3.2.1函数的单调性第一课时课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1 函数的单调性（第一课时） 同学们还记得我们学过哪些函数图像吗？ 一、情境导入 气温变化曲线图 股票的涨幅变化情况 请同学们观察下列两幅图，能说一说图的变化特点吗？ 二、探究新知 请同学们观察下列函数图像，在初中我们是如何描述它们的变化趋势的？ 图像语言： 在轴左侧，随的增大而减小， 在轴右侧，随的增大而减小。 图像语言： 在轴左侧，随的增大而增大， 在轴右侧，随的增大而增大。 如何用符号语言来严格描述图像的变化呢？ 归纳：函数单调性 x y 0 设函数f (x)的定义域为I，区间D⊆I， 如果∀x1， x2∈D， 当x1<x2，都有f (x1) < f (x2)，那么就称f (x)在区间D上单调递增；D就叫做函数f (x)的单调递增区间，简称增区间。 如果∀x1， x2∈D， 当x1<x2，都有f (x1) > f (x2)，那么就称f (x)在区间D上单调递减；D就叫做函数f (x)的单调递碱区间，简称减区间。 特别的： 函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数； 函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． f(x)在区间D上单调递增⇔∀x1，x2∈D且x1<x2, 都有f (x1)<f (x2) ⇔∀x1，x2∈D, (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 f(x)在区间D上单调递减⇔∀x1，x2∈D且x1<x2, 都有f (x1)>f (x2) ⇔∀x1，x2∈D, (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 知识补充： 视频了解函数单调性： 1、写出下列函数的单调区间 单调递减区间为 单调递增区间为 单调递减区间为 单调递增区间为 课堂练习： 【例1】根据定义,研究函数 f(x)=kx+b(k≠0) 的单调性． 【分析】根据函数单调性的定义，需要考察当x1<x2时，f(x1)<f(x2)还是f(x1)>f(x2). 根据实数大小关系的基本事实，只要考察f(x1)-f(x2)与0的大小关系. 证明： 三、典例分析 观看视频，如何用定义证明函数单调性： 归纳：用定义证明函数单调性的步骤: （1）取值，任取x1，x2且x1＜x2; （2）作差： f(x1)－f(x2) ; （3）变形： ①分解因式, 得出因式乘积； ②配成同号的式子和； （4）判断 f(x1)－f(x2) 的符号； （5）下结论． 【例2】根据定义证明函数 在区间(1,+∞)上单调递增． 证明： . 函数 作差 变形 定号 下结论 取值 1、根据图像写出下列函数的单调区间： 四、课堂练习 课堂小结 1、单调函数的图像特征： 2、函数单调性的定义： 3、证明函数单调性的步骤： （1）取值，任取x1，x2且x1＜x2; （2）作差： f(x1)－f(x2) ; （3）变形： ①分解因式, 得出因式乘积； ②配成同号的式子和； （4）判断 f(x1)－f(x2) 的符号； （5）下结论． 观看视频 人生如函数单调性，应耐心等待，拐点的人生会让我们体验到不一样的生活。 即 ①当 时， 因为 ，所以 ． 所以 是增函数． ，且 ，则 即 ②当 时， 【变式】证明函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)在(2，＋∞)上单调递增． 【证明】∀x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq \f(4,x1)－x2－eq \f(4,x2) ＝(x1－x2)＋eq \f(4（x2－x1）,x1x2)＝eq \f(（x1－x2）（x1x2－4）,x1x2). ∵2<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>4，x1x2－4>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． ∴函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)在(2，＋∞)上单调递增． $$