大题突破1：与空间向量有关的解答题10考点复习指南（讲+练）-【题海探秘】2024-2025学年高二上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025高二上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019选择性必修第一册） 大题突破1：与空间向量有关的解答题 10考点复习指南 考点1 空间共线向量定理 1．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，，． (1)若A，B，C三点共线，求a和b的值； (2)已知，，且A，B，C，D四点共面，求a的值． 2．（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 3．（10-11高二下·江西上饶·阶段练习）设． (1)若，求k； (2)若，求k． 4．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知空间中三点． (1)若，且，求向量的坐标； (2)求的面积． 5．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知空间三点、、. (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求以、为邻边的平行四边形的面积． 考点2 空间共面向量定理 6．（23-24高二上·陕西·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.    (1)求的值； (2)证明：C，E，F，G四点共面. 7．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知向量，，. (1)当时，若向量与垂直，求实数的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值. 8．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知点 (1)表示出，并求 (2)证明：与四点共面 9．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知空间三点，，，. (1)求以，为邻边的平行四边形的面积； (2)若D点在平面上，求的值. 考点3 空间向量的数量积运算 10．（23-24高二下·江苏淮安·期中）如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. (1)以为基底表示； (2)若，且，，，求. 11．（22-23高二下·甘肃庆阳·期中）已知空间三点，设 (1)求； (2)若向量与互相垂直，求实数k的值. 12．（23-24高二上·贵州·期中）如图，在三棱柱中，D，E分别为和AB的中点，设，，. (1)用表示向量； (2)若，，，求. 13．（24-25高二上·河北保定·期中）如图，在正六棱柱中，为的中点．设，，. (1)用，，表示向量，； (2)若求的值． 14．（24-25高二上·辽宁·期中）在正四棱台中，. (1)若，四棱台的体积为，求该四棱台的高； (2)若，求的值. 考点4 空间位置关系的向量证明 15．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知直三棱柱，，，D，E分别为线段，上的点，. (1)证明：平面平面； (2)若点到平面的距离为，求直线与平面所成的角的正弦值. 16．（20-21高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 17．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，E为棱的中点，M为棱的中点． (1)证明：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 18．（23-24高二上·贵州黔南·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 19．（23-24高二下·重庆·期中）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线PC上，且． (1)求证:平面BDE; (2)求二面角平面角的正弦值; (3)若点M为线段PO上的动点，当直线平面ABE时，求AM与平面ABE所成的角的正弦值． 20．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 21．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小； 考点5 异面直线所成角 22．（21-22高二上·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 23．（23-24高二下·甘肃酒泉·期中）四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线与相交于点，底面，与底面所成的角为，是的中点. (1)证明：平面； (2)求与所成角的正弦值. 24．（23-24高二上·天津·期中）如图，在三棱锥中，底面，，点D，E，N分别为棱，，的中点，M是线段的中点，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)已知点H在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长. 25．（23-24高三上·江苏扬州·期中）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，BA＝BC＝BB1＝1，BA⊥BC (1)记平面平面，证明：平面； (2)点Q是直线上的点，若直线与所成角的余弦值为，求线段长. 26．（23-24高三上·江苏南京·期中）如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，    (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值是，求异面直线与所成角的余弦值. 考点6 直线与平面所成角 27．（22-23高二下·甘肃庆阳·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点. (1)求平面； (2)求直线BE与平面所成角的正弦值. 28．（23-24高二上·广东广州·期中）如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 29．（21-22高三上·江苏南京·开学考试）如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 30．（24-25高三上·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，，，，，，    (1)求证：平面⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 31．（24-25高二上·山东济宁·期中）在平行四边形中，，,将沿折起，使得平面平面，如图． (1)求证：； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 32．（24-25高三上·浙江·阶段练习）如图，三棱台中，是正三角形，平面ABC，，M，N分别为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 33．（23-24高二下·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 考点7 平面与平面所成角（二面角） 34．（23-24高三上·四川雅安·期中）如图，在三棱锥中，平面，，且，为的中点，在上，且． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 35．（23-24高二下·四川达州·期中）如图，已知四棱锥中，平面，，.    (1)求证：平面平面； (2)若平面和平面的夹角的余弦值为，求线段的长度. 36．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，在四面体中，平面，点在线段上.    (1)当点是线段中点时，求点到平面的距离； (2)若二面角的余弦值为，求的值. 37．（24-25高三上·河北邢台·期中）如图，在五棱锥中，，，，，，． (1)证明：平面． (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 38．（24-25高三上·广西·阶段练习）在六面体中，平面，，且底面为菱形. (1)证明：平面. (2)若，，.求平面与平面所成二面角的正弦值. 39．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的大小． 考点8 点到直线的距离 40．（23-24高二上·山东青岛·期末）在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 41．（23-24高二上·福建福州·期中）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)求点到直线的距离； 42．（23-24高二上·江苏·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，且点E，F分别为AB和PD中点. (1)求异面直线AF与EC所成角的余弦值； (2)求点F到直线EC的距离. 43．（23-24高三上·河南周口·期末）如图，将圆沿直径折成直二面角，已知三棱锥的顶点在半圆周上，在另外的半圆周上，. (1)若，求证： ； (2)若，，直线与平面所成的角为，求点到直线的距离. 44．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 考点9 点到平面的距离 45．（22-23高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 46．（22-23高二上·浙江金华·期中）如图，已知三棱柱，底面，，，为的中点. (1)证明：面； (2)若，求点到平面的距离. 47．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点(包括端点)． (1)求证：； (2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离． 48．（23-24高三上·天津·期中）如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 49．（22-23高二下·全国·单元测试）如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，. (1)求点到直线的距离 (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 50．（24-25高二上·广西·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，． (1)证明：平面． (2)若，求点到平面的距离． (3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 考点10 空间线段点的存在性问题 51．（23-24高二上·北京·期中）如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点． (1)求证：∥平面； (2)求：二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由． 52．（19-20高一上·江西宜春·阶段练习）已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 53．（23-24高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 54．（23-24高二下·湖南·期中）如图，直四棱柱的底面是菱形，，且直线与平面所成角为． (1)求直四棱柱的高； (2)在棱上是否能找到一点，使得平面与平面的夹角为？若能，求出的值；若不能，说明理由． 55．（23-24高二下·浙江宁波·期中）如图，多面体中，直角梯形所在平面与正三角形所在平面垂直，，． (1)求该多面体的体积V； (2)在棱上是否存在点P，使得直线和平面所成的角大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1．（22-23高二上·广东肇庆·阶段练习）已知空间三点，，，设，. (1)求，; (2)求与的夹角. 2．（2024·江苏·模拟预测）如图所示，已知正方体的棱长为3，，分别是，的中点，是上一点，且平面. (1)求； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 3．（23-24高二上·河南洛阳·期中）在棱长为2的正四面体中，. (1)设用，，表示； (2)若求. 4．（24-25高二上·山东泰安·期中）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，是等边三角形，平面平面，，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为. (1)若E为棱SA的中点，F是SB的中点，求证：平面平面SCD； (2)是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由. 5．（23-24高二上·福建·期中）已知向量，O为坐标原点，点． (1)求； (2)若点E在直线AB上，且，求点E的坐标． 6．（2020高三·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，设，，，，，分别是棱，，的中点，试用，，表示以下各向量： (1) (2) (3)． 7．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间直角坐标系中的三点，，. (1)若，且，求向量的坐标； (2)已知向量与互相垂直，求的值. 8．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为菱形，且，点为棱DP的中点. (1)在棱BC上是否存在一点，使得∥平面PAN？如果存在，确定点N的位置，如果不存在，请并说明理由； (2)若二面角的余弦值为时，求棱DP的长度，并求点A到平面BCM的距离． 9．（24-25高二上·北京海淀·阶段练习）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将△沿折起到△位置，使得（如图2）. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 10．（23-24高三下·河北沧州·期中）如图，在直三棱柱中，，点到平面的距离为分别为的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 11．（23-24高二下·广西柳州·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，M，N分别为，AD的中点．    (1)证明：平面BDM． (2)求平面BDM与平面夹角的余弦值． 12．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求： (1)的长； (2)与夹角的余弦值． 13．（23-24高二上·河南信阳·期中）在三棱锥中，，，，M，N分别为，的中点，设，，. (1)用，，表示，并求； (2)求与所成角的余弦值. 14．（24-25高二上·广西·期中）如图，在四棱柱中，，，，，是线段上的点，且． (1)求的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 15．（23-24高二下·甘肃·期中）设O为坐标原点，． (1)求； (2)若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 16．（23-24高二下·上海·期中）如图，在棱长均为1的正三棱柱中，点在棱上，且.记，，. (1)用表示、； (2)求直线与直线所成角的大小. 17．（2024·江苏南通·二模）如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，，直线AB与平面相交于点H. (1)从下面两个结论中选一个证明：①；②直线HE，GF，AC相交于一点； 注：若两个问题均作答，则按第一个计分. (2)求直线BD与平面的距离. 18．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在四棱锥中，，平面平面，.    (1)求点到平面的距离； (2)在线段上是否存在点，使二面角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 20．（2024·北京·模拟预测）如图所示，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，为的中点.    (1)证明： (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值及点到平面的距离． ①；② 21．（2024·吉林·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，为中点，点在梭上（不包括端点）. (1)证明：平面平面； (2)若点为的中点，求直线到平面的距离. 22．（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线交于点，为中点．求： (1)与平面所成角的正弦值； (2)点到平面的距离． 23．（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，、分别为、的中点，且，，． (1)证明：平面． (2)求到平面的距离． 24．（23-24高三下·江苏连云港·阶段练习）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)若底面为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为，求D到平面的距离. 25．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点.    (1)证明：. (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)设点到直线的距离为，点到平面的距离为，求的值. 26．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面，E为上的动点． (1)确定E的位置，使平面并证明； (2)设，且在第（1）问的结论下，求二面角的正弦值. 27．（21-22高二上·海南三亚·期中）如图，棱长为1的正四面体中，，分别为棱，的中点，设，，. (1)用，，分别表示向量与； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 28．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，直角梯形中，，四边形为矩形，，平面平面． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由． 29．（24-25高二上·广西·期中）已知为坐标原点，圆：，直线：（），如图，直线与圆相交于（在轴的上方），两点，圆与轴交于两点（在的左侧），将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴正半轴，原轴正半轴所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． (1)若． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求二面角的余弦值． (2)是否存在，使得折叠后的长度与折叠前的长度之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 30．（24-25高二上·河北保定·期中）如图，已知四点均在直径为的球B的球面上，，直线PO与平面AOC所成的角为，点D在线段PC上运动． (1)证明： (2)设平面BOC与平面KHD的夹角为，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高二上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019选择性必修第一册） 大题突破1：与空间向量有关的解答题 10考点复习指南 考点1 空间共线向量定理 1．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，，． (1)若A，B，C三点共线，求a和b的值； (2)已知，，且A，B，C，D四点共面，求a的值． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据向量共线的坐标关系结合条件即得； （2）根据共面向量基本定理可得存在，使，然后结合条件即得. 【详解】（1）由题可得，， ∵A，B，C三点共线， ∴，存在，， 即， ∴，解得， ∴，； （2）因为，，， ∵A，B，C，D四点共面， ∴，，共面， ∵，由（1）知A，B，C三点不共线， ∴存在，使， 即， ∴，解得， 所以． 2．（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 3．（10-11高二下·江西上饶·阶段练习）设． (1)若，求k； (2)若，求k． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由空间向量线性运算的坐标表示求得，再由向量共线的坐标表示求参数； （2）根据向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【详解】（1）由题设， 若，则，可得； （2）若，则， 所以. 4．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知空间中三点． (1)若，且，求向量的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）可求由已知可设，通过模长公式计算可得，即可得出结果； （2）通过数量积公式求得，利用三角形面积公式计算即可得出结果. 【详解】（1）空间中三点， ，且，设， 或． （2）∵， ， ， ， ． 5．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知空间三点、、. (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求以、为邻边的平行四边形的面积． 【答案】(1)或. (2). 【分析】（1）由已知可设，其中，利用向量的模长公式求出的值，即可求出向量的坐标； （2）利用空间向量的数量积公式求出的值，然后利用三角形的面积公式求得以、为邻边的平行四边形的面积 【详解】（1）由已知可得， 因为向量与平行，设，其中， 则，解得. 所以，或. （2）由题可得：，， 所以，因为，所以， 则，所以，以、为邻边的平行四边形的面积为. 考点2 空间共面向量定理 6．（23-24高二上·陕西·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.    (1)求的值； (2)证明：C，E，F，G四点共面. 【答案】(1)6 (2)证明见解析 【分析】（1）写出向量坐标，利用数量积公式求出答案； （2）求出，得到四点共面. 【详解】（1）∵， ∴，，，， ∴，， ∴. （2）证明：由（1）得：， 令，即，解得 ∴. 故C，E，F，G四点共面. 7．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知向量，，. (1)当时，若向量与垂直，求实数的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据向量的模长的坐标表示和两个向量垂直的坐标表示求解即可. （2）根据共面定理列方程组求解即可. 【详解】（1）因为，所以 解得，即， 由，且得 ，解得， 即的值为. （2）因为向量与向量，共面，所以设，R， 因此， 即解得， 所以的值为. 8．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知点 (1)表示出，并求 (2)证明：与四点共面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解， （2）根据平面向量基本定理，即可根据坐标运算求解. 【详解】（1）,所以，故， （2）设， 解的， ，则共面 又因为为公共点，所以这四个点共面 9．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知空间三点，，，. (1)求以，为邻边的平行四边形的面积； (2)若D点在平面上，求的值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据已知求出的向量以及向量的模，根据向量法得出点到直线的距离，即可根据平行四边形的面积公式得出答案； （2）根据已知得出四点共面，共面.根据向量共面的充要条件得出方程组，求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，，， 所以，， 在上的投影向量的模为， 所以，点到直线的距离， 所以，以，为邻边的平行四边形的面积为. （2）因为，D点在平面上， 所以，四点共面，共面. 根据向量共面的充要条件可知，存在，使得， 所以有，解得. 考点3 空间向量的数量积运算 10．（23-24高二下·江苏淮安·期中）如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. (1)以为基底表示； (2)若，且，，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的加减数乘运算，结合题设条件即可求得； （2）先求出平面的基底两两之间的数量积，再根据（1）中的表示式，两边取平方，利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）由图可得，; （2）由题意，， 则， 于是，由两边取平方， ， 故. 11．（22-23高二下·甘肃庆阳·期中）已知空间三点，设 (1)求； (2)若向量与互相垂直，求实数k的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出的坐标，再利用向量数量积的坐标公式计算即得； （2）先求出和，再利用向量垂直的充要条件列出方程，代入化简计算即得k值. 【详解】（1）由题意，，则； （2）由（1）可得 因向量与互相垂直，则得：， 解得，或. 12．（23-24高二上·贵州·期中）如图，在三棱柱中，D，E分别为和AB的中点，设，，. (1)用表示向量； (2)若，，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合已知条件，利用空间向量的运算法则即可求解； （2）由空间向量数量积的运算律计算可得结果. 【详解】（1）根据题意可得； （2）易知，且， 显然，； 所以. 13．（24-25高二上·河北保定·期中）如图，在正六棱柱中，为的中点．设，，. (1)用，，表示向量，； (2)若求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算直接表示各向量； （2）利用转化法可得向量数量积. 【详解】（1）， ； （2）由题意易知， 则，， 则 ． 14．（24-25高二上·辽宁·期中）在正四棱台中，. (1)若，四棱台的体积为，求该四棱台的高； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据体积公式求解； （2）由数量积的运算律计算． 【详解】（1）设该正四棱台的高为，则， 解得. （2）在正四棱台中，底面与底面均为正方形，且对应边互相平行， 所以，， 过作，垂足为，易得，所以， 所以. 故. 考点4 空间位置关系的向量证明 15．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知直三棱柱，，，D，E分别为线段，上的点，. (1)证明：平面平面； (2)若点到平面的距离为，求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）建系，分别求出平面和平面的法向量，利用两法向量垂直，两面垂直即可证明； （2）设出点坐标，由已知点面距离利用向量法解出点坐标，再代入线面角的向量公式求出即可. 【详解】（1） 证明：在直三棱柱中，，平面， 所以以为原点，，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则点，，，，， 则，，， 设，则， 设平面和平面的法向量分别为， 则，取，则； ，取，则， 因为， 所以平面平面. （2）设点， 由，得平面的法向量， 由得点到平面的距离， 解得， 由，得，直线与平面所成的角的正弦值为. 16．（20-21高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可以D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理可证明共面，即可证明平面； （2）由空间向量数量积为零可证明，，再由线面垂直的判定定理即可证明平面. 【详解】（1）根据题意可知平面平面， 平面平面， 又是正方形，所以，平面，    所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以， 则， 所以，故共面． 又平面，所以平面； （2） 易知，所以； 又，可得； 又，平面， 所以平面. 17．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，E为棱的中点，M为棱的中点． (1)证明：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，只需证明即可； （2）求出异面直线与的方向向量，由向量的夹角公式即可得解. 【详解】（1）因为底面，平面， 所以， 而， 所以、、两两互相垂直， 不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如上图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、，， ，， 因为，所以，则； （2），， ， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 18．（23-24高二上·贵州黔南·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间中直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明即可； （2）利用计算可得. 【详解】（1）直三棱柱中平面，又，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 所以，即， 又平面，所以平面. （2）因为，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19．（23-24高二下·重庆·期中）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线PC上，且． (1)求证:平面BDE; (2)求二面角平面角的正弦值; (3)若点M为线段PO上的动点，当直线平面ABE时，求AM与平面ABE所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的性质，由勾股定理证得，进而可得是PC中点，是OC中点，即，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角，结合同角的平方关系计算即可求解； （3）根据线面垂直的判定定理与性质可证明MF，即为PO中点，利用空间位置关系的向量证明可得，结合线面垂直的判定定理可得平面ABE，求得，结合（2）和空间向量数量积的定义计算即可求解. 【详解】（1）如图，设AC交BD于点，连接EF，由圆锥的性质可知底面ABD， 因为平面ABD，所以， 又因为是底面圆的内接正三角形，由，可得，， 解得，又，所以， 即．且，所以为正三角形，， 所以是PC中点．而是OC中点． 所以，且平面平面BDE， 所以直线平面BDE． （2）易知， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，， 设平面ABE的法向量为， 则，令，则， 设平面ABD的法向量为，二面角平面角为． ； （3）由平面ABE，平面ABE，得， 又，平面DMF， 故平面DMF，由平面DMF，得MF， 又F为OC中点，故为PO中点， 此时点，， 即．且平面ABE． 故平面ABE，满足条件．所以， 由（2）知，平面ABE的法向量为，设AM与平面ABE所成的角为， 所以， 即AM与平面ABE所成角的正弦值为. 20．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用两平面法向量数量积为，证明面面垂直； （2）利用法向量方法求解线面角. 【详解】（1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，， ，，. 设平面PCD的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，， 所以， 设平面PAC的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，， 所以， 因为， 所以，所以平面平面． （2）由（1）知，，所以，， 因为，所以，即，解得， 故，所以，由（1）知， 设直线BM与平面PCD所成的角为， 则， 故直线BM与平面PCD所成角的正弦值为. 21．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，计算，进而可得答案； （2）求出平面的法向量，，利用线面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）因为平面，， 如图以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以，因为，所以． （2）设平面的法向量，， 则，即，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 又，所以， 所以直线与平面所成角的大小为． 考点5 异面直线所成角 22．（21-22高二上·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的运算，表示出，根据向量模的计算，即可求得答案； （2）选定基底表示，求出向量的数量积以及它们的模，根据向量夹角公式求出的夹角的余弦值，即可求得直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）由题意得， 所以 ； （2）， 所以 ， ，, ， 故， 由于异面直线所成角的范围为大于小于等于， 所以直线与AC所成角的余弦值为. 23．（23-24高二下·甘肃酒泉·期中）四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线与相交于点，底面，与底面所成的角为，是的中点. (1)证明：平面； (2)求与所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，即可说明，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，由线面角求出，再利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）连接，因为为菱形，对角线与相交于点，所以为的中点， 又是的中点， 则，且平面，平面， 所以平面. （2）因为为菱形，所以，又底面， 则两两互相垂直，以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图， 菱形中，，所以， 在中， 因为底面，所以与底面，所成的角为， 所以， 则 又是的中点，则， 于是，， 设与的夹角为，则有， 所以， 所以异面直线与所成角的正弦值为. 24．（23-24高二上·天津·期中）如图，在三棱锥中，底面，，点D，E，N分别为棱，，的中点，M是线段的中点，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)已知点H在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取中点，连接，根据条件证明出平面平面，由此可证明平面； （2）建立合适空间直角坐标系，求解出平面的法向量，然后根据直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值求解出结果； （3）设出点的坐标，分别表示出直线的方向向量，根据方向向量夹角的余弦值求解出的长度. 【详解】（1）取中点，连接，如下图所示： 因为为中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为为中点，为中点， 所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2）建立如下图所示的空间直角坐标系， 又， 所以， 设平面一个法向量为， 所以，所以， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设，且， 所以， 所以， 化简得，解得或（舍）， 所以. 25．（23-24高三上·江苏扬州·期中）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，BA＝BC＝BB1＝1，BA⊥BC (1)记平面平面，证明：平面； (2)点Q是直线上的点，若直线与所成角的余弦值为，求线段长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先作出两平面的交线，再根据线面平行的判断定理，即可证明； （2）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，代入向量所成角的余弦值公式，即可求解. 【详解】（1）证明：连接交于点，连接交于点，连接， 则平面和平面交线为，即 因为为直三棱柱，所以为平行四边形， 所以为中点，为中点，所以， 又平面平面， 所以平面，即平面. （2）直三棱柱中，，所以两两垂直. 以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设，则， 所以 解得，所以线段长为. 26．（23-24高三上·江苏南京·期中）如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，    (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值是，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，，再由线面垂直的判断定理即可； （2）以分别为轴建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，根据平面与平面的夹角余弦值计算，然后计算异面直线与夹角余弦值即可. 【详解】（1）因为四边形为矩形， 所以， 因为，即， 又， 所以， 因为平面平面， 所以平面. （2）由题意可知，平面平面,平面平面, 且, 所以平面, 所以. 因为, 所以平面, 又因为平面，所以. 所以. 如图所示以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，且， 则， 所以， 设为平面的法向量， 则，取， 则. 因为平面,则为平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得. 即,,, 所以异面直线与夹角余弦值为 .    考点6 直线与平面所成角 27．（22-23高二下·甘肃庆阳·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点. (1)求平面； (2)求直线BE与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）建空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行； （2）利用空间向量求线面角的正弦值即可. 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 依题意，得， 则，设平面的法向量， ，所以，取，得 因为， 所以．所以． 又面． 所以面． （2）正方体中，平面 故是平面的法向量， 因为， 所以， 所以直线和平面所成的角的正弦值为． 28．（23-24高二上·广东广州·期中）如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，空间向量法证明直线与法向量平行，即可证明结论成立； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方法向量，以及平面的一个法向量，计算向量夹角余弦值，即可得出结果； 【详解】（1）以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，    则, ，， 设平面的一个法向量为， 则 ，取，得， 因为，所以平面； （2） ，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为： ． 29．（21-22高三上·江苏南京·开学考试）如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取的中点，连接，证明，结合，先证明平面，得到，再证明，最后证明线面垂直； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，计算平面的法向量及，利用向量法求线面角. 【详解】（1）证明：作的中点，连接， 因为是正三角形，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，因为∥，所以， 又平面，所以平面； （2）以为坐标原点, 所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，则， 设与平面所成角为，则. 所以与平面所成角的正弦值为. 30．（24-25高三上·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，，，，，，    (1)求证：平面⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得平面，由线面垂直可得，再由线线垂直可得平面，由面面垂直的判定定理即可求解； （2）取中点为，连接，，建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值即可. 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 且，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，且，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）    取中点为，连接，， 又因为，所以，则， 因为，所以，则， 以O为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设是平面的一个法向量， 则，得， 令，则，，所以， 设与平面所成的角为， 则， 所以与平面所成的角的正弦值为. 31．（24-25高二上·山东济宁·期中）在平行四边形中，，,将沿折起，使得平面平面，如图． (1)求证：； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理确定平面，即可求证； （2）建系，求得直线的方向向量和平面的法向量，代入夹角公式即可. 【详解】（1）因为平面，平面平面 平面所以平面 又平面所以． （2）过点在平面内作，如图．由（1）知平面平面所以． 以为坐标原点，分别以的方向为轴， 轴， 轴正方向建立空间直角坐坐标系． 依题意，．        则． 设平面的法向量．则即．                                        取得平面的一个法向量． 设直线与平面所成角为，则 即直线与平面所成角的正弦值为． 32．（24-25高三上·浙江·阶段练习）如图，三棱台中，是正三角形，平面ABC，，M，N分别为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出平面再应用线面垂直性质得出线线垂直，即可证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，应用空间向量法求线面角正弦值即可. 【详解】（1）因为是正三角形，M为AB中点，所以CM⊥AB， 因为平面平面ABC，所以， 又平面 所以平面 又因为平面，所以， 连接，易得， 所以，所以， 又因为，所以， 因为，平面， 所以平面. （2）取AC中点O，连接，易知三条直线两两垂直， 以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则， 由（1）知平面的一个法向量为，又， 所以， 因为直线与平面所成的角为直线与所成角的余角， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 33．（23-24高二下·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，根据几何关系，构造中位线，即可证明； （2）首先建立空间直角坐标系，分别求平面和的法向量，根据法向量夹角的余弦值，即可求解； （3）根据（2）的结果，代入线面角的向量公式，即可求解. 【详解】（1）连结，交于点，连结， 点是的中点，点是的中点， 所以，平面，平面， 所以平面； （2）如图，以向量，，为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，， 则，， 设平面的法向量， 则，令，，， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为； （3），，，， ，，， ， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 解得或， 又， 则或. 考点7 平面与平面所成角（二面角） 34．（23-24高三上·四川雅安·期中）如图，在三棱锥中，平面，，且，为的中点，在上，且． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）不妨设，结合余弦定理和相似三角形，即可以点为原点建立空间直角坐标系，根据即可得证. （2）由（1）可得相应点的坐标，平面的法向量可直接取，然后求出平面的法向量，即可利用向量进行求解. 【详解】（1）不妨设，又， 在中，， ，则， 所以，又， ，且也为等腰三角形． ，则， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，， ， 则，所以． （2）由（1）可知，， 平面的法向量可取为， 且，， 设平面的法向量为， 则，可取， ， 故平面与平面的夹角的余弦值为． 35．（23-24高二下·四川达州·期中）如图，已知四棱锥中，平面，，.    (1)求证：平面平面； (2)若平面和平面的夹角的余弦值为，求线段的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取BC中点为E，利用线面垂直的性质和勾股定理的逆定理得到线线垂直，再根据面面垂直的判定即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，再求出相关向量和法向量，再利用面面角的向量求法即可. 【详解】（1）取BC中点为E，连接AE. 平面ABCD，平面ABCD ，， ， 且，四边形ADCE为正方形 ，， ，又，平面， 平面SAB，又平面SAC，平面平面. （2）设，建立如图所示空间直角坐标系， 由已知，得， 则    设平面SCD的法向量为， 由得，令，得， 取平面SAB的法向量为， 则，解得， 即线段的长度. 36．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，在四面体中，平面，点在线段上.    (1)当点是线段中点时，求点到平面的距离； (2)若二面角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得到平面的距离； （2）设点，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得解. 【详解】（1）由平面，，得两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：    由为的中点，则、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，得，而， 所以点到平面的距离为. （2）设点，，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 显然平面的一个法向量为， 则，解得， 此时点为的中点，所以. 37．（24-25高三上·河北邢台·期中）如图，在五棱锥中，，，，，，． (1)证明：平面． (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求平面夹角． 【详解】（1）因为，，，， 所以，， 则，， 因为，平面，平面，所以平面． （2）根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系． ，，， 则，． 易得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，取得． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 38．（24-25高三上·广西·阶段练习）在六面体中，平面，，且底面为菱形. (1)证明：平面. (2)若，，.求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）先证，，再根据线面垂直的判定定理证明平面. （2）建立空间直角坐标系，用空间向量求二面角的三角函数. 【详解】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以. 又平面ABCD，平面ABCD，所以. 因为，平面， 所以平面. （2）由题意得，. 以菱形的中心为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，. 所以，. 设平面的法向量为， 则，令，得. 易知平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为. 39．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）由，结合，利用线面垂直的判定定理证明. （3）求得平面和平面的法向量坐标，再利用面面角的向量求法求解. 【详解】（1）在四棱锥中，底面，底面， 则，由底面是正方形，得， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ，设平面的法向量为， 则，令，得，则， 而平面，所以平面. （2）由（1）知，，由，得， 又，且平面， 所以平面. （3）由（1）知，，且， 设平面的法向量为，则，取，得， ，而，则， 即，则的一个法向量为， 因此，而，则， 所以平面与平面的夹角为. 考点8 点到直线的距离 40．（23-24高二上·山东青岛·期末）在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题建系，求得相关点和向量的坐标，利用点到直线的距离的空间向量计算公式即可求得； （2）由（1）中所建的系求出的坐标，分别计算得到和，由线线垂直推出线面垂直. 【详解】（1）    如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 正四棱柱,为中点, 则点到直线的距离为：. （2）由（1）可得， 则， 由可得， 又由可得， 又， 故面. 41．（23-24高二上·福建福州·期中）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)求点到直线的距离； 【答案】(1)证明见解析； (2) (3). 【分析】（1）证明：取的中点，连接，，证明出且，判断出四边形是平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理即可证明平面； （2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，用向量法求出二面角的余弦值，再求正弦值； （3）用向量法求点到直线的距离； 【详解】（1）证明：取的中点，连接，， 因为四边形为矩形， 则且， 因为，分别是，的中点， 则且， 又是正方形的中心， 则， 所以且， 则四边形是平行四边形， 故， 又平面，平面， 故平面； （2）因为平面平面，且平面平面， 平面，，所以平面， 且，平面，所以平面， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，所以，， 设平面的法向量为， 则，即，不妨令，则， 因为平面， 则平面的一个法向量为， 所以， 则二面角的正弦值为； （3）因为，，， 则，， 所以， 所以点到直线的距离为； 42．（23-24高二上·江苏·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，且点E，F分别为AB和PD中点. (1)求异面直线AF与EC所成角的余弦值； (2)求点F到直线EC的距离. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）根据底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设异面直线AF与EC所成角为α，|求解； （2）根据直线EC的一个方向向量，结合=（0，2，1），||=，由d=求解. 【详解】（1）解：因为在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD， 所以以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，0，1），E（2，1，0），P（0，0，2），C（0，2，0）. 所以=（2，0，1），=（2，1，0）， 设异面直线AF与EC所成角为α，则=， 所以异面直线AF与EC所成角的余弦值为. （2）因为=（2，1，0），所以直线EC的一个方向向量. 又=（0，2，1），||=， 所以点F到直线EC的距离d===. 43．（23-24高三上·河南周口·期末）如图，将圆沿直径折成直二面角，已知三棱锥的顶点在半圆周上，在另外的半圆周上，. (1)若，求证： ； (2)若，，直线与平面所成的角为，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，推出，即可证明平面，根据线面垂直的性质定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用直线与平面所成的角为，求出P点坐标，再根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知平面平面，平面平面， ，且平面，故平面， 又平面，故； 又，且平面， 故平面，而平面， 故； （2）以O为坐标原点，所在直线为轴，过点O作平面的垂线作为z轴， 建立空间直角坐标系，如图： 由于，， 则，设,则， 则， 设平面的一个法向量为，则， 即，令，则可得， 由于直线与平面所成的角为， 故， 解得，结合，则， 故， 由，则， 故点到直线的距离为. 44．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连结，交于点，连结，利用相似比得，然后可得，根据线面平行判定定理即可得证； （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用二面角的向量公式求出，再由点到直线的距离的向量公式可得. 【详解】（1）连结，交于点，连结， 因为， 所以，又， 所以，所以，                                           因为面，面， 所以平面. （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，，， 则，，                                     设平面的法向量为， 则，即， 令，可取，                          平面的法向量可取， 所以，得，                                            因为， 与同向的单位向量， 所以点到直线的距离为. 考点9 点到平面的距离 45．（22-23高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用中位线定理证明，然后由线面平行的判定定理证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可； （3）求出的坐标，然后利用点到平面距离的向量公式求解即可． 【详解】（1）证明：因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 故平面； （2）由于平面， 所以平面， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 故， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为， 又平面的法向量为， 所以点到平面的距离为． 46．（22-23高二上·浙江金华·期中）如图，已知三棱柱，底面，，，为的中点. (1)证明：面； (2)若，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接交于点，利用三角形的中位线证出线线平行，然后由线面平行的判定定理证明即可； （2）以，所在的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量求点到平面的距离即可. 【详解】（1）证明：如图 连接交于点，则为的中点， 连接，又因为为的中点， 所以，平面，平面， 所以平面. （2）如图： 以，所在的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，则， 所以，，，，， ，， 设平面的法向量， 则，所以，所以，令，， 所以，又， 记点到平面的距离为， 所以. 47．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点(包括端点)． (1)求证：； (2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可建立适当空间直角坐标系，得到、后借助空间向量共线定理即可得证； （2）求出平面与平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得点具体位置，再借助点到平面距离公式求解即可得. 【详解】（1）因为底面，且底面为正方形，且、底面， 所以，，两两互相垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，有，故； （2），因为点满足，点是棱上的一个点（包括端点）， 所以，设，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，得，，则， 由题可得轴平面，则平面的一个法向量为， 因为二面角角的余弦值为， 所以， 解得或（舍去），所以， 因为，所以点到平面的距离为． 因为，故到平面的距离为. 48．（23-24高三上·天津·期中）如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）设，由三角形中位线性质可得，由线面平行判定推理即可. （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法可得结果. （3）利用点到平面距离的向量求法可求得结果. 【详解】（1）令，连接， 由四边形为矩形，得为中点，又为中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）由垂直于梯形所在平面，，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，令，得， 由轴平面，得平面的法向量， 则，所以平面与平面的夹角的余弦值为. （3）由（2）知：，则，而平面的法向量， 所以点到平面的距离. 49．（22-23高二下·全国·单元测试）如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，. (1)求点到直线的距离 (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，求出等腰三角形腰上的高即可求出点到直线的距离. （2）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值； （3）利用向量法可求出点P到平面的距离． 【详解】（1）三棱锥中，平面，平面，则， 又，，，则， ，， 于是等腰腰上的高， 由，分别是棱，的中点，得，是的中位线， 所以点到直线的距离为. （2）依题意：以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 又，，分别是棱，，的中点，， 得， 则，设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）知，， 点P到平面的距离， 所以点P到平面的距离为. 50．（24-25高二上·广西·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，． (1)证明：平面． (2)若，求点到平面的距离． (3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的判断定理，即可证明； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法求点到平面的距离； （3）设，利用垂直关系构造线面角，并利用三角函数表示边长，并表示线面角的正弦值，利用三角函数求解最大值. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，， 所以平面， 又平面，所以． 因为，且，平面， 所以平面． （2）在中，，． 以为原点，，的方向分别为轴，轴的正方向， 过点作垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 得，，． 设为平面的一个法向量， 则取，得， 所以点到平面的距离． （3）取为的中点，连接，过点作，垂足为，连接． 易知平面，平面BCD，所以，则． 设，则，， 因为，平面平面，平面平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 故， 当且仅当时，取得最大值， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 考点10 空间线段点的存在性问题 51．（23-24高二上·北京·期中）如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点． (1)求证：∥平面； (2)求：二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）取中点D，连接DN、，证明四边形为平行四边形，得，从而可得证线面平行； （2）分别以为轴，建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角； （3）用空间向量法求点面距，从而得出结论． 【详解】（1）取中点D，连接DN、， ∵D、N分别为、∴且， ∵与平行且相等，M为中点，∴与平行且相等， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面  平面， ∴平面； （2）∵直三棱柱∴平面ABC又CB、平面ABC， ∴、， ∵即， ∴、CB、CA两两垂直，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴  ， 则  ， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令则， 设二面角的平面角为， 则， 由图知为钝角，∴； （3）设，， ∵， ∴， ∴    ， 设平面MBC的法向量为， 则，即， 令则 ∴P点到平面MBC的距离为， 解得，又∴． 52．（19-20高一上·江西宜春·阶段练习）已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，为的四等分点（靠近）. 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）求出平面的法向量，设出点的坐标，利用线面平行的向量表示求解即得. 【详解】（1）在四棱锥中，底面是矩形，平面，则直线两两垂直， 以点原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，令， 于是， 因此，即， 所以. （2）由（1）知，，假定存在点满足条件， 设，， 设平面的法向量为，则，令，得， 要平面，显然平面，则只需，即，解得， 所以在线段上存在点，使得平面，点为靠近点的线段的四等分点. 53．（23-24高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，点在直线（点在直线上且）上 【分析】（1）利用已知可得，结合面面垂直可得平面，可证结论. （2）以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，若，求得平面的一个法向量，可判断此情况不成立，若与不共线，设，连接，利用，可求得结论. 【详解】（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点， 且. 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面. （2）由（1）知，. 以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. ， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 假设在平面内存在点，使得平面平面.连接. 若，则设.设平面的一个法向量为. 由，取，则. 平面的法向量.由知，此情况不成立. 若与不共线，设，连接.    设，则. 当，即时，. 又平面，即平面平面，也即平面平面. 所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时， 平面平面. 54．（23-24高二下·湖南·期中）如图，直四棱柱的底面是菱形，，且直线与平面所成角为． (1)求直四棱柱的高； (2)在棱上是否能找到一点，使得平面与平面的夹角为？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【分析】（1）设，以分别为轴正方向建立空间直角坐标系，设，用空间向量法结合直线与平面所成角为，列出方程求解即可； （2）假设能找到这样的点，设，且，根据平面与平面的夹角为及空间向量，列方程解出，即可说明存在，计算出即可． 【详解】（1）设， 因为棱柱是直棱柱，且底面是菱形，故两两垂直， 如图，以分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 因为菱形中，， 所以，设， 则，， 所以 设平面的一个法向量为，则由,得， 令得，， 所以， 因为直线与平面所成角为， 所以，即，解得． （2）假设能找到这样的点， 设，且， 则， 设平面的一个法向量为，则由,得， 令得，， 则， 由平面与平面的夹角为， 可得，即，解得， 所以能找到这样的点， 此时，，故． 55．（23-24高二下·浙江宁波·期中）如图，多面体中，直角梯形所在平面与正三角形所在平面垂直，，． (1)求该多面体的体积V； (2)在棱上是否存在点P，使得直线和平面所成的角大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，. 【分析】（1）取中点，连接，求证平面，即可由求出该多面体的体积. （2）先求证两两垂直，建立空间直角坐标系，设，依据已知条件求出和平面的法向量，再依据即可计算求解，进而得解. 【详解】（1）取中点，连接，则由为正三角形得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又由题意， 所以该多面体的体积. （2）连接，由题意以及（1）可知且， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 所以由平面可知两两垂直， 所以可建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 所以，， 设，则， 所以， 设是平面的一个法向量，则， 所以，即，取，则， 所以直线和平面所成的角的正弦值为 ， 整理得，解得（舍去）或， 所以在棱上存在点P，使得直线和平面所成的角大小为，此时. 1．（22-23高二上·广东肇庆·阶段练习）已知空间三点，，，设，. (1)求，; (2)求与的夹角. 【答案】(1)；. (2) 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算即可； （2）根据空间向量夹角的坐标运算即可得到答案. 【详解】（1）由题意，，， 所以，； （2）由（1）可知， 又，所以，即与的夹角为. 2．（2024·江苏·模拟预测）如图所示，已知正方体的棱长为3，，分别是，的中点，是上一点，且平面. (1)求； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，引入参数表示的位置，求出平面的一个法向量以及，由题意，由此即可求出参数，进而得解； （2）求出，结合第一问中求出的，由向量夹角公式即可得解. 【详解】（1）如图，以点为原点，分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，. 设平面的一个法向量为， 由得， 取，则，故. 设，则. 因为平面，所以， 所以，所以. （2）因为， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 故， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 3．（23-24高二上·河南洛阳·期中）在棱长为2的正四面体中，. (1)设用，，表示； (2)若求. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据向量的线性运算法则，结合题意，求得，再由，即可求解； （2）由，得到，结合向量的数量积列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：因为，所以， 则， 所以. （2）解：因为，所以， 在棱长为2的正四面体中，， 所以， 解得. 4．（24-25高二上·山东泰安·期中）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，是等边三角形，平面平面，，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为. (1)若E为棱SA的中点，F是SB的中点，求证：平面平面SCD； (2)是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点E，E为AS上靠近A点的三等分点 【分析】（1）以点P为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用两个平面法向量相同得证平行； （2）设，向量法表示已知条件中两平面夹角的余弦值，求解即可. 【详解】（1）在等边三角形SAD中，P为AD的中点，于是， 又平面平面ABCD，平面平面，平面SAD， 平面ABCD，是四棱锥的高， 设，则，矩形的面积， ，， 如图，以点P为坐标原点，PA所在直线为x轴，过点P且与AB平行的直线为y轴，PS所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 设是平面的一个法向量， 则即， 令，则，，. 同理可得平面SCD的一个法向量为. ，平面平面SCD. （2）存在. 设， 则，， 设平面PEB的一个法向量为， 则， 令，则，， ， 易知平面SAD的一个法向量为， . ，， 存在点E，且E为AS上靠近A点的三等分点. 5．（23-24高二上·福建·期中）已知向量，O为坐标原点，点． (1)求； (2)若点E在直线AB上，且，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由空间向量坐标运算计算可得； （2）根据题意先求出，在利用，计算可得. 【详解】（1）， 则， 故. （2）点E在直线AB上，， 则可设， ∵， ∴，即，解得， 故点E的坐标为． 6．（2020高三·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，设，，，，，分别是棱，，的中点，试用，，表示以下各向量： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）利用空间向量的加减运算求解即可. 【详解】（1）是的中点， ； （2）是的中点， ； （3）是的中点， ． 又， ． 7．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间直角坐标系中的三点，，. (1)若，且，求向量的坐标； (2)已知向量与互相垂直，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）首先求出，设，根据向量模的坐标表示得到方程，解得，再代入即可得解； （2）首先求出，的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为，所以设， 又，即，解得， 所以或； （2）因为，，， 所以， ， 所以， 又向量与互相垂直， 故，解得. 8．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为菱形，且，点为棱DP的中点. (1)在棱BC上是否存在一点，使得∥平面PAN？如果存在，确定点N的位置，如果不存在，请并说明理由； (2)若二面角的余弦值为时，求棱DP的长度，并求点A到平面BCM的距离． 【答案】(1)存在，点为的中点 (2)；点A到平面BCM的距离为 【分析】（1）取的中点，可得平面∥平面PAN，根据面面平行的性质可得∥，进而可得结果； （2）建系标点，设，分别求平面BCM、平面PCD的法向量，根据面面夹角求得a，进而可求点到面的距离. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为分别为的中点，则∥， 且平面PAN，平面PAN，可得∥平面PAN， 又因为∥平面PAN，，平面， 可得平面∥平面PAN， 且平面平面，平面平面，可得∥， 由题意可知：∥，则为平行四边形， 可得，即点为的中点， 所以棱BC上是存在一点，使得∥平面PAN，此时点为的中点. （2）取的中点，连接， 由题意可知：为等边三角形，则， 且∥，可得， 又因为底面ABCD， 则可以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 可得， 设平面BCM的法向量，则， 令，则，可得， 且平面PCD的法向量， 由题意可得：，解得（舍负）， 可得，， 所以点A到平面BCM的距离. 9．（24-25高二上·北京海淀·阶段练习）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将△沿折起到△位置，使得（如图2）. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）先证明四边形是菱形，从而证明平面ABC，再根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）证明：∵在梯形中，， ，，为的中点， ∴，，， ∴是正三角形，四边形为菱形， ∴，， ∵， 又∵平面ABC， ∴平面ABC， ∵平面， ∴平面⊥平面ABC. （2）存在，，理由如下： ∵平面，OP⊥AC， ∴，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，， ∴，， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则，， ， 设， ∵，， ∴， 设与平面所成角为，则， 即，，解得， ∴线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为. 10．（23-24高三下·河北沧州·期中）如图，在直三棱柱中，，点到平面的距离为分别为的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）设的中点为，连接，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，根据向量法即可证明； （2）根据向量法即可求出. 【详解】（1）因为，所以， 设的中点为，连接， 则，又点到平面的距离为1， 即，所以， 又因为三棱柱是直三棱柱，为的中点， 所以，又平面， 故平面，而均在平面内， 故两两垂直，故以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 所以，所以； （2）因为，故， 又，故，设平面的法向量为， 则即 取，则,设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值是. 11．（23-24高二下·广西柳州·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，M，N分别为，AD的中点．    (1)证明：平面BDM． (2)求平面BDM与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）由题意可得，以D为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证明平面，从而得证. （2）利用向量法求解即可. 【详解】（1）连接，由四边形是菱形，， ∴是等边三角形，又E是的中点，则，故，             在直四棱柱中，平面， 而平面，平面， 所以， 所以两两互相垂直， 以D为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，    则， ， 设平面的一个法向量为，则， 所以，令，则，即， 而， 又平面， ∴平面． （2）由（1）知平面的一个法向量 ， 结合图形可知平面的一个法向量可以为， 设平面与平面所成角为， 则 ∴平面与平面所成角的余弦值为． 12．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求： (1)的长； (2)与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）表达出，平方后，结合数量积运算法则计算出，求出的长为； （2）计算出，，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）设，，，由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， （2）∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． 13．（23-24高二上·河南信阳·期中）在三棱锥中，，，，M，N分别为，的中点，设，，. (1)用，，表示，并求； (2)求与所成角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用基底法表示出，再利用空间向量数量积的定义与运算法则即可得解； （2）分别利用基底法求得，，从而利用夹角余弦的向量表示即可得解. 【详解】（1）依题意，得 ， ，，， ，，， . （2）因为， ， 所以 ， ， ， 故. 所以与所成角的余弦值为. 14．（24-25高二上·广西·期中）如图，在四棱柱中，，，，，是线段上的点，且． (1)求的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基底表示出向量，根据向量的数量积运算性质求模即可； （2）分别用基底表示向量，根据向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， ． （2）， ， ， ， 异面直线与所成角的余弦值为． 15．（23-24高二下·甘肃·期中）设O为坐标原点，． (1)求； (2)若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量夹角的坐标表示计算即可； （2）利用三点共线的坐标表示设，利用空间向量的数量积的坐标表示结合二次函数性质求最值即可. 【详解】（1）由题意可知， 所以， 则； （2）由题意可设，则， 易知， 所以 ， 当时，取得最小值. 16．（23-24高二下·上海·期中）如图，在棱长均为1的正三棱柱中，点在棱上，且.记，，. (1)用表示、； (2)求直线与直线所成角的大小. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】（1）， ； （2） ， 设直线与直线所成角的大小为，则， 即. 17．（2024·江苏南通·二模）如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，，直线AB与平面相交于点H. (1)从下面两个结论中选一个证明：①；②直线HE，GF，AC相交于一点； 注：若两个问题均作答，则按第一个计分. (2)求直线BD与平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）选择条件①，利用线面平行的判定性质推理即得；选择条件②，利用平面的基本事实推理即得. （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式求解即得. 【详解】（1）选择条件①，由,分别为,的中点，得， 又平面平面，则平面， 又平面，平面平面，所以. 选择条件②，在中，为中点，则与不平行， 设，则，又平面平面， 于是平面平面，又平面平面，因此， 所以,,相交于一点. （2）若第（1）问中选①，由（1）知，平面， 则点到平面的距离即为与平面的距离， 若第（1）问中选②，由,分别为,的中点，则， 又平面平面，于是平面， 因此点到平面的距离即为与平面的距离， 连接,，由均为正三角形，为的中点，得， 又平面平面，平面平面平面， 于是平面，又平面，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，,， 设平面的一个法向量为,则，令，得， 设点到平面的距离为，则， 所以与平面的距离为. 18．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，可得，即可证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（ii）利用点到面距离的向量法求解即可. 【详解】（1）取的中点N，连接，如图所示：为棱的中点，   ， ， ∴四边形是平行四边形，， 又平面平面平面．             （2）， ∵平面平面，平面平面平面， 平面， 又平面，而，          ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， 为棱的中点，                         （i）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 平面的一个法向量为，            ， 根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为            （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设， 则，       由（2）知平面的一个法向量为， ， ∴点Q到平面的距离是 ，         ． 19．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在四棱锥中，，平面平面，.    (1)求点到平面的距离； (2)在线段上是否存在点，使二面角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)为的三等分点，靠近的一端 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用法向量，结合点面距离公式即可求解 （2）根据法向量的夹角即可求解. 【详解】（1）由于，且平面平面，建立如图所示的空间直角坐标系，则, , 设平面的法向量为，则 ，取，则， 故点到平面的距离为    （2）假设线段上存在点，使得二面角的正弦值为， 设,， , 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，取，则， ，取，则， 设二面角的平面角为，则，故， 故， 化简得或（舍去）， 故存在点，使得二面角的正弦值为， 此时点满足，即为的三等分点，靠近的一端 20．（2024·北京·模拟预测）如图所示，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，为的中点.    (1)证明： (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值及点到平面的距离． ①；② 【答案】(1)证明见解析 (2)二面角的余弦值为，点A到平面BPC距离为 【分析】（1）先确定正方形沿对角线折起后的不变关系，再证明平面，即得； （2）由所选条件先证明，，两两垂直，建立空间直角坐标系，进而利用向量法可求二面角的余弦值及点到平面的距离． 【详解】（1）证明：正方形沿对角线折起后的不变关系为. 连接，，如下图：    因为，所以，同理得， 又因为平面且， 所以平面， 因为平面，所以. （2）若选择①，， 因为，所以， 因为，所以， 由（1）可得， 所以，，两两垂直，建立空间直角坐标系，如下图所示：    则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取时，，即， 因为平面， 所以平面的一个法向量， 于是，， 所以结合图像可知，二面角的余弦值为. ，， 点到平面的距离， 所以A到平面的距离为. 若选择②， 由（1）得，，，平面，， 所以平面，又平面，所以， 因为， 所以， 所以，，两两垂直，建立空间直角坐标系，如下图所示：    则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取时，，即， 因为平面， 所以平面的一个法向量， 于是，， 所以结合图像可知，二面角的余弦值为. ，， 点到平面的距离， 所以A到平面的距离为. 21．（2024·吉林·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，为中点，点在梭上（不包括端点）. (1)证明：平面平面； (2)若点为的中点，求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质与勾股定理，结合三线合一证得，，再线面垂直与面面垂直的判定定理即得证. （2）由线面平行判定定理可证得平面，则点到平面的距离即为到平面的距离.方法一：以为原点建立空间直角坐标系，运用点到面的距离公式计算即可.方法二：运用等体积法计算即可. 【详解】（1）证明：连接，如图所示， 平面， ， ，即， 又为中点，则，且， 四边形为正方形，， 平面平面， 又，、平面，平面， 又平面平面平面. （2）在中，分别为中点，， 又平面平面，平面， 点到平面的距离即为到平面的距离， （方法一） ， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示空间直角坐标系，如图所示， 则， ， 设是平面的法向量， ， 取，则是平面的一个法向量， 点到平面的距离为， 即直线到平面的距离为. （方法二） 连接、，如图所示， 为等腰直角三角形，， 又平面是三棱锥的高， ， ， ， ， 设到平面距离为，则， ， 即到平面的距离为. 22．（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线交于点，为中点．求： (1)与平面所成角的正弦值； (2)点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解决即可； （2）利用向量法求解即可. 【详解】（1）由题意可知两两垂直， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则，所以， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为； （2）， 设平面的法向量为， 则有，令，则，所以， 则点到平面的距离为． 23．（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，、分别为、的中点，且，，． (1)证明：平面． (2)求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用勾股定理得出，再利用平面，证，最后根据线面垂直的判定定理即可证明平面；’ （2）根据已知条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求距离即可. 【详解】（1）因为、分别为、的中点，所以为的中位线， 所以，，因为，所以； 在中，，，，所以， 所以，即； 因为平面，平面，所以； 又平面，平面，，所以平面. （2） 由（1）可知、、两两垂直， 建立如图所示分别以、、为、、轴的空间直角坐标系， ，，，， ，，， 设平面的法向量为，则有， 即，令，则，，所以， 设到平面的距离为，则. 24．（23-24高三下·江苏连云港·阶段练习）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)若底面为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为，求D到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，由向量的夹角得异面直线所成的角求得的长，然后由空间向量法求点面距． 【详解】（1）连接，交于点，连接， 则为的中点， 因为为的中点，所以，且， 因为为的中点，所以， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面平面， 所以平面； （2）由题意（1）及几何知识得， 在直四棱柱中，， 两两垂直，以A为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则，，， 故， 设异面直线与所成角为， 则， 解得：， 故 则 设平面的一个法向量为， 到平面的距离为， 所以即取，得. 所以， 即到平面的距离为. 25．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点.    (1)证明：. (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)设点到直线的距离为，点到平面的距离为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题意可知平面平面，根据面面垂直的性质定理可得平面，进而得到，在矩形中，由题意可得，由线面垂直判定定理及性质即可证得； （2）取的中点，连接，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求线面角的正弦值； （3）利用空间向量求出和，即可求出. 【详解】（1）连接，，    因为，为的中点，所以， 因为棱柱直三棱柱， 所以面，平面，所以平面平面， 又平面平面，面， 则平面，又平面，所以， 在矩形中，，为的中点， 所以， 所以，故， 又，面，面， 所以平面，又平面， 所以. （2）取的中点，连接， 由（1）及题意易知，，两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.    由，，则，，，，. 设平面的法向量为，又，， 则即令，则. 设直线与平面所成的角为，又， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）知平面的一个法向量为，，， 所以点到平面的距离为， 又，直线的一个单位方向向量为， 则，， 所以点到直线的距离为， 所以. 26．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面，E为上的动点． (1)确定E的位置，使平面并证明； (2)设，且在第（1）问的结论下，求二面角的正弦值. 【答案】(1)E为PD的中点，证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点O，连接，利用中位线性质得，然后利用线面平行的判定定理证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角平面角的余弦值，利用同角关系求解正弦值. 【详解】（1）E为的中点，可使平面.证明过程如下： 连接，交于点O，连接， 则O为的中点，∵E为的中点，∴， 又平面，平面，∴平面． （2）以A为原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，∴平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，∴，∴． 由图可知，二面角为锐角， 故二面角的余弦值为，正弦值为． 27．（21-22高二上·海南三亚·期中）如图，棱长为1的正四面体中，，分别为棱，的中点，设，，. (1)用，，分别表示向量与； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由向量的三角形加法法则和平行四边形加法法则得出答案. （2）设异面直线与所成角为，将用基底，，表示，代入公式计算得出答案. 【详解】（1）在正四面体中，，分别为棱，的中点， 则， ； （2）由（1）知，，. 又，设异面直线与所成角为， 则 . 28．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，直角梯形中，，四边形为矩形，，平面平面． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在；2 【分析】（1）根据条件先判定垂直关系再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面关系即可； （2）利用空间向量结合（1）的结论计算面面夹角即可； （3）利用空间向量研究线面夹角计算即可. 【详解】（1）因为四边形为矩形，平面平面， 平面平面， 所以，则平面， 根据题意可以以为原点，所在直线为轴， 所在直线为轴建立空间直角坐标系， 如图，易知，， 设平面的法向量， 不妨令，则， 又，， 又平面平面． （2）由上可知，设平面的法向量， ，令，则， ， 平面与平面夹角的余弦值为． （3）设， ， 又平面的法向量， 由直线与平面所成角的余弦值为， ， ，或． 当时，； 当时，． 综上，． 29．（24-25高二上·广西·期中）已知为坐标原点，圆：，直线：（），如图，直线与圆相交于（在轴的上方），两点，圆与轴交于两点（在的左侧），将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴正半轴，原轴正半轴所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． (1)若． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求二面角的余弦值． (2)是否存在，使得折叠后的长度与折叠前的长度之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)存在， 【分析】（1）（ⅰ）由已知，可得，，即可求得求三棱锥的体积； （ⅱ）求出平面的一个法向量和平面的一个法向量， 利用向量的坐标运算即可求得二面角的余弦值． （2）分别求出折叠前的长度与折叠后的长度，比为时，求得，可得答案. 【详解】（1）（ⅰ）若，折叠前直线的方程为， 联立，解得或，可得，， 圆：，与轴交于两点，则， 折叠后三棱锥的体积为． （ⅱ）由（ⅰ）及已知，则，，，， ，． 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，，所以． 易知为平面的一个法向量， 设二面角的大小为，由题可知为锐角， 所以 故二面角的余弦值为． （2）设折叠前，，圆心到直线的距离， 则， 直线与圆方程联立得， 即，． 设，在新图形中的对应点分别为， ，， ． 若折叠后的长度与折叠前的长度之比为， 则，解得， 故当时，折叠后的长度与折叠前的长度之比为． 【点睛】关键点点睛：（2）由几何法求出折叠前的长度，直曲联立，消元后得韦达定理，利用弦长公式求得折叠后的长度，令它们之比为时，求得，可得答案. 30．（24-25高二上·河北保定·期中）如图，已知四点均在直径为的球B的球面上，，直线PO与平面AOC所成的角为，点D在线段PC上运动． (1)证明： (2)设平面BOC与平面KHD的夹角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到，再由题意证出平面，进而由平面，所以，再由线面垂直的判定证出即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再求出平面的法向量，解出，换元法令，再结合二次函数在定区间的最值求得即可. 【详解】（1）证明：由题意可知为球的直径，所以． 又因为，所以， ，所以平面， 平面，所以， ，所以平面． （2）如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系， 根据题意可得， 则， 所以，， 则， 设平面的法向量为， 则，取． 设，则． 设平面的法向量为， 则取， ． 令， 则， 当，即时，取得最大值，最大值为. 【点睛】关键点点睛：换元法令，再结合二次函数在定区间的最值是解决最值问题的一种重要方法，也是本题解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$