考点2函数与导数-2020-2024五年高考数学真题专项分类汇编

考点2 函数与导数 ——五年（2020—2024）高考数学真题专项分类汇编 一、选择题 1．[2023年 新课标Ⅰ卷]设函数在区间单调递减，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 2．[2021年 新高考Ⅱ卷]已知，，，则下列判断正确的是( ) A. B. C. D. 3．[2024年 新课标Ⅱ卷]设函数，若，则的最小值为( ) A. B. C. D.1 4．[2020年 新高考Ⅰ卷]基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间(单位:天)的变化规律，指数增长率与，近似满足，有学者基于已有数据估计出，.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为( ) A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 5．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 6．[2023年 新课标Ⅱ卷]已知函数在区间单调递增，则a的最小值为( ) A. B.e C. D. 7．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列结论中一定正确的是( ) A. B. C. D. 8．[2021年 新高考Ⅰ卷]若过点可以作曲线的两条切线，则( ) A. B. C. D. 9．[2021年 新高考Ⅱ卷]设函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，则( ) A. B. C. D. 10．[2024年 新课标Ⅱ卷]设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则( ) A.-1 B. C.1 D.2 二、多项选择题 11．[2023年 新课标Ⅰ卷]已知函数的定义域为R，，则( ) A. B. C.是偶函数 D.为的极小值点 12．[2023年 新课标Ⅰ卷]噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则( ) A. B. C. D. 13．[2024年 新课标Ⅰ卷]设函数，则( ) A.是的极小值点 B.当时， C.当时， D.当时， 14．[2024年 新课标Ⅱ卷]设函数，则( ) A.当时，有三个零点 B.当时，是的极大值点 C.存在a，b，使得为曲线的对称轴 D.存在a，使得点为曲线的对称中心 三、填空题 15．[2021年 新高考Ⅰ卷]已知函数是偶函数，则____________. 16．[2021年 新高考Ⅰ卷]函数的最小值为________. 17．[2024年 新课标Ⅰ卷]若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则___________. 18．[2021年 新高考Ⅱ卷]已知函数，，，函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则的取值范围是___________. 四、解答题 19．[2024年  新课标Ⅱ卷]已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 20．[2023年 新课标Ⅰ卷]已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 21．[2022年 新高考Ⅱ卷]已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，证明：. 22．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知函数. （1）若，且，求a的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求b的取值范围. 23.[2022年 新高考Ⅰ卷]已知函数和有相同的最小值. （1）求a； （2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 参考答案 1．答案：D 解析：由题意得在区间上单调递减，所以，解得.故选D. 2．答案：C 解析：，即. 故选：C. 3．答案：C 解析：由及，单调递增，可得与同正、同负或同为零，所以当时，，即，所以，则，故选C. 4．答案：B 解析：，，. 若则，，，选B. 5．答案：B 解析：因为函数在R上单调递增，且当时，，所以在上单调递增，所以，即；当时，，所以函数在上单调递增.若函数在R上单调递增，则，即.综上，实数a的取值范围是.故选B. 6．答案：C 解析：法一：，由在区间单调递增可知，当时，恒成立.当时，，不符合题意.当时，设，则，则在单调递增，所以只需，解得，故选C. 法二：由题意可知在区间上恒成立，即，.设，则在上恒成立，所以在上单调递增，，所以，即，故选C. 7．答案：B 解析：因为当时，，所以，.对于，令，得；令，得；依次类推，得；；；；；；；；；；；….显然，所以，故选B. 8．答案：D 解析：设，则.过点可以作曲线的两条切线，设切点，则，所以切线方程为. 将代入切线方程，得，即.因为过点可以作两条切线，所以方程有两个不相等的实数根.设，，则函数与的图象有两个交点.因为，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，所以.又当时，，当时，，所以要使两函数的图象存在两个交点，则.综上所述，.故选D. 9．答案：B 解析：因为函数是偶函数，所以，则函数的图象关于直线对称.因为函数是奇函数，所以，则，即，所以，且函数的图象关于点对称.又，则，所以，所以.又函数的图象关于直线对称，所以，故选B. 10．答案：D 解析：解法一：令，即，可得， 令，， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到，均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则，， 又因为，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 11．答案：ABC 解析：取，则，故A正确；取，则，所以，故B正确；取，则，所以，取，则，所以，所以函数为偶函数，故C正确；由于，且函数为偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，所以可能为函数的极小值点，也可能为函数的极大值点，也可能不是函数的极值点，故D不正确.故选ABC. 12．答案：ACD 解析：因为随着p的增大而增大，且，，所以，所以，故A正确；由，得，因为，所以，故C正确；假设，则，所以，所以，不可能成立，故B不正确；因为，所以，故D正确. 13．答案：ACD 解析：因为，所以，令，解得或，当或时，，当时，，所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，故是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以A正确. 当时，，即，又函数在上单调递增，所以，所以B错误. 当时，，函数在上单调递减，所以，所以C正确. 当时，，所以，所以D正确. 综上，选ACD. 14．答案：AD 解析：由题可知，. 对于A，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，，，当时，，故有三个零点，A正确；对于B，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，B错误； 对于C，当时，，当时，，故曲线必不存在对称轴，C错误； 对于D，解法一：，令，则可转化为，由为奇函数，且其图象关于原点对称，可知的图象关于点对称，则的图象关于点对称，故存在，使得点为曲线的对称中心，D正确.故选AD. 解法二：任意三次函数的图象均关于点成中心对称，D正确.故选AD. 15．答案：1 解析：本题考查函数的奇偶性.因为为偶函数，所以，所以，由得. 16．答案：1 解析：本题考查分段函数的概念与单调性.因为所以当时，单调递减，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.又因为，所以当时，取得最小值1. 17．答案： 解析：由题，令，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为.令，则，设直线与曲线相切于点，则，得，则，所以，所以. 18．答案： 解析：当时，，；当时，，.因为函数的图象在点A，B处的两条切线互相垂直，所以，即，所以.因为，，所以函数的图象在点A，B处的切线方程分别为，，分别令，得，，所以，，所以.令，则，所以函数在上单调递增，所以.又当时，，，所以当时，，所以，所以的取值范围是. 19．答案：（1） （2） 解析：（1）当时，，则， 则. ，所以切点坐标为， 所以切线方程为，即. （2）易知函数的定义域为R，. 当时，，函数在R上单调递增，无极值； 当时，由，得，由，得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的极小值为. 由题意知，等价于. 法一：令， 则， 所以函数在上单调递减， 又，故当时，；当时，. 故实数a的取值范围为. 法二：由，得. 如图为函数与在区间上的大致图象， 由图易知当时，，即. 所以实数a的取值范围为. 20．答案：(1)当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 解析：(1)， 当时，， 所以函数在上单调递减； 当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上可得：当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (2)由(1)得当时，函数的最小值为， 令，， 所以，令，得；令，得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值为， 所以当时，成立. 21．答案：（1）当时，单调递减； 当时，单调递增 （2） （3）证明见解析 解析：（1）当时，，所以. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. （2）令，则对恒成立等价于对恒成立. 因为，所以. 令，则，则. ①若，即，则， 所以，使得当时，有，即， 所以单调递增，所以，矛盾. ②若，即， 则， 所以在上单调递减，所以，符合题意. 综上所述，实数a的取值范围是. （3）证明：令，，则. 所以在上单调递增.所以，即. 令，则， 所以，即， 所以 . 故. 22．答案：（1）-2 （2）证明见解析 （3） 解析：（1）的定义域为， 若，则，， 当时，，，则， 故a的最小值为-2. （2） ， 故曲线关于点中心对称. （3）由题知， 此时， . 记，，易知在上单调递减，在上单调递增，， 当时，，，在上单调递增， 又，故符合题意. 当时，，， 令，得， 因为，所以，故，， 所以当时，，，在上单调递减，故，不符合题意. 综上，b的取值范围为. 23.（1）答案： 解析：的定义域为R，的定义域为. ，. ①当时，恒成立，所以在R上单调递增，即没有最小值，不符合题意. ②当时，在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在时取得极小值，即为最小值，最小值为. 在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在时取得极小值，即为最小值，最小值为. 因为和有相同的最小值， 所以，即. 因为，所以上式等价于. 令，则恒成立， 所以在上单调递增. 又因为且，所以. （2）答案：证明见解析 解析：证明：由（1）知，. 在上单调递减，上单调递增，且； 在上单调递减，上单调递增，且. 所以曲线，的大致形状如图所示. 设直线与曲线，三个交点的横坐标分别为，，， 所以，，，且， ， 所以，即. 又，，所以，，① 且，即.② 由①②得， 所以存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 学科网（北京）股份有限公司 $$