第三章 圆（单元重点综合测试卷，北师大版）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记•巧练（山东专用）

九年级第三章《圆》单元检测 （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在⊙O中，最长的弦是6cm，则⊙O的半径为（　　） A．9cm B．6cm C．3cm D．1.5cm 2．如图，在⊙O中，∠A＝30°，劣弧的度数是（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 3．如图，在⊙O中，AB是直径，CD⊥AB，∠BAC＝30°，那么∠DOB的度数等于（　　） A．15° B．30° C．60° D．90° 4．下列说法中，正确的是（　　） A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 5．如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离OC为2，则圆O的半径长是（　　） A．1 B． C． D．4 6．如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为26cm，水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（　　） A．5cm B．7cm C．8cm D．10cm 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，其内切圆分别与AC、AB、BC相切于点D、E、F，若AE＝4，BE＝6，则CD的长为（　　） A．2 B．4 C．5 D．3 8．下列说法：①三点确定一个圆，②圆的直径是圆的对称轴，③长度相等的两条弧是等弧，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（　　） A． B． C． D．（2，4） 10．已知：如图，AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC＝FE；④CE•FB＝AB•CF．其中正确的只有（　　） A． ①② B．②③④ C．①③④ D．①②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．已知AB是⊙O的弦，半径OC与AB相交于点D，OC⊥AB于点D，若AB＝8，OD＝3，则CD的长为　 　． 12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝　 　°． 13．如图所示，在直角三角形ABC中，AB＝6cm，BC＝15cm，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为 　 　cm2．（结果保留π） 14．如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为　 　． 15．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则直径AB长为 　 　寸． 16．如图，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣4，5），⊙A的半径为3，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB最小值是　 　． 三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明． 18．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD．求证：ED＝EB． 19．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，EB＝4，求弦CD的长． 20．如图，线段AC过圆心O，交⊙O于B，C两点，线段AE交⊙O于D，E两点，且AD＝OB，∠A＝30°，求∠EOC的度数． 21.如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，CE，CE交AD于点F． （1）求∠CAD的度数． （2）已知AB＝2，求DF的长． 22．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是⊙O的一部分，点C是弦AB的中点，连接OC并延长，交AB于点D，连接OA，OB．若AB＝24cm，碗深CD＝8cm，求⊙O的半径OA． 23．如图，在⊙O中，BC为非直径弦，以BC为边作△ABC，边AB交⊙O于点D，且点D是劣弧BC的中点，CD是△ABC的角平分线． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）当∠BCD＝30°，时，求阴影部分的面积． 24．石家庄水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光，据工作人员介绍，新建摩天轮直径为100m，最低点距离地面1m，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱． （1）小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 　 　m； （2）在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于P，Q两点）． ①求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）； ②求此时两人所在座舱距离地面的高度差． 25．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N． （1）求证：∠ADC＝∠ABD； （2）求证：AD2＝AM•AB； （3）若AM＝，sin∠ABD＝，求线段BN的长． 26．已知，在⊙O中，设所对的圆周角为∠BAC．求证：． 证明；圆心O可能在∠BAC的一边上，内部和外部（如图①、②和③）． 如图①，当圆心O在∠BAC的一边上时． ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠C， ∵∠BOC＝∠A+∠C， ∴∠BOC＝2∠A，即． 请你完成图②、图③的证明． ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级第三章《圆》单元检测 （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在⊙O中，最长的弦是6cm，则⊙O的半径为（　　） A．9cm B．6cm C．3cm D．1.5cm 【分析】用圆的直径为圆中最长的弦求解即可． 【解答】解：∵在⊙O中，最长的弦是6cm， ∴⊙O的直径为6cm， ∴⊙O的半径为3cm． 故选：C． 【点评】本题考查了圆的相关概念，熟练掌握弦、直径、半径等概念成为解题的关键． 2．如图，在⊙O中，∠A＝30°，劣弧的度数是（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 【分析】连接OB，求出∠AOB，可得结论． 【解答】解：连接OB． ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B＝30°， ∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴的度数为120°． 故选：D． 【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题． 3．如图，在⊙O中，AB是直径，CD⊥AB，∠BAC＝30°，那么∠DOB的度数等于（　　） A．15° B．30° C．60° D．90° 【分析】如图，连接OC．利用圆周角定理求出∠BOC，再证明∠DOB＝∠BOC即可． 【解答】解：如图，连接OC． ∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝30°， ∴∠BOC＝60°， ∵AB⊥CD，AB是直径， ∴＝， ∴∠DOB＝∠BOC＝60°． 故选：C． 【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．下列说法中，正确的是（　　） A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 【分析】根据等圆，圆周角定理，垂径定理一一判断即可． 【解答】解：A、错误，同心圆的周长不相等，本选项不符合题意． B、正确，本选项符合题意． C、错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意． D、错误，平分弧的弦不一定经过圆心，本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，等圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离OC为2，则圆O的半径长是（　　） A．1 B． C． D．4 【分析】由垂径定理得到AC＝AB＝2，由勾股定理求出OA＝＝2，于是得到圆O的半径长是． 【解答】解：∵圆心到弦AB的距离OC为2， ∴OC⊥AB， ∴AC＝AB＝×4＝2， ∴OA＝＝＝2， ∴圆O的半径长是， 故选：C． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理求出AC的长，由勾股定理求出OA的长． 6．如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为26cm，水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（　　） A．5cm B．7cm C．8cm D．10cm 【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可． 【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示： ∵AB＝24cm， ∴BD＝AB＝12（cm）， ∵⊙O的直径为26cm， ∴OB＝OC＝13（cm）， 在Rt△OBD中，OD＝＝＝5（cm）， ∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm）， 即水的最大深度为8cm， 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，其内切圆分别与AC、AB、BC相切于点D、E、F，若AE＝4，BE＝6，则CD的长为（　　） A．2 B．4 C．5 D．3 【分析】根据切线长定理得：AD＝AE＝4，BF＝BE＝6，CD＝CF，再利用勾股定理列方程可得CD的长． 【解答】解：∵Rt△ABC的内切圆分别与AC、AB、BC相切于点D、E、F， ∴AD＝AE＝4，BF＝BE＝6，CD＝CF， ∵∠C＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴（4+CD）2+（CD+6）2＝（4+6）2， 解得：CD＝﹣12（舍）或2， 故选：A． 【点评】本题考查三角形的内切圆，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 8．下列说法：①三点确定一个圆，②圆的直径是圆的对称轴，③长度相等的两条弧是等弧，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①根据确定一个圆的条件即可判断．②根据对称轴为直线即可判断；③根据等弧的定义即可判断；④根据三角形外心的性质即可判断． 【解答】解：①不共线三点确定一个圆，故该选项不符合题意； ②对称轴一定是直线，故圆的直径所在直线是圆的对称轴，故该选项不符合题意； ③同圆或等圆中长度相等的两条弧是等弧，故该选项不符合题意； ④三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，故该选项符合题意； 正确的有④，共1个， 故选：A． 【点评】本题考查三角形的外心，圆的性质，确定圆的条件；熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（　　） A． B． C． D．（2，4） 【分析】作OE、CD的垂直平分线交于点F，即为内切圆圆心M，连接MO，ME，根据正六边形的性质及等边三角形的性质得出MO＝2OH＝4，再由勾股定理确定即可得出结果． 【解答】解：如图所示，作OE、CD的垂直平分线交于点F，即为内切圆圆心M，连接MO，ME， ∵正六边形OABCDE的边长是4， ∴OH＝HE＝2，△OME为等边三角形，∠OMH＝30°， ∴MO＝2OH＝4， ∴ ∴点M的坐标为： 故选：A． 【点评】本题主要考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形及坐标与图形，理解题意，作出图形辅助线是解题关键． 10．已知：如图，AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC＝FE；④CE•FB＝AB•CF．其中正确的只有（　　） A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【分析】根据切线长定理，证△COB≌△COD，可得∠COB＝∠BOD，根据圆周角定理即可得出∠DAB＝∠COB，由此可证得AD∥OC； 连接DE、BE；上面已证得弧DE＝弧BE，根据弦切角定理以及圆周角定理相等，易求得DE、BE分别平分∠CDB和∠CBD；根据三角形内心的定义，即可得出结论②正确； 若FE＝FC，则∠OCB＝∠CEF＝∠OEA＝∠OAE，在Rt△OBC中，BD⊥OC，易得∠DBA＝∠OCB，即∠DBA＝∠EAB；因此弧BE＝弧AD，而这个条件并不一定成立．故③不正确； 先证明FB＝GB，然后证明△ABG∽△CEF，从而可得出④正确． 【解答】解：连接OD，DE，EB， CD与BC是⊙O的切线，∠ODC＝∠OBC＝90°，OD＝OB， ∵OC＝OC ∴Rt△CDO≌Rt△CBO， ∴∠COD＝∠COB， ∴∠COB＝∠DAB＝∠DOB， ∴AD∥OC，故①正确； ∵CD是⊙O的切线， ∴∠CDE＝∠DOE，而∠BDE＝∠BOE， ∴∠CDE＝∠BDE，即DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线， 因此E为△CBD的内心，故②正确； 若FC＝FE，则应有∠OCB＝∠CEF，应有∠CEF＝∠AEO＝∠EAB＝∠DBA＝∠DEA， ∴弧AD＝弧BE，而弧AD与弧BE不一定相等，故③不正确； 设AE、BD 交于点G，由②可知∠EBG＝∠EBF， 又∵BE⊥GF， ∴FB＝GB， 由切线的性质可得，点E是弧BD的中点，∠DCE＝∠BCE， 又∵∠MDA＝∠DCE（平行线的性质）＝∠DBA， ∴∠BCE＝∠GBA， 而∠CFE＝∠ABF+∠FAB，∠DGE＝∠ADB+∠DAG，∠DAG＝∠FAB（等弧所对的圆周角相等）， ∴∠AGB＝∠CFE， ∴△ABG∽△CEF， ∴CE•GB＝AB•CF， 又∵FB＝GB， ∴CE•FB＝AB•CF 故④正确． 因此正确的结论有：①②④． 故选：D． 【点评】本题利用了切线长定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，弦切角定理，内心的概念，以及对相似三角形的性质求解． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．已知AB是⊙O的弦，半径OC与AB相交于点D，OC⊥AB于点D，若AB＝8，OD＝3，则CD的长为　2　． 【分析】连接OA，由OC⊥AB，AB＝8，可得AD＝AB＝4，即知OA＝＝＝5＝OC，故CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2． 【解答】解：连接OA，如图： ∵OC⊥AB，AB＝8， ∴AD＝AB＝4， ∵OD＝3， ∴OA＝＝＝5， ∴OC＝OA＝5， ∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理的应用，解题的关键是掌握圆的相关性质． 12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝　130　°． 【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵∠BOD＝100°， ∴∠A＝50°． ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°． 故答案为：130． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键． 13．如图所示，在直角三角形ABC中，AB＝6cm，BC＝15cm，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为 　（45﹣9π）　cm2．（结果保留π） 【分析】用直角三角形的面积减去两个半径相等的扇形的面积，就是剩余部分的面积． 【解答】解：∵∠B＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， ∴阴影部分的面积＝×6×15﹣ ＝45﹣ ＝（45﹣9π）cm2． 故答案为：（45﹣9π）． 【点评】本题主要考查了直角三角形的面积和扇形的面积的计算，掌握扇形的面积公式是解本题的关键． 14．如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为　3　． 【分析】通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PEF的周长等于PA+PB＝6，又因为PA＝PB，所以可求出PA的长． 【解答】解：∵EA，EC都是圆O的切线， ∴EC＝EA， 同理FC＝FB，PA＝PB， ∴△PEF的周长＝PF+PE+EF＝PF+PE+EA+FB＝PA+PB＝2PA＝6， ∴PA＝3； 故答案为：3． 【点评】本题考查的是切线长定理，解此题的关键是得出△PEF的周长＝PA+PB． 15．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则直径AB长为 　26　寸． 【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长． 【解答】解：∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径， ∴E为CD的中点， 又∵CD＝10寸， ∴CE＝DE＝CD＝5寸， 设OC＝OA＝x寸， 则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸， 由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2， 即（x﹣1）2+52＝x2， 解得x＝13， ∴AB＝26寸， 故答案为：26． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题． 16．如图，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣4，5），⊙A的半径为3，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB最小值是　4　． 【分析】如图，连接AB、AP，由勾股定理可知要使PB最小，只需AP最小；当AP⊥x轴于P时，AP最短，可确定点P的坐标，进而确定AP＝5，最后在Rt△ABP中求出PB的值即可． 【解答】解：如图，连接AB、AP， 根据切线的性质定理，得AB⊥PB， ∵AB2+PB2＝AP2，AB＝3， ∴要使PB最小，只需AP最小， 当AP⊥x轴于P时，AP最短， 此时P点的坐标是（﹣4，0）， ∵A点坐标为（﹣4，5）， ∴AP＝5， 在Rt△ABP中，AP＝5，AB＝3， ∴， ∴PB最小值是4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、垂线段最短等知识点，解题的关键是将PB的最小值问题转化成AP的最小值问题是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明． 【分析】根据圆的周长公式即可得到结论． 【解答】解：设其中应该小圆的直径为R cm，另一个小圆的直径为（20﹣R）cm， 根据题意得，大圆的周长＝20π，两个小圆的周长和＝2（π）＝20π， ∴大圆的周长＝两个小圆的周长和， ∴大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长． 【点评】本题考查了圆的认识，圆的周长的计算，熟练掌握圆的周长公式是解题的关键． 18．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD．求证：ED＝EB． 【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立． 【解答】证明：如图，连接BD． ∵AB＝CD， ∴＝． ∴﹣＝﹣． ∴＝． ∴∠B＝∠D． ∴BE＝DE． 【点评】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明． 19．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，EB＝4，求弦CD的长． 【分析】连接OC，根据垂径定理得到CE＝ED，根据AB＝20求出OC、OB的长，根据EB＝4求出OE的长，利用勾股定理求出CE，即可得到CD的长． 【解答】解：连接OC，如图所示： ∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB， ∴CE＝DE＝CD，OC＝OB＝AB＝10， ∴OE＝OB﹣EB＝10﹣4＝6， 在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝8， ∴CD＝2CE＝16． 【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握垂直弦的直径平分弦，勾股定理解直角三角形是解题的关键． 20．如图，线段AC过圆心O，交⊙O于B，C两点，线段AE交⊙O于D，E两点，且AD＝OB，∠A＝30°，求∠EOC的度数． 【分析】连接OD，推出AD＝OD，根据三角形的外角定理得出∠EDO＝60°，则∠DEO＝60°，最后根据∠EOC＝∠A+∠DEO即可求解． 【解答】解：连接OD， ∵AD＝OB，OD＝OB， ∴AD＝OD， ∵∠A＝30°， ∴∠DOB＝30°， ∴∠EDO＝60°， ∵OD＝OE， ∴∠DEO＝60°， ∴∠EOC＝∠A+∠DEO＝90°． 【点评】本题主要考查了圆的定义，三角形的外角定理，解题的关键是掌握圆心到圆上任意一点距离相等，三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角之和． 21．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，CE，CE交AD于点F． （1）求∠CAD的度数． （2）已知AB＝2，求DF的长． 【分析】（1）根据五边形ABCDE是正五边形，判断出AB＝BC＝CD＝DE＝AE，BA∥CE，AD∥BC，DE∥AC，AC＝AD＝CE，∠BAE＝108°．即可得到； （2）证明△DCF∽△DAC，推出CD2＝DF×AD，设DF＝x，则AD＝x+2，列出方程，解方程即可求出DF的长． 【解答】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，BA∥CE，AD∥BC，DE∥AC，AC＝AD＝CE，． ∴四边形ABCF是菱形， ∴∠BAC＝∠CAD， 同理可求：∠CAD＝∠DAE， ∴； （2）∵四边形ABCF是菱形， ∴CF＝AF＝AB＝2． ∵∠BAC＝∠CAD＝∠DAE＝36°， 同理∠DCE＝36°， ∴△DCF∽△DAC， ∴，即CD2＝DF×AD， 设DF＝x，则AD＝x+2， ∴22＝x（x+2），即x2+2x﹣4＝0， 解得（舍去负值）． ∴DF的长是． 【点评】本题考查了正多边形和圆，根据正五边形的性质，找到相似三角形，利用相似三角形的性质是解题的关键． 22．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是⊙O的一部分，点C是弦AB的中点，连接OC并延长，交AB于点D，连接OA，OB．若AB＝24cm，碗深CD＝8cm，求⊙O的半径OA． 【分析】由垂径定理的推论得出OD⊥AB，AC＝BC＝AB＝12cm，设⊙O的半径OA为r cm，则OC＝OD﹣CD＝（r﹣8）cm，由勾股定理可得AC2+OC2＝AO2，求出r的值即可得到答案． 【解答】解：∵点C是弦AB的中点，AB＝24cm， ∴OD⊥AB，AC＝BC＝AB＝12cm， 设⊙O的半径OA为rcm， 则OC＝OD﹣CD＝（r﹣8）cm， 在Rt△ACO中， ∵∠ACO＝90°， ∴AC2+OC2＝AO2， 即r2＝122+（r﹣8）2， 解得：r＝13， ∴⊙O的半径为13cm． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 23．如图，在⊙O中，BC为非直径弦，以BC为边作△ABC，边AB交⊙O于点D，且点D是劣弧BC的中点，CD是△ABC的角平分线． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）当∠BCD＝30°，时，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OC，OD，OB，由线段垂直平分线判定定理得OD⊥BC，由等腰三角形的性质得∠ODC＝∠OCD，从而可得∠OCD+∠ACD＝90°，即可得出结论； （2）由垂径定理得，设OB＝x，由直角三角形的特征得，由勾股定理得OB2＝BE2+OE2，可求出OB，由S阴影部分＝S扇形OBD﹣S△OBD即可求解． 【解答】（1）证明：如图，连接OC，OD，OB， ∵点D是劣弧BC的中点， ∴BD＝CD， ∵OB＝OC， ∴OD⊥BC， ∴∠ODC+∠BCD＝90°， ∵OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD， 又∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴∠OCD+∠ACD＝90°， 即OC⊥AC， ∵OC是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：由（1）可知，OD⊥BC， 在Rt△BDE中，， ∵∠BCD＝30°， ∴∠BOD＝60°， ∴∠OBE＝30°， 设OB＝x，则， 在Rt△OBE中，OB2＝BE2+OE2， ∴， 解得：x1＝1，x2＝﹣1（舍去）， ∴OB＝1， ∴S阴影部分＝S扇形OBD﹣S△OBD ＝ ＝． 【点评】本题考查了切线的判定与性质发，垂径定理，圆周角定理，扇形面积的计算，掌握割补法求面积是解题的关键． 24．石家庄水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光，据工作人员介绍，新建摩天轮直径为100m，最低点距离地面1m，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱． （1）小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 　101　m； （2）在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于P，Q两点）． ①求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）； ②求此时两人所在座舱距离地面的高度差． 【分析】（1）由题意得出最高点是直径加1m即可； （2）①求出圆心角∠POQ的度数，再根据弧长公式进行计算即可； ②求出NQ的长，利用直角三角形的边角关系得出ON的长，进而求出NQ的长，即可得解． 【解答】解：（1）如图， ， 由题意得：QM＝1m，AQ＝100m， 当座椅转到点A时，距离地面最高，此时AM＝AQ+QM＝100+1＝101（m）， ∴小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为101m； 故答案为：101． （2）①∵摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱， ∴每相邻两个座椅之间所对的圆心角为360°÷24＝15°， ∴∠POQ＝4×15°＝60°， ∴的长为：， ∴两人所在座舱在摩天轮上的距离为； ②作PN⊥OM于N， ， 由题意得：两人所在座舱距离地面的高度差为NQ的长， 在Rt△OPN中，OP＝50m，∠PON＝60°， ∴， ∴NQ＝OQ﹣ON＝25m， ∴两人所在座舱距离地面的高度差为25m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用、圆的概念、弧长公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 25．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N． （1）求证：∠ADC＝∠ABD； （2）求证：AD2＝AM•AB； （3）若AM＝，sin∠ABD＝，求线段BN的长． 【分析】（1）连接OD，由切线的性质和圆周角定理即可得到结果； （2）由已知条件证得△ADM∽△ABD，即可得到结论； （3）根据三角函数和勾股定理代入数值即可得到结果． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵直线CD切⊙O于点D， ∴∠CDO＝90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， ∵OB＝OD， ∴∠3＝∠4， ∴∠ADC＝∠ABD； （2）证明：∵AM⊥CD， ∴∠AMD＝∠ADB＝90°， ∵∠1＝∠4， ∴△ADM∽△ABD， ∴， ∴AD2＝AM•AB； （3）解：∵sin∠ABD＝， ∴sin∠1＝， ∵AM＝， ∴AD＝6， ∴AB＝10， ∴BD＝＝8， ∵BN⊥CD， ∴∠BND＝90°， ∴∠DBN+∠BDN＝∠1+∠BDN＝90°， ∴∠DBN＝∠1， ∴sin∠NBD＝， ∴DN＝， ∴BN＝＝． 【点评】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题． 26．已知，在⊙O中，设所对的圆周角为∠BAC．求证：． 证明；圆心O可能在∠BAC的一边上，内部和外部（如图①、②和③）． 如图①，当圆心O在∠BAC的一边上时． ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠C， ∵∠BOC＝∠A+∠C， ∴∠BOC＝2∠A，即． 请你完成图②、图③的证明． 【分析】图②证明：如图②所示，连接AO并延长交圆O于D，根据OA＝OB＝OC，得到∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，利用三角形外角的性质得到∠BOD＝2∠OAB，∠COD＝2∠OAC，由此证明即可； 图③证明：如图③所示，延长BO交圆O于E，由同弧所对的圆周角相等得到∠E＝∠BAC，再由图①的证明等量代换即可证明图③． 【解答】解：图②证明：如图②所示，连接AO并延长交圆O于D， ∵OA＝OB＝OC， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA， ∵∠BOD＝∠OBA+∠OAB，∠COD＝∠OCA+∠OAC， ∴∠BOD＝2∠OAB，∠COD＝2∠OAC， ∴∠BOD+∠COD＝2∠OAB+2∠OAC， ∴∠BOC＝2∠BAC，即； 图③证明：如图③所示，延长BO交圆O于E， ∴∠E＝∠BAC， 由图①的证明可知， ∴． 【点评】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等等等，熟知相关知识是解题的关键． ( 11 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$