2.3二次函数与一元二次方程、不等式题型归纳练习-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

二次函数与一元二次方程、不等式 1、 二次不等式求解 二次不等式求解方法：对不等号取等号，解方程，作函数图像，根据图像结合不等号取区间. 1、 普通二次不等式求解（注意方程两个解相等和无解两种情况） 1、已知则不等式的解集为________. 2、求下列不等式的解集 (1); (2). 3．设集合,则( ) A. B. C. D. 4．下面四个不等式中解集为空集的是( ) A. B. C. D. 2、 分式型不等式求解（将分式化为整式，注意分母不为0，高次的可采用穿针引线法） 5．不等式的解集为( ) A.R B. C. D. 6．不等式：的解为________. 3、 绝对值型不等式求解（可分类讨论或平方去绝对值） 7．已知集合，则( ) A． B． C． D． 8．解下列不等式: （1）. （2）. 4、 多次不等式求解 9．不等式的解集为( ) A. B. C. D. 2、 已知二次不等式的解集，系数未知问题（a、c交换位置，根变为原来的倒数，若b变为相反数，则根变为相反数） 10．若不等式的解集是或，则a，b的值为( ) A.， B.， C.， D.， 11．已知关于x的一元二次不等式的解集为,其中a,b,c为常数,则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 12．已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为( ) A. B. C. D. 3、 根的分布问题 13．（多选题）已知关于x的不等式的解集是,其中,则下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 14．设m为实数，已知关于x的方程，则下列说法正确的是________. ①当时，方程的两个实数根之和为0； ②方程无实数根的一个必要条件是； ③方程有两个不相等的正根的充要条件是； ④方程有一个正根和一个负根的充要条件是. 15．关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么a的取值范围是( ) A. B. C. D. 16．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为( ) A. B. C. D. 4、 恒成立、存在性或无解问题 17．若不等式对一切实数x都成立,则实数k的取值范围为( ) A. B. C. D. 18．已知关于x的不等式的解集是,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 19．已知当时,不等式恒成立,则实数________. 20．已知不等式. (1)当时不等式恒成立,求实数m的取值范围; (2)当时不等式恒成立,求实数m的取值范围. 21．已知关于x的不等式. （1）是否存在实数m，使不等式对任意恒成立？请说明理由. （2）若对于，不等式恒成立，求实数x的取值范围. 22．已知函数. (1)是否存在实数，使不等式对于任意恒成立？并说明理由； (2)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 5、 含参二次不等式的分类讨论 23．解关于x的不等式： （1）； （2）； （3）. 24．若关于x的不等式在区间上有解,则实数m的取值范围是____________. 参考答案 1．答案： 解析：方程的解为或, 故不等式的解集为, 故答案为:. 2．答案：(1) (2) 解析：(1)可化为,解得或, 所以解集为. (2)可化为,解得, 所以解集为. 3．答案：A 解析：由,得,解得, 所以, 因为, 所以, 故选：A. 4．答案：D 解析：对于A选项，解不等式得，A不满足条件； 对于B选项，由得，该不等式的解集为R，B不满足条件； 对于C选项，由可得，解得或，C不满足条件； 对于D选项，因为，故不等式的解集为空集，D满足条件. 故选：D 5．答案：C 解析：由,得. 故选:C 6．答案：或 解析：由，得或，解得或， 所以不等式的解为或. 故答案为：或 7．答案：C 解析：， 故 8．答案：（1） ,所以,解得..故解集为 （2） 方法一：原不等式等价于或 分别解这两个不等式组，得或或或， 故原不等式的解集为. 方法二：原不等式可化为， 即， 所以或， 即或或. 故原不等式的解集为 9．答案：D 解析：由可得，， ，解得且， 故原不等式的解集为 10．答案：C 解析：由题意得，2是方程的两个根，故，，解得，. 11．答案：A 解析：关于x的一元二次不等式的解集为, 则,且-1,5是一元二次方程的两根, 于是,解得, 则不等式化为,即,解得, 所以不等式的解集是． 故选：A. 12．答案：A 解析：因为不等式的解集为， 所以2和3是方程的两个实数解，且； 由根和系数的关系知， 所以； 所以不等式可化为， 叫，解得， 所求不等式的解集为 13．答案：ABC 解析：由题意可得,, 即,即有, 即,,故A正确､D错误; 令,其根为,, 结合二次函数性质可得,, 即,故B､C正确. 故选：ABC. 14．答案：②③④ 解析：对于①，时无实根，故①错误； 对于②，当时方程有实根， 当时，方程无实根，则，解得， 综上，， 所以方程无实数根的一个必要条件是，故②正确； 对于③，方程有两个不等正根，则， 解得，故③正确； 对于④，方程有一个正根和一个负根，则 解得，故④正确. 故答案为：②③④. 15．答案：D 解析：当时，即为，不符合题意； 故，即为， 令， 由于关于x的方程有两个不相等的实数根，，且， 则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧， 故时，，即，解得，故， 故选：D. 16．答案：C 解析：不等式，即， 当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故； 当时，不等式解集为，此时不符合题意； 当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故； 故实数m的取值范围为 17．答案：D 解析：当时,不等式为对一切实数x都成立,符合题意, 当时,要使得不等式对一切实数x都成立, 则,解得, 综上所述,k的取值范围为. 故选：D. 18．答案：A 解析：若,则,此不等式恒不成立,故原不等式无解,符合题设; 若,因为不等式的解为空集,故, 故, 综上,, 故选:A. 19．答案： 解析：若,则当时,, 故在上恒成立,但的图象为抛物线, 它的开口向上,故矛盾,舍; 故,故时,,故, 当时,,故, 考虑的解,因为,故此方程必有两个不同的解, 而,故此方程有且仅有一个正实根, 故为方程的正实根,故, 故, 故答案为: 20．答案：(1) (2) 解析：(1)①若,则原不等式可化为,显然恒成立, ②若,则不等式恒成立, 等价于 ,解得, 综上,实数m的取值范围是. (2)①当时,则原不等式可化为,显然恒成立, ②当时,函数的图象开口向上,对称轴为直线, 若时不等式恒成立, 则,解得, ③当时,函数的图象开口向下, 若时不等式恒成立, 则,解得, 综上,实数m的取值范围是. 21．答案：（1）不存在，理由见解析 （2） 解析：（1）原不等式等价于， 若对于任意实数x恒成立，当且仅当且， 即此不等式组的解集为， 所以不存在实数m，使不等式对任意恒成立. （2）设， 当时，可看作关于m的一次函数，其图象是线段， 所以若对于，恒成立， 则当或时，恒成立，即 由①得， 由②得或， 所以， 所以实数x的取值范围是. 22．答案：(1)不等式可化为，即.要使对于任意恒成立，只需即可．故存在实数使不等式对于任意恒成立，此时. (2)不等式可化为． 若存在实数使不等式成立，只需. 又 . 故所求实数的取值范围是 23．答案：（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3）答案见解析 解析：（1）不等式可化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式化为，其解集为； 当时，不等式化为， （ⅰ）当，即时，不等式的解集为； （ⅱ）当，即时，不等式的解集为； （ⅲ）当，即时，不等式的解集为. （2）不等式， 当时，可得； 当时，不等式可化为，而，解得； 当时，不等式可化为， 当，即时，，， 当，即时，或， 当，即时，或， 综上所述：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）不等式， ①当时，即时，不等式的解集为； ②当时，即或时， 由，解得或， 所以不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为. 24．答案： 解析：, 不等式,即在区间上有解. 设,, 则, 令,, 设,, ,则在区间上单调递增, 故,即. 故要使在区间上有解,则. 即实数m的取值范围是. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$