第二章轴对称单测试卷（二）2024-2025学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

轴对称单测试卷二 一．选择题（共12小题） 1．下面是同学们利用两条线段，两个圆，两个等腰三角形设计的图案，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（　　） A．7cm B．9cm C．12cm或者9cm D．12cm 3．如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（　　） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 4．点D在△ABC的边BC上，△ABD和△ACD的面积相等，则AD是（　　） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中垂线 5．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（　　） A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 6．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC边的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD＝5，则△AEC的周长为（　　） A．14 B．12 C．11 D．19 7．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，用直尺和圆规作在∠AOB内确定射线OH，点P是射线OH上一点，过点P分别作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F，若PE＝3，则PF的长为（　　） A．1.5 B．3 C．4 D．5 9．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（　　） A． B． C．或2 D．或 10．如图，△ABC为等边三角形，BD⊥BC，AE∥BD，则∠EAC的度数为（　　） A．150° B．140° C．130° D．120° 11．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE．若BD＝6，CD＝5，则△DCG的面积是（　　） A．10 B．5 C． D． 12．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED+∠AGD和是（　　） A．180° B．200° C．210° D．240° 二．填空题（共7小题） 13．下列说法：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线相互重合；③三角形三条高交于一点；④直角三角形只有一条高线；⑤正八边形有八条对称轴．其中正确的是 　 　（填写正确的序号）． 14．在平面镜里看到其对面墙上电子钟显示的数字时间如图所示，那么实际时间是　 　． 15．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为 　 　． 16．如图，射线OC是∠AOB的平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4．若Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是 　 　． 17．【综合与实践】根据以下操作，完成相应的任务． 【研究素材】若干张全等的矩形纸片ABCD，其中AB＝6，BC＝8． 小明、小芳、小丽三个同学课后相约玩折纸的游戏． 【操作1】 小明按如图方式沿对角线BD折叠纸片ABCD，点A与点E对应，DE与BC交于点F． 【任务1】 直接判断△BDF的形状为 　 　． 【操作2】 小芳计划折叠纸片ABCD，使点B与点D重合，折痕为GH． 【任务2】 ①请你帮助小芳用无刻度的直尺和圆规画出折痕GH，分别与AD、BC交于点G、H；（不写作法，保留作图痕迹） ②连接BG、DH，判断四边形BGDH的形状，并说明理由； 【操作3】 小丽先将纸片ABCD对折，折痕为MN，然后展开：点P为AD的一点，再将纸片沿BP折叠，点A与点Q对应． 【任务3】 若点Q落在MN上，再沿PQ折叠∠BPQ，发现点B的对应点B'恰好落在射线AD上，请说明理由； 【任务4】 若点P为AD的中点，连接DQ，平移折痕MN经过点Q，交AB、CD、BP分别于点M′、N′、G，求M'G+QN′的长． 18．如图，∠AOB＝25°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN的值最小时，β﹣α的大小＝　 　（度）． 19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为　 　时，△ACP是等腰三角形． 三．解答题（共5小题） 20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE是线段AB的垂直平分线． （1）求∠B的大小； （2）若CD＝2，求BC的长． 21．如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，FC交AD于F． （1）求证：△AFE≌△CDF； （2）若AB＝4，BC＝8，求DF的长． 22．小明同学将几种三角形的关系整理如图，请将图中横线部分的内容补充完整（合理即可）． 23．如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝12，BC＝18． （1）求S△ABD：S△BCD的值； （2）若S△ABC＝36，求DE的长． 24．如图，BC⊥CD，∠1＝∠2＝∠3，∠4＝60°，∠5＝∠6． （1）CO是△BCD的高吗？为什么？ （2）求∠5、∠7的度数． 轴对称单测试卷二 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 1．下面是同学们利用两条线段，两个圆，两个等腰三角形设计的图案，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 【解答】解：A．是轴对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了轴对称图形和的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 2．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（　　） A．7cm B．9cm C．12cm或者9cm D．12cm 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm； ②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去． ∴其周长是12cm． 故选：D． 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 3．如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（　　） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求． 【解答】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三个外角两两平分线的交点，共三处． 故选：D． 【点评】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握角平分线的定理的应用是关键． 4．点D在△ABC的边BC上，△ABD和△ACD的面积相等，则AD是（　　） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中垂线 【分析】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，根据三角形中线的性质进行判断． 【解答】解：∵点D在△ABC的边BC上，△ABD和△ACD的面积相等， ∴AD是△ABC的中线， 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形的中线，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 5．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（　　） A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解答即可． 【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， ∴这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上． 故选：B． 【点评】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC边的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD＝5，则△AEC的周长为（　　） A．14 B．12 C．11 D．19 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得BE＝CE，再利用三角形的周长公式计算可求解． 【解答】解：∵DE垂直平分线段BC， ∴BE＝EC， ∵AB＝8，AC＝6， ∴△AEC的周长为：AE+CE+AC＝AB+AC＝8+6＝14， 故选：A． 【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 7．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称的性质即可得到结论． 【解答】解：分别作点P关于∠O的两边的对称点P1，P2，连接P1P2交∠O的两边于A，B，连接PA，PB，此时△PAB的周长最小． 故选：D． 【点评】本题主要考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点． 8．如图，用直尺和圆规作在∠AOB内确定射线OH，点P是射线OH上一点，过点P分别作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F，若PE＝3，则PF的长为（　　） A．1.5 B．3 C．4 D．5 【分析】由作图可知，OH平分∠AOB，由角平分线的性质可得出答案． 【解答】解：由作图可知，OH平分∠AOB， ∵PE⊥OB，PF⊥OA， ∴PF＝PE＝3， 故选：B． 【点评】本题考查了基本作图，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 9．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（　　） A． B． C．或2 D．或 【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为8时；当等腰三角形的底边长为8时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为8时， ∵等腰△ABC的周长为20， ∴它的底边长＝20﹣8﹣8＝4， ∴它的“优美比”＝＝； 当等腰三角形的底边长为8时， ∵等腰△ABC的周长为20， ∴它的腰长＝×（20﹣8）＝6， ∴它的“优美比”＝＝； 综上所述：它的“优美比”为或， 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键． 10．如图，△ABC为等边三角形，BD⊥BC，AE∥BD，则∠EAC的度数为（　　） A．150° B．140° C．130° D．120° 【分析】根据等边三角形性质得∠ABC＝∠BAC＝60°，再根据BD⊥BC得∠DAB＝∠CBD﹣∠ABC＝30°，然后根据平行线性质得∠EAB＝180°﹣∠DAB＝150°，最后根据周角的定义可得出∠EAC的度数． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， ∵BD⊥BC， ∴∠CBD＝90°， ∴∠DAB＝∠CBD﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°， ∵AE∥BD， ∴∠EAB＝180°﹣∠DAB＝180°﹣30°＝150°， ∴∠EAC＝360°﹣∠EAB﹣∠BAC＝360°﹣150°﹣60°＝150°． 故选：A． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键． 11．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE．若BD＝6，CD＝5，则△DCG的面积是（　　） A．10 B．5 C． D． 【分析】先由CD＝AE得到，AB的长度，继而求得DE＝5，从而证明△CDE为等腰三角形，求得△ABC的面积，根据CE中线的性质，求出△BCE的面积，再用△BCE的面积减去△BDE的面积即可求解． 【解答】解：∵CE是AB边上的中线， ∴AE＝BE， ∵CD＝AE＝5， ∴AB＝10， 根据勾股定理得：AD＝＝8， ∴△ABC的面积为， ∵CE是△ABC的中线， ∴S△BCE＝S△ACE＝22， ∵BD＝6，AD＝8，AD⊥BC， ∴， ∵DE是△ABD的中线， ∴S△BDE＝12， ∴S△DCE＝S△BCE﹣S△BDE＝10， ∵DE＝AE＝AB，DC＝AE， ∴DC＝DE， ∵DG⊥CE， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 12．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED+∠AGD和是（　　） A．180° B．200° C．210° D．240° 【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DF＝DH，则可根据“HL”判断Rt△DFE≌Rt△DHG，所以∠DEF＝∠DGH，然后利用∠AED+∠DEF＝180°得到∠AED+∠AGD＝180°． 【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC， ∴DF＝DH， 在Rt△DFE和Rt△DHG中， ， ∴Rt△DFE≌Rt△DHG（HL）， ∴∠DEF＝∠DGH， ∵∠AED+∠DEF＝180°， ∴∠AED+∠AGD＝180°． 故选：A． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形全等的判定与性质． 二．填空题（共7小题） 13．下列说法：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线相互重合；③三角形三条高交于一点；④直角三角形只有一条高线；⑤正八边形有八条对称轴．其中正确的是 　①③⑤　（填写正确的序号）． 【分析】分别根据角平分线的定义和性质、等腰三角形的性质，三角形的高线以及轴对称图形的定义判断即可． 【解答】解：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等，正确； ②等腰三角形的底边上的高、中线以及顶角的角平分线互相重合，故原说法错误； ③三角形三条高交于一点，正确； ④直角三角形有三条高线，故原说法错误； ⑤正八边形有八条对称轴，正确； 所以其中正确的是①③⑤． 故答案为：①③⑤． 【点评】本题考查了角平分线的定义和性质、等腰三角形的性质，三角形的高以及轴对称图形，掌握相关知识点是解答本题的关键． 14．在平面镜里看到其对面墙上电子钟显示的数字时间如图所示，那么实际时间是　21：05　． 【分析】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，画出相关图形可得实际时间． 【解答】解：∵实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称， ∴20：15|21：05， 故答案为21：05． 【点评】考查镜面对称的知识；得到相应的对称轴是解决本题的关键；难点是作出相应的对称图形；注意2，5的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5，2． 15．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为 　16　． 【分析】由作图可得AD＝AC＝7，MN垂直平分BD，则根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，然后利用等量代换即可得到△ADE的周长． 【解答】解：由作图可得AD＝AC＝7，MN垂直平分BD， ∴EB＝ED， ∴△ADE的周长为AE+DE+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，解题的关键是读懂图象信息． 16．如图，射线OC是∠AOB的平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4．若Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是 　6　． 【分析】作DH⊥OB于点H，根据角平分线的性质得到DH＝DP＝5，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：作DH⊥OB于点H， ∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB， ∴DH＝DP＝4， ∴△ODQ的面积＝OQ•DH＝4×3＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 17．【综合与实践】根据以下操作，完成相应的任务． 【研究素材】若干张全等的矩形纸片ABCD，其中AB＝6，BC＝8． 小明、小芳、小丽三个同学课后相约玩折纸的游戏． 【操作1】 小明按如图方式沿对角线BD折叠纸片ABCD，点A与点E对应，DE与BC交于点F． 【任务1】 直接判断△BDF的形状为 　等腰三角形　． 【操作2】 小芳计划折叠纸片ABCD，使点B与点D重合，折痕为GH． 【任务2】 ①请你帮助小芳用无刻度的直尺和圆规画出折痕GH，分别与AD、BC交于点G、H；（不写作法，保留作图痕迹） ②连接BG、DH，判断四边形BGDH的形状，并说明理由； 【操作3】 小丽先将纸片ABCD对折，折痕为MN，然后展开：点P为AD的一点，再将纸片沿BP折叠，点A与点Q对应． 【任务3】 若点Q落在MN上，再沿PQ折叠∠BPQ，发现点B的对应点B'恰好落在射线AD上，请说明理由； 【任务4】 若点P为AD的中点，连接DQ，平移折痕MN经过点Q，交AB、CD、BP分别于点M′、N′、G，求M'G+QN′的长． 【分析】（1）依据题意，根据等腰三角形的判定方法即可得出答案； （2）①依据题意，连接BD，作线段BD的垂直平分线即可得解； ②依据题意，先证明△DOG≌△BOH，得出GD＝BH，说明四边形BGDH为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明四边形BGDH为菱形； （3）依据题意，取BQ的中点H，连接MH，证明△BMH为等边三角形，得出∠MBQ＝60°，证明AD||MN，得出∠DPQ＝∠PQM＝60°，证明∠BPQ＝∠GPQ，进而可以得解； （4）依据题意，先证明∠PGQ＝∠GPQ，再根据等腰三角形的判定得出GQ＝PQ＝4，然后根据M'G+QN'＝M'N'﹣GQ＝8﹣4＝4，进而可以得解． 【解答】解：任务一：由题意，∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， 根据折叠可知：∠ADB＝∠FDB， ∴∠CBD＝∠FDB． ∴FD＝FB． ∴△FBD为等腰三角形； 故答案为：等腰三角形． 任务二：①GH即为所求作的折痕； ②四边形BGDH为菱形，理由如下： ∵AD∥BC， ∴∠DGO＝∠BHO，∠GDO＝∠HBO． ∵GH垂直平分BD， ∴BG＝DG，BO＝DO． ∴△DOG≌△BOH（AAS）． ∴GD＝BH． ∵GD∥BH， ∴四边形BGDH为平行四边形． ∵BG＝DG， ∴四边形BGDH为菱形． 任务3：取BQ的中点H，连接MH， 根据折叠可知：AM＝BM＝AB， ∠PQB＝∠A＝90°，BQ＝AB， ∠BMN＝∠AMN＝90°，∠APB＝∠QPB， ∴MH＝BH＝HQ，BM＝AB＝BQ． ∴MH＝BH＝BM． ∴△BMH为等边三角形． ∴∠MBQ＝60°． ∴∠MQB＝90°﹣60°＝30°． ∴∠MQP＝90°﹣30°＝60°． ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD． 根据折叠可知：AM＝AB，DN＝CD， ∴AM＝DN． ∴四边形AMND为平行四边形． ∴AD∥MN． ∴∠DPQ＝∠PQM＝60°． ∴∠APQ＝180°﹣60°＝120°． ∴∠APB＝∠QPB＝60°． ∴∠BPQ＝∠DPQ． ∴沿PQ折叠∠BPQ，发现点B的对应点B恰好落在射线AD上． 任务4：由题意，∵点P为AD的中点， ∴AP＝AD＝4． 根据折叠可知：AP＝PQ＝4，∠APB＝∠BPQ． ∵四边形AMND为平行四边形， ∴MN＝AD＝8，MN∥AD． 根据平移可知：M'N'＝MN＝8，M'N'∥MN， ∴M'N'∥AD． ∴∠APB＝∠PGQ． ∴∠PGQ＝∠GPQ． ∴GQ＝PQ＝4． ∴M'G+QN'＝M'N'﹣GQ＝8﹣4＝4． 【点评】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，平移的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 18．如图，∠AOB＝25°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN的值最小时，β﹣α的大小＝　50　（度）． 【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小， ∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN， ∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝25°+（180°﹣β）， ∴180°﹣α＝50°+（180°﹣β）， ∴β﹣α＝50°， 故答案为：50． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为　3，6或6.5或5.4　时，△ACP是等腰三角形． 【分析】根据题意分四种情况，针对每种情况画出相应的图形，求出相应的时间t的值即可解答本题． 【解答】解：由题意可得， 第一种情况：当AC＝CP时，△ACP是等腰三角形，如图1所示， ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动， ∴CP＝6cm， ∴t＝6÷2＝3秒； 第二种情况：当CP＝PA时，△ACP是等腰三角形，如图2所示， ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动， ∴AB＝10cm，∠PAC＝∠PCA， ∴∠PCB＝∠PBC， ∴PA＝PC＝PB＝5cm， ∴t＝（CB+BP）÷2＝（8+5）÷2＝6.5秒； 第三种情况：当AC＝AP时，△ACP是等腰三角形，如图3所示， ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动， ∴AP＝6cm，AB＝10cm， ∴t＝（CB+BA﹣AP）÷2＝（8+10﹣6）÷2＝6秒； 第四种情况：当AC＝CP时，△ACP是等腰三角形，如图4所示， 作CD⊥AB于点D， ∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，tan∠A＝＝， ∴，AB＝10cm， 设CD＝4a，则AD＝3a， ∴（4a）2+（3a）2＝62， 解得，a＝， ∴AD＝3a＝， ∴AP＝2AD＝7.2cm， ∴t＝＝5.4s， 故答案为：3，6或6.5或5.4． 【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题． 三．解答题（共5小题） 20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE是线段AB的垂直平分线． （1）求∠B的大小； （2）若CD＝2，求BC的长． 【分析】（1）先由三角形内角和定理得到∠B+∠BAD+∠DAC＝90°，由角平分线的定义得到∠BAD＝∠DAC，由线段垂直平分线的性质和等边对等角得到∠B＝∠BAD，则∠B＝∠BAD＝∠DAC＝30°； （2）根据含30度角的直角三角形的性质先求出AD的长，进而得到BD的长，由此即可得到答案． 【解答】解：（1）∵∠C＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∴∠B+∠BAD+∠DAC＝90°． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC． ∵DE是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠B＝∠BAD， ∴∠B＝∠BAD＝∠DAC＝30°， ∴∠B的度数为30°； （2）由（1）知∠BAD＝∠CAD＝30°． 在Rt△ACD中，CD＝2， ∴AD＝2CD＝4， ∴BD＝AD＝4， ∴BC＝BD+CD＝4+2＝6． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，灵活运用所学知识是解题的关键． 21．如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，FC交AD于F． （1）求证：△AFE≌△CDF； （2）若AB＝4，BC＝8，求DF的长． 【分析】（1）根据矩形的性质得到AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，根据折叠的性质得到∠E＝∠B，AB＝AE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到AF＝CF，EF＝DF，根据勾股定理得到DF＝3． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°， ∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处， ∴∠E＝∠B，AB＝AE， ∴AE＝CD，∠E＝∠D， 在△AEF和△CDF中， ， ∴△AEF≌△CDF（AAS）； （2）解：∵AB＝4，BC＝8， ∴CE＝BC＝8，AE＝CD＝AB＝4， ∵△AEF≌△CDF， ∴AF＝CF，EF＝DF， 在Rt△CDF中，DF2+CD2＝CF2，即DF2+42＝（8﹣DF）2， 解得DF＝3． 【点评】本题主要考查图形的折叠，第一问解题关键是利用在折叠过程中对应边和对应角相等，第二问的解题关键是借助直角三角形中勾股定理求解． 22．小明同学将几种三角形的关系整理如图，请将图中横线部分的内容补充完整（合理即可）． 【分析】根据等边三角形、直角三角形以及等腰直角三角形的判定方法解答即可． 【解答】解：∵有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形， ∴①∠B＝60°； ∵有一个角等于90°的三角形是直角三角形， ∴②∠A＝90°； ③AB＝AC． 【点评】本题考查了等腰三角形、直角三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形以及直角三角形的判定方法． 23．如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝12，BC＝18． （1）求S△ABD：S△BCD的值； （2）若S△ABC＝36，求DE的长． 【分析】（1）根据角平分线的性质得到DE＝DF，根据三角形的面积公式计算即可得到答案； （2）根据三角形的面积公式计算即可求出DE的长． 【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F， ∴DE＝DF， ∴S△ABD：S△BCD＝＝2：3； （2）S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝×AB×DE+×BC×DF＝36， 解得DE＝． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 24．如图，BC⊥CD，∠1＝∠2＝∠3，∠4＝60°，∠5＝∠6． （1）CO是△BCD的高吗？为什么？ （2）求∠5、∠7的度数． 【分析】（1）由BC⊥CD，则∠DCB＝90°，可得∠1＝∠2＝∠3＝45°，即CD＝CB，所以，CO是等腰直角△DCB的角平分线，则可得CO⊥BD； （2）在△ACD中，由∠1＝∠3＝45°，∠4＝60°，根据三角形的内角和定理，可求得∠5＝30°，又∠5＝∠6，所以，在直角△AOB中，即可得出∠7的度数； 【解答】解：（1）CO是△BCD的高．理由如下： ∵BC⊥CD， ∴∠DCB＝90°， ∴∠1＝∠2＝∠3＝45°， ∴△DCB是等腰直角三角形， ∴CO是∠DCB的角平分线， ∴CO⊥BD（等腰三角形三线合一）； （2）∵在△ACD中，∠1＝∠3＝45°，∠4＝60°， ∴∠5＝30°， 又∵∠5＝∠6， ∴∠6＝30°， ∴在直角△AOB中， ∠7＝180°﹣90°﹣30°＝60°． 【点评】本题主要看考查了等腰三角形的判定与性质，熟记等腰三角形的三线合一，是正确解答本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/10 16:01:04；用户：王晓晓；邮箱：18454803606；学号：22353380 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$