3.1.1椭圆及其标准方程 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

椭圆及其标准方程 观察下面图片,请同学们思考并观察并这些轨迹和物体的共同特征。 橄榄球 卫星飞行轨迹 情景引入 探究 :取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点 ,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线? 把细绳的两端拉开一段距离,笔尖移动过程中,细绳的长度保持不变,即笔尖到两个定点的距离的和不变。 思考:在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么? 新知探究 定义:我们把平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两交点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距. 注:1. 是椭圆上任意一点,且 常数; 2. 将常数记为,焦距记为,且常; F1 F2 不存在 新知探究 4 牛刀小试 用定义判断下列动点M 的轨迹是否为椭圆. (1)到的距离之和为4的点M的轨迹. (2)到的距离之和为2的点M的轨迹. (3)到的距离之和为1的点M的轨迹. 解: (1)因为到两定点的距离之和为4>椭圆 (2)因为到两定点的距离之和为4线段F1F2 (3)因为到两定点的距离之和为4不存在 应用新知 回忆一下我们是如何求圆轨迹方程的? 建系 设点 列式 代换 建立适当的平面直角坐标系 设曲线上任意一点M的坐标为(x, y) 找出限制条件P(M),并列出几何等式 把坐标代入限制条件P(M) 列出方程 化简 化简方程 类比这个方法,我们开始求椭圆的标准方程 新知探究 观察椭圆的形状,你认为怎样建立坐标系可使所得的椭圆方程形式简单? 建立平面直角坐标系通常遵循的原则:对称、“简洁” O x y O x y O x y M F1 F2 方案一 F1 F2 方案二 O x y M O x y 新知探究 O x y F1 F2 M 追问1:如何用坐标表示椭圆上点的所满足的条件? 设常数为,、 因为,, 所以. ① 追问2:能否简化方程①呢? 新知探究 8 为了简化方程①,我们将其左边的一个根式移到右边,得 ② 对方程②两边平方,得 整理,得. ③ 对方程③两边平方,得. 整理,得. ④ 将方程④两边同时除以,得 ⑤ 由椭圆的定义可知,,即,所以. 新知探究 9 思考:观察图,你能从中找出表示,,的线段吗? (-c,0) (c,0) a c b 令 那么方程⑤就是 我们称方程⑥是椭圆的方程,这个方程叫做椭圆的标准方程.它表示焦点在轴上,两个焦点分别是的椭圆,这里. 新知探究 10 我们把叫做椭圆的标准方程,它表示焦点在轴上,两个焦点分别是 ,的椭圆,这里. 思考:如图,如果焦点,在轴上,且,的坐标分别为 , ,,的意义同上,那么椭圆的方程是什么? 新知探究 11 思考: 观察两个标准方程,从椭圆的标准方程如何判断焦点的位置? 焦点在 轴的椭圆的标准方程: 焦点在 轴的椭圆的标准方程: 哪个变量下的分母大,焦点就在哪个轴上. 可简记为:“谁大在谁家” 新知探究 分母哪个大,焦点就在哪个轴上 标准方程 不 同 点 相 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 焦点位置的判断 F1 F2 M • • x y O F1 F2 M • • x y O 椭圆的标准方程相关概念整理 新知探究 下列方程哪些表示椭圆? 若是,则判定其焦点在何轴?写出焦点坐标. ? x 应用新知 例题1 解: 已知椭圆的两个焦点坐标分别是, 并且经过点 ,求它的标准方程. 应用新知 思考: 还能用其他方法求 例题1 中的标准方程吗? 尝试着比较不同方法的特点. 应用新知 (3) 求椭圆的标准方程,要先定“位”, a, b, c 满足的关系有: 根据焦点位置设方程,代入计算出待定字母的值. 用定义寻找a, b, c的方程; (1) 定义法: (2) 待定系数法: 待定系数法更为常用,是解此类问题的通法. 即求 a, b 的大小 . 即确定焦点的位置; 其次是定“量”, 求椭圆标准方程的主要方法有: 应用新知 练习(第49页) 应用新知 练习(第49页) 应用新知 (法1) (法2) 未知焦点位置:巧设方程 应用新知 练习(第49页) 应用新知 例题2 如图,在圆上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M 的轨迹是什么?为什么? 新知探究 解: 设点M的坐标为(x, y),点P的坐标为(x0, y0),则点D的坐标为(x0, 0).由点M是线段PD的中点,得 x y P M O • D • 相关点代入法 寻求点M的坐标(x,y)中x, y与x0, y0之间的关系,然后消去x0, y0, 得到点M的轨迹方程. 这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法. 总结 1. 如何识别哪类求轨迹方程的题,可以使用相关点法? 2. 相关点法求轨迹方程的一般步骤: 双动点类的轨迹问题,可以考虑此法,比如例题2中的点P和点M均为动点,其中点M 随着P点的运动而运动. 设点坐标:设目标动点的坐标为,另一动点的坐标为; 找关系:找与的等式关系、找与的等式关系; 标准化:代入消与,将剩下的只含与的方程进行方程标准化. 第一步 第二步 第三步 新知探究 由例2我们发现,可以由圆通过 “压缩” 得到椭圆. 你能由圆通过 “拉伸” 得到椭圆吗? 如何 “拉伸” ? 由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗? x y P M O • D • x y P M O • D • x y P M O • D • x y O D • • M P 将圆“压缩”可得到椭圆 将圆“拉伸”可得到椭圆 新知探究 例题3 解: 设点M (x, y),由A(-5, 0), B(5, 0),可得 新知探究 重要结论 椭圆的第三定义 推广: 新知探究 4. 已知A, B两点的坐标分别是(-1,0), (1,0), 直线AM, BM相交于点M, 且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2, 点M的轨迹是什么? 为什么? 解:设点M的坐标为(x, y), 由已知, 得 直线AM的斜率为 直线BM的斜率为 x y B M O A • • • 练习(第49页) 应用新知 分母哪个大,焦点就在哪个轴上 标准方程 不 同 点 相 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 焦点位置的判断 F1 F2 M • • x y O F1 F2 M • • x y O 椭圆的标准方程相关概念整理 小结 Lavf58.20.100 $$