11.2 与三角形有关的角-【重难点手册】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

第十-章三角形收 11.2与三角形有关的角 重点和难点 课标要求 重点：三角形外角的概念及外角的 1,掌握三角形内角和为180°，并运用三角形内角和定理进 性质 行有关计算。 难点：运用所学的结论进行与角有关 2.掌握三角形外角的概念及与外角有关的推论 的计算。 3.运用三角形内、外角的有关性质，进行与角有关的计算. 01必备知识梳理◆ 知识点1三角形内角和定理 例I如图，AE,AD分别是△ABC的高 1.定理 和角平分线。 三角形三个内角的和等于180°. 2.定理的证明方法 证明三角形内角和定理的方法很多.定理 的证明需添加辅助线，通过辅助线将角转移和 B DE C 集中，把隐含的条件显现出来，因此辅助线起 (1)若∠B=36°，∠C=76°，求∠DAE的 牵线搭桥的作用.由180°可联想到平角，邻补 度数 角、两直线平行，同旁内角互补等相关结论. (2)若∠B=a,∠C=3,且B>a,求∠DAE B 的度数。 解析(1)，∠B=36,∠C=76,∠BAC+ 、B B C B ∠B+∠C=180°， 图1 图2 ∴.∠BAC=180°-36°-76°=68. ,AD平分∠BAC, A ∠CAD=号∠BAC=34 A B C :∠CAE+∠C+∠AEC=180°，AE是 图3 △ABC的高， (1)构造平角：构造平角就是把三个角 .∠CAE=180°-90°-76°=14° “移”成一个平角，其构造方法如图1. .∠DAE=∠CAD-∠CAE=34° (2)构造邻补角：可延长三角形的任一边， 14°=20° 得到邻补角，然后过该角的顶点作该角的对边 (2):'∠B=a,∠C=3,∠BAC+∠B+ 的平行线，如图2. ∠C=180, (3)构造同旁内角：过三角形的一个顶点 .∠BAC=180°-a-B. 作平行于这一点所对边的射线，如图3. AD平分∠BAC, 9 国避食手细八年级数学上册？] ∠CAD=2(180°-e-8)=90° (1)直角三角形的性质：直角三角形的两 个锐角互余 2a+n. (2)直角三角形的判定：有两个角互余的 ,∠CAE+∠C+∠AEC=180°，AE是 三角形是直角三角形， △ABC的高， 3.直角三角形的三种判定方法 ∴.∠CAE=180°-90°-3=90°-3. (1)证明三角形中有一个内角为90°（或证 '.∠DAE=∠CAD-∠CAE 明三角形的两条边互相垂直). =90°-2a+)-(90°-m (2)证明三角形中有两个内角互余。 (3)证明三角形中有一个内角与已知的直 =2g-a以. 角相等。 总结由此例可以得出一个重要结论：从 例2如图，在△ABC中，∠ACB=90°， 三角形的一个顶，点作三角形的高和角平分线， ∠ACD=∠B.求证：△CDB是直角三角形 它们所夹的角等于三角形另外两个角的差的 D 绝对值的一半， 易错点忽略三角形的高在三角形外的情况 例已知AD为△ABC的高，∠BAD= 证明，∠ACB=90°， 70°，∠CAD=20°，求∠BAC的度数. .∠ACD+∠DCB=90°. 正解若AD在△ABC的内部，∠BAC= ,∠ACD=∠B, 70°+20°=90°：若AD在△ABC的外部， .∠B+∠DCB=90°. ∠BAC=70°-20°=50° ∴△CDB是直角三角形. 错解∠BAC=70°+20°=90° 错因未考虑高在△ABC外部的情形. 知识点3三角形的外角 1.三角形外角的定义 果依 三角形的一边与另一边的延长线组成的 只要题目中提及三角形的高，就要考虑高在三 角形的内部、外部及边上这三种情况 角，叫作三角形的外角.图中的∠ACD为△ABC 的一个外角， 知识点2直角三角形的性质与判定 L.直角三角形可以用符号“R1△”表示. 2.直角三角形的性质与判定 B 如图，在R1△ABC中，直角所对的边AB C D 叫作斜边，夹直角的两条边CA和CB叫作直 2.三角形外角的性质 角边。 性质1：三角形的外角等于与它不相邻的 B 两个内角的和. 斜边 推证：如图，，∠ACD+∠ACB=180°（平 细 角的定义)， 直角边 又∠A+∠B十∠ACB=180(三角形内角 10 第十-章三角形收 和等于180)， ∴.∠ACD=∠A+∠B (*) 性质2：三角形的外角大于与它不相邻的 任何一个内角 推证：由上面的()式易知∠ACD>∠A, 图3 图4 ∠ACD>∠B. 注意总结基本图形的结论是为了便于大 例3(2019·河南中考)如图，AB∥CD, 家记忆，但真正运用的时候，还是要把结论推 ∠B=75°，∠E=27°，则∠D的度数为(). 理一遍 A.45°B.48°C.50° D.58 例④(2024·合肥梦园中学期中)如图， 在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线交于点 O,点D是外角与内角平分线的交点，点E是 外角平分线的交，点.若∠BOC=120°，求∠D和 解析，AB∥CD, ∠E的度数. ∴.∠EFC=∠B=75 ,∠EFC是△EDF的外角， .∠D+∠E=∠EFC=75 H :∠E=27°， ∴.∠D=75-27°=48°. 解析，BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, 答案B ∴.∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB. 知识点4几种常见的基本图形 :∠ABC+∠ACB+∠A=180°， 动0点 从图中可得到以下信息： ∴.2∠OCB+2∠OBC+∠A=180° (1)在图1中，∠1十∠2=∠3+∠4. ∴∠0CB+∠OBC=90°-2∠A. (2)在图2中，若OB,OC分别平分∠ABC, ∠ACB.对∠0C=90+2∠A ,∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°， (3)在图3中，若OB.OC分别平分∠DBC. ∴90°-2∠A+∠B0C=180 ∠BB.则∠B0C=0-∠A ∴∠B0C=90+2∠A (4)在图4中，若OB,OC分别平分∠ABC, 而∠B0C=120°，.∠A=60°. ∠ACD,则∠B0C-∠A ,BD平分∠ABC,DC平分∠ACF, 217 ∴.∠ACF=2∠DCF,∠ABC=2∠DBC :∠DCF=∠D+∠DBC,∠ACF= 3 B ∠ABC+∠A, 图1 图2 .2∠D+2∠DBC=∠ABC+∠A. 11 国避手册人年级教学上册网 ∴2∠D=∠A,即∠D=2∠A ∠P与∠D,∠B之间是否存在一定的数量 关系 :∠A=60°，.∠D=30° ,点E是外角平分线的交点， .∠E=180°-（∠EBC+∠ECB) =180°-2（∠HBC+∠GCB) 4 图1 图2 =180°-2（∠A+∠ACB+∠A+ 分析∠A+∠D与∠B+∠C是同一外角 ∠ABC) 不相邻的两个内角的和， =180°-2180+∠A0 解析(1)∠A+∠D=∠B+∠C =0°-2LA (2)∠D+∠B=2∠P.理由如下： =60°. 由外角的性质得∠D+∠1=∠P+∠3， 例司如图1，已知线段AB,CD相交于点 ∠B+∠4=∠P+∠2， O,连接AD,CB.如图2，在图1的条件下， .∠D+∠1+∠B+∠4=∠P+∠3+ ∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于 ∠P+∠2. 点P,并且与CD,AB分别相交于点M,N.试 又：AP,CP分别是∠DAB和∠BCD的 回答下列问题： 平分线 (1)如图1，直接写出∠A,∠B,∠C,∠D 之间的数量关系 .∠1=∠2，∠3=∠4. (2)如图2，∠D和∠B为任意角，试探究 .∠D+∠B=2∠P. 门-02关建能边提升。 题型1用方程的思想求角的度数 ∠A=60°， 解得 方程思想是数学中的一个重要的思想，我 ∠B=45. 们可以利用方程将几何问题转化为代数问题 答案60°：45. 再进行求解.通过题目中的等量关系，列出相 总结对于三角形中求角的几何问题，我 们通常设未知数，使其代数化，利用二元（或一 关的方程或方程组进行求解. 元)一次方程进行求解，达到几何问题代数化、 例6在△ABC中，∠A-∠B=15°， 代数问题方程化的效果 ∠C=75°，则∠A= ∠B= ◆变式1已知三角形的第一个角是第二 解析由题意可列方程组 ∠A-∠B=15°， 个角的倍，第三个角比这两个角的和大30°， ∠A+∠B+75°-=180°， 求这三个角的度数 12 第十一章三角形 题型2三角形外角的应用 分析∠4是△ABD的外角，得出∠3与 跑方法 ∠2的关系，再在△ABC中运用三角形内角和 与三角形的外角有关的结论： (1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角 等于180°求出∠3. 的和. 解析，∠4是△ABD的外角， (2)三角形的外角与相邻的内角互补 ∴.∠4=∠1+∠2 (3)三角形的外角大于任何一个与它不相邻的 内角。 又∠1=∠2，∠3=∠4， 外角与内角的关系和三角形的内角和定理是求 .∠3=∠4=2∠2. 解三角形角度问题的重要工具，在解题时要灵活运用. 例7如图，在△ABC中，点D是BC边上 ∠2-2∠3. 的-点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63.求 ,∠BAC=63°，∠2+∠3+63°=180°， ∠DAC的度数. ∴号∠3=17，即∠3=78 ,∠4=∠3=78°， 43 D ∴.∠DAC=180°-78°-78°=249 03热点考向聚焦。 考向1三角形内角与外角关系的应用 ∴.∠BDC=∠1+∠3=（∠2+∠4）+ 例8(2023·九江外国语学校期中)如图1， ∠ABD+∠ACD ∠A=40°，∠ABD=∠ACD=20°，则∠BDC =40°+20°+20°=80°. 的度数为 答案80°. 考向2三角形内角和定理的应用 例9(2021·安徽中考)将两个直角三角 板如图所示摆放，其中∠BAC=∠EDF=90°， ∠E=45°，∠C=30°，AB与DF交于点M,若BC 图1 ∥EF,则∠BMD的大小为( 解析如图2，连接AD并延长交BC于，点E F E A.60 B.67.5 图2 C.75 D.82.5 .'∠1=∠2+∠ABD,∠3=∠4+∠ACD 解析由图可得∠B=60°，∠F=45 13 国雕白手册人年级教学上册则 BC∥EF, ∠CMN+∠BMN-90°=∠BMC-90. ∴.∠FDB=∠F=45° 又.∠A=60 ∴.∠BMD=180°-∠FDB-∠B=180°- ∴∠BMC=-90°+2∠A=120 45°-60°=75. .∠1-∠2=30°. 答案C 考向3三角形的内、外角平分线的应用 (3):∠BBC=∠A+2∠ACB.∠BDC 例10(2024·武汉七一华源中学模拟) 2∠ABC. ∠A+ 已知在△ABC中，BD平分∠ABC,CE平分 ∠ACB,BD与CE交于点M “x+y=2∠A+(∠ABC+∠ACB)= (1)如图1，若∠ABC=70°，∠ACB=50°， 求∠BMC的度数. 90+3LA (2)如图2，若MN⊥BC于点N,∠A 又：ZBMC=90+2∠A.∠A=号x+) 60°，求图中∠1一∠2的值， -60°， (3)若∠BEC=x,∠BDC=y,求∠BMC 的度数。 ∴∠BMC-60°+x+y 3 考向4直角三角形的性质与判定的应用 EM 例11(2024·武汉外校模拟)在满足下 列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 图2 (). 解析(1)，BD,CE平分∠ABC,∠ACB, A.∠A-∠B=∠C ∴.∠MBC-2∠ABC,∠MCB=2∠ACB B.∠A:∠B:∠C=3:4：7 C.∠A=2∠B=3∠C ∴.∠MEC+∠MCB=2(∠ABC+∠ACB D.∠A=90°，∠B=81 =2×180°-∠A)=90°-2∠A 解析当∠A=2∠B=3∠C时， 设∠A=,∠B=,∠C-3 ∴∠BMC=180°-(90°-2∠A) 又∠A+∠B+∠C=180°， =90+2∠A=120 :x++3=180, (2),MN⊥BC, x=1080 ∴.∠MNB=90°. 11· ∴.∠2=90°-∠BMN. ∴∠A≠90°. .∠1-∠2=∠1-90°+∠BMN= 答案C 14 第十-章三角形收 口-04学业质量测评。 A基础过关练 测试时问：15分钟 B中考提能练 测试时间：30分钟 L.如图，点D在△ABC的边AB的延长线上， 7.(2019·杭州中考)在△ABC中，若一个内角 DE∥BC,若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的 等于另外两个内角的差，则( 度数是( A.必有一个内角等于30 A.24 B.59 C.60 D.69° B.必有一个内角等于45 y C.必有一个内角等于60 D.必有一个内角等于90 609 E E D B<40o 8.如图，在△ABC中，∠B=25°，∠BAC=31°. C 过点A作BC边上的高，交BC的延长线于 第1题图 第2题图 点D,CE平分∠ACD,交AD于点E.求： 2.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分 (1)∠ACD的度数. ∠ACD,若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD (2)∠AEC的度数. 等于( ). A.40° B.45 C.50° D.55 3.如图，∠1十∠2+∠3+∠4=( A.180° B.360° C.480° D.540° 第3题图 第4题图 9.小明把一副三角尺按如图所示摆放，其中 4.将一副透明的三角板按如图所示叠放，若直 ∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，求 角三角板的斜边AB,CE相交于点D,则 ∠a十∠3的度数. ∠BDC= 5.在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则 ∠C= 6.如图，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD 是∠BAC的平分线，DE平分∠ADC交AC 于点E,求∠BDE的度数 B 15 国雕点手册人年级数学上册) 10.△ABC是任意一个三角形，求证：∠A十|13.如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC, ∠B+∠C=180. AE⊥BC,∠B=40°，∠C=70° (1)求∠DAE的度数. (2)如图2，若把“AE⊥BC”变成“点F在 DA的延长线上，FE⊥BC”,其他条件 不变，求∠DFE的度数. DE C D E C 图1 图2 11.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB,点P 为△ABC内一点，且∠PBC=∠PCA, ∠A=a,求∠BPC的度数， 12.如图所示，BE,CF是△ABC的角平分线， ●C培优突破练 测试时间：25分钟 ∠ABC=80°，∠ACB=60°，EB,CF相交于 14.将一块三角尺DEF放置在△ABC上，使得 点D,求∠CDE的度数 该三角尺的两条直角边DE,DF恰好分别 经过点B,C E (1)如图1，当∠A=45°时，∠ABC+ ∠ACB 度，∠DBC+ ∠DCB= 度 A D B B 图1 图2 16 第十-章三角形收 (2)如图2，改变三角尺DEF的位置，使该 2180°-∠=90-3∠A 三角尺的两条直角边DE,DF仍然分别 经过点B,C,那么∠ABD+∠ACD的 ∴.∠B0C=180°-（∠1+∠2）=180° 大小是否发生变化？若变化，请举例说 (90-2∠A)=90+2∠A 明：若没有变化，请探究∠ABD十∠ACD (1)探究2：如图2，O是∠ABC与外角 与∠A的关系 ∠ACD的平分线BO和CO的交点，则 ∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明 理由 (2)探究3：如图3，O是外角∠DBC与外角 ∠ECB的平分线BO和CO的交点，则 ∠BOC与∠A有怎样的关系（直接写 出结论)？ (3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是 ∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO 的交点，则∠BOC与∠A十∠D有怎样 的关系（直接写出结论）？ B D 图1 图2 B 15.认真阅读下面关于三角形内、外角平分线 所夹角的探究片段，并回答问题， 0 B 探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC 图3 图4 与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通 过分析发现∠B0C=90°+2∠A.理由 如下： ,BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的平 分线， ∴∠1=2∠ABC,∠2=2∠ACB. ∴∠1+∠2=号（∠ABC+∠ACB)= 17画雅g手册八年级教学上册则 当n=6时，铁丝的长度为12，满足题意的(a,,c)有 ∴∠ADE=∠CDE=2∠ADC=48 三组：(2,5,5)，(3,4,5)，(4,4,4). ∠BDE=180°-48°=132°. (2)当n=12时，铁丝的长度为24，则a十b+c=24,且 7,D提示：设这三个内角分别为∠A,∠B∠C由题意 a+b>c. 由此得8≤≤11，即c=8,9.10,11, 可得∠A=∠B-∠C,则∠A+∠C=∠B. a≤≤， :∠A+∠B+∠C=180°， 故满足题意的(a,b,c)共有如下12组：A(2,11,11), ∴.2∠B=180°，即∠B-90 B(3,10,11),C(4,9.11),D(5,8,11),E(6,7,11), 8.(1)∠ACD=∠B+∠BAC, F(4,10,10),G5,9,10),H(6,8,10),1(7,7,10) ∴.∠ACD=25°+31°=56. J(6.9,9),K(7,8,9),L(8,8,8). (2)AD⊥BD (3)答案不唯一，不同的分类标准决定不同的分类结 ∴.∠D=90 果，现举例如下： :∠ACD=56°，CE平分∠ACD, ①按最大边c的值分类，共有四类： ÷∠ECD=∠ACD=28. ②根据是否为等腰三角形分类，共有两类： ③根据最大角与直角的关系分类，共有三类. .∠AEC=∠ECD+∠D=28°+90°=118. 9.如图.：∠a=∠1十∠D,∠3=∠4+∠F,∴∠a十 11.2与三角形有关的角 ∠B=∠1+∠D+∠4+∠F=∠2+∠D+∠3+ [变式1]设这个三角形的第二个角为x°，则第一个角 ∠F=∠2+∠3+30°+90°=90°+30°+90°=210°. 为受，第三个角为（号x+x+30)小 根据三角形内角和等于180°得 2+x+(侵r+r+30)=180, 解得x=30. 10.过任一顶点作其对边的平行线即可证. 号r=号×30=45,2x+r+30=105, 11.在△PBC中， ,∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB) 这个三角形的三个角分别为45°，30°和105. =180°-（∠PCA+∠PCB), 【学业质量测评】 ∴.∠BPC=180-∠ACB. L1.B提示：，DE∥BC, 又：∠ABC=∠ACB,∠A=a .∠D=∠DBC=∠A+∠C=59. ∴∠ACB=90°-号 2.C提示：根据三角形的外角性质求出∠ACD,再根据 角平分线的定义求出∠ECD即可. ∴∠BPC-180-(90°-号）=90°+号 3,D提示：根据三角形内角和为180°及外角与内角的关 12.BE,CF平分∠ABC,∠ACB. 系求解 且∠ABC=80,∠ACB=60, 4.75°.提示：由题意可知∠BAE=45°，∠AED=60°，则 ∴∠DBC-2∠ABC=40, ∠BDC易求. 5.100.提示：∠C=180°-∠A-∠B=100, ∠DCB=号∠ACB=30, 6.在△ABC中，∠BAC=180°-66-54°=60°. ∴.∠CDE-∠DBC+∠DCB=70° ,AD平分∠BAC,∴∠BAD=30 13.(1)在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°， 又，∠ADC=∠B+∠BAD=66°+30°=96，且DE .∠BAC=180°-∠B-∠C=70 平分∠ADC, :AD平分∠BAC, 2 参考答架与提示么超 ∴∠BAD=∠CAD=2∠BAC=35 (3)∠0C-(∠A+∠Dm, AE⊥BC,.∠AED=∠AEC=90° 11.3多边形及其内角和 在Rt△AEC中，∠CAE=90°一∠C=20°， [变式1]设两个多边形的边数分别为3m,4m, ∴.∠DAE=∠CAD-∠CAE=35°-20°=15. 则(31-2)×180°×2=(4n-2)×180°，解得n=1, (2)如图，过点A作AH⊥BC于点H. 即两个多边形的边数分别为3,4. [变式2]360°.提示：把∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6转 移到同一个多边形内即可得到答案， [变式3]如图，连接FG,AE D HE AH⊥BC,FE⊥BC, ∴∠AHD=∠FED=90, ∴AH∥EF, 在四边形BDFG中， ∴.∠DAH=∠DFE ∠B+∠D+∠DFG+∠BGF=360. 由(1)可知∠DAH=15, 在△ACE中， ∴∠DFE=15 ∠C+∠CAE+∠CEA=180° 14.(1)135:90. 在△AEH和△FGH中， (2)不变. ∠FGH+∠GFH+∠FHG=∠HAE+∠AEH+ 在Rt△BDC中，∠D=90°，∴∠DBC+∠DCB=90. ∠AHE=180, 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180' 而∠FHG=∠AHE 即∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACD+∠DCB=180°， 故∠FGH+∠GFH=∠HAE+∠AEH. ∴.（∠DBC+∠DCB)+(∠ABD+∠ACD)+∠A 则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=360°+ =180° 180°=540°. .90°+（∠ABD+∠ACD)+∠A=180° 【学业质量测评】 ∴.（∠ABD+∠ACD)+∠A=90. L.D提示：设∠A=x,则x十2x+4x+5r=360 ∴∠ABD+∠ACD=90°-∠A. 2.B提示：正三角形的每个内角为60°，正六边形的每个 15.(∠B0C=∠A.理由如下： 内角为120°，建立方程60a+1206=360,化简为a+2h :O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的 =6.又因为a,b均为整数，故a=2时，=2：a=4时，b 交点， =1,则a+b的值为4或5. 3.40°.提示：三角形内角和为180° ∴.∠OBC=号∠ABC,∠AC0-号∠ACD=∠OCD 4.40°.提示：四边形内角和为360 又∠ACD=∠ABC+∠A,∠OCD=∠OBC+ 5.3:4:9. ∠BC, 6.设多边形的边数为. ∴∠ABC+∠A=2∠OCD=2(∠OBC+∠BOC) :各内角相等，“各外角也相等，即均为360 ∠ABC+2∠BC. ∴2∠B0C=∠A,即∠B0C=号∠A m=2)180_360|=60.n=3或6. 7.C提示：共转360÷20°=18（次），18×6=108（米）. (2)∠B0C=90°-∠A 8.14.提示：：1993°+167°=12×180°，.n边形内 3