° 10.一个正多边形的边长为2，每个内角为135°，则这个多边形的周长是（ ） A.8 B.12 C.16 D.18 11.如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G=（ ） A.36° B.54° C.60° D.72° 12.已知一个多边形的内角和与外角和的和为1080°，且这个多边形的各个内角都相等.求这个多边形的每个外角度数. 13.如果一个多边形的内角和与外角和之比是13:2，求这个多边形的边数. 易错点 多边形“截角问题”因漏解而致错 14.如图，从四边形ABCD中剪去一个三角形（只剪一刀），剩余的部分是几边形？请画出示意图（边数相同的情况只需画一个示意图），并在图形下方写上剩余部分多边形的内角和. 莉莉的解法：从四边形中剪去一个三角形，剩余部分是三角形，其内角和为180°. 佳佳的解法：剩余部分是四边形，其内角和为360°. 请问莉莉和佳佳的解法是否正确？如果不正确，请写出正确解法. 巩固提升 1.把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ） A.16 B.17 C.18 D.19 2.若一个多边形的各内角都相等，则一个内角与一个外角的度数之比不可能是（ ） A.2:1 B.1:1 C.5:2 D.5:4 3.小明一笔画成了如图所示的图形，则∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为（ ） A.360° B.540° C.600° D.720° 4.如图，一束平行太阳光线FA，GB照射到正五边形ABCDE上，∠ABG=46°，则∠FAE的度数是（ ） A.26° B.44° C.46° D.72° 5.将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠3=32°，那么∠1+∠2=（ ） A.60° B.68° C.70° D.90° 6.如图，在四边形ABCD中，∠A=100°，∠C=70°.将△BMN沿MN翻折得到△FMN，若MF//AD，FN//DC，则∠B=_______. 7.如果机器人在平地上按如图所示的程序框图规定的路线行走，那么机器人结束程序后行走的路程是________. 8.已知n边形的内角和. （1）甲同学说，θ能取720°；而乙同学说，θ也能取820°，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n，若不对，说明理由； （2）若n边形变为边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x. 拓展培优 9.已知在四边形ABCD中，∠A=x，∠C=y（0°<x<180°，0°<y<180°）. （1）∠ABC+∠ADC=______（用含x，y的代数式直接填空）； （2）如图（1），若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由； （3）如图（2），∠DFB为四边形ABCD的∠ABC，∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角. ①若x+y=120°，∠DFB=20°，试求x，y； ②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x，y满足什么条件时，∠DFB不存在. 答案： 11.3 多边形及其内角和 知识点1 多边形的有关概念 1.在平面内，由一些线段 顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2.多边形相邻两边组成的角叫做多边形的 . 3.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的 . 4.各个角都 ， 都相等的多边形叫做正多边形. 知识点2 多边形的对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的 .如图，AC，AD是五边形ABCDE的两条对角线. 知识点3 多边形的内角和 从五边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将五边形分为 个三角形，五边形的内角和等于 . 从六边形的一个顶点出发，可以作回 条对角线，它们将六边形分为 个三角形，六边形的内角和等于 . 从n边形的一个顶点出发，可以作条对角线，它们将n边形分为个三角形，n边形的内角和等于 . 知识点4 多边形的外角和 多边形的外角和等于 . 答案 首尾 内角 外角 相等 各条边 对角线 2 3 3 3 4 4 重点 1、三角形是边数最少的多边形 说明 多边形的分类 2、多边形对角线的计算方法 从n边形的一个顶点出发有条对角线，因为它有n个顶点，所以共有条对角线，其中每条对角线都重复数了一次，因此共有条对角线. 3、从多边形的不同顶点作出的对角线有重复，所以多边形对角线的条数不是所有顶点上对角线条数的和. 4、多边形内角和公式的拓展方法 把多边形的问题转化为三角形的问题进行解决. 5、推导多边形内角和公式的方法有很多，通常是将多边形内角和转化为三角形内角和来进行推导. 6、正多边形的外角度数 正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于. 课时1 多边形 基础巩固 题型1 多边形及其相关概念 1.下列说法中，正确的有（ ） ①由几条线段连接起来组成的图形叫多边形； ②三角形是边数最少的多边形； ③n边形有n条边、n个顶点. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 1.C 【解析】由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，①不正确；易知②③正确，故选C. 2.下列选项中的图形，不是凸多边形的是（ ） A. B. C. D. 2.A 【解析】根据凸多边形的概念，如果整个多边形都在任意一条边所在的直线的同侧，该多边形就是凸多边形.所以选项A中图形不是凸多边形.故选A. 题型2 多边形的对角线 3.下列多边形中，对角线是5条的多边形是（ ） A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 3.B 【解析】四边形有（条）对角线；五边形有（条）对角线；六边形有（条）对角线；七边形有（条）对角线.故对角线是5条的多边形是五边形，故选B. 4.从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成几个三角形（ ） A.6 B.5 C.8 D.7 4.B 【解析】从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7-2=5（个）三角形.故选B. 5.过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，则m+n=______. 5.13 【解析】∵过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，∴m-3=7，n=3.∴m=10，n=3，∴m+n=13，故答案为13. 6.观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，解答下列问题. 十边形有多少条对角线？n边形呢？ 6.【解】∵四边形的对角线条数为， 五边形的对角线条数为， 六边形的对角线条数为， ∴十边形的对角线条数为， n边形的对角线条数为. 题型3 正多边形 1.下列图形为正多边形的是（ ） A. B. C. D. 7.D 【解析】根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，即可得D选项中的图形为正多边形，故选D. 8.下列属于正多边形的特征的有（ ） ①各边相等；②各个内角相等；③各个外角相等；④各条对角线都相等；⑤从一个顶点引出的对角线将n边形分成面积相等的个三角形. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 8.B 【解析】①各边相等是正确的；②各个内角相等是正确的；③各个外角相等是正确的；④各条对角线不一定相等；⑤从正n边形一个顶点引出的对角线将正n边形分成个三角形，而这个三角形的面积不一定相等.综上，正确的说法有3个. 9.如图所示，①中多边形是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的……依次类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为_______. 9. 【解析】∵①正三角形“扩展”而来的多边形的边数是12=3×4，②正四边形“扩展”而来的多边形的边数是20=4×5，③正五边形“扩展”而来的多边形的边数是30=5×6，④正六边形“扩展”而来的多边形的边数是42=6×7，∴正n边形“扩展”而来的多边形的边数为. 10.已知正多边形的周长为56，从其一个顶点出发共有4条对角线，求这个正多边形的边长. 10.【解】设这个正多边形的边数为n，则n-3=4，∴n=7.设这个正多边形的边长为x，则7x=56，∴x=8这个正多边形的边长为8. 11.如图，要把边长为12的正三角形纸板剪去三个小正三角形，得到正六边形，则剪去的小正三角形的边长是多少？ 11.【解】小正三角形和正六边形的各边都分别相等，且每个小正三角形与正六边形均有公共边，∴AD=DK=KB.又∵AD+DK+KB=12，∴3AD=12.∴AD=4，即剪去的小正三角形的边长是4. 课时2 多边形的内角和 基础巩固 题型1 多边形的内角和 1.如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（ ） A.180° B.360° C.540° D.720° 1.C 【解析】黑色皮块是五边形，所以内角和为.故选C. 2.若一个n边形的内角和是1080°，则n的值为（ ） A.8 B.9 C.10 D.11 2.A 【解析】已知多边形的边数是n，则，解得n=8.故选A. 3.如图，在四边形ABCD中，如果∠A+∠B+∠C=260°，那么∠D的度数为（ ） A.120° B.110° C.100° D.90° 3.C 【解析】∠D=360°-（∠A+∠B+∠C）=360°-260°=100°. 4.如果一个多边形的边数由8变成9，其内角和增加了_______. 4.180° 【解析】n边形的内角和为，∴边数增加1，它的内角和增加1×180°=180°. 5.如图是两位小朋友在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们是在求几边形的内角和？少加的内角为多少度？ 5.【解】1140°÷180°……60°. 则边数是6+1+2=9. 所以他们在求九边形的内角和. 180°-60°=120°， 所以少加的那个内角为120度 题型2 多边形的外角和 6.若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（ ） A.10 B.9 C.8 D.6 6.C 【解析】∵这个正多边形的外角和为360°，∴这个正多边形的边数是360°÷45°=8. 7.如图，六边形ABCDEF是正六边形，那么的度数是_______. 7.60° 【解析】360°÷6=60°. 8.如图，五边形ABCDE的外角中，∠1=∠2=∠3=∠4=75°，则∠A的度数是______. 8.120° 【解析】∵∠1=∠2=∠3=∠4=75°.∴与∠A相邻的外角的度数为360°-75°×4=360°-300°=60°，∴∠A=180°-60°=120°. 题型3 多边形内角和与外角和的综合应用 9.一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的内角和为（ ） A.1260° B.1080° C.1620° D.360° 9.B 【解析】∵多边形的外角和为360°，∴多边形的边数为360÷45=8.∴八边形的内角和为. 10.一个正多边形的边长为2，每个内角为135°，则这个多边形的周长是（ ） A.8 B.12 C.16 D.18 10.C 【解析】∵正多边形的每个内角为135°，∴每个外角是180°-135°=45°.∵360°÷45°=8，∴这个正多边形是正八边形.∵正多边形的边长为2，∴这个正多边形的周长为2×8=16. 11.如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G=（ ） A.36° B.54° C.60° D.72° 11.B 【解析】如图，由正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，易得∠DPG=90°. ∴∠G+∠EDG=90°.∵，DG平分正五边形的外角∠EDF，∴，∴∠G=90°-∠EDG=54°.故选B. 12.已知一个多边形的内角和与外角和的和为1080°，且这个多边形的各个内角都相等.求这个多边形的每个外角度数. 12.【解】设这个多边形是n边形. 根据题意得，解得n=6. 则这个多边形的一个外角是360°÷6=60°，所以这个多边形的每个外角的度数是60°. 13.如果一个多边形的内角和与外角和之比是13:2，求这个多边形的边数. 13.【解】设这个多边形的边数为n. 依题意得， 解得n=15，∴这个多边形的边数为15. 易错点 多边形“截角问题”因漏解而致错 14.如图，从四边形ABCD中剪去一个三角形（只剪一刀），剩余的部分是几边形？请画出示意图（边数相同的情况只需画一个示意图），并在图形下方写上剩余部分多边形的内角和. 莉莉的解法：从四边形中剪去一个三角形，剩余部分是三角形，其内角和为180°. 佳佳的解法：剩余部分是四边形，其内角和为360°. 请问莉莉和佳佳的解法是否正确？如果不正确，请写出正确解法. 14.【解】莉莉和佳佳的解法不正确.正确解法如下： 如图（1），剩余部分是三角形，其内角和为180°. 如图（2），剩余部分是四边形，其内角和为360°. 如图（3），剩余部分是五边形，其内角和为540°. 易错警示 从不同的位置截角，剩余部分多边形的边数也不同，一定要分类讨论，防止漏解. 巩固提升 1.把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ） A.16 B.17 C.18 D.19 1.A 【解析】当剪去一个角后，剩下的部分是一个十八边形，则这张纸片原来的形状可以是十八边形或十七边形或十九边形，但不可能是十六边形.故选A. 2.若一个多边形的各内角都相等，则一个内角与一个外角的度数之比不可能是（ ） A.2:1 B.1:1 C.5:2 D.5:4 2.D 【解析】A中外角是，360°÷60°=6，故可能；B中外角是，360°÷90°=4，故可能；C中外角是，，故可能；D中外角是，360°÷80°=4.5，故不可能. 3.小明一笔画成了如图所示的图形，则∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为（ ） A.360° B.540° C.600° D.720° 3.B 【解析】如图，在五边形ABCDH中，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠1=540°，∵∠1=∠E+∠2，∠2=∠F+∠G，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.故选B. 4.如图，一束平行太阳光线FA，GB照射到正五边形ABCDE上，∠ABG=46°，则∠FAE的度数是（ ） A.26° B.44° C.46° D.72° 4.A 【解析】∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠EAB=108°.∵太阳光线互相平行，∠ABG=46°， ∴∠FAE=180°-∠ABG-∠EAB=180°-46°-108°=26°.故选A. 5.将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠3=32°，那么∠1+∠2=（ ） A.60° B.68° C.70° D.90° 5.C 【解析】如图所示，∵正三角形、正四边形、正五边形的每个内角的度数分别为60°、90°、108°，∴中间阴影部分的三角形的三个外角的度数分别为∠1+90°，∠2+108°，∠3+60°，由外角和为360°可以得到∠1+90°+∠2+108°+∠3+60°=360°.∵∠3=32°，∴∠1+∠2=70°，故选C. 6.如图，在四边形ABCD中，∠A=100°，∠C=70°.将△BMN沿MN翻折得到△FMN，若MF//AD，FN//DC，则∠B=_______. 6.95° 【解析】∵MF//AD，FN//DC，∴∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°.∵△BMN沿MN翻折得到△FMN，∴， .在△BMN中，. 7.如果机器人在平地上按如图所示的程序框图规定的路线行走，那么机器人结束程序后行走的路程是________. 7.30米 【解析】（米）. 8.已知n边形的内角和. （1）甲同学说，θ能取720°；而乙同学说，θ也能取820°，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n，若不对，说明理由； （2）若n边形变为边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x. 8.【解】（1）甲对，乙不对.理由如下： 当θ取720°时，，解得n=6； 当θ取820°时，，解得. ∵n为整数，∴θ不能取820°. （2）依题意，得. 解得x=2. 拓展培优 9.已知在四边形ABCD中，∠A=x，∠C=y（0°<x<180°，0°<y<180°）. （1）∠ABC+∠ADC=______（用含x，y的代数式直接填空）； （2）如图（1），若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由； （3）如图（2），∠DFB为四边形ABCD的∠ABC，∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角. ①若x+y=120°，∠DFB=20°，试求x，y； ②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x，y满足什么条件时，∠DFB不存在. 9.（1）360°-x-y 【解析】 ∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=x， ∴∠C=y，∴∠ABC+∠ADC=360°-x-y. 【解】（2）DE⊥BF.理由如下： 设BC与DE相交于点G. ∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC， ∴，. ∵∠A=∠C=90°， ∴∠ADC=360°-90°-90°-∠ABC=180°-∠ABC. 又∵∠CBM=180°-∠ABC.∴∠CBM=∠ADC. ∴∠CDE=∠CBF. 又∵∠DGC=∠BGE，∴∠BEG=∠C=90°， ∴DE⊥BF. （3）①由（1）得∠CDN+∠CBM=360°-（360°-x-y）=x+y. ∵BF，DF分别平分∠CBM，∠CDN， ∴. 连接DB，则∠CBD+∠CDB=180°-y， ∴，∴. 解方程组，可得. ②当x=y时，， ∴∠ABC，∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行. ∴当x=y时，∠DFB不存在. 学科网（北京）股份有限公司 $$