精品解析：四川省 雅安市 雨城区四川省雅安中学2024-2025学年九年级上学期 10月教学质量评估数学试题

雅安中学2024—2025学年上期学月教学质量评估九年级 数 学 试 题 本试卷分 A 卷和 B 卷两部分，共4页，全卷满分 150 分，答题时间 120 分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷规定的位置上． 2．回答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦 干净后，再选涂其它答案编号． 3．回答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡指定的位置内． 4．所有题目必须在答题卷作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卷交回． A 卷（共 100 分） 一、单选题（本题共 8小题，每小题 4 分，共 32 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程分析即可得解． 【详解】解：A．根据一元二次方程的定义，不是等式，所以不是一元二次方程，故A不符合题意． B．根据一元二次方程的定义，由，得，所以 是一元二次方程，故B符合题意． C．根据一元二次方程的定义，中等式的左边不是整式，所以不是一元二次方程，故C不符合题意． D．根据一元二次方程的定义，由，得，所以不是一元二次方程，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理、如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． 2. 一个菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形性质，结合勾股定理求出菱形边长，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可知， 根据菱形性质可知，， 在中，，则， 该菱形的周长为， 故选：C． 【点睛】本题考查利用菱形性质求线段长，涉及勾股定理，熟记菱形性质是解决问题的关键． 3. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】分情况讨论：当时，方程是一元一次方程，有一个实数解；当时，方程为一元二次方程，根据根的判别式的意义得到，解得，然后综合两种情况得到的取值范围． 【详解】解：当，即时，方程化为，解得； 当，即，方程为一元二次方程， 方程有实数根， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围为． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 4. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为的形式，则的值为(　　) A. 3 B. C. 11 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】先将方程变形为，进而可得，即得答案． 【详解】解：∵ ∴，即， 则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，正确理解题意、熟练掌握配方的方法是关键． 5. 如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（ ） A. 且 B. 且和互相平分 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴和互相平分， ∵， ∴四边形是菱形， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法：对角线相等的菱形是正方形，邻边相等的矩形是正方形，是解题的关键． 6. 如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点 F，则重叠部分的面积为（   ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠，根据折叠得，得，设， ，在中，根据勾股定理得，即可求解. 【详解】解：依题意可知，矩形沿对角线对折后有： ，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得． ∴； ∴． 故选：C． 7. 在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少.2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为.设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x,则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用2023年上学期平均每天书面作业时长=2022年上学期每天书面作业平均时长×（1﹣该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设根据题意得：． 故选：C． 8. 如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值． 【详解】如图：连接BE， ， ∵菱形ABCD， ∴B、D关于直线AC对称， ∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小 ∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．， ∵菱形ABCD，，点， ∴，， ∴ ∴△CDB是等边三角形 ∴ ∵点是的中点， ∴,且BE⊥CD， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长． 二、填空题（本大题共5个小题，每空4分，共20分） 9. 方程的根为__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，， 故答案为：，． 10. 一个三角形的两边长为3和5，第三边长为方程的根，则这个三角形的周长为_______． 【答案】11 【解析】 【分析】先运用因式分解法解一元二次方程得到第三边的可能长度，再根据三角形的三边关系确定第三边的长，最后求周长即可． 【详解】解： ，解得：， ∵一个三角形的两边长为3和5， ∴第三边长的取值范围是：，则第三边长为：3， ∴这个三角形的周长为：11． 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、三角形的三边关系等知识点，根据题意确定确定第三边的长是解答本题的关键． 11. 若关于x的二次方程的两根和满足，则n的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据、是一元二次方程的两个根，则有，，代入求解即可． 【详解】解：∵关于x的二次方程的两根为和， ∴，， 由得， 解得， 故答案：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键． 12. 如图，菱形的对角线、相交于点，于点，连接，若，，则____． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质得，，由，可得是等边三角形，再由，得到，最后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长．本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：1． 13. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则，要求的最小值，即求的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，知的最小值即等于直角三角形斜边上的高． 【详解】解：连接，如图： ∵在中，，，， ∴，即， 又∵于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， 当时，的最小值即为直角三角形斜边上的高， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段． 三、解答题（本大题共6个小题，共48分）解题要求：写出必要的文字说明、计算公式及解答步骤， 14. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）移项后利用因式分解法解方程即可； （）利用因式分解法解方程即可； （3）整理后用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：， 整理，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，已知是正方形的边上的任意一点，，垂足为，交于点．求证：． 【答案】 证明：∵正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，先证明，再证明，即可证明，证明是解题的关键． 【详解】略． 16. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有实根； （2）若等腰，底边，另两边b、c恰好是此方程的两根，求的周长． 【答案】（1） 证明：， ∴无论k为何值，方程总有实根． （2）的周长为7 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的概念， （1）根据根的判别式计算判断即可； （2）根据一元二次方程有两个相等的实数根，可求k，再求出方程的解，可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为底，则b，c为腰时，， ∴方程有两个相等的实根， ∴， 即， 解得， ∴此时方程为， 解得， ∴的周长为． 17. 已知ABCD，对角线AC，BD相交于点O（AC＞BD），点E，F分别是OA，OC上的动点． （1）如图①，若AE=CF，求证：四边形EBFD是平行四边形； （2）如图②，若OE=OB，OF=OD，求证：四边形EBFD是矩形． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD． ∵AE=CF， ∴， 即OE=OF． ∴四边形EBFD是平行四边形． （2） 证明：∵OE=OB，OD=OF，∠DOE=∠BOF， ∴△DOE≌△BOF（SAS）． ∴DE=BF，∠EDO=∠FBO． ∴DE∥BF． ∴四边形EBFD是平行四边形． ∵OE=OB，OD=OF， ∴BD=EF． ∴平行四边形EBFD是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可知OA=OC，OB=OD，进而得出OE=OF，最后证明结论； （2）根据SAS易证△DOE≌△BOF，得出DE=BF，∠EDO=∠FBO，进而得出DE∥BF，得出四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，最后证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质以及矩形的判定，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键． 18. 已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图①）. （1）求证：BM=DN； （2）如图②，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形； （3）在（2）的条件下，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，求 的值． 【答案】 （1）连接BD，则BD过点O． ∵AD∥BC， ∴∠OBM=∠ODN． 又OB=OD， ∠BOM=∠DON， ∴△OBM≌△ODN． ∴BM=DN； （2）∵矩形ABCD， ∴AD∥BC，AD=BC． 又BM=DN， ∴AN=CM． ∴四边形AMCN是平行四边形． 由翻折得，AM=CM， ∴四边形AMCN是菱形； （3）＝ . 【解析】 【详解】（1） 略 （2略 ） （3）∵ 又∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3， ∴DN︰CM=1︰3 设DN=k，则CN=CM=3k． 过N作NG⊥MC于点G，则CG=DN=k，MG=CM-CG=2k． NG=， ∴MN= ∴ B卷（共50分） 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，设，可得，因式分解求出x的值，再根据x的范围可得答案． 【详解】解：设， ∴， 因式分解，得， ∴． ∵， ∴． 故答案为：4． 20. 若a，b是方程的两根，则___________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根及根与系数的关系，求整式的值；由一元二次方程的根及根于系数的关系得，，整体代入，即可求解；掌握根与系数法关系，能用整体代入的方法求解是解题的关键． 【详解】解：a，b是方程的两根， ， ， ． 故答案：． 21. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作于点E，于点F．若，则的值为___________． 【答案】4.8 【解析】 【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB=6，BC=8，可求得OA=OD=5，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP求得答案． 【详解】解：连接OP， ∵矩形ABCD的两边AB=6，BC=8， ∴S矩形ABCD=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC==10， ∴S△AOD=S矩形ABCD=12，OA=OD=5， ∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12， ∴PE+PF==4.8． 故答案为：4.8． 【点睛】此题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 22. 已知关于一元二次方程，有下列说法： ①若则； ②若方程两根为1和2，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有实根； ④若，则方程有两个不相等的实数根． 其中正确的是______．（填写序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据根与判别式的关系，判断①③④；根与系数的关系判断②． 【详解】解：①若，则一元二次方程有一个根为， ∴；故①正确； ②若方程两根为1和2，则：，即：， ∴；故②正确； ③若方程有两个不相等的实根，则：， ∴， ∴方程必有实根；故③正确； ④，则：， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根．故④正确； 故答案为：①②③④ 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 23. 如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论： ①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD 其中正确结论的为______（请将所有正确的序号都填上）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据已知先判断△ABC≌△EFA，则∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，由等边三角形的性质得出∠BDF=30°，从而证得△DBF≌△EFA，则AE=DF，再由FE=AB，得出四边形ADFE为平行四边形而不是菱形，根据平行四边形的性质得出AD=4AG，从而得到答案． 【详解】解：∵△ACE是等边三角形， ∴∠EAC=60°，AE=AC， ∵∠BAC=30°， ∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC， ∵F为AB的中点， ∴AB=2AF， ∴BC=AF， ∴△ABC≌△EFA， ∴FE=AB， ∴∠AEF=∠BAC=30°， ∴EF⊥AC，故①正确， ∵EF⊥AC，∠ACB=90°， ∴HF∥BC， ∵F是AB的中点， ∴HF=BC， ∵BC=AB，AB=BD， ∴HF=BD，故④说法正确； ∵AD=BD，BF=AF， ∴∠DFB=90°，∠BDF=30°， ∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°， ∴∠DFB=∠EAF， ∵EF⊥AC， ∴∠AEF=30°， ∴∠BDF=∠AEF， ∴△DBF≌△EFA（AAS）， ∴AE=DF， ∵FE=AB， ∴四边形ADFE为平行四边形， ∵AE≠EF， ∴四边形ADFE不是菱形； 故②说法不正确； ∴AG=AF， ∴AG=AB， ∵AD=AB， 则AD=4AG，故③说法正确， 故答案为①③④． 考点：菱形的判定；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形． 五、解答题（本大题有3道小题，共30分）解题要求：写出必要的文字说明、解答步骤． 24. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为； （2）当商品降价5元时，商场获利4250元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 25. 已知关于的方程． （1）圆圆说：该方程一定为一元二次方程．圆圆的结论正确吗？请说明理由． （2）当时； ①若该方程有实数解，求的取值范围； ②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值． 【答案】（1） 解：圆圆的结论正确，理由如下： ， 该方程一定为一元二次方程， 故圆圆的结论正确． （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）利用配方法求出即可得出这个方程一定是一元二次方程． （2）①根据判别式即可求出答案； ②利用根与系数的关系表示出和的值，根据条件可得到关于的方程，解方程可求得的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，则方程为， ①若该方程有实数解，则， 解得， 若该方程有实数解，的取值范围是； ②若该方程的两个实数解分别为和，则，， ， ， ， ， 整理得， 解得或， ， 的值为． 【点睛】本题考查了一元二次方程，，，为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．以及根与系数的关系． 26. 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点． （1）［观察猜想］填空：与的数量关系___________（提示：取的中点，连接）； （2）［类比探究］如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； （3）［拓展应用］如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么（1）中的结论是否成立呢？若成立写出证明过程，若不成立请说明理由． 【答案】（1）； （2） 成立，理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同（1）可得， 在和中， ， ∴， ∴； （3） 成立，证明：如图，在的延长线上取一点，使，连接． ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，求出，求出，再求出，根据推出和全等即可； （2）在上截取，连接，求出，得出，求出，再求出，根据推出和全等即可； （3）在的延长线上取一点，使，连接，根据已知条件利用判定，即可证明． 【小问1详解】 解：，理由如下： 如图，取中点，连接， ∵四边形是正方形，平分， ∴，，， ∵是边的中点，为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅安中学2024—2025学年上期学月教学质量评估九年级 数 学 试 题 本试卷分 A 卷和 B 卷两部分，共4页，全卷满分 150 分，答题时间 120 分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷规定的位置上． 2．回答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦 干净后，再选涂其它答案编号． 3．回答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡指定的位置内． 4．所有题目必须在答题卷作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卷交回． A 卷（共 100 分） 一、单选题（本题共 8小题，每小题 4 分，共 32 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 一个菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 3. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围（ ） A. B. 且 C. 且 D. 4. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为的形式，则的值为(　　) A. 3 B. C. 11 D. 7 5. 如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（ ） A. 且 B. 且和互相平分 C. 且 D. 且 6. 如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点 F，则重叠部分的面积为（   ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少.2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为.设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x,则可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每空4分，共20分） 9. 方程的根为__________ 10. 一个三角形的两边长为3和5，第三边长为方程的根，则这个三角形的周长为_______． 11. 若关于x的二次方程的两根和满足，则n的值是______． 12. 如图，菱形的对角线、相交于点，于点，连接，若，，则____． 13. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共6个小题，共48分）解题要求：写出必要的文字说明、计算公式及解答步骤， 14. 解方程： （1）； （2）； （3）． 15. 如图，已知是正方形的边上的任意一点，，垂足为，交于点．求证：． 16. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有实根； （2）若等腰，底边，另两边b、c恰好是此方程的两根，求的周长． 17. 已知ABCD，对角线AC，BD相交于点O（AC＞BD），点E，F分别是OA，OC上的动点． （1）如图①，若AE=CF，求证：四边形EBFD是平行四边形； （2）如图②，若OE=OB，OF=OD，求证：四边形EBFD是矩形． 18. 已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图①）. （1）求证：BM=DN； （2）如图②，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形； （3）在（2）的条件下，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，求 的值． B卷（共50分） 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则____________． 20. 若a，b是方程的两根，则___________． 21. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作于点E，于点F．若，则的值为___________． 22. 已知关于一元二次方程，有下列说法： ①若则； ②若方程两根为1和2，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有实根； ④若，则方程有两个不相等的实数根． 其中正确的是______．（填写序号） 23. 如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论： ①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD 其中正确结论的为______（请将所有正确的序号都填上）． 五、解答题（本大题有3道小题，共30分）解题要求：写出必要的文字说明、解答步骤． 24. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 25. 已知关于的方程． （1）圆圆说：该方程一定为一元二次方程．圆圆的结论正确吗？请说明理由． （2）当时； ①若该方程有实数解，求的取值范围； ②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值． 26. 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点． （1）［观察猜想］填空：与的数量关系___________（提示：取的中点，连接）； （2）［类比探究］如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； （3）［拓展应用］如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么（1）中的结论是否成立呢？若成立写出证明过程，若不成立请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $