第二章轴对称单测试卷（一）2024-2025学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

轴对称单测试卷一 一．选择题（共12小题） 1．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的有几个（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A．9 B．7 C．12 D．9或12 3．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点 4．下列线段中，能将三角形的面积分成相等的两部分的是（　　） A．中线 B．角平分线 C．高 D．线段的垂直平分线 5．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝3，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则△BCE的周长等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若AD＝2，△ABE的周长为12，则△ABC的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 7．如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝4，则△POD的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 9．已知一个等腰三角形有两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（　　） A．20° B．120° C．20°或120° D．36° 10．如图，P是等边三角形ABC的边AC的中点，E是BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数是（　　） A．15° B．30° C．35° D．45° 11．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2 12．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共7小题） 13．角是轴对称图形，它的对称轴是 　 　，线段是轴对称图形，它的对称轴是 　 　． 14．从镜中看到的一串数字是80080，这串数字应为　 　． 15．如图，在ABC中，DE垂直平分AC，交AC边于点E，交BC边于点D，若AE＝3cm，△ABD的周长为15cm，则△ABC的周长为 　 　． 16．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则△ODQ的面积是 　 　． 17．如图，在正方形网格中，与△ABC成轴对称的三角形可以画出 　 　个． 18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P为AC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，则PB+PD的最小值为 　 　． 19．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是　 　秒． 三．解答题（共5小题） 20．课堂上，老师提出问题： 如图，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心P的位置？ （1）利用尺规作图确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）写出作图依据：　 　． 21．如图，在△ABC中，将△ACB沿直线MN折叠，使点C与点B重合，连接BM． （1）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠ABM的度数； （2）若AB＝5，AC＝8，求△ABM的周长． 22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°． （1）尺规作图：作线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接AD，求证：△ABD是等边三角形． 23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由． 24．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 轴对称单测试卷一 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 1．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的有几个（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据轴对称图形的特点进行判断即可． 【解答】解：∵在方格纸中，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤， 故选：B． 【点评】本题考查的是利用轴对称设计图案，轴对称图形是要寻找对称轴，沿对称轴对折后与两部分完全重合． 2．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A．9 B．7 C．12 D．9或12 【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长， 由于2+2＜5，则三角形不存在； （2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为5+5+2＝12． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去． 3．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点 【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置． 【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点． 故选：B． 【点评】本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等． 4．下列线段中，能将三角形的面积分成相等的两部分的是（　　） A．中线 B．角平分线 C．高 D．线段的垂直平分线 【分析】根据三角形的中线的性质解答即可． 【解答】解：三角形的中线能将三角形的面积分成相等两部分． 故选：A． 【点评】此题考查三角形面积问题，关键是根据三角形的中线能将三角形的面积分成相等两部分解答． 5．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝3，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则△BCE的周长等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，故可得出△BCE的周长＝（BE+CE）+BC＝AC+BC，由此即可得出结论． 【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵AC＝5，BC＝3， ∴△BCE的周长＝BE+CE+BC＝AC+BC＝5+3＝8． 故选：D． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 6．如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若AD＝2，△ABE的周长为12，则△ABC的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【分析】根据线段中点的定义可得AC＝4，根据题意可得ED是AC的垂直平分线，从而可得EA＝EC，然后根据△ABE的周长为12，可得AB+BC＝12，从而求出△ABC的周长，即可解答． 【解答】解：∵点D是AC的中点， ∴AC＝2AD＝4， 由题意得： ED是AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∵△ABE的周长为12， ∴AB+BE+AE＝12， ∴AB+BE+EC＝12， ∴AB+BC＝12， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝12+4＝16， 故选：D． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 7．如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称的性质和线段的性质即可得到结论． 【解答】解：根据题意得，在公路l上选取点P，使PA+PB最短． 则选项A 符合要求， 故选：A． 【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，最短路线问题数学模式的运用，综合考查了学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力． 8．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝4，则△POD的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【分析】过P作PK⊥OB于K，由角平分线的性质推出PK＝PC＝2，而OD＝4，即可求出△POD的面积＝OD•PK＝4． 【解答】解：过P作PK⊥OB于K， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C， ∴PK＝PC＝2， ∵OD＝4， ∴△POD的面积＝OD•PK＝×4×2＝4． 故选：A． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到PK＝PC． 9．已知一个等腰三角形有两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（　　） A．20° B．120° C．20°或120° D．36° 【分析】本题难度中等，考查等腰三角形的性质．因为所成比例的内角，可能是顶角，也可能是底角，因此要分类求解． 【解答】解：设两内角的度数为x、4x； 当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x＝180°，x＝20°； 当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x＝180°，x＝30°，4x＝120°； 因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，知道20°或120°都有做顶角的可能是解题的关键． 10．如图，P是等边三角形ABC的边AC的中点，E是BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数是（　　） A．15° B．30° C．35° D．45° 【分析】根据“三线合一”可得BP平分∠ABC，可得∠PBC＝30°，根据∠CPE＝∠ACB﹣∠E即可作答． 【解答】解：∵P是等边三角形ABC的边AC的中点， ∴BP平分∠ABC，∠ABC＝60°＝∠ACB， ∴∠PBC＝30°， ∵PE＝PB， ∴∠PBC＝∠E＝30°， ∴∠CPE＝∠ACB﹣∠E＝30°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，“三线合一”以及三角形外角的定义和性质等知识，掌握“三线合一”是解答本题的关键． 11．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2 【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC＝S△ABC，代入求出即可． 【解答】解：延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， 在△ABP和△EBP中，， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴S△PBC＝S△ABC＝×9cm2＝4.5cm2， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 12．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PM＝PD， ∴PN＝PD， ∵PN⊥BF，PD⊥AC， ∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC， ∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB， ∴∠ACB＝2∠APB，③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确， 故选：D． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 二．填空题（共7小题） 13．角是轴对称图形，它的对称轴是 　角的平分线所在直线　，线段是轴对称图形，它的对称轴是 　线段的垂直平分线和线段所在的直线　． 【分析】根据轴对称图形的概念可得答案． 【解答】解：角是轴对称图形，它的对称轴是角的平分线所在直线，线段是轴对称图形，它的对称轴是线段的垂直平分线和线段所在的直线． 故答案为：角的平分线所在直线；线段的垂直平分线和线段所在的直线． 【点评】本题考查轴对称图形，掌握角、线段的对称性是解答本题的关键． 14．从镜中看到的一串数字是80080，这串数字应为　08008　． 【分析】此题考查了镜面对称的知识，镜面对称的知识实际上是数学上的轴对称的知识，由于在镜子中看到的顺序是颠倒的，可根据这个特点来解决镜面对称的问题． 【解答】解：∵是从镜子中看， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这串数字应为08008， 故答案为：08008． 【点评】考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反． 15．如图，在ABC中，DE垂直平分AC，交AC边于点E，交BC边于点D，若AE＝3cm，△ABD的周长为15cm，则△ABC的周长为 　21cm　． 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD＝DC，AE＝CE＝3cm，结合已知进行等量代换，然后可得答案． 【解答】解：∵DE垂直平分AC， ∴AE＝CE＝3cm，AD＝DC， ∵△ABD的周长为15cm， ∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝15cm， ∴△ABC的周长为：AB+BC+AC＝AB+BC+AE+CE＝15+3+3＝21（cm）， 故答案为：21cm． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 16．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则△ODQ的面积是 　10　． 【分析】作DH⊥OB于点H，根据角平分线的性质得到DH＝DP＝5，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：作DH⊥OB于点H， ∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB， ∴DH＝DP＝5， ∴△ODQ的面积＝OQ•DH＝4×5＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 17．如图，在正方形网格中，与△ABC成轴对称的三角形可以画出 　3　个． 【分析】根据网格结构以及轴对称图形的性质作出对称三角形即可． 【解答】解：如图1， △ABC与△A′BC成轴对称图形； 如图2， △ABC与△ABC′成轴对称图形，△ABC与△C′CB成轴对称图形． 综上所述，与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出3个， 故答案为：3． 【点评】本题考查了作图—轴对称变换，画出对应的图形是解此题的关键． 18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P为AC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，则PB+PD的最小值为 　　． 【分析】作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB′，根据对称性的性质，BP＝B′P，证明△ABC≌△AB′C，根据S△ABB′＝S△ABC+S△AB′C＝2S△ABC，即可求出PB+PD的最小值． 【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B′， 过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P， 点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值， 连接AB′，根据对称性的性质， BP＝B′P， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝＝5， ∵AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′，BC＝B′C， ∴△ABC≌△AB′C（SAS）， ∴S△ABB′＝S△ABC+S△AB′C＝2S△ABC， 即AB•B′D＝2×BC•AC， ∴5B′D＝24， ∴B′D＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 19．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是　4　秒． 【分析】设运动的时间为x，则AP＝20﹣3x，当APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，则20﹣3x＝2x，解得x即可． 【解答】解：设运动的时间为x， 在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm， 点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动， 当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ， AP＝20﹣3x，AQ＝2x 即20﹣3x＝2x， 解得x＝4． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题． 三．解答题（共5小题） 20．课堂上，老师提出问题： 如图，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心P的位置？ （1）利用尺规作图确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）写出作图依据：　角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等　． 【分析】（1）作∠MON的平分线和线段AB的垂直平分线，则交点即为所求点P； （2）根据（1）中图形证明即可． 【解答】解：（1）如图1，点P为所求； （2）作∠MON的平分线OC，线段AB的垂直平分线DE，DE交OC于点P， 连接PA，PB，过点P作PF⊥ON于点F，PG⊥OM于点G． ∵PF⊥ON，PG⊥OM， 且点P在∠MON的平分线上， ∴PF＝PG（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）， 即活动中心P到两条马路的距离相等， ∵点P在线段AB的垂直平分线DE上， ∴PA＝PB（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）， 即活动中心P到两个小区的距离也相等， ∴点P为所求作的点． 故答案为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【点评】本题考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，利用角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，找出点P的位置是解题的关键． 21．如图，在△ABC中，将△ACB沿直线MN折叠，使点C与点B重合，连接BM． （1）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠ABM的度数； （2）若AB＝5，AC＝8，求△ABM的周长． 【分析】（1）先由三角形的内角和定理求得∠ABC，再根据折叠的性质，得到∠MBN＝∠C＝40°，从而即可求解； （2）根据折叠的性质，得到MB＝MC，进而计算周长即可． 【解答】解：（1）∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，∠A＝80°，∠C＝40°， ∴∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°． 由折叠可知，∠MBN＝∠C＝40°． ∵∠ABC＝∠ABM+∠MBN， ∴∠ABM＝∠ABC﹣∠MBN＝60°﹣40°＝20°． （2）由折叠可知，MB＝MC． ∴△ABM的周长＝AB+AM+BM＝AB+AM+CM＝AB+AC＝5+8＝13． 【点评】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握性质和三角形的内角和定理是解题的关键． 22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°． （1）尺规作图：作线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接AD，求证：△ABD是等边三角形． 【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法作图即可； （2）首先利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等证明AD＝CD，进而可得两个内角的度数为60°，进而可得结论． 【解答】解：（1）如图所示：DE即为所求； （2）证明∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD＝CD， ∴∠C＝∠AD， ∵∠C＝30°， ∴∠CAD＝30°， ∴∠ADB＝60°， ∵∠BAC＝90°，∠C＝30°， ∴∠B＝60°， ∴∠DAB＝60°， ∴△ADB是等边三角形． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和线段垂直平分线的作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由． 【分析】（1）根据角平分线的性质得到DC＝DE，证明Rt△FCD≌Rt△BED，根据全等三角形的性质证明； （2）证明Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的性质证明． 【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE， 在Rt△FCD和Rt△BED中， ， ∴Rt△FCD≌Rt△BED（HL）， ∴CF＝EB； （2）解：AB＝AF+2BE， 理由如下：在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE， ∴AB＝AE+BE＝AF+FC+BE＝AF+2BE． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 24．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形． （2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△ECF中 ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△DBE≌△ECF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝（180°﹣40°）＝70° ∴∠1+∠2＝110° ∴∠3+∠2＝110° ∴∠DEF＝70° 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/10 15:59:12；用户：王晓晓；邮箱：18454803606；学号：22353380 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$