2.2.1 有理数的乘法(主书)-【重难点手册】2024-2025学年新教材七年级上册数学（人教版2024）

七年级数学 上册 2 2.2 有理数的乘法与除法 2.2.1 有理数的乘法 重点和难点 课标要求 重点:运用有理数的乘法法则正确进行计算, 1.掌握有理数的乘法法则,能利用它正确进行有理数 难点:有理数乘法法则的探索过程,符号法则及对法 的乘法运算 则的理解. 2.能运用乘法运算律简化运算, 01-备知识梳理 知识点 有理数的乘法法则 例计算: 1.两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝 (1)(-2)×3×4X(-5); 对值相乘. (2)(-5)×(-6)×3×(-2); (3)(-2012)(-2013)×2X(-2024)x 2.任何数与0相乘,都得0 0X(-2025). [注意]“同号得正,异号得负”只适用于 解析(1)(-2)×3×4X(-5)-2X3X 两个非零有理数相乘. 4×5-120. 两个有理数相乘示例 ($2)(-5)X(-6)X3(-2)=-5$6$ 异号得负 同号得正 3×2--180. (3)×(-)=() (-5)x(-4)-4(5×4) (3)(-2012)X(-2013)×2X(-2024)$ -_1 绝对值相乘 绝对值相乘 0X(-2025)-0. 同号两数相乘 异号两数相乘 3.几个不是0的数相乘,积的符号由 (1)两个非零有理数相乘时,先确定积的符号, 负因数的个数决定,当负因数的个数是偶数 再确定绝对值的积. 时,积是正数;当负因数的个数是奇数时,积是 (2)有理数相乘,当因数中有带分数时,先把带 负数. 分数化为假分数再相乘;当因数中既有分数又有小 数时,统一化为分数或小数,再相乘。 4.几个数相乘,如果其中有因数为0,那么 (3)任何数同1相乘都等于它本身,任何数同 积等于0. 一1相乘都等于它的相反数 例计算:-3×(-3)-( ). 知识点 2倒数的概念 A. D-# B.-9 C.9 1.乘积为1的两个数互为倒数,用式子表 点拨两个因数都是负数,所以积是正数。 示为ax-1(其中a≠0),即若a是不等于o 解析-3X(-3)-3×3-9. 答案C 32 第二章 有理数的运算 A.2与-1-21 $B.-+2)##一# 2.相反数与倒数的不同点和相同点 C.-(2)与 {+1 相反数 倒数 都成对出现 D.-1{-0(一< 相同点 只有符号不同的两个 乘积是1的两个数 互为倒数 数互为相反数 -1--与十(2)- 2五 解析 a(a去0)的倒数是 a的相反数是一a 为倒数. ~习 KE 答案D 知识点3有理数乘法的运算律 若a,b互为相反数,则若a,b互为倒数 a+6-0 则ab-1 文字叙述 运算律 用字母表示 乘法 若a十b=0,则a,b互若ab-1,则a,互 有理数乘法中,两个数相乘, 交换律 ab-ba 为相反数 为倒数 交换因数的位置,积相等 乘法 有理数乘法中,三个数相乘, 易错点 倒数的理解错误 先把前两个数相乘,或者先把(ab)c一a(be) 结合律 例 倒数等于它本身的数是 后两个数相乘,积相等 错解 0或1. 有理数乘法中,一个数同两个数 a(十c)= 分配律 错因 本例易错填“0或1”,乘积是1的 的和相乘,等于把这个数分别同 abtac 这两个数相乘,再把积相加 两个数互为倒数,0没有倒数,又因为 例计算: (一1)×(-1)-1,所以一1的倒数也等于它 本身,漏掉一1这个答案,主要受到小学所学 知识的影响. (2)(+##-)#×12 正解 -1或1. 点拨(1)利用乘法交换律和乘法结合律 例B下列说法正确的是( ). A.负数没有倒数 B.正数的倒数比自身小 积相乘即可,(2)利用分配律先计算乘法,然后 把所得结果相加减即可 C.任何有理数都有倒数 解析(1)原式=(10×0.1)×(×6) D.-1的倒数是-1 解析负数也有倒数,例如一2的倒数为 -1×2 -2. (2)原式-×12+×12-1×1 误。0没有倒数,故C错误 答案D -3十2-6 ). 例下列各组数中互为倒数的是 --1. 33 用册 七年级数学 上册 2 02. 关键能力提升 1-71--- 题型 求倒数的方法 (4)因为1.4-1 7' 类型 方法 示例 非零整数 用这个数作分母,1作 的倒数是一-3 a的倒数 题型2运用有理数的乘法法则计算 例计算: 分数( 把这个分数的分子和 (1)3#×(-); 分母交换位置,即 20.n-0) m 的倒数是 是 (2)4×#(1); 的倒数 1-1--3,所 (3)(-)××1.5×(-1); 带分数的 先把带分数化成假分 数,再交换分子和分 以一1的倒数 倒数 母的位置 是一} 解析(1)原式--# -0.5-- 小数的 先把小数化成分数, (2)1#)13- 倒数 再求其倒数 以一0.5的倒数 是-2 (3)原-#-# 例求下列各数的倒数: (1)-2;(2)-#(3)-1;# (4)1.4. (4)原式-0. 题型3 点拨根据定义可知,要求a(a:0)的倒 运用有理数的运算律简化计算 数,只要求一即可。 例计算:(-36)×(-+5-). 7 解析(-30)×(-△-)-3)× 。 (#)#+ (-36)#×+(-3)#×(-1)-16 30+21-7. 变式1计算: (1)-3.14×35.2+6.28×(-23.3)- 1.57×36.4; (2)12×(+)-13×-17×. 34 第二章 有理数的运算 (3)带分数应先化为假分数。 点拨把算式中接近某个整数的因数拆分 (4)几个分数相乘,先约分再相乘 成两个数的和或差,再用分配律进行计算 (5)一个数与几个分数的和相乘,通常可运用 分配律简化运算,但值得注意的是符号不能忽略。 31 -(10×62-1×62)--(620-2)--618 易错点 误用乘法分配律 计算:-12×(1). (#2)57+-77×(1-)+ 例 27 56 --7-10-12 27 =(57+27)- --29. (7)8一8 --7+10+1 点评例9中,直接相乘很麻烦,根据所求 -4. 式的特点,可以把被乘数拆成两项,如将9 错因 错解一是运用分配律时出现符号 成(9+15)或(10-1),然后运用分配律进行计算, 错误,错解二是漏乘了一项. ## 变式2计算: 13#(-), --7+10+12 (1)26 -15. (2)91 运用分配律时出错 运用乘法运算律简化运算的一般方法有 对于形如(a十b十c)的算式,若a,b,c是分 (1)几个数相乘,常将其中积为整数的两个数 数,且k可以分别和a,b,c的分母约分得到整数,则 调整到一起,或将互为倒数的两个数调整到一起 用分配律可以简化运算,注意相乘时括号里的每个 (2)小数与分数相乘,一般先将小数化成分数 数都要带上它前面的符号,且不要漏乘括号中的任 后再乘。 何一项. 03-热点考向聚焦 考向 有理数的乘法运算 B-1 C. D.1 例(2023·天津中考)计算(-)× 答案D ). (-2)的结果是( 例(2023·河泽中考)若实数a,b,( 35 重难用册七年级数学 上册 2J 在数轴上对应点的位置如图所示,则下列式子 (一)一1.,故选项C符合题意;0没有倒数,故 中正确的是( ). 选项D不符合题意 0 答案C A.c(b-a)0 B.b(c-)0 C.a(b-c)>0 考向3新定义问题 D.a(c+b)>0 解析由数轴可知a~0 b<c. 例(经典·雅安中考)P为正整数,现 '.b-a>0,c->0,b-c0,c+b>0 规定P!=P(P-1)(P-2)×...×2×1,若 .c(b-a)>0,b(c-a)>0,a(b-c)>0 n!-24,则正整数n- a(c十b) 0,故选项A,B,D中的式子错误,选 解析 因为P!=P(P-1)(P-2)×.. 项C中的式子正确.故选C $$1=1×2x...(P-2)(P-1)P,所以 答案C m!=1×2x...×(m-1)m=24.因为1$ 2$ 考向2倒数的概念 3×4-24,所以m-4. 例(2023·十堰中考)一3的倒数是 答案4. 。_ ). 例形如 C.- B. 的式子叫作二阶行列 A.3 D.-3 答案C 例(经典·荷泽中考)下列各组数互 为倒数的是( ). bc,依此法则计算 的结果为( ). B.3和} A.4和-4 A.11 B-11 C.5 D.-2 D.0和0 解析根据问题中给出的运算法则,列出 解析4×(一4)去1,故选项A不符合题 算式计算: 答案A 36变式参考答案与提示 -20+(-20)-0 2.2 有理数的乘法与除法 (2)原式=1.125+(-)]+[-3)+(0.6) 2.2.1 有理数的乘法 [变式1] -1十(-4)--3. (1)原式--3.14×35.2-314×46.6-314$182 [变式3]原式-×(-)+×()+ --3.14×(35.2+46.6+18.2) ##×#)++1×(2230)-× --3.14X100 (1-+1-0+-+03 0) --314. 1#(10)-0 -4+3-15 2.1.2 有理数的减法 一-8. [变式1] [变式2] (1)原式-(26+13)x(-14) ##3+(-)11 --(26×1413#1) -(-1)+(-1) --(28十1) --29. (2)原式--(92-)×36 (2)原式-73-4-18-62 -7-18-(4+6) -10-11 2.2.2 有理数的除法 [变式2]:M-N--(-)-[1.2-(-1.2) [变式1] D -25] [变式2](1)一;三. -##22402-5) (2)原式的倒数为(-3+--(-) -+0.170. -(3+--)#×-(-42)--7+9-28+ .MN. 12--14. [喜式3](1) 故原式--1 (2)A 145