3.3 轴对称与坐标变化 教学设计 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

3.3 轴对称与坐标变化 教学目标 【知识与能力】 1.在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系. 2.经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识. 【过程与方法】 1.经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能，培养学生的探索能力. 【情感态度价值观】 1.丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维. 2.通过有趣的图形的研究，激 发学生对数学学习的好奇心与求知欲，能积极参与数学学习活动. 3.通过“坐标与轴对称”，让学生体验数学活动充满着探索与创造. 教学重难点 【教学重点】 经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，明确图形坐标变化与图形轴对称之间关系. 【教学难点】 由坐标的变化探索新旧图形之间的变化探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识. 教学过程 一、导入新知 1.什么叫轴对称图形？ 沿着某一直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形；这条直线称为对称轴. 2.如何在平面直角坐标系中确定点P的位置 a称为点P的横坐标，b称为点P的纵坐标. 二、课堂新授 轴对称与坐标变化 探究 1.△ABC与△A1B1C1在如图所示的直角坐标系中，仔细观察，完成下列各题： （1）△ABC与△A1B1C1有怎样的位置关系？ （2）请在下表中填入点A与A1、点B与B1、点C与C1的坐标，并思考：这些对应点的坐标之间有什么关系？ A: B: C: A1: B1: C1: （3）如果点P（m，n）在△ABC内，那么它在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是 . 解：（1）△ABC与△A1B1C1关于x轴对称. （2）关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数. （3）（m，-n） 2.如右图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗. （1）两面小旗之间有怎样的位置关系？ （2）请在下表中填入点A与A1、点B与B1、点C与C1、点D与D1的坐标，并思考：这些对应点的坐标之间有什么关系？ A: B: C: D: A1: B1: C1: D1: （3）如果点P（m，n）在△ABC内，那么它在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是 . 解：（1）关于y轴成轴对称. （2）关于y轴对称的两个点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同. （3）（-m，n） 3.通过以上学习，你知道关于x轴对称的两个点的坐标之间的关系吗？关于y轴对称的两个点的坐标之间的关系呢？ 关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同. 考点 根据坐标轴变化的规律确定点的坐标 若点A(1＋m，1-n)与点B(-3，2)关于y轴对称，则m＋n的值是(　　) A.-5 B.-3 C.3 D.1 解析：因为点A(1＋m，1-n)与点B(-3，2)关于y轴对称，所以1＋m＝3，1-n＝2，解得m＝2，n＝-1.所以m＋n＝2-1＝1. 练习 1.平面直角坐标系中，点P（ 5 ，7）关于x轴对称的点的坐标为 . 2.已知点A（a，2）与点A1（8，b）关于y轴对称，则a= ，b= . 拓展思考 刚刚我们学习了两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系，那坐标变化会不会引起图形变化？会引起怎样的变化呢？ 坐标变化与图形变化 在平面直角坐标系中依次连接下列各点：(0,0)， (5,4) ，(3,0)， (5,1) ，(5,-1)， (3,0)， (4,-2) ，(0,0)，你得到了一个怎样的图案？ 将各坐标的纵坐标保持不变，横坐标都乘以-1 ，则图形怎么变化？ 解：两个图形关于y轴对称 （x，y） （0，0） （5，4） （3，0） （5，1） （5，-1） （3，0） （4，-2） （0，0） （-x，y） （0，0） （-5，4） （-3，0） （-5，1） （-5，-1） （-3，0） （-4，-2） （0，0） 将各坐标的纵坐标都乘以-1，横坐标保持不变，则图形怎么变化？ 解：两个图形关于x轴对称 （x，y） （0，0） （5，4） （3，0） （5，1） （5，-1） （3，0） （4，-2） （0，0） （x，-y） （0，0） （5，-4） （3，0） （5，-1） （5，1） （3，0） （4，2） （0，0） 将各坐标的纵坐标与横坐标都乘以-1，图形会变成什么样？ 解：两个图形关于原点中心对称 （x，y） （0，0） （5，4） （3，0） （5，1） （5，-1） （3，0） （4，-2） （0，0） （-x，-y） （0，0） （-5，-4） （-3，0） （-5，-1） （-5，1） （-3，0） （-4，2） （0，0） 小结 1.关于y轴对称的两个图形上点的坐标特征：横坐标变为相反数，纵坐标不变. 2.关于x轴对称的两个图形上点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数. 3.关于原点轴对称的两个图形上点的坐标特征：横坐标、纵坐标都变为相反数. 练习 1.在平面直角坐标系中，点P(-4，6) 关于x轴对称的点的坐标为(　　 ) A．(-4，-6) B．(4，-6) C．(-6，-4) D．(6，-4) 2.点（8，3）与点（8，-3）的关系是（ ） A.关于原点对称 B.关于 x轴对称 C.关于 y轴对称 D.不能构成对称关系 三、巩固练习 1.如图，△ABC与△DFE关于y轴对称，已知A(-4，6)，B(-6，2)，E(2，1)，则点D的坐标为(　　) A．(-6，4) B．(4，6) C．(-2，1) D．(6，2) 2.已知A、B两点的坐标分别是(-2,3)和(2,3),则下面四个结论：①A、B关于x轴对称； ②A、B关于y轴对称；③A、B关于原点对称；④A、B之间的距离为4，其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.点(-4,9)与点(4,9)的关系是（ ） A.关于原点对称 B.关于x轴对称 C.关于y轴对称 D.不能构成对称关系 4.已知点P(2a-3，3)，点A（-1，3b+2）， （1）如果点P与点A关于x轴对称，那么a+b= ； （2）如果点P与点A关于y轴对称，那么a+b= . 5.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，3)，B(2，4)，C(4，0)，D(2，-3)，E(0，-4)．写出B，C，D关于y轴对称的点H，G，F的坐标，并画出H，G，F点．顺次平滑地连接A，B，C，D，E，F，G，H，A各点． 分析：方法一：点(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(-x，y)，作点B，C，D关于y轴对称的点的关键是确定各对称点的坐标，然后顺次平滑连接各点即得所要求的图形； 方法二：利用轴对称先作出图形，再直观判断F，G，H的坐标． 解：方法一：点B，C，D关于y轴对称的点的坐标分别为H(-2，4)，G(-4，0)，F(-2，-3)，根据坐标描出点H，G，F，并顺次平滑地连接 A，B，C，D，E，F，G，H，A各点即得所求图形，如图所示． 方法二：先作出点B，C，D关于y轴的对称点H，G，F，观察得出H(-2，4)，G(-4，0)，F(-2，-3)，再顺次平滑地连接A，B，C，D，E，F，G，H，A各点即得所求图形，如图所示． 6.在x轴上有一条河，现准备在河流边上建一个抽水站P，使得抽水站P到A，B两个村庄的距离之和最小，请作出点P的位置，并求此时距离之和的最小值. 解：作出点B关于x轴的对称点B1，连接AB1，与x轴的交点就是抽水站P的位置. 理由：连接PB，则PB=PB1，有AP+PB=AB+PB1； 根据两点之间线段最短知：AP+PB的最小值即为线段AB1的长度.于是，问题转化为求线段AB1的长度. 分别过点A、B1作x轴、y轴的垂线，交点为C，得到Rt△AB1C. 显然AC=3，B1C=4，根据勾股定理可得AB1=5. 于是，AP+PB的最小值为5. 四、课堂小结 学科网（北京）股份有限公司 $$