26.1 反比例函数 解答题专练 2023—2024学年人教版数学九年级下册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第26章 26.1 反比例函数 解答题专练（解析版） 1．如图，点A为函数图象上的一点，过点A作x轴的平行线交 轴于点B，连接，如果的面积为2，求k的值． 【答案】 【分析】根据在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，再根据反比例函数的图象位于第一象限即可求出k的值． 【详解】解：根据题意可知：轴，则轴于B， ∴， 解得：， 又反比例函数的图象位于第一象限，， 则． 故k的值为4． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 2．已知反比例（为常数，）的图象经过点 (1)求的值 (2)当时，求函数的取值范围； (3)点，在这个反比例函数图象上，且，比较、、0的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的解析式求解及其增减性，熟记相关结论是解题关键． （1）将点代入即可求解； （2）分别求出当和时的函数值即可求解； （3）根据反比例函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得： ， ∴ （2）解：由（1）得：， 当时，； 当时，； ∴ （3）解：∵， ∴反比例函数在一、三象限，随的增大而减小 ∵， ∴ 3．参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … 4 2 1 … … m 4 2 1 …    (1)__________________． (2)请画出函数的图象； (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向__________平移__________个单位长度而得到的； ③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标） 【答案】(1) (2)见解析 (3)①减小；②右；2；③ 【分析】（1）把代入函数即可解答； （2）用一条光滑曲线顺次连接所描的点即可； （3）数形结合，观察函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入， 得， ∴， 故答案为； （2）函数图象如图所示：    （3）解：①当时，随的增大而减小； ②的图象是由的图象向右平移2个单位长度而得到的； ③图象关于点中心对称； 故答案为：①减小；②右；2；③． 【点睛】本题考查了类反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握列表，描点，连线作图及数形结合得到函数性质． 4．已知与成反比例，且当时，，求： (1)与之间的函数关系式； (2)当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求自变量的值： （1）根据题意，设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）将代入（1）中解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵时，， ∴， ∴， ∴； （2）当时，则：， 解得：． 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，且，，． (1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】这是一道一次函数和反比例函数的综合问题，考查了待定系数法求一次函数（反比例函数）关系式，求反比例函数和一次函数的交点，对于（1），根据，可求，得出点A，B的坐标，再根据待定系数法求出直线的关系式，结合，即点C的横坐标为，将代入直线关系式求出点C的坐标，进而得出反比例函数关系式； 对于（2），先求出点D的坐标，再根据可得答案． 【详解】（1）∵， ∴， ∴点． ∵一次函数经过点A，B， ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为． ∵， ∴点C的横坐标为， 将代入，得， ∴点． ∵反比例函数经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的为； （2）将两个函数关系式联立，得 ， 解得， 当时，， ∴点， ∴． 6．如图，已知的锐角顶点在反比例函数的图象上，且的面积为3，，求： (1)点的坐标； (2)函数的解析式； (3)直线的函数关系式为，求的面积？ 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意，由的面积可求得，即可得到的坐标； （2）因为点在反比例函数的图象上，所以根据的坐标即可求出函数解析式； （3）根据直线解析式求的坐标，得的长，从而得的长，再根据面积公式求解． 【详解】（1）解：根据题意得， （2）解：点在反比例函数的图像上 反比例函数解析式为 （3）解：当时， 解得： 7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点D，与y轴交于点B，与x轴交于点C．        (1)求m的值以及点D坐标； (2)P为x轴上的一动点，的面积6时，求P点坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题． （1）把点A的坐标代入一次函数的解析式求出m，联立方程组求 D点坐标； （2）根据题意得出B ，C点的坐标，根据面积6，求得的长，设P点坐标为，故，解得或．进而得出结论． 【详解】（1）解：把点代入，得．     联立， 得． （2）易知，，， 则．     设P点坐标为，故， 解得或．     所以P点坐标为或． 8．如图，函数与的图象交于点，直线与函数的图象分别交于B，C两点．    (1)求a和b的值； (2)求的长度； (3)根据图象写出时x的取值范围（不需说明理由）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数和反比例函数交点问题，解题的关键是： （1）把代入，可求出b，把代入，可求出a； （2）分别求出B、C的纵坐标，即可求解； （3）根据A的坐标和图象得出即可． 【详解】（1）解：依题意，将代入，得． 点的坐标为． 将代入，得，即． （2）解：由（1）得． 当时，点的纵坐标为4． 当时，点的纵坐标为1． ． （3）解：当时的取值范围是． 9．中考过后，我们会是双曲线两个分支上的两个点，随着时间的流逝，我们渐行渐远吗？如图，还是点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，已知，． (1)直接写出C点坐标 (2)求反比例函数的解析式； (3)若点P在x轴上，且，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)反比例函数的解析式为 (3)或 【分析】（1）设交y轴于点D，由点C是点A关于y轴的对称点，可知，再由可求出的长，故可得出A、C点坐标． （2）根据（1）中A点坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式． （3）设，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：设交y轴于点D，， ∵点C是点A关于y轴的对称点，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：由（1）知， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （3）解：∵点P在x轴上， ∴设， ∴， ∵，即， ∴， 解得， ∴或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式及反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意得出的长是解题的关键． 10．如图，直线与反比例函数（）的图象交于点，与x轴交于点B，平行于x轴的直线（）交反比例函数的图象于点M，交于点N，连接． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时不等式的解集； (3)直线沿轴方向平移，当n为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1)m =8，； (2)； (3)，的面积最大，最大值为． 【分析】本题考查反比例函数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考常考题型． （1）求出点的坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的的取值范围； （3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：∵直线经过点A(1，m)， ， ， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ∴由图象得，不等式的解集为； （3）解：由题意得，点M，N的坐标分别为，， ， ，， ， ∵， 时，的面积最大，最大值为． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图绳交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为． (1)求反比例函数表达式和一次函数的解析式； (2)直接写出当时，自变量的取值范围； (3)连接、，求的面积； (4)已知点P为图中双曲线上的一点，而且，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2)当时，自变量的取值范围为或 (3) (4)点的坐标为或或或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）运用待定系数法求出反比例函数解析式，即可得出点的坐标，再根据待定系数法求解即可得出一次函数的解析式； （2）根据函数图象即可得解； （3）先求出得到，再根据计算即可得解； （4）分两种情况：过点作的平行线交反比例函数于，则直线的解析式为，联立，求解即可；②在y轴上取点N，使，过N作于H，过点O作于G，过N点作的平行线交反比例函数于， 可求出直线的解析式为，联立，求解即可． 【详解】（1）解：∵轴，垂足为M，，， ∴， 把代入反比例函数，可得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 令，则， ∴， 把，代入一次函数可得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由图象可得：当时，自变量的取值范围为或； （3）解：在中，令，则，即， ∴， ∴； （4）解：①如图，过点作的平行线交反比例函数于，则， ， 故直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴点的坐标为或； ②在y轴上取点N，使，过N作于H，过点O作于G，过N点作的平行线交反比例函数于， 则 又， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴点P的坐标为或， 综上，点P的坐标为或或或． 12．如图所示，的顶点A在反比例函数的图象上，直线交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线、，垂足分别为点E、F，且． (1)若点E为线段的中点，求k的值； (2)若为等腰直角三角形，，其面积小于3． ①求证：； ②延长交双曲线第三象限于点D，连接，求三角形的面积． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）由点为线段的中点，可得点坐标为，进而可知点坐标为：，代入解析式即可求出； （2）①由为等腰直角三角形，可得，再根据同角的余角相等可证，由即可证明； ②设点，由可得，进而求出直线解析式和反比例函数解析式，联立求出点坐标，最后求的面积即可． 【详解】（1）解：点为线段的中点，， ，即点坐标为， 又轴，， ， 把代入可得：， ； （2）解：①在为等腰直角三角形中，，， ， ∵过点A、B分别作y轴的垂线、， ，， ， 在和中， ， ∴， ②解：设点坐标为，则，， ∵， ，， ， 设直线解析式为：，将两点代入得： 则． 解得， 当时，，，，符合； 当时，，，，不符，舍去； ∴， ∴， ∴直线解析式为， 把代入可得：， ∴反比例函数， 联立，解得或， ∴， 过作轴于，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题属于代几综合题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数的性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形性质等知识，熟练掌握三角形全等的性质和判定和数形结合的思想是解本题的关键． 13．如图，已知一次函数经过第一、二、三象限，且与反比例函数交于A和B点，交y轴于C点，， (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点A点横坐标是m，的面积是S，求S关于m的函数解析式； (3)已知的面积是，判断过A和B点的抛物线在x轴上截得的线段长度能否等于3．如果能，求其解析式；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】（1过点B作轴于点H，由，可得，可求得；设反比例函数的解析式为：，将代入即可求解； （2）由题意得，可求出直线的解析式为：得出，根据即可求解； （3）由题意得，设过A和B点的抛物线的解析式为：，可推出 ；设抛物线与x轴的交点分别为，若过A和B点的抛物线在x轴上截得的线段长度等于3，则，即；结合根与系数的关系可得，判断此一元二次方程有无实数根即可求解； 【详解】（1）解：过点B作轴于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， 设反比例函数的解析式为： ∴， ∴反比例函数的解析式为： （2）解：∵点A横坐标是m，且点在反比例函数的图象上， ∴， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴ （3）解：由解得：， ∴， ∴， 解得：， ∵，即：， ∴， ∴， 设过A和B点的抛物线的解析式为：， 则， 解得：， 设抛物线与x轴的交点分别为， 若过A和B点的抛物线在x轴上截得的线段长度等于3，则， ∴，即， 由得：， ∴， 整理得：， ∵， ∴过A和B点的抛物线在x轴上截得的线段长度不能等于3 【点睛】本题考查了函数综合问题，涉及了反比例函数、一次函数、二次函数的解析式求解，一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的函数基础． 14．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点与轴交于点，与轴交于点，已知点坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式和一次函数的表达式； (2)观察图像直接写出时的取值范围是______； (3)若为轴上一动点，请直接写出当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式：；一次函数的表达式： (2)或 (3)或或 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式和反比例函数式，图像法求不等式取值范围，等腰三角形性质即勾股定理． （1）根据题意将坐标代入中即可求出反比例函数式，继而求出的值，再将坐标代入中即可求出一次函数解析式； （2）根据图像交点即可得到本题答案； （3）分三种情况找到点，一个点在轴负半轴时，另两个点在轴正半轴时，再利用勾股定理及等腰三角形性质即可求出本题答案． 【详解】（1）解：根据题意将点坐标代入中得：， ∴反比例函数的表达式：， ∵点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为， ∴将点，点代入中得： ，解得：， ∴一次函数的表达式：； （2）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点， ∵点，点， 通过图象可知： ， 当或时，； （3）解：∵点， ∴， ∵为轴上一动点， ∴过点作轴，是以为腰的等腰三角形， ， ∴当在轴正半轴时，， ∴，即， ∴当在轴负半轴时，， ∴， ∴当在轴正半轴时，， ∴， 综上所述：点的坐标为或或． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点 . (1)求反比例函数的表达式； (2)当时.直接写出的取值范围； (3)若点在双曲线上，点在平面上，是否存在点、点，使四边形为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、勾股定理，矩形的性质： （1）将点A代入函数中可得到函数表达式，进而可求得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可； （2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果； （3）过点作交轴于点，勾股定理得出点的坐标，再求出直线的表达式，与反比例函数联立方程组即可． 【详解】（1）解：∵点，在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得到：， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：联立，解得或， ∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为， 由函数图像可知，当时，一次函数图像在反比例函数图像上方， ∴当时，； （3）解：存在，理由如下： 如图所示，设直线交y轴于点， ∵四边形为矩形 ∴，则以点A为直角顶点的直角三角形， 由一次函数解析式可得， ∵， ∴，，， 在中， ∴， ∴， 解得：， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或， 即点P的坐标为， ∴在双曲线上存在点P，使四边形为矩形，此时点P的坐标为． 16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．    (1)求，的值； (2)直线过点A，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接． ①求的面积； ②利用图象信息，直接写出不等式的解集． ③点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1)， (2)①8；②；③点坐标为或 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，结合平行四边形的性质求点的坐标等知识，解决问题的关键是画出图形，清晰分类． （1）根据一次函数的解析式可以求出a的值，再将点A的坐标带入反比例函数的解析式，即可求出k的值； （2）①先根据求出点C的坐标，再根据即可求得答案；②找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分的取值范围即可；③分别根据为对角线、为对角线和为对角线三种情况展开讨论即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得，， ∴， 把，代入得，， ∴； （2）解：点，点的纵坐标是0，， 点的纵坐标是，把代入，得， ， ①如下图所示，作轴于，交于，作轴于，    当时，， ， ， ， ； ②由图象可得，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象上或上方， ∴当时，； ③设，， ，． 当为对角线时，， ， 当为对角线时 解得， ， ， 舍去 当为对角线时 解得：， 综上点坐标为或． 17．已知，直线与反比例函数交于点，且点的横坐标为4，过轴上一点作垂直于交于点，如图． (1)若点是线段上一动点，过点作，，垂足分别于、，求线段长度的最小值． (2)在（1）的取得最小值的前提下，将沿射线平移，记平移后的三角形为，当时，在平面内存在点Q，使得A、、、Q四点构成平行四边形，这样的点Q有几个？直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)最小值为； (2)这样的点有3个，，，． 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，设点的坐标为，则，，利用勾股定理可找出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求出的最小值，进而可得出段长度的最小值； （2）由点，横坐标间的关系可得出，由（1）的结论结合平移的性质，可得出平移后点，，的坐标，分为对角线、为对角线以及为对角线三种情况，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可求出点的坐标，此题得解． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将代入，，解得：， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则，， ，即． ， 当时，取得最小值，此时最小值，最小值为， 线段长度的最小值为． （2）解：由（1）可知，当最小时，点的坐标为． 点的横坐标为8，点的横坐标为4， ， 平移后点与点重合， 平移后点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 设点的坐标为，分三种情况考虑，如图所示： ①当为对角线时，，，， ， 解得：， 点的坐标为； ②当为对角线时，，，， ， 解得：， 点的坐标为； ③当为对角线时，，，， ， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：符合题意的点有3个，点的坐标为，，． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、勾股定理、坐标的平移以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质，解决最值问题；（2）分为对角线、为对角线以及为对角线三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分求出点的坐标． 18．如图， 反比例函数 的图象与一次函数的图象交于C、E两点． 且一次函数图象交y轴于点A． (1)求C、E点的坐标； (2)求的面积； (3)点M在x轴上移动，是否存在点M使为等腰三角形？ 若存在，请你求出所有满足条件的M点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或或， 【分析】本题考查反比例函数图象与性质、一次函数的应用、勾股定理、等腰三角形性质等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． （1）联立反比例函数与一次函数求解方程组即可； （2））先求出点坐标，根据计算即可． （3）设，，，，分三种情形①当时，②当时，②当时，分别列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象与一次函数的图象交于C、E两点， ∴联立，整理得， 解得， ∴或， 经检验或都是方程组的解， ∴，； （2）解：一次函数的解析式为与轴交于点 ． （3）解：如图，， ， 设， ∴，，， ①当时，，，解得， 此时． ②当时，，，解得，此时，． ②当时，则有，解得，此时． 综上所述，点坐标为或或或． 19．如图，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图象上，，动点在轴的上方，且满足． (1)若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标； (2)连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）根据矩形的性质，得到，进而得到，设点的纵坐标为，根据列方程，求出，即可得到点的坐标； （2）由（1）可知，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，得到的最小值为的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，， ， 点在反比例函数的第一象限内的图象上， ， 设点的纵坐标为， ， ， ， 点在这个反比例函数的图象上， 点的横坐标为， ． （2）解：由（1）可知，点在直线上运动， 如图，作点关于直线的对称点，连接， 则，， ， 的最小值为的长， 在中，由勾股定理得，， 的最小值为10． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象和性质，轴对称求最短距离，勾股定理等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 20．如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当最小时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当以C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，设点关于轴的对称点为，连接交轴于点，则最小，此时，据此求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． （3）由菱形的性质可得．轴，则设，利用两点坐标公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为； 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：将代入，得， ． 设点关于轴的对称点为， 连接交轴于点，则最小，此时． 设过点和的直线为， 将，代入，得 解得 ， 点的坐标为． （3）解：设直线的表达式为， 将，代入，得： ． 如图，C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，．轴， 设， ∴， 解得， ∴或 点的坐标为，点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 21．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与等边相交．    (1)如图1，当反比例函数的图象经过的顶点时，若． ①求反比例函数的表达式． ②若点是上点左侧的图象上一点，且满足的面积与的面积相等，求点的坐标． (2)如图2，反比例函数的图象分别交的边OA，AB于和两点，连接CD并延长交轴于点，连接OD，当时，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①过点A作于点F，根据等边三角形的性质可得，再结合勾股定理可得点A的坐标为，即可求解； ②连接，分别过点B，M作，垂足分别为点K，H，则，则，证明四边形是平行四边形，则，求出直线的解析式为，可设直线的解析式为，求出直线的解析式为，联立得：，即可求出答案； （3）过点C作轴于点P，过点D作轴于点Q，设，再求出点C的坐标为，点D的坐标为，然后根据点C，D均在反比例函数解析式上，可得点D的坐标为，从而得到，再求出直线的解析式，可得点E的坐标为， 从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：①过点A作于点F，    ∵是等边三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴， ∴反比例函数表达式为：； ②如图，连接，分别过点B，M作，垂足分别为点K，H，则，    ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 可设直线的解析式为， ∵， ∴点B的坐标为， 把点代入，得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得： 解得：（舍去）或， ∴点M的坐标为； （2）解：如图，过点C作轴于点P，过点D作轴于点Q，设，    ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴点C的坐标为，点D的坐标为， ∵点C，D均在反比例函数解析式上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴点D的坐标为， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点E的坐标为， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用、勾股定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握求反比例函数解析式的方法和反比例函数图象上点的横坐标与纵坐标的积等于比例系数是解题的关键． 22．已知反比例函数，直线，直线与反比例函数交于点，与x轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)过点C 作x轴的垂线，上有一动点M，过点M作y轴的垂线段与y轴交于点N，连接，求的最小值和此时M点的坐标； (3)在（2）问的前提下，当取得最小值时，作点M 关 于x 轴的对称点Q在坐标轴上有一动点P，若，求点P 的坐标，并写出其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的最小值为； (3)或或 【分析】（1）利用反比例函数解析式求出A、B坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出点M的横坐标，则；如图所示，过点B作，连接，则，证明四边形是平行四边形，得到，则当A、M、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为，利用勾股定理得到，则的最小值为；求出直线解析式为，进而可得； （3）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到，如图3-1所示，当点P在x轴上时，则，可得轴，则点P的坐标为； 如图3-2所示，在直线上且在点Q上方找一点K，连接使得，设，由勾股定理得到，解方程得到，同理可得直线解析式为，则直线与x轴，y轴分别交于，，由等边对等角得到，则当点P在射线（不包括A）上时都满足题意，再由P在坐标轴上，可得点P的坐标为或． 【详解】（1）解：在中，当时，；当时，， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵直线轴， ∴点M的横坐标为1， ∵轴， ∴； 如图所示，过点B作，连接，则， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当A、M、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为， ∵， ∴， ∴的最小值为； 设直线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； （3）解；由（2）知， ∵点M与点Q关于原点对称， ∴， ∵， ∴轴， 如图3-1所示，当点P在x轴上时， ∵， ∴， ∴轴， ∵， ∴点P的坐标为； 如图3-2所示，在直线上且在点Q上方找一点K，连接使得， 设， ∴， 解得， ∴， 同理可得直线解析式为， 在中，当时，；当时，， ∴直线与x轴，y轴分别交于，， ∵， ∴，即， ∴当点P在射线（不包括A）上时都满足题意， 又∵P在坐标轴上， ∴点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，平行四边形的性质与判定，等边对等角，一次函数与几何综合，坐标与图形变化—轴对称等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 23．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，且为等腰三角形，求点的坐标； (3)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数解析式为：，一次函数解析式为： (2)点坐标为 (3)存在两个点，坐标为或 【分析】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）分、、三种情况，分别求解即可； （3）过点作，使，过点作轴的平行线交轴于点，作，垂足为，①当时，求出点坐标，②当时，过点作，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在直线图象上， ，解得， 一次函数解析式为：； （2）解：设点， 由点、、的坐标得：，，， 当时，则， 解得：（舍去）或， 即点； 当时，则， 解得：， 即点； 当时，则， 解得：， 即点或， 综上，点的坐标为：． （3）解：如图，过点作，使，过点作轴的平行线交轴于点，作，垂足为， ①当时， 在和中， ， ， ，， ， 设直线解析式为，将代入得，解得， 直线解析式为， 联立方程组，解得， ， ②当时，过点作， 直线的，设直线解析式为， 将点坐标代入得：，解得， 直线解析式为， 联立方程组得： ，解得， ． 综上所述，存在两个点，坐标为或 24．已知点，都在反比例函数的图象上． (1)求，的值； (2)如图②，点为反比例函数第三象限上一点， ①当面积最小时，求点的坐标； ②若点和点关于原点对称，点为双曲线段上任一动点，试探究与大小关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质，利用直线解析式判断直线平行，平行线的性质是解题的关键； （1）根据题意，将，代入，即可求解； （2）①设直线的解析式为：，点在直线与抛物线相切的点上，进而求解即可；②设，过点作轴，点关于直线的对称点，点关于直线的对称，连接，，，根据平行线的性质即可求解 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得： （2）①，， 设直线的解析式为：， 将，坐标代入解析式中， ， 解得：， 直线的解析式为：， 点在直线与抛物线相切的点上，此时面积最小 ， 设， ， ， ， ， 点在第三象限，故， ， 解得：， 故的坐标为： ②， ， 设， 过点作轴，点关于直线的对称点，点关于直线的对称点， 连接，，，则， ∵点和点关于原点对称 ， 由待定系数法得：直线的解析式为：， 点在直线上， 、、共线， 由对称性可知， 设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， ， 解得：， ， ， 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线与相交于，两点（点在点的左侧）． (1)当时，求k的值； (2)点B关于y轴的对称点为C，连接，； ①判断的形状，并说明理由； ②点P在第一象限的曲线上，连接，，当的面积等于16时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)①为直角三角形，理由见解析；②点的坐标为或． 【分析】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式，同底等高的三角形的面积等知识，综合性较强． （1）设点的坐标为，则点，则，即可求解； （2）①点、的横坐标相同，轴，点关于轴的对称点为，故轴，即可求解； ②过点作直线，交反比例函数于点，则点符合题设要求，同样在下方等间隔作直线交反比例函数于点，则点也符合要求，进而求解． 【详解】（1）解：设点的坐标为，则点， 则， 解得（负值已舍去）， 故点的坐标为， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：； （2）解：①为直角三角形，理由： 设点，则点，， 点、的横坐标相同，轴， 点关于轴的对称点为，故轴， ， 为直角三角形； ②过点作直线，交第一象限的反比例函数图象于点，则． 因为的面积等于16， 所以，． 由①得：，， 则的面积， 解得（负值已舍去）， 故点的坐标为，的坐标为， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：，解得， 故反比例函数表达式为； 因为，故设直线的表达式为， 将点的坐标代入，解得， 故直线的表达式为， 由解得：（该点位于第三象限，舍去）， 同样在下方作直线交反比例函数于点，则根据图形的对称性，则直线的表达式为， 由解得：（该点位于第三象限，舍去）， 故点的坐标为或． 26．知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． 【分析】如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，显然四边形，，，均为矩形，且，可设为h，则，从而可得：，…… 请根据上述思路，写出完整的解题步骤． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或． 【分析】（1）由反比例函数的几何意义可得答案； （2）如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，可得，设为h，而，，与的距离为5，再进一步建立方程求解即可； （3）分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，，设，如图，当在的上方时， 如图，当在的下方时， 再进一步利用面积建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； （2）解：如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 设为h，而，，与的距离为5， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，， 设， 如图， 当在的上方时，而轴，和间的距离为12， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 如图，当在的下方时，而轴，和间的距离为12， ∴， 同理可得：，解得：， 综上：或． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，二元一次方程组的解法，熟练的利用反比例函数k的几何意义建立方程或方程组解题是关键． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第26章 26.1 反比例函数 解答题专练（原卷版） 1．如图，点A为函数图象上的一点，过点A作x轴的平行线交 轴于点B，连接，如果的面积为2，求k的值． 2．已知反比例（为常数，）的图象经过点(1)求的值(2)当时，求函数的取值范围；(3)点，在这个反比例函数图象上，且，比较、、0的大小． 3．参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … 4 2 1 … … m 4 2 1 …    (1)__________________．(2)请画出函数的图象； (3)观察图象并分析表格，回答下列问题：①当时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向__________平移__________个单位长度而得到的； ③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标） 4．已知与成反比例，且当时，，求：(1)与之间的函数关系式； (2)当时，的值． 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，且，，． (1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式；(2)求的面积． 6．如图，已知的锐角顶点在反比例函数的图象上，且的面积为3，，求： (1)点的坐标；(2)函数的解析式；(3)直线的函数关系式为，求的面积？ 7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点D，与y轴交于点B，与x轴交于点C． (1)求m的值以及点D坐标；(2)P为x轴上的一动点，的面积6时，求P点坐标． 8．如图，函数与的图象交于点，直线与函数的图象分别交于B，C两点(1)求a和b的值；(2)求的长度；(3)根据图象写出时x的取值范围（不需说明理由）． 9．中考过后，我们会是双曲线两个分支上的两个点，随着时间的流逝，我们渐行渐远吗？如图，还是点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，已知，．(1)直接写出C点坐标 (2)求反比例函数的解析式；(3)若点P在x轴上，且，直接写出点P的坐标． 10．如图，直线与反比例函数（）的图象交于点，与x轴交于点B，平行于x轴的直线（）交反比例函数的图象于点M，交于点N，连接．(1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时不等式的解集；(3)直线沿轴方向平移，当n为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图绳交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为． (1)求反比例函数表达式和一次函数的解析式；(2)直接写出当时，自变量的取值范围；(3)连接、，求的面积；(4)已知点P为图中双曲线上的一点，而且，请直接写出点P的坐标． 12．如图所示，的顶点A在反比例函数的图象上，直线交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线、，垂足分别为点E、F，且．(1)若点E为线段的中点，求k的值；(2)若为等腰直角三角形，，其面积小于3．①求证：；②延长交双曲线第三象限于点D，连接，求三角形的面积． 13．如图，已知一次函数经过第一、二、三象限，且与反比例函数交于A和B点，交y轴于C点，， (1)求反比例函数的解析式；(2)已知点A点横坐标是m，的面积是S，求S关于m的函数解析式； (3)已知的面积是，判断过A和B点的抛物线在x轴上截得的线段长度能否等于3．如果能，求其解析式；如果不能，请说明理由． 14．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点与轴交于点，与轴交于点，已知点坐标为，点的坐标为．(1)求反比例函数的表达式和一次函数的表达式；(2)观察图像直接写出时的取值范围是______；(3)若为轴上一动点，请直接写出当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点 .(1)求反比例函数的表达式；(2)当时.直接写出的取值范围； (3)若点在双曲线上，点在平面上，是否存在点、点，使四边形为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．   (1)求，的值；(2)直线过点A，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接． ①求的面积；②利用图象信息，直接写出不等式的解集．③点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标． 17．已知，直线与反比例函数交于点，且点的横坐标为4，过轴上一点作垂直于交于点，如图． (1)若点是线段上一动点，过点作，，垂足分别于、，求线段长度的最小值． (2)在（1）的取得最小值的前提下，将沿射线平移，记平移后的三角形为，当时，在平面内存在点Q，使得A、、、Q四点构成平行四边形，这样的点Q有几个？直接写出点Q的坐标． 18．如图， 反比例函数 的图象与一次函数的图象交于C、E两点． 且一次函数图象交y轴于点A．(1)求C、E点的坐标；(2)求的面积；(3)点M在x轴上移动，是否存在点M使为等腰三角形？ 若存在，请你求出所有满足条件的M点的坐标； 若不存在，请说明理由． 19．如图，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图象上，，动点在轴的上方，且满足．(1)若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标；(2)连接，求的最小值． 20．如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为．(1)求反比例函数的表达式及一次函数的表达式；(2)设点是轴上的一个动点，当最小时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当以C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 21．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与等边相交．   (1)如图1，当反比例函数的图象经过的顶点时，若． ①求反比例函数的表达式． ②若点是上点左侧的图象上一点，且满足的面积与的面积相等，求点的坐标． (2)如图2，反比例函数的图象分别交的边OA，AB于和两点，连接CD并延长交轴于点，连接OD，当时，求的值． 22．已知反比例函数，直线，直线与反比例函数交于点，与x轴交于点C．(1)求直线的解析式；(2)过点C 作x轴的垂线，上有一动点M，过点M作y轴的垂线段与y轴交于点N，连接，求的最小值和此时M点的坐标；(3)在（2）问的前提下，当取得最小值时，作点M 关 于x 轴的对称点Q在坐标轴上有一动点P，若，求点P 的坐标，并写出其中一种情况的过程． 23．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若点在轴上，且为等腰三角形，求点的坐标； (3)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．已知点，都在反比例函数的图象上．(1)求，的值；(2)如图②，点为反比例函数第三象限上一点，①当面积最小时，求点的坐标；②若点和点关于原点对称，点为双曲线段上任一动点，试探究与大小关系，并说明理由． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线与相交于，两点（点在点的左侧）． (1)当时，求k的值；(2)点B关于y轴的对称点为C，连接，；①判断的形状，并说明理由； ②点P在第一象限的曲线上，连接，，当的面积等于16时，直接写出点P的坐标． 26．知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． 【分析】如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，显然四边形，，，均为矩形，且，可设为h，则，从而可得：，…… 请根据上述思路，写出完整的解题步骤． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$