1.2.4 绝对值(主书)-【重难点手册】2024-2025学年新教材七年级上册数学（人教版2024）

第-章有理散么 1.2.4绝对值 重点和难点 课标要求 重点：理解绝对值的意义，求一个有理数的绝对值 1.了解绝对值的表示方法，理解绝对值的意义 难点：绝对值的几何意义。 2.会计算有理数的绝对值 01必备知识梳理一◆ 知识点1绝对值的意义 错因 忽视0也满足条件a|=一a 1.绝对值的几何意义 0的绝对值是它本身，也可以说0的相反数 一个数a的绝对值就是数轴上表示数a 是它本身。 的点到原点的距离.数a的绝对值记作a, 正解B 这就是说，求一个数a的绝对值，也就是 及果拔 求它到原点的距离。 (1)在数轴上，表示一个数的点离原，点越近，这 2.绝对值的代数意义 个数的绝对值越小：离原点越远，这个数的绝对值 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的 越大 绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. (2)绝对值是它本身的数是非负数，即若|a 绝对值的代数意义可以用式子表示为： 4,则a≥0：绝对值是其相反数的数是非正数，即若 a(a>0). |a=一a,则a≤0. 1a={0(a=0), (3)绝对值是某个正数的数有两个，它们互为 -a(a<0). 相反数，即若lx=a(a>0),则x=士a,如x=2, 例☐(2023·宁夏中考)-号的绝对值是 则x=士2 (4)互为相反数的两个数的绝对值相等，即若 a一一b,则|a=b:绝对值相等的两个数相等或 A.- 互为相反数，即若|a=b,则a=b或a=-b. c. D.- 2 知识点2绝对值的性质 答案C 1.绝对值具有非负性，任何一个数的绝对 例②绝对值为4的数是 值总是正数或0，即有a0, 答案4或-4. 2.取绝对值也是一种运算，这个运算的符 易错点 忽视关键数0 号是“1”，求一个数的绝对值就是根据性质 例若a=一a,则数a在数轴上的对应 去掉绝对值符号. 点一定在( . 3.任何一个有理数都可以看成是由两部 A.原点左侧 B.原点或原点左侧 分组成：符号和它的绝对值.如一5，符号是负 C.原点右侧 D.原点或原点右侧 号，绝对值是5. 错解A 4.互为相反数的两个数的绝对值相等：反 17 国雕点手册七年级数学上册圆 之，绝对值相等的两个数可能相等，也可能互 A.|一a是正数 B.|一a不是负数 为相反数 C.一a是负数 D.|一a不是正数 例③下列说法中正确的是( 答案B 02关键能动提升。 题型由数求绝对值 解析由绝对值的几何意义知： 求一个数a的绝对值，要先判断这个数4 (1)数轴上表示十3和一3的点到原点的 是正数、负数或0，再由绝对值的代数意义求出 距离都是3，所以绝对值等于3的数有两个，即 这个数的绝对值.若遇到复杂的情形，可以先 十3和-3. 化简，也可以由绝对值的几何意义求绝对值. (2)到原点距离为0的点就是原点，所以 例4求下列各数的绝对值： 绝对值等于0的数只有一个，就是0. (1)-2.1:(2)+(-3)； (3)距离不可能是负数，所以不存在到原 解析(1).-2.1<0，∴.一2.1=2.1. 点的距离为负数的点，也就不存在绝对值等于 (2)+(-3)=-30, 一4的数。 .+(-3)川=|-3=3. 例6(2024·武汉水果湖二中检测)已知 3-引-号 |x=2,y=3且xy,求x,y. 引=-引= 点拨绝对值为某一正数的数有两个，它 们互为相反数.求解x,y的过程中要注意限定 题型2由绝对值求数 条件“xy” (1)绝对值为0的数只有一个，即0：绝对 值为某一正数的数有两个，它们互为相反数. 解析，|x=2,y=3, 绝对值不能为负数 .x=士2，y=士3. (2)绝对值相等的两个数，它们可能相等， 又'x<y,.x=2,y=3或x=-2,y=3. 也可能互为相反数， ◆变式1(1)已知一个数的绝对值等于6， (3)遇到含绝对值的不等式问题，可结合 则这个数是 数轴，用绝对值的几何意义来解答或转化为绝 (2)若引x=0,则x= 对值的值再用其代数意义求解。 (3)已知|a=b1且a=一3，则b= 例固(1)绝对值是3的数有几个？求出这 几个数： (2)绝对值等于0的数有几个？求出这几 (4)绝对值不大于4的所有整数为 个数： (5)已知x是整数，且3<x<5,则x= (3)是否存在绝对值等于一4的数？ 18 第-章有理散么9 -03热点考向聚焦-。 考向1求一个数的绝对值 ABI=10B+OA=6+lal=-6+a= 例7(2023·扬州中考)一3的绝对值是 la-bl. ). 综上所述，数轴上A,B两点之间的距离 AB=a-bl. A.-3 B.3 C.3 D.土3 0 解析根据绝对值的定义知|一3=3. 图1 图2 答案B B AO 考向2绝对值非负性的应用 6a0→ B O A b 0 a 图3 图4 例8（经典·成都中考）已知|a十1|+ 回答下列问题： 1b-2|=0,求a+b的值 (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离 点拨若n个非负数的和为0，则每一个非 是 ,数轴上表示一2和一5的两点之 负数都为0. 间的距离是 ,数轴上表示2和一3的 解析1a+1≥0，b-2|≥0,1a+1|+ 两点之间的距离是 b-2|=0, (2)数轴上表示x和2的两点A和B之间 ∴.1a+1=0,b-2=0. 的距离是 ,如果|AB引=1，那么x= ∴.a十1=0，b-2=0. ∴.a=-1,b=2..a+|b=1+2=3. (3)当代数式x+1|十x一2取最小值 考向3用绝对值表示数轴上两点间的 时，相应的x的取值范围是 距离 解析(1)表示2和5的两点之间的距离为 |5-21=|3=3: 例⑨（经典·安徽中考）阅读下列材料： 表示一2和一5的两点之间的距离为 点A,B在数轴上表示的数分别是a,b. -2-(-5)|=|31=3: A,B两点之间的距离表示为AB.当A,B两 表示2和一3的两点之间的距离为|2一 点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如 (-3)1=15=5. 图1所示，AB引=OB=b=a-b1.当A, (2)表示x和2的两点之间的距离是AB= B两点都不在原点时，有以下三种情况： 1x-2. (1)如图2所示，当点A,B都在原点的右 若|AB=1,即|x-21=1,得x-2=1或 边时，|AB=|OB-|OA|=|b-la=b x-2=-1,解得x=3或x=1. a=la-bl; (3)要使表示数x的点A到表示一1,2的 (2)如图3所示，当点A,B都在原点的左边 两，点的距离之和最小，只需点A在一1与2之 时，lAB=1OB|-1OA=|b1-|a=-b 间，即x的取值范围为一1≤x≤2， (-a)=|a-b: 答案(1)3：3：5.(2)x-21:1或3. (3)如图4所示，当点A,B在原点两边时，(3)一1≤x≤2. 19重雕点手册七年级教学上册) 变式参考答案与提示 第一章有理数 即100-(3+5)=20，解得1=10（秒）. 1.1正数和负数 所以经过10秒后，两只电子蚂蚁在数轴上相距 [变式1】C提示：-4，-2，-}，-1.23是 20个单位长度. 第二种情况，相遇后相距20个单位长度， 负数 100÷(3+5)=12.5(秒)，即P,Q两只电子蚂蚁在 1.2有理数及其大小比较 12.5秒时相遇. 1.2.1有理数的概念 20÷(3十5)=2.5（秒），即P,Q两只电子蚂蚁相 [变式1]C提示：A项中，有理数应该包括正有 遇后继续运动2.5秒时，彼此相距20个单位 理数、0和负有理数：B项中也漏掉了O:D项中的 长度 非正整数是指0和负整数，不包括分数。 所以经过15秒后，两只电子蚂蚁在数轴上相距 [变式2]如图所示. 20个单位长度 答：经过10秒或15秒时，两只电子蚂蚁在数轴上 号.2012. 12 3.1416, 0,2012 -3.141 5 20,5.1,0,8% -0.1234.-88 -88 ，-0.1234 相距20个单位长度. 20,5.1.0.83 1.2.3相反数 正默集合 负数宋合 整架合 分数集合 [变式1]A提示：C的对面是0，B的对面是2， 1.2.2数轴 A的对面是一1. [变式]D 1.2.4绝对值 [变式2]C提示：点A可以向右移，也可以向 [变式1](1)±6.(2)0.(3)±3.(4)±士4， 左移. ±3，士2，土1.0. (5)±4. [变式3](1)如图所示. L2.5有理数的大小比较 月。9含言A [变式1]A (2)A,B,C三点表示的数分别为4，一1,1. [变式2](1)如图所示. (3)点C可以看作蚂蚁从原点出发，向右爬行1个 -x0-y王 单位长度 (2)x>-y>0>y>-x. [变式4】设经过t秒后，两只电子蚂蚁在数轴上相 第二章有理数的运算 距20个单位长度， 2.1有理数的加法与减法 本题分两种情况：相遇前相距20个单位长度和 2.1.1有理数的加法 相遇后相距20个单位长度. [变式1]D 第一种情况，相遇前相距20个单位长度. [变式2](1)原式=(12+8)+[（一13）+(-7)] 144