2.1.1 有理数的加法(主书)-【重难点手册】2024-2025学年新教材七年级上册数学（人教版2024）

2 第二章 有理数的运算 2.1有理数的加法与减法 2.1.1有理数的加法 重点和难点 课标要求 重点：有理效加法法则的理解和运用。 1.掌提有理数加法法则 难点：异号两数相加， 2.能熟练运用加法法则进行两个或多个有理数的加法计算. 刀01必备知识梳理，一 知识点1有理数的加法法则 错因 (1)对有理数的加法法则理解有误 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝 对值相加.如： (2)没有理解一12的意义，错起-1号 (+5)+(+9)=+(15+|9|)=+14: 拆成-1十2 (-5)+(-9)=-(-51+-91)=-14. 2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对 正解)(-6号)+3号=-(6号 值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较 小的绝对值.如： 3)=-3 (+2)+(-6)=-(|-61-|+21)=-4: 2(-12)+号-1-2+2-1+0 (-2)+(十6)=十(1+61-|-21)=+4. 3.互为相反数的两数相加，和为0.如： (+2)+(-2)=0. @用板 4.一个数与0相加，仍得这个数.如： 用字母表示加法法则 (+5)+0=+5:(-5)+0=-5. (1)同号两数相加时： 易错点滥用加法法则 若a>0,b0,则a+b=+(a+b): 例计算：1-6号)+3 若a<0<0,则a+b=-(a+b). (2)异号两数相加，绝对值不相等时： 2-12+2 若a>0,b<0,a>b, 则a十b=+(a-b): 错解 )原式=-(6号+3》 若a>0,b<0,a<b. 则a+b=一(b一a). =-9导 (3)若a>0,b0,la=lb. (2原式=-1++号=0 则a十b=0. (4)a十0=a. 23 国避食手细七年级数学上册？] 知识点2有理数的加法运算律 根据加数的特点灵活选择 表现形式 例①计算：16+（一25）+24+（一32）+ 运算律 (-5)+(-13). 文字叙述 用字母表示 点拨同号的几个数先相加，容易确定和 加法 两个数相加，交换数的 交换律 a十b=b+a 位置，和不变 的符号，最后剩下一对异号的数相加，和的符 三个数相加，先把前两 号取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值 加法 (a+b)+c=a+ 结合律 个数相加，或者先把后 减去较小的绝对值」 (b+c) 两个数相加，和不变 解析原式=(16十24)十[（一25）+ 在有理数的加法运算中，灵活运用运算律 (-32)+(-5)+(-13)] 可简化运算过程，通常有以下方法技巧：(1)相 =40+(-75) 反数结合法：(2)同号结合法：(3)同分母分数 =-(75-40) 结合法；(4)凑整法：(5)同形结合法.做题时要 =-35. 02关健能力提升。 题型1有理数加法的运算 (3)原式=0. 进行有理数加法运算时，应按照以下“一 (0原式=-31 判二定三加减”的步骤 ◆变式1两个数相加，若和为负数，则这 第一步：判断加法的类型并根据加法的类 型确定使用哪一个法则： 两个数( ). 第二步：根据加数绝对值的大小及加数的 A必定都为负数 B.总是一正一负 符号确定和的符号： C.可以都是正数 D.至少有一个负数 第三步：对绝对值进行加或减，确定和的 题型2运用加法运算律进行简便运算 绝对值 利用有理数的加法运算律可以使得计算 例2计算： 简捷 (1)(-2)+(-5): 例③用简便方法计算： (2(+3号)+(-)： (1)-2.4+(-3.7)+(-4.6)+5.7: (3)(-9.5)+(+9.5): 2)-3+13+(一号)+17. (4(-34)+0. 点拨(1)思路一：先把前面两个数相加， 解析(1)原式=-(2十5)=-7. 再将其结果与第三个数相加，如此计算下去： 2)原式=+3号)=+(38是) 思路二：将和为整数的两个数结合在一起：思 路三：负数相结合，正数相结合，(2)思路：分数 32 相结合，整数相结合 24 第二章有理教的运算么 解析(1)方法一 (5)同形结合法一带分数相加时，先将其拆 原式=[-2.4+(-3.7)]+(-46)+5.7 成整数和分数，再利用加法运算律相加.分开的整 =(-6.1)+(-4.6)+5.7 数部分与分数部分必须保留原分数的符号，运算符 =[(-6.1)+(-4.6)]+5.7 号和性质符号要用括号分开. =-10.7+5.7 (6)并号且绝对值相近的两数可先相加. =-5. 例④你能用两种较简便的方法计算下 方法二 式吗？ 原式=[(-2.4)+(-4.6)]+[(-3.7)+ (+1)+(一2)+(+3)+（一4）+…+ 5.7] =(-7)十2 (+99)+(-100). =-5. 解析方法一原式=[1+（一2）]+[3十 方法三 (-4)]+.+[99+(-100)]=(-1)×100 原式=[(-2.4)+(-3.7)+(-4.6)]+5.7 =(-10.7)+5.7 =-50. =-5. 方法二原式=1+[(-2)+3]+[(-4)+ 2原式=[(-3)+(-号)]+13+1) 5]+…+[(-98)+99]+(-100)=1+1× 49+(-100)=-50. =-1+30 =29. 例6观察下列各式2=1-司·2以3 变式2利用有理数的加法运算律计算： 11111 (1)12+(-13)+8+(-7): 23'3X4=3-4… (21.125+(-3号)+(-8)+(-0.6. (1)请根据以上式子的特点完成下列 电方陆 各题： (1)相反数结合法一互为相反数的两个数可 1 8X9= 3nX(n+1) 先相加 (n是正整数). (2)同号结合法一—符号相同的数先相加，即 可以先把正数与正数、负数与负数分别相结合，避 ②计算：2+文+4+文 1 1 免在确定符号上犯错 (3)同分母分数结合法一把分母相同的分数 ③)计算2+2十3十十叶 1 1 或容易通分的分数结合在一起，对分数的计算，应 从分母出发考虑分组，即将分母相同的分成一组， 2023×2024 以便于计算，若分母有倍数关系的，则先通分再 相加， 解折（哈号十 (4)凑整法—相加得整数的几个数可先 1 11,1 相加， (2)1X2+2X3+3×44X 25 国避白手细七年级数学上册？] 1-++号+ ◆变式3计算：3十文十议7十…叶 =1+(-2+)+(-3+3)+(-4 2023×2025 -司 角现 =1-号 拆项求和 拆项法，即把一项或一个数拆分开，拆项后重 新相加或错位相加，使本来采用常规方法不易解决 或不能解决的计算或比较大小类问题变得容易解 3)2十+3十+…十 决或能解决.例5中，两个相邻正整数的积的倒数 1 可以通过拆项拆成这两个数的倒数的差，再利用 2023×2024 “互为相反数的两数的和为0”将中间的项全部消 去，只剩下首尾两项，便可简化了运算，以下是两个 1 1 常见拆项公式： 20232024 (1)1 11 =1一2024 n(n十1Dnn十万 en1-(日 1 =2023 (2) 2024 03热点老向果焦一， 考向1有理数的加法运算 (-)=-骨=-g+ 刷62021·河北中考)能与-（是-》 方法二一（得-）的湘反数为-8 相加得0的是( ). 答案C A-子昌 nS+ 考向2有理数加法的实际应用 例☑(2020·甘孜州中考)气温由一5℃ c-g+8 n-+ 上升了4℃时的气温是(). 点拨利用加减法互为逆运算，将0减去 A.-1℃ B.1℃ 一（俘一）即可得到对应答案，也可以利用相 C.-9℃ D.9℃ 解析一5十4=-1（℃）. 反教的性质，直接得到能与一（任-）相加得 答案A 例⑧（经典·南京中考）股民吉姆上星期 0的是它的相反数即可 五买进某公司股票1000股，每股27元，下表 解析方法一 0-[-(-)]=0+ 为该股票本周内每日的涨跌情况（单位：元） 26 第二章 有理教的运算组 星期 三 四 五 ①b十c>0:②a+b>a+c:③a+c<0: 每股涨跌 +4 十4.5 -1 -2.5 一4 ④a十b>0. (1)星期三收盘时，每股是多少元？ A.1个 B.2个C.3个 D.4个 (2)本周内每股最高价是多少元？最低价 解析由图可知c<0<b<a,且|a|> 是多少元？ |c>b,故b+c<0,①错误； 点拨本周内每天的股票价格都是在前一 a十c>0,③错误； 天的基础上涨跌的. a十b>0,①正确： 解析(1)27+(+4)+(+4.5)+(-1) 由a+c<a,a十b>a,得a十b>a十c,故② 34.5(元). 正确」 故周三收盘时，每股是34.5元. 答案B (2)本周内每股最高价：27+(+4)+ 例10（经典·黄冈中考）若|x十3|与 (十4.5)=35.5（元）. |2y一4|互为相反数，求x十y的值 最低价：27+(+4)+(+4.5)+(-1)+ 点拨如果两个数互为相反数，那么这两 (-2.5)+(-4)=28(元). 个数的和等于0，所以x十3|十|2y一4=0.由 故本周内每股最高价是35.5元，最低价 绝对值的非负性，可求出x,y的值，然后代入 是28元. 即可 考向3有理数与数轴、相反数、绝对 解析因为x十3|与|2y一4互为相反数， 值等知识的综合 所以x+3+|2y一4|=0. 例日（经典·吉林中考）若有理数a,b,c 又因为x+3≥0，|2y-4|≥0， 在数轴上的位置如图所示，则下列式子中正确 所以x十3=0,2y-4=0, 的有( 于是x=一3，y=2. c b u -2寸0123 故x十y=-3十2=-1. 27重雕点手册七年级教学上册) 变式参考答案与提示 第一章有理数 即100-(3+5)=20，解得1=10（秒）. 1.1正数和负数 所以经过10秒后，两只电子蚂蚁在数轴上相距 [变式1】C提示：-4，-2，-}，-1.23是 20个单位长度. 第二种情况，相遇后相距20个单位长度， 负数 100÷(3+5)=12.5(秒)，即P,Q两只电子蚂蚁在 1.2有理数及其大小比较 12.5秒时相遇. 1.2.1有理数的概念 20÷(3十5)=2.5（秒），即P,Q两只电子蚂蚁相 [变式1]C提示：A项中，有理数应该包括正有 遇后继续运动2.5秒时，彼此相距20个单位 理数、0和负有理数：B项中也漏掉了O:D项中的 长度 非正整数是指0和负整数，不包括分数。 所以经过15秒后，两只电子蚂蚁在数轴上相距 [变式2]如图所示. 20个单位长度 答：经过10秒或15秒时，两只电子蚂蚁在数轴上 号.2012. 12 3.1416, 0,2012 -3.141 5 20,5.1,0,8% -0.1234.-88 -88 ，-0.1234 相距20个单位长度. 20,5.1.0.83 1.2.3相反数 正默集合 负数宋合 整架合 分数集合 [变式1]A提示：C的对面是0，B的对面是2， 1.2.2数轴 A的对面是一1. [变式]D 1.2.4绝对值 [变式2]C提示：点A可以向右移，也可以向 [变式1](1)±6.(2)0.(3)±3.(4)±士4， 左移. ±3，士2，土1.0. (5)±4. [变式3](1)如图所示. L2.5有理数的大小比较 月。9含言A [变式1]A (2)A,B,C三点表示的数分别为4，一1,1. [变式2](1)如图所示. (3)点C可以看作蚂蚁从原点出发，向右爬行1个 -x0-y王 单位长度 (2)x>-y>0>y>-x. [变式4】设经过t秒后，两只电子蚂蚁在数轴上相 第二章有理数的运算 距20个单位长度， 2.1有理数的加法与减法 本题分两种情况：相遇前相距20个单位长度和 2.1.1有理数的加法 相遇后相距20个单位长度. [变式1]D 第一种情况，相遇前相距20个单位长度. [变式2](1)原式=(12+8)+[（一13）+(-7)] 144 变式参考答案与提示么 =20+(-20)=0. 2.2有理数的乘法与除法 2)原式=[1.125+(-g)门]+[(-3号)+(-Q6)】 2.2.1有理数的乘法 [变式1] =1+(-4)=-3. (1)原式=-3.14×35.2-3.14×46.6-3.14×18.2 [变式3】原式-2×（日-）+2×（合吉）H =-3.14×(35.2+46.6+18.2) 2×(号-)++号×20a202)-2× =-3.14×100 =-314. (1-青+}-号+日号+…+2222) 1 (2②)原式=12×号+12×号-号×13+1) =号×-20)28器 2025 =4+3-15 2.1.2有理数的减法 =-8. [变式山原式=-号-1}名号 [变式2] (D原式=(26+)×(-) =(-号)+(1)】 =-(2×普+贤×)》 =(-10+(-1)】 =-(28+1) =-29. =-2是 (2)原式=-(92-克)×36 (2)原式-7景-42-18}-6号 =-92×36+7×36 =(7g-18)-(42+62) =-3312+2 =-10-1 =-331 =-21 2.2.2有理数的除法 [变式2]1 M-N=-号-(-号)-1.2-(-12》 [变式1]D -25] [变式2](1)一：三. =-号+号-24-25) (2原式的倒数为合是+号号)(》 -号+01>0. =(信是+号号)×(-2)=-7+0-28+ ∴.M>N 12=-14, [支武】a0哈牛巴号 .(2)A 故原式一 145