11.1 与三角形有关的线段-【重难点手册】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

11 第十一章三角形 11.1与三角形有关的线段 重点和难点 课标要求 1.掌握三角形的基本概念，能够运用三角形三边的关系解 决一些问题 重点：三角形三边的关系 2.理解三角形的高、中线与角平分线的含义，并会作出这三 难点：三角形的高、中线与角平分线的 种重要的线段 含义及作法 3.了解三角形的稳定性和四边形的不稳定性，并能结合实 例说出它们在日常生活中的应用 01必备知识梳理 知识点1认识三角形 3.三角形的分类 L.三角形的定义 (1)按角分类 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺 直角三角形 三角形 锐角三角形 次相接所组成的图形叫作三角形， 斜三角形 钝角三角形 2.三角形的有关概念 (2)按边分类 (1)顶点：三角形两边的公共点叫作三角 三边都不相等的三角形 形的顶点.如图，点A、点B、点C称为△ABC 等腰∫底边和腰不相等的等腰三角形 的三个顶点。 三角形等边三角形 (2)边：组成三角形的三条线段称为三角 例①读图，回答下列问题. 形的三条边.如图，线段AB,BC,CA即为 △ABC的三条边， (3)内角：在三角形中，每两条边所组成的 D 角叫作三角形的内角.如图，∠A,∠B,∠C是 G △ABC的三个内角. (1)图中有几个三角形？请把它们一一写 出来 (2)写出△ABD的三个内角. (3)以∠C为内角的三角形有哪些？ (4)以线段AB为边的三角形有哪些？ 1 国避手曲人年级教学上册☑ 解析(1)图中有7个三角形，分别是 的长<6，又第三边的长为整数，所以答案为5. △ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC, 答案5. △AEC,△AFG 总结抓住三角形三边的关系，同时还要 (2)△ABD的三个内角是∠ABD,∠BDA, 注意第三边的长为整数这一条件。 ∠BAD. 易错点忽略组成三角形的条件 (3)以∠C为内角的三角形有△ACE, 例各边长度都是整数，最大边长为8的 △ACD,△ACB. 三角形共有 个 (4)以线段AB为边的三角形有△ABD, 正解依题意知，三边长可以为：1,8,8； △ABE,△ABC 2,7,8:2,8,8;3,6,8:3,7,8:3,8,8;4,5,8: 4,6,8:4,7,8:4,8,8:5,5,8:5,6,8:5,7,8 总结数三角形时先固定一点，然后换两 5,8,8:6,6,8;6,7,8:6,8,8:7,7,8；7,8,8: 点法数比较方便.对于复杂的图形，可重新画 8,8,8.共计20个 图，按照三角形形成的先后顺序去数 错解从1到8的8个数字中任取两 知识点2三角形三边的关系 个，认为它们与给定的8均可组成三角形，故 三角形三边的关系：在三角形中，任意两 计数为8×7÷2=28（个）. 边之和大于第三边， 错因未考虑组成三角形的条件，即任 推论：若三条边满足“三角形三边的关 意两边之和大于第三边. 系”，即任意两边之和大于第三边，则这三条边 易错点忽略三角形三边关系的任意性 可以组成一个三角形 例三条线段长分别为2cm,3cm,6cm, 记△ABC的三条边的边长分别为a,b,c, 因为2十6=8>3，即有两边之和大于第三边， 则有： 所以这三条线段可以组成一个三角形() a十b>c,a十c>b,b十c>a(任意两边之和 正解X 大于第三边) 错解√， 它的另一种等价表述形式是： 错因将三角形三边关系的任意性错误 a一c<b.b-c<a,a一b<c(任意两 理解为存在性，正确的判断方法是先对所给 边之差小于第三边). 数据进行大小排序，比如本题2<3<6，然后 例②已知三角形两边的长分别为1和5， 只需考虑较小的两条线段的长度之和是否大 第三边的长为整数，则第三边的长为 于第三条线段的长度，若是，则三条线段能构 解析根据三角形三边的关系“任意两边 成三角形：若不是，如本题2十3<6，则三条 之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” 线段不能构成三角形 求第三边的取值范围，再进一步根据第三边的 6通也 长是整数求解 三角形三边的关系不仅仅是存在“两边之和大 5一1<第三边的长<5十1，即4<第三边 于第三边”，而更应是“任意两边之和大于第三边” 2 第十一章三角形么鱼 知识点3三角形的高、中线和角平分线 易错点忽略三角形的高的定义 例下列各图示中，线段AD是△ABC 三角形的 三角形的高 三角形的中线 角平分线 的高的是( 从△ABC的 连接△ABC 顶点A向它 所对的边BC 的顶点A和 画∠A的平分 线AD,交∠A 所在直线画 它所对的边 所对的边BC BC的中点D. 定义垂线，垂足为 O 所得线段AD 于点D,所得 点D,所得线 线段AD叫作 正解由题意知，线段AD是由顶，点A 段AD叫作 叫作△ABC △ABC中∠A 引出的线段，点A的对边是BC,由三角形的 的边BC上的 △ABC的边 的平分线 中线 高的定义可知，只有当点D是垂足，即AD BC上的高 BC时，AD才是△ABC的高.故选D, 错解B或C 图示 错因易误认为从顶点向邻边作垂线与 对边相交，顶点与交点之间的线段即为高，特 D D 几何 别是在钝角三角形中，更容易出错. 线段 线段 线段 形状 006 点D为BC边 点D为BC边 从顶点向对边所在的直线作垂线，垂线段就是 点D为BC 所在直线上的 上的一点 边上的一点 三角形的高 几何一点，AD⊥BC ∠BAD=∠CAD BD=DC(或 推理（或∠ADB (或∠BAD 知识点4三角形的稳定性 形式∠ADC=90) BD=号BC 1 2 ∠BAC)=AID 1.如果三角形的三边长度确定，那么三角 =AD是边BC 台AD是边 是∠BAC的平 上的高 BC上的中线 形的形状、大小就完全确定了，三角形的这种 分线 性质叫作三角形的稳定性。 例3如图，在△ABC中有 三角形的稳定性有着广泛的应用，如大桥 四条线段DE,BE,EF,FG,点 钢架、高压电线杆的支架等。 D,E,F,G分别为AB,AC,BC 2.四边形不具有稳定性，也就是说，四边 EC的中点，其中有一条线段是B 形的四条边的长度确定后，不能确定它的形 △ABC的中线，则该线段是( 状，因为它的各个角的大小还可以改变 A.线段DE B.线段BE 四边形的不稳定性有着广泛的应用，如活 C.线段EF D.线段FG 动挂架、伸缩尺等.有时我们又要克服四边形 分析根据三角形一边的中点与此边所对 顶，点的连线叫作三角形的中线逐一判断即可. 的不稳定性，如在安装窗框前，先在窗框上斜 解析根据三角形中线的定义可知线段 钉一根木条，使它不变形 BE是△ABC的中线，故选B. 例④小明用7根木条钉成一个七边形的 答案B 木架，为了使该木架稳固，他想在其中加上4根 国雅点手曲人年级教学上册圆 木条，请在图1的三个图中画出你的三种作法 解析如图2（答案不唯一. (1 (2) (3 (2) (3 图1 图2 小02一关建能幼提升。 题型1三角形的计数 ◆变式1下图中有几个三角形？ 和方进 在复杂图形中寻找三角形的方法是先以一个 E∠GH 顶点为基础，然后改变另外两个顶点依次组成三角 形，将含有这个顶点的所有三角形完全确定后，再 以其他的项，点为基础，依次找到所有的三角形，要 题型2三角形三边关系的应用 注意去掉重复计数的三角形.有些数三角形的问题 三角形任意两边之和大于第三边是构成 可以转化为数线段的问题. 三角形的重要依据.任意给定三条线段，并不 比如，在右图中，线段 能保证可以构成三角形，必须用三角形三边的 BBo上有10个点（含B· 关系去验证 Bo),则在该图中有多少个B,BB,·B.B 在实际的验证过程中，并不需要将三边的 三角形？在这个问题中，点A是所有三角形的顶 三种组合关系都验证一次，若能够在给定的三 条线段中找出最长的线段，则只需验证两条较 点，此问题就转化为数线段BB上共有多少条不 短线段的长度之和是否大于最长线段的长度 同的线段 即可.若两条较短线段的长度之和小于或等于 例固下图中有几个三角形？ 最长线段的长度，则不能构成三角形 例8如图，在△ABC中，AB=AC,D为 AC上一点，求证：AC>2(BD+CD), B 分析先选定顶点A,找出以，点A为顶点 的所有三角形，共有△ABC,△ABF,△ADC B 3个：然后去掉点A,找出以点B为顶点的所有 分析只需证明2AC>BD十CD即可.又 三角形，共有△BDE,△BEC,△BDC,△BFC AB=AC,即只需证明AB+AC>BD十CD. 4个；再去掉点B,找出以，点C为顶，点的所有三 证明，AB十AD>BD 角形，只有△CEF1个. ..AB+AD+DC>BD+DC. 解析图中共有8个三角形. ∴.AB+AC>BD+DC 4 第十一章三角形收 .AB=AC, S△uD=BD·AH,Sm=2CD·AH. ∴.2AC>BD+DC 且BD=CD. ·AC>2(BD+DC). ∴.S△wm=S△D. ◆变式2在平面中，用几根火柴首尾相接 例8如图，在△ABC中，点D,E,F,G分 搭成三角形. 别是BC,AC,DC,EC的中点，已知△ABC的 (1)4根火柴能搭成三角形吗？ 面积为1，求△FGC的面积， (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三 角形？ 例☑已知一个等腰三角形的两边长分别 为3和6，则该等腰三角形的周长是 分析分腰长为3和腰长为6两种情况考 解析，AD是△ABC的中线， 虑，先根据三角形三边的关系确定三角形是否 .'BD=DC. 存在，再根据三角形的周长公式求值即可. ,△ABD的BD边上的高与△ADC的 解析当腰长为3时，，3十3=6， 3,3,6不能组成三角形： DC边上的高相同， 当腰长为6时，，3十6=9>6 ∴.SMD=S△xe ∴.3,6,6能组成三角形，该三角形的周长 为3+6+6=15. 答案15. 同理，Sam=合5axSm=号Sam, 变式3一个三角形的两边长分别为3和 8,第三边的长为奇数，则第三边的长为( A.5或7 B.7 ,S6A=1, C.9 D.7或9 题型3利用三角形的中线求面积 色力法 ●变式4如图，D,E分别是△ABC的边 在三角形中，三角形的中线将三角形分成面积 AB,BC上的点，AD=2BD,BE=CE.设 相等的两部分 △ADF的面积为S1,△CEF的面积为S2,若 证明如下： 如图，AD是△ABC的中线，AH是△ABC S△A=6,则S1一S:的值为 的高 B DHC 5 重雅点手细人年级数学上册亿) 03热点考向聚焦。 考向1三角形三边关系的应用 B不符合；3十3=6，故D不符合. 例9(2023·连云港中考)若一个三角形 答案C 的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第 考向2等腰三角形三边关系的应用 三边的长可以为 例1团(2023·福州中考)已知等腰三角 分析根据三角形两边之和大于第三边确 形的周长为18，一边长为4，则它的底边长是 定第三边的范围，再根据题意计算即可。 ( ). 解析设三角形的第三边长为x, A.4B.10 C.4或7 D.4或10 则5-3<x<5十3，即2<x<8. 解析若已知边长4为腰，则三角形的三边 第三边的长为整数， 长分别为4,4,18一4一4=10. .x=3或4或5或6或7. 4十4<10，这与三角形两边之和大于第 答案3、4、5、6或7. 三边相矛盾，故不可能. 例1D(2023·长沙中考)下列长度的各 若已知边长4为底，则三角形的三边长分 组线段能组成一个三角形的是(). A.1 cm,3 cm,4 cm 别为4,1821,7。 B.2 cm,2 cm,7 cm ,4<7=7,4+7>7,满足三角形两边之 C.4 cm,5 cm,7 cm 和大于第三边，故成立 D.3 cm,3 cm,6 cm 综上可知，它的底边长为4. 解析1十3=4，故A不符合；2+2<7，故 答案A 04学业质量测评。 A基础过关练 测试时间：15分钟 是(). 1.(2024·衡阳二中月考)下列长度的各组线 A.20米 B.15米C.10米D.5米 段能组成一个三角形的是(). 0 A.1 cm,2 cm,3 cm B.3 cm,8 cm,5 cm C.4 cm,5 cm.10 cm D.4 cm,5 cm,6 cm 2.一个三角形的三边长分别为4,7，x,那么x B 的取值范围是( 第3题图 第4题图 A.3<x<11 B.4<x<7 4.如图，已知BD⊥AC,点E为△ABC的AC C.-3<x<11 D.x>3 边上的一点，则图中以BD为高的三角形的 3.如图，为估计池塘岸边A,B两地的距离， 个数是( 小方在池塘的一侧选取一点O,测得O4 A.3 B.4 15米，OB=10米，则A,B间的距离不可能 C.5 D.6 6 第十-章三角形组 5.下列说法中正确的是(). 10.小明有长分别为2cm,4cm,5cm,7cm的 A.在△ABC中，BC边上的高是过顶点A向 四根木条，若任选其中三根组成三角形，则 对边所引的垂线 他能组成几个不同的三角形？ B.在△ABC中，BC边上的中线是过点A和 BC边的中点的直线 C.在△ABC中，∠A的平分线是一条射线 D.在△ABC中，BC边上的中线一定在 △ABC的内部 6.读图，回答下列问题. (1)在△ABC中，BC边上的高是 (2)在△AEC中，AE边上的高是 11.如图，在某海岛上有4个哨所，分别位于四 (3)在△FEC中，EC边上的高是 边形ABCD的4个顶点，现在要建立一个 物资储存站H,试问H建在何处，才能使 它到4个哨所的距离之和HA+HB十 HC+HD最小？请说明理由. D 第6题图 第7题图 7.(2023·河北中考)四边形ABCD的边长如 图所示，对角线AC的长度随四边形形状的 改变而变化.当△ABC为等腰三角形时，对 角线AC的长为 B中考提能练 测试时间：20分钟 8.(2018·河北中考)下列图形具有稳定性的 是( 12.已知在等腰△ABC中，AB=8,BC=x十2， AC=2.x,求△ABC的周长. B 9.如图，在△ABC中，已知点D,E,F分别为 边BC,AD,CE的中点，且Sw=16cm, 则S些等于 B 7 国雅点手曲人年级教学上册圆 13.小刚准备用一段长44米的篱笆围成三角 C培优突破练 测试时间：10分钟 形用于养鸡.已知第一条边长为x米，第二 15.用120根长短相同的火柴首尾相接围成一 条边长是第一条边长的3倍多6米， 个三条边互不相等的三角形，已知最大边 (1)若能围成一个等腰三角形，求三边长. 是最小边的3倍，则最小边用了(). (2)若第一条边长最短，写出x的取值范围. A.20根火柴 B.19根火柴 C.18根或19根火柴 D.19根或20根火柴 16.将长度为2n(n为自然数且n≥4)的一根 铁丝折成各边的长均为整数的三角形，记 (a,b,c)为三边的长，且满足a≤b≤c (1)就n=4,5,6的情况，分别写出所有满 足题意的(a,b,c). (2)有人根据(1)中的结论猜想：当铁丝的 长度为2n(n为自然数且n≥4)时，对应 14.(2024·武汉外校模拟)如图，已知P是 (a,b,c)的个数一定是n一3.事实上，这 △ABC内任意一点. 是一个不正确的猜想.请写出n=12时 求证：AB+AC>PB+PC. 的所有(a,b,c),并回答(a,b,c)的个数. (3)试将n=12时所有满足题意的(a,b,c) 按照至少两种不同的标准进行分类 8第十一章三角形 ③若BC=AC,则x十2=2x,x=2,4,4,8,不能构成 三角形.综上，△ABC的周长为22或28. 11.1与三角形有关的线段 13.(1)第三边长为44-(x+3x+6)=38-4x,分类讨 [变式1]根据例5的方法可得图中共有15个三角形. [变式2](1)4根火柴不能搭成三角形， 论：①若x=38-4,则x=3+6=世 5 (2)12根火柴可搭成3种不同形状的三角形，分别为 器+器-<4（舍 4,4,4:5,5,2:5,4,3. [变式3]D提示：根据三角形三边的关系知，第三边 ②若3+6=38-4，则7x=32.r=号. 的长大于5且小于11.又第三边的长为奇数，故选D 3x+6-9+号1 7 [变式]1.提示：，S△u=6,AD=2BD, ÷S6mm=6X号=2同理，5e=6X号-3 三边长分别为号，，警 (2)分类讨论：①若3.x+6为最长边长，则3.x+6>38 ∴.S-S:=S△，ue-S△c=3-2=1. 【学业质量测评】 -4>x且x+38-4>3十6，解得号<r<9: 1.D ②若38-4.x为最长边长，则38一4x≥3.x十6>x且a 2.A提示：根据三角形三边的关系可得7一4<x<7十 +3x+6>38-4,解得4r<号 4,即3x11. 3.D4.D5.D 综上4长K号 6.(1)AB.(2)CD.(3)EF.7.3. 14.如图，延长BP交AC于点D. 8.A提示：三角形具有稳定性， 又4m.提示：Sm=号5am=Sm=名5m 子5%m=}×16=4 10.2+4>5, 在△ABD中，AB+AD>PB+PD, ① ,2,4,5这三根木条能组成三角形： 在△PCD中，PD+DC>PC, ② ,2十4<7，∴.2,4,7这三根木条不能组成三角形： 由①+②得AB+AD+PD+DC>PB+PD+PC,即 4十5>7，∴4,5,7这三根木条能组成三角形： AB+AC>PB+PC. 2+5=7,∴.2,5,7这三根木条不能组成三角形. 15.C提示：根据三角形三边的关系“两边之和大于第三 故小明能组成两个不同的三角形 边，两边之差小于第三边”进行分析判断 11.如图，连接AC,BD,其交点即为H 设三边为a(最小边)，3a(最大边)，b, 的位置.根据两点之间线段最短， 则a<b<3a. ① 可知到4个哨所的距离之和HA 又，2a<bK4a(三角形三边的关系). ② 十HB+HC+HD最小理由如下： 5 由①②得2a<<3a:又4a+b=120.则b=120-4a, 如果任选H点（如图所示），由三角形三边的关系可 则60<120<7a,即120<a<20,则a的取值可为18 HA+HB+HC+HD=AC+BD<H'A+HC+ H'B+H'D. 或者19. 12.①若AB=BC,则8=x+2,x=6,AC=12,△ABC的 16.(1)当n=4时，铁丝的长度为8，满足题意的(a,bc) 周长=28. 只有一组：(2,3,3)： ②若AB=AC,则8=2.x,x=4,BC=6,△ABC的周 当n=5时，铁丝的长度为10，满足题意的(a,b,c)有 长=22. 两组：(2,4,4)，(3,3,4)： 画雅g手册八年级教学上册则 当n=6时，铁丝的长度为12，满足题意的(a,,c)有 ∴∠ADE=∠CDE=2∠ADC=48 三组：(2,5,5)，(3,4,5)，(4,4,4). ∠BDE=180°-48°=132°. (2)当n=12时，铁丝的长度为24，则a十b+c=24,且 7,D提示：设这三个内角分别为∠A,∠B∠C由题意 a+b>c. 由此得8≤≤11，即c=8,9.10,11, 可得∠A=∠B-∠C,则∠A+∠C=∠B. a≤≤， :∠A+∠B+∠C=180°， 故满足题意的(a,b,c)共有如下12组：A(2,11,11), ∴.2∠B=180°，即∠B-90 B(3,10,11),C(4,9.11),D(5,8,11),E(6,7,11), 8.(1)∠ACD=∠B+∠BAC, F(4,10,10),G5,9,10),H(6,8,10),1(7,7,10) ∴.∠ACD=25°+31°=56. J(6.9,9),K(7,8,9),L(8,8,8). (2)AD⊥BD (3)答案不唯一，不同的分类标准决定不同的分类结 ∴.∠D=90 果，现举例如下： :∠ACD=56°，CE平分∠ACD, ①按最大边c的值分类，共有四类： ÷∠ECD=∠ACD=28. ②根据是否为等腰三角形分类，共有两类： ③根据最大角与直角的关系分类，共有三类. .∠AEC=∠ECD+∠D=28°+90°=118. 9.如图.：∠a=∠1十∠D,∠3=∠4+∠F,∴∠a十 11.2与三角形有关的角 ∠B=∠1+∠D+∠4+∠F=∠2+∠D+∠3+ [变式1]设这个三角形的第二个角为x°，则第一个角 ∠F=∠2+∠3+30°+90°=90°+30°+90°=210°. 为受，第三个角为（号x+x+30)小 根据三角形内角和等于180°得 2+x+(侵r+r+30)=180, 解得x=30. 10.过任一顶点作其对边的平行线即可证. 号r=号×30=45,2x+r+30=105, 11.在△PBC中， ,∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB) 这个三角形的三个角分别为45°，30°和105. =180°-（∠PCA+∠PCB), 【学业质量测评】 ∴.∠BPC=180-∠ACB. L1.B提示：，DE∥BC, 又：∠ABC=∠ACB,∠A=a .∠D=∠DBC=∠A+∠C=59. ∴∠ACB=90°-号 2.C提示：根据三角形的外角性质求出∠ACD,再根据 角平分线的定义求出∠ECD即可. ∴∠BPC-180-(90°-号）=90°+号 3,D提示：根据三角形内角和为180°及外角与内角的关 12.BE,CF平分∠ABC,∠ACB. 系求解 且∠ABC=80,∠ACB=60, 4.75°.提示：由题意可知∠BAE=45°，∠AED=60°，则 ∴∠DBC-2∠ABC=40, ∠BDC易求. 5.100.提示：∠C=180°-∠A-∠B=100, ∠DCB=号∠ACB=30, 6.在△ABC中，∠BAC=180°-66-54°=60°. ∴.∠CDE-∠DBC+∠DCB=70° ,AD平分∠BAC,∴∠BAD=30 13.(1)在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°， 又，∠ADC=∠B+∠BAD=66°+30°=96，且DE .∠BAC=180°-∠B-∠C=70 平分∠ADC, :AD平分∠BAC, 2