福建省泉州市奕聪中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

泉州市奕聪中学2024级高一年10月月考数学试卷 （满分150分 时间 120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知命题p：，的否定（    ） A．， B．， C．， D．， 2．在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（     ） A． B． C． D． 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4.集合，若，则a的值为（ ） A. 5或 B. C. D. 5 5. 下列说法正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲､乙､丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（ ） A. 3或4 B. 2或3 C. 1或2 D. 1或3 7．若不等式的解集为R，则实数k的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 8．已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列各组函数中，是同一个函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（    ） A．23 B．38 C．128 D．233 11．若正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最小值9 B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．不等式的解集为 ． 13．已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ． 14. 已知集合，若集合A只有两个元素，则实数a可取的一个值为_____；若集合，集合，当集合C有8个子集时，实数a的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （13分）已知，集合，. （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围. 16. （15分）某公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品利润与投资金额x的函数关系为，B产品的利润与投资金额x的函数关系为（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中且均有投，其中x万元资金投入A产品． （1）请把A，B两种产品利润总和y表示为x的函数，并直接写出定义域； （2）在（1）的条件下，当x取何值时才能使公司获得最大利润？ 17. （15分）已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）当时，解关于的不等式． 18．（17分） （1）是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由; （2）若是的充分条件，求m的取值范围; （3）若=，求m的取值范围. 19．（17分）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等． 例如，，求证：．  证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式（，），当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：，，，即，，当且仅当，即时，有最小值2．请根据以上阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值． (2)若，解关于的方程． (3)若正数，满足，求的最小值． （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期高一年级10月月考 数学试卷解析版 说明： 1．考试时间120分钟，满分150分. 2．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡，填涂好准考证号. 3．将卷I答案用2B铅笔涂在答题卡上，将卷Ⅱ答案用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上，写在本试卷上无效. 卷I（选择题共60分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知命题p：，的否定（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题，即可求出结果． 【详解】命题，， 则，． 故选：B． 2．在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（     ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义一一判定选项即可. 【详解】根据函数的定义可知，中的每一个元素在中都有唯一的元素与之对应， 显然A、B、C符合题意， 而D选项中，E中的元素在中有两个元素对应，不符合函数的定义. 故选：D 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组，解不等式组可求得结果 详解】要使函数有意义，必须，解得且， 则函数的定义域为， 故选：A． 4. 已知集合，若，则实数a的值为（ ） A. 5或 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据求得值，再验证每个取值是否满足条件. 【详解】因为，所以，所以或. 若，则，此时，此时不成立； 若，则或， 当时，，B中有两元素相等，故不成立； 当时，此时，此时成立； 综上：. 故选：C 5. 下列说法正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，举一个反例即可；对于B，先由得，再由得；对于C，举一个反例即可；对于D，作差，根据差值的正负即可判断. 【详解】对于A，若，不一定有，如当时，故A错误； 对于B，因为，所以， 又因为，所以，故B错误； 对于C，若，，则不一定成立， 如当，时，，此时，故C错误； 对于D， ， 因为，，所以， 所以，故，故D正确. 故选：D 6. 甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲､乙､丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（ ） A. 3或4 B. 2或3 C. 1或2 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出C是A的真子集，A是B的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】因为此数为小于5的正整数， 故， 因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件， 所以C是A的真子集，A是B的真子集， 故且，解得， 故“”中的数字可以是1或2. 故选：C 7．若不等式的解集为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的性质，结合分类讨论，即可得到结论． 【详解】若，则不等式为，满足条件， 若，要使不等式恒成立，则满足， 即，则， 所以， 综上，实数的取值范围为． 故选：B 8．已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据判别式进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法、根与系数关系等知识确定正确答案. 【详解】对于函数． ①令，即，满足恒成立， 因此，只需，即，所以． ②令，即或． 设方程的两根分别为，则． 当时，方程有两个正根， 存在，使得，不符合题意，舍去； 当时，方程有两个负根， 因此，只需，即，所以， 综上所述，的取值范围为． 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列各组函数中，是同一个函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AD 【解析】 【分析】逐个选项分别判断函数的定义域与对应法则是否相同即可. 【详解】对于A，，定义域均为，是同一函数； 对于B，与解析式不同，不是同一函数； 对于C，，定义域为，，定义域为R，两个函数定义域不同，不是同一函数； 对于D，，定义域均为R，是同一函数. 故选：AD． 10．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（    ） A．23 B．38 C．128 D．233 【答案】ACD 【分析】直接将各选项的数字变形判断即可. 【详解】因为，故，故A正确； 因为，则，故B错误； 因为，故，故正确； ，故，故D正确． 故选：ACD 11．若正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最小值9 B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】AB 【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式求最值判断A，直接由基本不等式判断BC，消元后利用二次函数求最值判断D. 【详解】，当且仅当时等号成立，故A对； ，则，当且仅当，即时等号成立，故B对C错； 由，则，而， 所以，当且仅当时等号成立，故D错. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可． 【详解】，解得. 故答案为： 13．已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布规律列式求解即得. 【详解】令，显然二次函数的图象开口向上， 而的两根一个比2大另一个比2小，则， 即，解得， 所以实数m的范围是. 故答案为： 14. 已知集合，若集合A只有两个元素，则实数a可取的一个值为_____；若集合，集合，当集合C有8个子集时，实数a的取值范围为__________． 【答案】 第一空. 2（答案不唯一，另一个值为） 第二空. 【解析】 【分析】由方程根的情况求出值即可；由并集的元素个数，分类求解即得. 【详解】由，得或， 由集合A只有两个元素，得方程有两个相等的实根，且该实根不为3， 因此，解得，此时方程的根为1或，符合题意， 所以，取； 由集合C有8个子集，得集合中有3个元素，而，， 则或或或， 当时，方程无实根，，解得， 当时，方程有两个相等的实根1，则， 当时，方程有两个相等的实根4， 而方程有实根时，两根之积为1，因此无解， 当时，方程的两根分别为，同上无解， 实数a的取值范围为. 故答案为：2或-2； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，集合，. （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并运算求解； （2）求出，根据列出应满足的条件. 【小问1详解】 当时，，，； 【小问2详解】 ，，， ∴. 16. 某公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品利润与投资金额x的函数关系为，B产品的利润与投资金额x的函数关系为（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中且均有投，其中x万元资金投入A产品． （1）请把A，B两种产品利润总和y表示为x的函数，并直接写出定义域； （2）在（1）的条件下，当x取何值时才能使公司获得最大利润？ 【答案】（1） （2）时，利润最大. 【解析】 【分析】（1）A，B对于投资金额下的利润求和得到总利润的函数关系式即可； （2）结合函数式特点利用均值不等式求函数最值. 【小问1详解】 由题意，万元投入A产品，则万元投入B产品，则 ，. 【小问2详解】 由（1）得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，公司利润最大. 17. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）当时，解关于的不等式． 【答案】（1）， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可得关于的方程的两个根为和，利用韦达定理得到方程组，解得即可； （2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两个根为和， ，解得，； 【小问2详解】 当时，原不等式可化为，即， 当时，解得或； 当时，解得； 当时，解得或； 综上可知，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 18． （1）是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． （2）若是的充分条件，求m的取值范围 （3）若=，求m的取值范围 【答案】（1）不存在，理由见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）假设存在，则，列出方程组，解之即可； （2）由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解； （3）分类讨论当、时解的情况，即可求解. 【小问1详解】 若存在m的值满足是的充要条件，则， 得，解得，无解， 故不存在这样的m符合题意； 【小问2详解】 若是的充分条件，则， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为； 【小问3详解】 若， 当时，，解得； 当即即时， 或，所以， 综上，或，即实数m的取值范围为； 19．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等． 例如，，求证：．  证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式（，），当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：，，，即，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值． (2)若，解关于的方程． (3)若正数，满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意把代入式中化简计算即可得解； （2）将代入方程后化简计算即可得解； （3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可得的最小值． 【详解】（1）由题意得； （2）由， 故原方程可化为：， 即：， ，即，解得：； （3）由，则有 ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 有最小值，此时有最大值， 从而有最小值，即有最小值． 第12页/共12页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$