7.4 平行线的性质 教学设计 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

7.4 平行线的性质 教学目标 【知识与能力】 经历证明平行线性质的过程，进一步掌握平行线的性质，并了解证明的方法与步骤. 【过程与方法】 经历观察、操作、推理、交流等学习活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力. 【情感态度价值观】 推导、论证定理正确性的过程，有利于培养学生严谨的逻辑思维能力，让学生领悟数学的魅力，增强他们对数学的兴趣. 教学重难点 【教学重点】 数学证明平行线的性质. 【教学难点】 运用严谨、科学的方法进行数学证明. 教学过程 一、导入新知 思考 根据同位角相等可以判定两直线平行，反过来如果两直线平行，同位角之间有什么关系呢？内错角、同旁内角之间又有什么关系呢？ 二、课堂新授 两直线平行，同位角相等 思考1 根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”.你能作出相关的图形吗？ 思考2 你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ 文字语言：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 符号语言：已知，如图，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角.求证：∠1=∠2. 思考3 你能说说证明的思路吗？ 证明：假设∠1 ≠ ∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH= ∠2，如图所示. 根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH ∥ CD. 又因为AB ∥ CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明∠1 ≠ ∠2的假设不成立，所以∠1 =∠2. 一般地，平行线具有如下性质： 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. 几何语言: ∵a∥b（已知），∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等）. 考点 利用“两直线平行，同位角相等”求角的度数 如图，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°，∠B=60°，∠AED=40°. （1）DE和BC平行吗？为什么？ （2）∠C是多少度？为什么？ 解:（1）DE∥BC , 理由：∵∠ADE＝60°,∠B＝60°， ∴∠ADE＝ ∠B. ∴DE∥BC （同位角相等，两直线平行）. （2）∠C =40°. 理由：∵DE∥BC ，∴∠C ＝ ∠AED （两直线平行，同位角相等）. ∵∠AED=40°，∴∠C =40°. 练习 1.如图，∠1＝70°，若m∥n，则∠2＝ . 2.如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A= ( ) A. 30° B. 35° C. 40° D. 50° 两直线平行，内错角相等 在上一节中，我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行线”，类似地，已知两直线平行，同位角相等，能否得到内错角之间的数量关系？ 定理2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等. 已知：如图，直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角. 求证： ∠1=∠2. 证明：∵ a∥b(已知), ∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等). 又∵ ∠1=∠3(对顶角相等), ∴ ∠1=∠2(等量代换). 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. 几何语言: ∵a∥b（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）. 考点 利用“两直线平行，内错角相等”求角的度数 如图，已知直线a∥b，∠1 = 50°, 求∠2的度数. 解：∵ a∥b(已知)， ∴∠ 1= ∠ 2(两直线平行,内错角相等). 又∵∠ 1 = 50° (已知), ∴∠ 2= 50° (等量代换). 练习 如图，AC∥BD，∠A＝70°，∠C＝50°，则∠1＝70°，∠2＝50°，∠3＝60°. 两直线平行，同旁内角互补 类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角之间的数量关系？ 如图,已知a//b,那么2与4有什么关系呢？为什么? 解: ∵a//b （已知）, ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）. ∵∠1+∠4=180°（邻补角的性质）， ∴∠2+∠4=180°（等量代换）. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 几何语言: ∵a∥b（已知），∴∠2+∠4=180 °（两直线平行，同旁内角互补） 总结 平行线的性质 性质定理1:两直线平行,同位角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. 性质定理2:两直线平行,内错角相等. ∵ a∥b, ∴∠2=∠3. 性质定理3: 两直线平行,同旁内角互补. ∵ a∥b, ∴ ∠2+∠4=180° . 考点 利用“两直线平行，同旁内角互补”求角的度数 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角的度数分别是多少？ 解：∵梯形上、下底互相平行， ∴∠A与∠D互补， ∠B与∠C互补. 于是∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°,∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°. ∴梯形的另外两个角分别是80°、65°. 练习 如图，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝58°，则∠2的度数为( ) A. 58° B. 42° C. 32° D. 28° 定理：平行于同一条直线的两条直线平行. 如图：直线a∥b,a∥c,∠1，∠2和∠3是直线 a,b，c被直线d截出的同位角. 求证：b∥c. 证明：∵a∥b（已知）， ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）. ∵a∥ c（已知）， ∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）. ∴ ∠2=∠3（等量代换）. ∴b∥c（同位角相等，两直线平行）. 三、巩固练习 1.如图，直线a∥b，直线c与直线a，b相交，若∠1＝56°，则∠2等于 ( ) A.24° B.34° C.56° D.124° 2.如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，过点N的直线GH与AB交于点P，则下列结论错误的是( ) A.∠EMB＝∠END B.∠BMN＝∠MNC C.∠CNH＝∠BPG D.∠DNG＝∠AME 3.如图，直线a∥b，点B在直线a上，AB⊥BC，若∠1＝38°，则∠2的度数为 ( ) A.38° B.52° C.76° D.142° 4.如图，AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝110°，则∠C的度数为( ) A.60° B.80° C.75° D.70° 5.如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上，∠1＝20°，则∠2＝70°. 6.有这样一道题：如图,若AB∥DE ,AC∥DF，试说明∠A+∠D=180°.请补全下面的解答过程,括号内填写依据. 解:∵ AB∥DE(已知), ∴∠A=∠CPD(两直线平行,同位角相等). ∵AC∥DF(已知) , ∴∠D+∠CPD=180° (两直线平行,同旁内角互补). ∴∠A+∠D=180°（ 等量代换 ）. 7.如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，∠2和∠3有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？ 解：∠2=∠3， 理由：∵两直线平行，内错角相等； ∴∠2=∠3， ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠1=∠2=∠3=∠4， ∴ ∠5=∠6， ∴进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线平行. 四、课堂小结 学科网（北京）股份有限公司 $$