1.2.1 有理数的概念(主书)-【重难点手册】2024-2025学年新教材七年级上册数学（人教版2024）

第一章有理散么 1.2有理数及其大小比较 1.2.1有理数的概念 重点和难点 课标要求 重点：正确理解有理数的概念 1,理解有理数的意义 难点：正确理解有理数的分类标准和按照给定的标准 2.能把给出的有理数按要求分类，知道“0”在有理数 对有理数进行分类。 分类中的作用 01必备知识梳理 知识点1有理数及其相关概念 数，可以写成21一1或2n十1(n为整数)的 L.整数 形式 正整数、0、负整数统称为整数，如一3， 例①将下列各数填在相应的横线上， -2,0,1,2,3等. -50,+10,1,-3+102,51.2,-806, 2.分数 正分数，负分数统称为分数，如2号0.2。 0.02.+1g 其中，正整数有 ,分数有 -1.25,-日等 ,正分数有 ,非正 3.有理数 数有 整数和分数统称为有理数. 点拨Q2可以表示成号，所以Q,2是分就 4.部分常用的数 解析正整数有+10,1，+102： (1)正整数：如1,2,3，…： 负整数：如一1，一2，一3，…， 分数有-号51.2，-306,0.2，+1点 (2)正分数：如2，号0.15.320.3… 正分数有51.2.02.+10： 负分数：如-日-号-01.-532， 非正数有-50，一5，-3.06,0， -0.3,… 纺0写 (3)非负数：正数和0： 任何一个有理数都可以写成”(m,n是整数， 非正数：负数和0. m≠0)的形式. [注意]引入负数之后，小学学过的奇数 有限小数 和偶数的范围就相应地扩大了，奇数和偶数也 小 有理数（可以化为分效） 数 无限循环小数 可以是负数，如一6，一4，一2都是偶数，可以写 无限小数 无限不循环小数（不可以化为分数） 成2n(n为整数)的形式；一5，-3，-1都是奇 5 重避点手册七年级数学上册划 数细分为五类，即正整数、正分数、0、负整数、 因为有限小数和无限循环小数都可以化为分 负分数 数，所以有限小数和无限循环小数都是有理数 例2(2024·华中科技大学附属中学月考) 有理数只包括整数和分数，无限不循环小数不 是有理数，如我们学过的π就不是有理数. 把下列各数填人图1圆圈内的相应位置， 易错点 对有理数分类时，未能理解“非正 30.618.-314,260,-207,9, (负)”的含义 -1,-53%,0. 例在数-2,1.5，十号0，-3.14,10. -1.14,一0.5，一30中，属于非负整数的有 止数集合 装数集合 负数华合 错解 15,+ 图1 2,0,-3.14,100,-1.14 点拨将大于0的数填入正数集合，将正整 -0.5. 数、0和负整数填入整数集合，将小于0的数填 错因认为不是负整数的数都是非负 入负数集合， 整数 解析如图2所示 正解因为非负整数指正整数和0，所 以属于非负整数的有0,100. 0.618,6 260 -2007 3.-3.14 0, 1, 53%. 4… 知识点2有理数的分类 正数集合 整数朵合 负数华合 1.按数的正、负分类 图2 正整数 动板 正有理数 正分数 (1)对于有理数的分类，一般应遵循以下原则： 有理数0 ①分类不重合一所分各类应互不包容，如将 有理数分为非负有理数、0和非正有理数就违反了 负整数 负有理数 这一原则： 负分数 ②分类无遗漏—所分各类之和必须是原来 2.按整数、分数分类 的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏 正整数 掉了0： 整数o ③标准要统一—一必须按同一分类标准进行 有理数 负整数 分类，如将有理数分为正有理数，0和负分效，分类 正分数 标准就不统一， 分数 负分数 (2)有理数的两种分类方法最终都把有理数分 两种分类方法有一个共同点：都是将有理 成了正整数，负整数、正分数、负分数和0. 6 第一章有理散么 口02关健能力提升。 题型1运用有理数的概念判定正误 题型2运用有理数的概念进行数的分类 几个常用数学概念的含义： 数集是具有某些共同特征的数的集合.比 (1)正整数：既是正数，又是整数的数： 如：{0,1,2,3,4，…}是自然数集，{一2，一4，一6， (2)负整数：既是负数，又是整数的数： 一8，…}是负偶数集等.数集可以用大括号表 (3)正分数：既是正数，又是分数的数： 示，也可以用一个封闭的曲线圈起来表示.所 (4)负分数：既是负数，又是分数的数： 有的有理数组成的数集叫作有理数集：所有的 (5)非正数：负数和0： 整数组成的数集叫作整数集：所有的正数组成 (6)非负数：正数和0： 的数集叫作正数集；所有的正整数和0组成的 (7)非正整数：负整数和0： 数集叫作自然数集，也叫作非负整数集 (8)非负整数：正整数和0. 例④将下列各数按要求分别填人相应的 例3下列说法中错误的有( . 集合中 ①-2号是负分数：②1.5不是整数：③非 -93.6,+3量-7号0，-10，+是， 负有理数不包括O:④正整数、负整数统称为有 -2.25,0.01,+65,-号0.21 2 理数：⑤0是最小的有理数：⑥3.14不是有 理数 正整数集合： …}: A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 负整数集合：{ …} 解析①②是正确的： 正分数集合：( …} 非负有理数包括正有理数和0，所以③不 负分数集合：{ …7: 正确； 负数集合：{ …} 有理数包括五类：正整数、负整数、0、正分 非负数集合：《 …} 数和负分数，所以④不正确； 点拨首先明确各数集的意义，然后按要 负数比0小，所以⑤不正确： 求分类。 3.14是有限小数，可以化成分数形式，它 解析正整数集合：{6，十65，…； 是有理数，所以⑥不正确 负整数集合：{一100，…}： 答案D 正分数集合： ◆变式1下列说法中正确的是( A.正有理数和负有理数统称为有理数 +3+是.0010.2i…: B.正整数和负整数统称为整数 负分数集合： C.整数和分数统称为有理数 D.非正整数就是指0、负整数和所有分数 -9.3,-73-2.25号…： 国雕白手细七年级教学上册团 负数集合： {-9.3-73-100,-2.25,-号…： 非负数集合： 止数集合 负数集合 6,+3}0,+0.01,+65,0.2i… ◆变式2把下列各数填入相应的集合内. 号，-81160.2012.-9-01234 4 20%,5.1,0.83,-88. 教数集合 分数华合 03热点考向聚焦。 考向1有理数的分类 考向2规律探究题 例固（经典·重庆中考）如图1所示，大圆 例6（经典·宁波中考）观察下列图形： 覆盖的区域表示有理数的范围，中圆覆盖的区域 表示整数的范围，小圆覆盖的区域表示正整数的 范围，把下列各数填入它所属的集合的圆内. 第1个 第2个 第3个 第4个 图形 图形 图形 图形 它们是按一定规律排列的，依照此规律， 图1 第9个图形中共有 个 15,-51，-532，-0 3 解析方法一第1个图形有1十3=4（个； 123,2.333. 第2个图形有1十3十3=1十3×2=7（个）*： 点拨本题考查应用有理数的定义分类， 故可以运用有理数的分类表填空。 第3个图形有1+3+3+3=1+3×3= 正整数：15,123 10(个)*： 整数0 有 第4个图形有1+3+3+3+3=1+3× 负整数：一5，一80 警 分数：-日是3 4=13(个)*： 9'15-180.1,-5.32,2.333 解析如图2所示 第9个图形有1+3十3+3+3+3+3+ 3+3十3=1十3×9=28（个）*， -5 15 方法二每增加一个图形，★的个数就增 -80 123 0.1 加3个，故第n个图形中的个数为(1十3n) -5.32 2.333 个.当n=9时，1十3n=1十3×9=28（个）. 图2 答案28. 8手册 七年级数学 上册 2 变式参考答案与提示 第一章 有理数 即100-(3+5)/-20,解得/-10(秒). 1.1 正数和负数 所以经过10秒后,两只电子蚂蚁在数轴上相距 20个单位长度. 第二种情况,相遇后相距20个单位长度 负数. 100-(3+5)-12.5(秒),即P,Q两只电子蚂蚁在 1.2 有理数及其大小比较 12.5秒时相遇 1.2.1 有理数的概念 20-(3+5)-2.5(秒),即P,Q两只电子蚂蛟相 [变式1] C 提示:A项中,有理数应该包括正有 遇后继续运动2.5秒时,彼此相距20个单位 理数、0和负有理数;B项中也漏掉了0;D项中的 长度. 非正整数是指0和负整数,不包括分数 所以经过15秒后,两只电子蚂蚁在数轴上相距 [变式2] 如图所示. 20个单位长度 .-3.116 答,经过10秒或15秒时,两只电子幅效在数轴上 22o1. 31416 0.2012. - 20.5.10.83 -0.1234.-8 相距20个单位长度 205.1.0.83 1.2.3 相反数 正数集合 数集台 取集合 分数集合 [变式1] A 提示:C的对面是0,B的对面是2 1.2.2 数轴 A的对面是-1. [变式]D 1.2.4 绝对值 [变式2] C 提示:点A可以向右移,也可以向 [变式1](1)士6.(2)0. (③)士3. (4)士4, 左移, 士3,士2.士1.0. (5)士4. [变式3] (1)如图所示 1.2.5 有理数的大小比较 [变式1] A (2)A,B.C三点表示的数分别为4.-1,1 [变式2(1)如图所示. (3)点C可以看作蚂蚁从原点出发,向右爬行1个 单位长度. (2)x-y>0>y-x. [变式4] 设经过7秒后,两只电子蚂蚁在数轴上相 第二章 有理数的运算 距20个单位长度 2.1 有理数的加法与减法 本题分两种情况:相遇前相距20个单位长度和 2.1.1 有理数的加法 相遇后相距20个单位长度 [变式1]D 第一种情况,相遇前相距20个单位长度 [变式2](1)原式-(12+8)十[(-13)+(-7)] 144