第十三章 轴对称——13.3.2 等边三角形 课时3 含30°直角三角形的性质同步练习2024-2025学年人教版数学八年级上学期

数学（人教版）| 八年级（上） 同步练习 第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形 13.3.2 等边三角形 课时3 含30°直角三角形的性质 一．选择题 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝60°，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB交BC于点D，∠BAC＝120°，AD＝6，则BC的长为（　　） A．18 B．10 C．11 D．12 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E，DE＝2，则CE的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 4．如图，在△ABC中，AB＝21cm，AC＝12cm，∠A＝60°，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当△APQ为直角三角形时，t的值为（　　） A．2.5秒 B．3秒 C．2.5或3秒 D．3或秒 5．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则BC：AB等于（　　） A．2：1 B．1：2 C．1：3 D．2：3 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BD＝6，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） A．1 B． C． D． 二．非选择题 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，AC＝9，则AE＝　 　． 9．如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F．过点F作FE⊥BC于点E，则EC的长为 　 　． 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE垂直平分AB，分别交BC，AB于点D，E，若AD＝2，则BC＝　 　． 11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E．若CE＝8，则线段AE的长度等于 　 　． 12．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为　 　米． 13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，腰AB的垂直平分线交底BC于点D，垂足为点E． （1）求∠BAD的度数； （2）若DB＝2cm，求CB的长． 14．上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°． （1）求从海岛B到灯塔C的距离； （2）这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔C的距离最短？ 15．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）若CD＝2，求DF的长． 答案 一．选择题 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝60°，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵CD是AB边上的高线， ∴CD⊥AB， ∵∠ACB＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝30°， ∵∠B＝60°，BC＝AB， ∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°， ∴BD＝BC，CD＝AC， ∴BD＝AB． 故选：D． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB交BC于点D，∠BAC＝120°，AD＝6，则BC的长为（　　） A．18 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×（180°﹣120°）＝×60°＝30°， ∵AD⊥AB， ∴∠DAB＝90°， ∴BD＝2AD＝12，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝30°， ∴∠C＝∠CAD＝30°， ∴CD＝AD＝6， ∴BC＝BD+CD＝12+6＝18， 故选：A． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E，DE＝2，则CE的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】解：连接AE，如图： 在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝120°， ∵点D是AB的中点，DE⊥AB， ∴DE是线段AB的垂直平分线， ∴BE＝AE， ∴∠B＝∠DAE＝30°， 在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，DE＝2， ∴AE＝2DE＝4， ∵∠BAC＝120°，∠DAE＝30°， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣30°＝90°， 在Rt△CAE中，∠C＝30°，AE＝4， ∴CE＝2AE＝8． 故选：B． 4．如图，在△ABC中，AB＝21cm，AC＝12cm，∠A＝60°，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当△APQ为直角三角形时，t的值为（　　） A．2.5秒 B．3秒 C．2.5或3秒 D．3或秒 【答案】D 【解析】解：根据题意得：AP＝AB﹣BP＝21﹣3t，AQ＝2t， ∵△APQ为直角三角形，∠A＝60°， ∴当∠AQP＝90°，∠APQ＝30°时，则， ∴， 解得：t＝3， 当∠APQ＝90°，∠AQP＝30°时，则， ∴， 解得：， 综上，当t的值为3秒或秒时，△APQ为直角三角形， 故选：D． 5．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则BC：AB等于（　　） A．2：1 B．1：2 C．1：3 D．2：3 【答案】B 【解析】解：由题意设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°， ∴x+2x+3x＝180， 解得：x＝30， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°， ∴AB＝2BC， ∴BC：AB＝1：2， 故选：B． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BD＝6，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D， ∴DA＝DB＝6， ∴∠DAB＝∠B＝15°， ∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝30°， ∵∠C＝90°， ∴AC＝DA＝3． ∴故选：A． 7．如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2， ∵DF⊥AC，FE⊥BC， ∴∠AFD＝∠CEF＝90°， ∴∠ADF＝∠CFE＝30°， ∴AF＝AD，CE＝CF， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝1， ∴AF＝，CF＝，CE＝， ∴BE＝BC﹣CE＝2﹣＝， 故选：C． 二．非选择题 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，AC＝9，则AE＝　6　． 【答案】6 【解析】解：连接BE． ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴BE＝AE，∠A＝∠ABE＝30°． 在Rt△ABC中，∵∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°． ∴∠CBE＝30°， ∴AE＝BE＝2CE， ∵AE+CE＝AC＝9， ∴2CE+CE＝9， 解得CE＝3， ∴AE＝6． 故答案为：6． 9．如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F．过点F作FE⊥BC于点E，则EC的长为 　　． 【答案】． 【解析】解：∵△ABC为等边三角形，BC＝4， ∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝4， ∵DF⊥AC，FE⊥BC， ∴∠AFD＝∠CEF＝90°， ∴∠ADF＝∠CFE＝30°， ∴， ∵D是AB的中点， ∴AD＝2， ∴AF＝1， ∴CF＝3， ∴， 故答案为：． 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE垂直平分AB，分别交BC，AB于点D，E，若AD＝2，则BC＝　3　． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∵DE垂直平分AB， ∴∠DAB＝∠CAD＝30°， ∴∠DAB＝∠B， ∴AD＝BD＝2，CD＝AD＝1， ∴BC＝CD+BD＝3， 故答案为：3． 11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E．若CE＝8，则线段AE的长度等于 　16　． 【答案】16． 【解析】解：如图，连接BE， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠A＝∠ABE＝30°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°， 在Rt△CBE中，CE＝8，∠CBE＝30°， ∴BE＝2CE＝16， ∴AE＝BE＝16， 故答案为：16． 12．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为　12　米． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：如图， ∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°， ∴AB＝2CB， 而BC＝4米， ∴AB＝8米， ∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC＝12米． 故答案为：12． 13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，腰AB的垂直平分线交底BC于点D，垂足为点E． （1）求∠BAD的度数； （2）若DB＝2cm，求CB的长． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴∠BAD＝∠B＝30°； （2）∵∠BAC＝120°，∠BAD＝30°， ∴∠CAD＝90°，又∠C＝30°， ∴CD＝2AD＝4， ∴BC＝CD+DB＝6cm． 14．上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°． （1）求从海岛B到灯塔C的距离； （2）这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔C的距离最短？ 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）∵∠NBC＝60，∠NAC＝30°， ∴∠ACB＝60°﹣30°＝30°， ∴AB＝BC， ∵AB＝15×2＝30海里， ∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里； （2）过C作CP⊥AB于P， 则线段CP即为小船与灯塔C的最短距离， ∵∠NBC＝60°，∠BPC＝90°， ∴∠PCB＝90°﹣60°＝30°， ∴PB＝BC＝15海里， ∴15÷15＝1小时， ∴这条船继续向正北航行，在上午的11时时间小船与灯塔C的距离最短． 15．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）若CD＝2，求DF的长． 【答案】（1）30°； （2）4． 【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°． ∵DE∥AB， ∴∠B＝∠EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°， ∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°， ∵EF⊥ED， ∴∠DEF＝90°， ∴∠F＝30°； （2）∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°， ∴∠F＝∠FEC＝30°， ∴CE＝CF． ∵∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°， ∴CE＝DC＝2． ∴CF＝2． ∴DF＝DC+CF＝2+2＝4． 学科网（北京）股份有限公司 $$