精品解析：2024-2025学年人教版九年级数学上册期中考试试卷

2024—2025年度人教版九年级上学期期中考试试卷 数 学 （考试范围：第一章~第三章） 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共4页，三个大题，共27题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列图案中，不是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 某校准备修建一个面积为181平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的函数是二次函数，则a应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形中，E为边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接，若，则一定等于（　　） A. α B. C. D. 8. 如图，某学校计划用的围栏靠墙围成一个面积为的矩形小花园（墙长为），则与墙垂直的边为（ ） A. 或 B. C. D. 9. 如图，有一矩形纸片，，，将该矩形纸片沿垂直于的三条虚线折成一个上下无盖的长方体纸盒，则长方体纸盒的最大容积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，点M从点A开始沿边向点B以速度移动，同时点N沿的路线以的速度移动．设的面积为y（单位：），运动时间为x（单位：），则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C D. 11. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于一元二次方程的实数根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 12. 如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（ ） A. B. C. 5 D. 8 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 若关于x的一元二次方程有一个根为1，则实数k的值为____________． 14. 关于的函数是二次函数，则的值是_____． 15. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是___________． 16. 将一元二次方程配方后得到，则_________． 17. 如图，已知顶点为的抛物线过，下列结论：①；②对于任意的实数m，均有；③：④若，则；⑤，其中结论正确的为______．（填序号） 18. 如图，已知：正方形，点，分别是，上的点，连接，，，且，的周长为______． 三、解答题（本大题共9题，共96分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 已知二次函数的图象如图所示，点在第二象限的函数图象上，点的坐标为．连接、，若，求点的坐标． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点的坐标为．请解答下列问题：（保留作图痕迹） （1）将绕点顺时针旋转得到图形，请画出此图形； （2）求出的面积． 22. 已知关于x的方程 有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于 0？ 若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 23. 如图，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴正半轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线的解析式． 24. 已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发， 那么几秒后，的面积等于？ （2）在（1） 中，的面积能否等于？请说明理由． 25. 一家商店于国庆后购进了一批新款秋装，每件进价为元，从销售中记录发现，当每件售价为元时，每天可售出件．为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利．市场调研认为，若每件降价元，则每天就可多售出件． （1）若活动期间每件秋装的售价为元，这款秋装每天销售多少件？ （2）要想每天销售这款秋装能盈利元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？ （3）每天销售这款秋装盈利的最大值是多少元？ 26. 周末小琴在文化广场观看喷水景观，他对喷出呈抛物线形状的水柱展开探究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． （1）求此抛物线的解析式； （2）若喷水头喷出的水柱下方有一安全的长廊，小琴的同学小江站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，身高的小琴在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小江的水平距离． 27. 【问题情境】如图①，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点按逆时针方向旋转度，点、的对应点分别为点、． 【问题解决】 （1）如图②，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； （2）若，如图③，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在直角三角形绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025年度人教版九年级上学期期中考试试卷 数 学 （考试范围：第一章~第三章） 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共4页，三个大题，共27题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合，根据中心对称图形的概念逐个选项判断即可． 【详解】A.此图旋转能够和自身重合，所以是中心对称图形，故该选项不符合题意； B. 此图旋转不能和自身重合，所以不是中心对称图形，故该选项符合题意； C. 此图旋转能够和自身重合，所以是中心对称图形，故该选项不符合题意； D. 此图旋转能够和自身重合，所以是中心对称图形，故该选项不符合题意， 故选：B． 2. 某校准备修建一个面积为181平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设宽为米，则长为米， 根据题意得：， 故选：B． 3. 关于x的函数是二次函数，则a应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义“一般地，形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”，熟记定义是解题关键．根据二次函数的定义求解即可得． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，点关于点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 设点关于点对称的点的坐标是，根据中心对称的性质即可求出和，于是得解． 【详解】解：设点关于点对称的点的坐标是， 根据中心对称的性质，可得： ， ， 点关于点对称的点的坐标是， 故选：． 5. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的相关概念，一元二次方程中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．先将方程化为一般式，再根据相关定义进行解答即可． 【详解】解：将化为一般式为， ∴二次项系数是1、一次项系数、常数项分别是， 故选：A． 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，据此及可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B 7. 如图，正方形中，E边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接，若，则一定等于（　　） A. α B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理及外角性质，等腰直角三角形的性质，先由，得出，结合正方形的性质，则，然后证明通过证明，所以再结合等边对等角，即可作答． 【详解】解：过点F作，交的延长线于点G， 由旋转得，， ∴． ∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ 即 ∴， ∴． ∵， ∴ ∴ 故选：A． 8. 如图，某学校计划用的围栏靠墙围成一个面积为的矩形小花园（墙长为），则与墙垂直的边为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设与墙垂直的边长米，则与墙平行的边长为米，根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】解：设与墙垂直的边长米，则与墙平行的边长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，， 舍去． 故选：B． 9. 如图，有一矩形纸片，，，将该矩形纸片沿垂直于的三条虚线折成一个上下无盖的长方体纸盒，则长方体纸盒的最大容积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设折成的长方体盒子的底面一边长为，则其相邻的边长为，长方体的体积为，根据题意列出二次函数求得最大值即可；本题主要考查二次函数的应用，根据题意准确列出二次函数是解题的关键． 【详解】解：设折成的长方体盒子的底面一边长为，则其相邻的边长为， 长方体的体积为， 根据题意得： ， 所以该纸筒的最大容积为， 故选：B． 10. 如图，在正方形中，，点M从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点N沿的路线以的速度移动．设的面积为y（单位：），运动时间为x（单位：），则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，动点问题的函数图象；分别求得点在上运动时，点在上运动时的函数解析式，即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴，， 当点在上运动，即时，， 则，此时函数图象为线段； 当点在上运动，即时， ， 则， 则，此时函数图象为抛物线一部分； 故选：A 11. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于的一元二次方程的实数根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．由直线解析式求得，然后确定的符号即可． 【详解】解：直线不经过第四象限， ， 关于方程， ， 关于的方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 12. 如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（ ） A. B. C. 5 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】如图，把绕顺时针旋转得到，求解，结合，（三点共线时取等号），从而可得答案． 【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∵，（三点共线时取等号）， ∴的最大值为， 故选D 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做出合适的辅助线是解本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 若关于x的一元二次方程有一个根为1，则实数k的值为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，把代入方程，建立关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：把代入方程，得 ， 解得：， 故答案为：1． 14. 关于的函数是二次函数，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的概念：关于自变量的二次三项式，一般形式为，a、b、c是常数；根据概念得，，求解即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：； 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标 ：求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两个点的纵坐标互为相反数，横坐标也互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 16. 将一元二次方程配方后得到，则_________． 【答案】26 【解析】 【分析】此题考查的是解一元二次方程−−配方法，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键．把配方后与比较得出b，c的值，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵方程配方后得到， ∴， ∴． 故答案为：26． 17. 如图，已知顶点为的抛物线过，下列结论：①；②对于任意的实数m，均有；③：④若，则；⑤，其中结论正确的为______．（填序号） 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与轴的交点，即可判断的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把代入，得，故③正确，由关于直线对称的点为，进而得若，则或，故④错误；由抛物线的顶点为，，得，再由，得，故⑤正确． 【详解】解：抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴直线， ∴，， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； 抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值， ， ∴对于任意的，均有，故②错误； 抛物线过， ∴，故③正确； ∵抛物线过，关于直线对称的点为， ∴若，则或，故④错误； 抛物线的顶点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，故⑤正确． ∴结论正确的为①③⑤， 故答案为：①③⑤． 18. 如图，已知：正方形，点，分别是，上的点，连接，，，且，的周长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是利用旋转变换作出全等三角形并用正方形的边长表示出的周长．将绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出的周长，再根据正方形的边长求解即可． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长 ， ∵正方形的边长为5， ∴的周长为． 故答案为：10． 三、解答题（本大题共9题，共96分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； （2）先移项，利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 整理得， ∴， ∴，， 解得：，． 20. 已知二次函数的图象如图所示，点在第二象限的函数图象上，点的坐标为．连接、，若，求点的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，设点到轴的距离为．则，解得．当时，，从而即可得解． 【详解】解：点的坐标为， ． 设点到轴的距离为． ， ． 当时，， 点的坐标为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点的坐标为．请解答下列问题：（保留作图痕迹） （1）将绕点顺时针旋转得到图形，请画出此图形； （2）求出的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用旋转的性质分别得出对应点位置进而得出答案； （2）利用面积的和差求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 小问2详解】 面积为：． 22. 已知关于x的方程 有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于 0？ 若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）且 （2）不存在；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零结合根的判别式，找出关于k的一元一次不等式组；（2）根据根与系数的关系结合，列出关于k的方程； （1）由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围； （2）假设存在，设方程的两根分别为、，根据根与系数的关系结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出k的值，再根据（1）的结论即可得出不存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0． 【小问1详解】 解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且． 【小问2详解】 解：假设存在，设方程的两根分别为、，则，， ， ， ∵且， 不符合题意，舍去． 假设不成立，即不存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0． 23. 如图，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴正半轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与坐标轴交点问题； （1）根据题意得出，待定系数法求抛物线的解析式，即可求解； （2）根据解析式得出点的坐标为，进而待定系数法求的解析式即可求解． 【小问1详解】 解：因为，所以． 把代入， 得，解得． 所以抛物线的解析式为，即． 【小问2详解】 当时， 可得， 则点的坐标为． 设直线的解析式为． 把代入，得，解得． 所以直线的解析式为． 24. 已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发， 那么几秒后，的面积等于？ （2）在（1） 中，的面积能否等于？请说明理由． 【答案】（1）2秒或者3秒后的面积等于 （2）不能等于，理由见详解 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“的面积等于”得出等量关系是解决问题的关键． （1）设经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解． （2）通过根的判别式即可判定能否达到． 【小问1详解】 解：设经过x秒以后面积为， 则， 整理得：， 解得：， 答：2秒或者3秒后的面积等于； 【小问2详解】 解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， 所以此方程无解， 故的面积不能等于． 25. 一家商店于国庆后购进了一批新款秋装，每件进价为元，从销售中记录发现，当每件售价为元时，每天可售出件．为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利．市场调研认为，若每件降价元，则每天就可多售出件． （1）若活动期间每件秋装的售价为元，这款秋装每天销售多少件？ （2）要想每天销售这款秋装能盈利元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？ （3）每天销售这款秋装盈利的最大值是多少元？ 【答案】（1）件 （2）元 （3）元 【解析】 【分析】（）根据题意列出算式计算即可求解； （）设每件应降价元，根据题意列出方程即可求解； （）设每天盈利为元，每件应降价元，根据题意求出与之间的函数关系，再根据函数的性质解答即可求解； 本题考查了有理数混合运算的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意正确列出方程和二次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 答：每天销售件； 【小问2详解】 解：设每件应降价元， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵尽量减少库存， ∴， 答：每件应降价元； 【小问3详解】 解：设每天盈利为元，每件应降价元， 由题意得，， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， 答：每天销售这款秋装盈利的最大值是元． 26. 周末小琴在文化广场观看喷水景观，他对喷出呈抛物线形状的水柱展开探究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． （1）求此抛物线的解析式； （2）若喷水头喷出的水柱下方有一安全的长廊，小琴的同学小江站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，身高的小琴在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小江的水平距离． 【答案】（1） （2）当他的头顶恰好接触到水柱时，与小江的水平距离是或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）令，解方程求出自变量x的值，即可解题． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为，将代入得： ， 解得， ， 答：抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得或， 他与小江的水平距离为或， 答：当他的头顶恰好接触到水柱时，与小江的水平距离是或． 27. 【问题情境】如图①，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点按逆时针方向旋转度，点、的对应点分别为点、． 【问题解决】 （1）如图②，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； （2）若，如图③，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在直角三角形绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）正方形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，旋转变换的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据勾股定理得到，求出即可得到答案； （2）由旋转的性质先证明四边形是矩形，再由，即可得到结论； （3）当点落在的延长线上时，此时最长求解即可． 【小问1详解】 解：，，， ， 正方形， ， ， 由旋转的性质得：， ； 【小问2详解】 解：旋转的性质得到， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； 【小问3详解】 解：点不会在线段上， 当点落在的延长线上时，， 最长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$