精品解析：2024-2025学年北师大版数学八年级上册 期末综合测试卷(二)

期末综合测试卷(二) 一、选择题 1. 下列说法中正确的个数是（ ） ①点在第二象限； ②在中，已知三边a，b，c，且，则不是直角三角形； ③等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则它的周长为17或22； ④是正比例函数． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如图的坐标平面上有原点与四点．若有一直线通过点且与轴垂直，则也会通过下列哪一点？（　　） A. B. C. D. 3. 某销售公司有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售量定额，统计了这15人某月的销售量，如下表所示：那么这15位销售人员该月销售量的平均数、众数、中位数分别是（　　） 每人销售件数 1800 510 250 210 150 120 人数 1 1 3 5 3 2 A. 320，210，230 B. 320，210，210 C. 206，210，210 D. 206，210，230 4. 在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣b与正比例函数y＝x（k，b是常数，且kb≠0）的大致图象不正确的是（　　） A B. C. D. 5. 规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.87]＝3，[]＝1，按此规定[（﹣）]＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为4cm2的小正方形，则每个小长方形的面积为（　　） A. 135cm2 B. 108cm2 C. 68cm2 D. 60cm2 7. 如图，笔直的公路一旁是电线杆，若其余电线杆都与电线杆①平行，则判断其余电线杆两两平行的根据是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 同位角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 8. 如图，中，，，，动点从点出发沿射线以2的速度运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，的值为（ ） A. 或 B. 或12或4 C. 或或12 D. 或12或4 9. 已知A、B两地相距12km,甲、乙两人沿同一条公路分别从A、B两地出发相向而行,甲, 乙两人离B地路程s(km)与时间t(h)的函数关系图象如图所示, 则两人在甲出发后相遇所需的时间是（） A 1.2h B. 1.5h C. 1.6h D. 1.8h 10. 如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠E＋∠EAG＋∠HCK＝180°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题 11. 若方程组无解，则y＝kx﹣2图象不经过第_____象限． 12. 设，N是M的小数部分，则的值为________． 13. 已知点A(3a﹣6，a+4)，B(﹣3，2)，AB∥y轴，点P为直线AB上一点，且PA＝2PB，则点P的坐标为_____． 14. 已知10个初三学生的数学中考成绩分布如右表所示，则这10个学生的平均分为__________． 分数段 平均分 人数 120以上 126 1 110-120 114 100-110 106 5 100以下 96 2 15. 如图，在 中，，三等分，，三等分．若，则__________． 16. 图1是小慧在“天猫•双11”活动中购买的一张多档位可调节靠椅.档位调节示意图如图2所示，已知两支脚分米，分米，为上固定连接点，靠背分米.档位为Ⅰ档时，，档位为Ⅱ档时，.当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，靠背顶端向后靠的水平距离（即）为______分米． 三、解答题 17. （1）计算：； （2）求x的值：； （3）解方程组：． 18. 某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中的最小的数，例如，，.请结合上述材料，解决下列问题： （1）① ， ② . （2）若，求的值； 19. 对x，y定义一种新运算T，规定：T[x，y]＝（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T[0，1]＝＝b． （1）若T[1，﹣1]＝﹣2，T[4，2]＝1．求a，b值； （2）平面直角坐标系中，已如点P横坐标的值为T[2，0]，且点P到y轴距离为3，求a． 20. 某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4． （1）求该长方形的长宽各为多少？ （2）农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 21. 在学习了一次函数图象后，张明、李丽和王林三位同学在赵老师的指导下，对一次函数 进行了探究学习，请根据他们的对话解答问题． （1）张明∶当时，我能求出直线与x轴的交点坐标为 ； 李丽：当时，我能求出直线与坐标轴围成的三角形的面积为 ． （2）王林：根据你们的探究，我发现无论k取何值，直线总是经过一个固定的点，请求出这个定点的坐标． （3）赵老师：我来考考你们，如果点 P的坐标为，该点到直线 的距离存在最大值吗？ 若存在，试求出该最大值；若不存在，请说明理由． 22. 为了让学生掌握知识更加牢固，某校九年级物理组老师们将物理实验的教学方式由之前的理论教学改进为理论实践，一段时间后，从九年级随机抽取15名学生，对他们在教学方式改进前后的物理实验成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分成4组：A．，B．，C．，D．），下面给出部分信息： 教学方式改进前抽取的学生的成绩在C组中的数据为：80，83，85，87，89 教学方式改进后抽取的学生成绩为：70，72，76，82，84，86，86，93，95，90，100，98，88，100，100 教学方式改进前后抽取的学生成绩对比统计表 统计量 改进前 改进后 平均数 88 88 中位数 众数 98 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表、、的值； （2）根据以上数据，你认为该校九年级学生的物理实验成绩在教学方式改进前好，还是改进后好？请说明理由．（至少写2条理由）； （3）若该校九年级有300名学生，规定物理实验成绩在90分及以上为优秀，估计教学方式改进后成绩为优秀的学生人数是多少？ 23. 如图，直线，相交于点O，点A，B在上，点 D，E 在上，，． （1）求证∶． （2）若，，求的度数． 24. 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图1，则有；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x．在Rt△ADC中，，在Rt△ADB中，，∴． ∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴，∴当△ABC为锐角三角形时． 所以小明的猜想是正确的． （1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时， 与的大小关系． （2）温馨提示：在图3中，作BC边上的高． （3）证明你猜想的结论是否正确． 25. 镇政府想了解对王家村进行“精准扶贫”一年来村民的经济情况，统计员小李用简单随机抽样的方法，在全村户家庭中随机抽取户，调查过去一年的收入（单位：万元），从而去估计全村家庭年收入情况． 已知调查得到的数据如下： 为了便于计算，小李在原数据的每个数上都减去，得到下面第二组数： 请你用小李得到的第二组数计算这户家庭的平均年收入，并估计全村年收入及全村家庭年收入超过万元的百分比；已知某家庭过去一年的收入是万元，请你用调查得到的数据的中位数推测该家庭的收入情况在全村处于什么水平？ 已知小李算得第二组数方差是，小王依据第二组数的方差得出原数据的方差为，你认为小王的结果正确吗？如果不正确，直接写出你认为正确的结果． 26. 函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数和的图象如图所示． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 ﹣2 ﹣4 ﹣6 … （1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A，B的坐标和函数的对称轴． （2）探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离． （3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数的图象．若点和在该函数图象上，且，比较，的大小． 27. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°)． （1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由． （2）当∠ACE<180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE所有可能的度数及对应情况下的平行线(不必说明理由)；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末综合测试卷(二) 一、选择题 1. 下列说法中正确的个数是（ ） ①点在第二象限； ②在中，已知三边a，b，c，且，则不是直角三角形； ③等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则它的周长为17或22； ④是正比例函数． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形、图形与坐标，勾股定理的逆定理及三角形的三边关系，正比例函数，熟知以上知识是解答此题的关键．分别根据等腰三角形、图形与坐标，勾股定理的逆定理及三角形的三边关系，正比例函数，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴点在第二象限，故①正确； 在中，已知三边a，b，c，且，则不是直角三角形，故②正确； ∵等腰三角形的一边长为4，另一边长为9， 若腰长为4，则9为底边，，不能构成三角形， 若腰长为9，则4为底边，，能构成三角形， ∴其周长只能是22，故③错误； 不是正比例函数，故④错误， 则正确的个数为2个， 故选：B． 2. 如图的坐标平面上有原点与四点．若有一直线通过点且与轴垂直，则也会通过下列哪一点？（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形．根据题意，有一直线通过点且与轴垂直，则也会通过点． 【详解】解：如图所示：有一直线通过点且与轴垂直，故也会通过点． 故选：D． 3. 某销售公司有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售量定额，统计了这15人某月的销售量，如下表所示：那么这15位销售人员该月销售量的平均数、众数、中位数分别是（　　） 每人销售件数 1800 510 250 210 150 120 人数 1 1 3 5 3 2 A. 320，210，230 B. 320，210，210 C. 206，210，210 D. 206，210，230 【答案】B 【解析】 【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数． 【详解】解：平均数是：（1800+510+250×3+210×5+150×3+120×2）÷15＝4800÷15＝320（件）； 210出现了5次最多，所以众数是210； 表中的数据是按从大到小的顺序排列的，处于中间位置的是210，因而中位数是210（件）． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一组数据平均数的求法，以及众数与中位数的求法，又结合了实际问题，此题比较典型． 4. 在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣b与正比例函数y＝x（k，b是常数，且kb≠0）的大致图象不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y＝kx﹣b图象分析可得k、b的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数y＝kx﹣b图象可知k＞0，b＞0，＞0；正比例函数的图象可知＞0，故此选项正确； B、由一次函数y＝kx﹣b图象可知k＞0，b＞0；即＞0，与正比例函数的图象可知＜0，矛盾，故此选项错误； C、由一次函数y＝kx﹣b图象可知k＞0，b＜0；即＜0，与正比例函数的图象可知＜0，故此选项正确； D、由一次函数y＝kx﹣b图象可知k＜0，b＜0；即＞0，与正比例函数的图象可知＞0，故此选项正确； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数y=kx+b的图象有四种情况： ①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限； ②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限； ③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限； ④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b图象经过第二、三、四象． 5. 规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.87]＝3，[]＝1，按此规定[（﹣）]＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据新运算的定义即可得出答案． 【详解】解： ∵6＜＜7， ∴2＜﹣4＜3 ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是新定义，难度适中，解题关键是求无理数的整数部分． 6. 小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为4cm2的小正方形，则每个小长方形的面积为（　　） A. 135cm2 B. 108cm2 C. 68cm2 D. 60cm2 【答案】D 【解析】 【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据拼图，可以得出关于x，y的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm， 根据题意得：， 解得：， ∴. 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用及长方形的面积公式，关键是读懂题目意思，建立方程组求解． 7. 如图，笔直的公路一旁是电线杆，若其余电线杆都与电线杆①平行，则判断其余电线杆两两平行的根据是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 同位角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】因为其余电线杆都与电线杆①平行，故其余电杆全都平行于同一直线，故可判断其根据. 【详解】因为其余电线杆都与电线杆①平行，故其余电杆全都平行于同一直线，故可判断其根据为：平行于同一条直线的两条直线平行. 故选D 【点睛】本题考查是是平行线判定，熟练的掌握平行线的所有判定方法是关键. 8. 如图，中，，，，动点从点出发沿射线以2的速度运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，的值为（ ） A. 或 B. 或12或4 C. 或或12 D. 或12或4 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BC,当△ABP为等腰三角形时,分三种情况:①当AB=BP时;②当AB=AP时;③当BP=AP时,分别求出BP的长度,继而可求得t值. 【详解】解：因为中,,,, 所以(cm) ①当AB=BP时,t=（s）; ②当AB=AP时,因为AC⊥BC, 所以BP=2BC=24cm, 所以t=(s); ③当BP=AP时,AP=BP=2tcm, CP=(12-2t)cm,AC=5cm, 在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2, 所以(2t)2=52+(12-2t)2, 解得:t= 综_上所述:当△ABP为等腰三角形时,或或12 故选:C 【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质，勾股定理解三角形，根据题意画出图形,再利用勾股定理解决问题是关键. 9. 已知A、B两地相距12km,甲、乙两人沿同一条公路分别从A、B两地出发相向而行,甲, 乙两人离B地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系图象如图所示, 则两人在甲出发后相遇所需的时间是（） A. 1.2h B. 1.5h C. 1.6h D. 1.8h 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图象求出甲、乙两人的s与t的函数关系式，再联立求出交点坐标即可得出答案． 【详解】设甲的s与t的函数关系式为 由图象可知，点、在的图象上 则，解得 故甲的s与t的函数关系式为 设乙的s与t的函数关系式为 由图象可知，点、在的图象上 则，解得 故乙的s与t的函数关系式为 联立，解得 即两人在甲出发后相遇所需的时间为 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，依据图象求出甲、乙两人的s与t的函数关系式是解题关键． 10. 如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠E＋∠EAG＋∠HCK＝180°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q，根据平行线的性质和三角形外角的性质得到∠E+∠EAG+∠HCK=180°；故③正确；根据题意列方程得到∠FGA=∠DGH=37°，设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的定义即可得到结论． 【详解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D， ∴∠EAD=∠B， ∴AD∥BC，故①正确； ∴∠AGK=∠CKG， ∵∠CKG=∠CGK， ∴∠AGK=∠CGK， ∴GK平分∠AGC；故②正确； 延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q， ∵EF∥CH， ∴∠EPQ=∠CQP， ∵∠EPQ=∠E+∠EAG， ∴∠CQG=∠E+∠EAG， ∵AD∥BC， ∴∠HCK+∠CQG=180°， ∴∠E+∠EAG+∠HCK=180°；故③正确； ∵∠FGA的余角比∠DGH大16°， ∴90°-∠FGA-∠DGH=16°， ∵∠FGA=∠DGH， ∴90°-2∠FGA=16°， ∴∠FGA=∠DGH=37°， 设∠AGM=α，∠MGK=β， ∴∠AGK=α+β， ∵GK平分∠AGC， ∴∠CGK=∠AGK=α+β， ∵GM平分∠FGC， ∴∠FGM=∠CGM， ∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK， ∴37°+α=β+α+β， ∴β=18.5°， ∴∠MGK=18.5°，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键． 二、填空题 11. 若方程组无解，则y＝kx﹣2图象不经过第_____象限． 【答案】一 【解析】 【分析】根据两直线平行没有公共点得到k＝3k+1，解得k＝﹣，则一次函数y＝kx﹣2为y＝﹣x﹣2，然后根据一次函数的性质解决问题． 【详解】解：∵方程组无解， ∴k＝3k+1，解得k＝﹣， ∴一次函数y＝kx﹣2为y＝﹣x﹣2， 一次函数y＝﹣x﹣2经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故答案为一． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系、一次函数图像与系数的关系，解题的关键是求出k的值． 12. 设，N是M的小数部分，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，先求得，再估算的取值范围，求得，再代入代数式进行计算即可．掌握用逼近法估算无理数的大小是解题的关键． 【详解】解：， ∵，且 ∴，则 ∵是的小数部分， ∴， 则 ， 故答案为：1． 13. 已知点A(3a﹣6，a+4)，B(﹣3，2)，AB∥y轴，点P为直线AB上一点，且PA＝2PB，则点P的坐标为_____． 【答案】(﹣3，3) 或(﹣3，﹣1) 【解析】 【分析】由轴可知的横坐标相等，故，即可求出，得，根据已知，分点在线段上和在线段延长线两种情况求出，即可得到两种情况下的坐标． 【详解】解：∵AB∥y轴， ∴3a﹣6＝﹣3，解得a＝1， ∴A（﹣3，5）， ∵B点坐标为（﹣3，2）， ∴AB＝3，B在A的下方， ①当P在线段AB上时， ∵PA＝2PB ∴PA＝AB＝2， ∴此时P坐标为（﹣3，3）， ②当P在AB延长线时， ∵PA＝2PB，即AB＝PB， ∴PA＝2AB， ∴此时P坐标为（﹣3，﹣1）； 故答案为（﹣3，3）或（﹣3，﹣1）． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，掌握平行于轴的直线上所有点横坐标相等是解题的关键，并根据、两点的距离及相对位置，分类求解． 14. 已知10个初三学生的数学中考成绩分布如右表所示，则这10个学生的平均分为__________． 分数段 平均分 人数 120以上 126 1 110-120 114 100-110 106 5 100以下 96 2 【答案】107.6 【解析】 【分析】（1）由总人数算出平均分为114的人数； （2）根据平均数的公式计算，即可得解． 【详解】空的表格人数为（人） ∴平均分 故答案：107.6． 【点睛】本题关键是理解并掌握平均数的计算公式． 15. 如图，在 中，，三等分，，三等分．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角的等分线，灵活应用三角形的内角和定理是解答本题的关键．根据三角形内角和先确定的大小，然后确定，最后根据三角形内角和解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，三等分，，三等分， ∴， ∴ 故答案为：． 16. 图1是小慧在“天猫•双11”活动中购买的一张多档位可调节靠椅.档位调节示意图如图2所示，已知两支脚分米，分米，为上固定连接点，靠背分米.档位为Ⅰ档时，，档位为Ⅱ档时，.当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，靠背顶端向后靠的水平距离（即）为______分米． 【答案】2 【解析】 【分析】如图，作AN⊥BC，交PO于G点，延长GO，交DE于H，交D’F于M，根据等腰三角形的性质得到NC的长，故得到cos∠ABN的值，根据题意知GO∥BC，DO∥AB，可得到cos∠DOH=cos∠ABN，根据即可得到OH的长，又，可得∠D’OM=∠OAG，再求出cos∠OAG=即可求出OM，故可得到EF的长． 【详解】如图，作AN⊥BC，交PO于G点，延长GO，交DE于H，交D’F于M， ∵，， ∴BN=CN=6，AN= ∴cos∠ABN=, 根据题意得GO∥BC，DO∥AB， ∴∠DOH=∠APG=∠ABG ∴cos∠DOH=cos∠ABN ∴cos∠DOH== ∴OH=6， 由， ∴∠AOG+∠D’OM=90°,又∠AOG+∠OAG =90° ∴∠D’OM=∠OAG， ∵cos∠OAG== ∴cos∠D’OM == ∴OM=8 ∴HM=2, 则EF=2， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意构造直角三角形，利用三角函数的定义进行求解． 三、解答题 17. （1）计算：； （2）求x的值：； （3）解方程组：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】此题考查了绝对值的化简，平方根，解方程和解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，熟悉相关运算法则是解题的关键． （1）先按绝对值化简的法则展开，再计算加减即可； （2）先将原方程移项，再开方化简即可； （3）先去分母，然后再利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） 将②式去分母得：③ 将得：，解之得：， 将代入①得，解之得：， 故原方程组的解为： ． 18. 某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中的最小的数，例如，，.请结合上述材料，解决下列问题： （1）① ， ② . （2）若，求的值； 【答案】(1)①；②-4.(2)-4. 【解析】 【分析】(1)①根据已知条件，求得这三个数的平均数，按照平均数公式求出结果.②根据已知条件，求得这三个数中的最小的数. (2)根据已知条件表示出平均数，再找出最小的数字列出方程即可. 【详解】解：(1)① ② (2) 解得： 【点睛】本题主要考查的是对定义的新的运算和数学符号的理解，理解清楚题目意思是解题的关键. 19. 对x，y定义一种新运算T，规定：T[x，y]＝（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T[0，1]＝＝b． （1）若T[1，﹣1]＝﹣2，T[4，2]＝1．求a，b的值； （2）平面直角坐标系中，已如点P横坐标的值为T[2，0]，且点P到y轴距离为3，求a． 【答案】（1）；（2）a＝±6． 【解析】 【分析】（1）利用新定义得到a、b的方程组，最后计算a和b的值； （2）根据新定义得到关于a的方程，解方程即可得到结论． 【详解】解：（1）根据题意得， 解得； （2）根据题意得，， 解得a＝±6． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解二元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法解二元一次方程组．也考查了实数的混合运算． 20. 某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4． （1）求该长方形的长宽各为多少？ （2）农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 【答案】（1）该长方形的长为35米，宽为20米 （2）能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用 【解析】 【分析】（1）设该长方形的长为米，则宽为米，再根据面积为700平方米建立方程，利用平方根解方程即可得； （2）设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米，根据面积之和为600平方米建立方程，解方程可得，再根据无理数的估算进行分析判断即可得． 【小问1详解】 解：设该长方形的长为米，则宽为米， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则， 答：该长方形的长为35米，宽为20米． 【小问2详解】 解：设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则较大的小正方形的边长为米，较小的小正方形的边长为米， ， ，， 能改造出这样的两块不相连的正方形试验田， 改造出这样的两块不相连的正方形试验田所需铁栅栏围墙长为（米）， 原来长方形空地的铁栅栏围墙长为米， ， ， 原来的铁栅栏围墙不够用， 答：能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用、利用平方根解方程、无理数的估算、实数运算的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 21. 在学习了一次函数图象后，张明、李丽和王林三位同学在赵老师的指导下，对一次函数 进行了探究学习，请根据他们的对话解答问题． （1）张明∶当时，我能求出直线与x轴的交点坐标为 ； 李丽：当时，我能求出直线与坐标轴围成的三角形的面积为 ． （2）王林：根据你们的探究，我发现无论k取何值，直线总是经过一个固定的点，请求出这个定点的坐标． （3）赵老师：我来考考你们，如果点 P的坐标为，该点到直线 的距离存在最大值吗？ 若存在，试求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理，一次函数的性质及一次函数的实际应用-几何问题，正确理解点到直线的距离是解题的关键． （1）张明：将值代入求出解析式即可得到答案； 李丽：将值代入求出解析式，得到直线与轴和轴的交点，即可得到答案； （2）将解析式变形为，由此可知当时，无论取何值，，即可求解； （3）由（2）可知必过，设必过点为，到直线的距离为，发现直角三角形中大于直角边，所以当与垂直时最大，求出即可． 【小问1详解】 解：张明：将代入， 得到， 令，得，得， ∴直线与轴的交点坐标为； 李丽：将代入 得到， 令，得，得，令，得， 则，直线与轴的交点为，直线与轴的交点为， ∴直线与坐标轴围成的三角形的面积， 故答案为：，； 【小问2详解】 ∵ ∴， ∴当时，无论取何值，， ∴直线总是经过一个固定的点，这个定点的坐标为； 【小问3详解】 由（2）可知必过 设必过点为，到直线的距离为， 由图中可以得到直角三角形中大于直角边， 所以到最大距离为与直线垂直，即为， ∵， ∴ ∴点到最大距离的距离存在最大值为． 22. 为了让学生掌握知识更加牢固，某校九年级物理组老师们将物理实验的教学方式由之前的理论教学改进为理论实践，一段时间后，从九年级随机抽取15名学生，对他们在教学方式改进前后的物理实验成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分成4组：A．，B．，C．，D．），下面给出部分信息： 教学方式改进前抽取的学生的成绩在C组中的数据为：80，83，85，87，89 教学方式改进后抽取的学生成绩为：70，72，76，82，84，86，86，93，95，90，100，98，88，100，100 教学方式改进前后抽取的学生成绩对比统计表 统计量 改进前 改进后 平均数 88 88 中位数 众数 98 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表、、的值； （2）根据以上数据，你认为该校九年级学生的物理实验成绩在教学方式改进前好，还是改进后好？请说明理由．（至少写2条理由）； （3）若该校九年级有300名学生，规定物理实验成绩在90分及以上为优秀，估计教学方式改进后成绩为优秀的学生人数是多少？ 【答案】（1），，；（2）改进后的好，见解析；（3）140人 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数的定义判断即可； （2）根据题目中的数据，从中位数，众数的大小可以得出结论； （3）利用样本估计总体的思想解决问题即可． 【详解】解：（1）由教学方式改进前抽取的学生的成绩在C组中的数据为：80，83，85，87，89，可得改进前中位数； ∵教学方式改进后抽取的学生成绩为：70，72，76，82，84，86，86，93，95，90，100，98，88，100，100， ∴教学方式改进后抽取的学生成绩按从小到大排列是：70，72，76，82，84，86，86，88，90，93，95，98，100，100，100， ∴改进后的中位数，改进后的众数． （2）改进后的好． 理由：两个年级的平均成绩一样，从中位数看，改进后的成绩比较好；从众数看改进后的成绩比较好． （3）估计教学方式改进后成绩为优秀的学生人数（人） 答：估计教学方式改进后成绩为优秀的学生人数为140人． 【点睛】本题考查平均数，中位数，众数，用样本估计总体等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23. 如图，直线，相交于点O，点A，B在上，点 D，E 在上，，． （1）求证∶． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键． （1）延长交于点，延长交于点，利用得出，然后根据三角形内角和定理得出，最后利用同位角相等，两直线平行即可证明； （2）根据三角形外角的性质得出，再利用即可得出答案． 【小问1详解】 解：延长交于点，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 24. 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图1，则有；若△ABC锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x．在Rt△ADC中，，在Rt△ADB中，，∴． ∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴，∴当△ABC为锐角三角形时． 所以小明的猜想是正确的． （1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时， 与的大小关系． （2）温馨提示：在图3中，作BC边上的高． （3）证明你猜想的结论是否正确． 【答案】（1）；（2）作图见解析；（3）正确． 【解析】 【分析】（1）根据题意可猜测：当△ABC为钝角三角形时，与的大小关系为：； （2）根据题意可作辅助线：过点A作AD⊥BC于点D； （3）然后设CD=x，分别在Rt△ADC与Rt△ADB中，表示出AD2，即可证得结论． 【详解】解：（1）当△ABC为钝角三角形时，与的大小关系为：； （2）如图3，过点A作AD⊥BC于点D； （3）证明：如图3，设CD=x．在Rt△ADC中，，在Rt△ADB中，， ∴． ∵a＞0，x＞0， ∴2ax＞0， ∴， ∴当△ABC为钝角三角形时，． 考点：三角形综合题；勾股定理． 25. 镇政府想了解对王家村进行“精准扶贫”一年来村民的经济情况，统计员小李用简单随机抽样的方法，在全村户家庭中随机抽取户，调查过去一年的收入（单位：万元），从而去估计全村家庭年收入情况． 已知调查得到的数据如下： 为了便于计算，小李在原数据的每个数上都减去，得到下面第二组数： 请你用小李得到的第二组数计算这户家庭的平均年收入，并估计全村年收入及全村家庭年收入超过万元的百分比；已知某家庭过去一年的收入是万元，请你用调查得到的数据的中位数推测该家庭的收入情况在全村处于什么水平？ 已知小李算得第二组数的方差是，小王依据第二组数的方差得出原数据的方差为，你认为小王的结果正确吗？如果不正确，直接写出你认为正确的结果． 【答案】（1）见解析；（2）小王的结果不正确． 【解析】 【分析】（1）计算出第二组数据的平均数，则把这个平均数加上1.5得到得到这20户家庭的平均年收入；用这20户家庭的平均年收入乘以130可估计全村年收入；用样本中家庭年收入超过1.5万元的百分比表示全村家庭年收入超过1.5万元的百分比，利用中位数的意义判断某家庭过去一年的收入是1.89万元，该家庭的收入情况在全村处于什么水平； （2）利用方差的意义可判断小王的结果错误，然后根据方差公式计算第二组的方差即可． 【详解】解：第二组数据的平均数为， 所以这户家庭的平均年收入（万）， ， 估计全村年收入为万； 全村家庭年收入超过万元的百分比为； 某家庭过去一年的收入是万元，则该家庭的收入情况在全村处于中下游； （2）小王的结果不正确． 第一组数据的方差和第二组数据的方差一样． 它们的方差． 【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了样本估计整体． 26. 函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数和的图象如图所示． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 ﹣2 ﹣4 ﹣6 … （1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A，B的坐标和函数的对称轴． （2）探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离． （3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数的图象．若点和在该函数图象上，且，比较，的大小． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据图形即可得到结论； （2）根据函数图形平移的规律即可得到结论； （3）根据函数关系式可知将函数的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数的图象．根据函数的性质即可得到结论． 【详解】解：（1），，函数的对称轴为； （2）将函数的图象向上平移2个单位得到函数的图象； 将函数图象向左平移2个单位得到函数的图象； （3）将函数的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数的图象． 所画图象如图所示，当时，． 【点睛】本题考查了一次函数与几何变换，一次函数的图象，一次函数的性质，平移的性质，正确的作出图形是解题的关键． 27. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°)． （1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由． （2）当∠ACE<180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE所有可能的度数及对应情况下的平行线(不必说明理由)；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（2）存在. 当∠ACE=30°时，AD∥BC；当∠ACE=45°时，AC∥BE；当∠ACE=120°时，AD∥CE；当∠ACE=135°时，BE∥CD；当∠ACE=165°时，BE∥AD． 【解析】 【分析】（1）由∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE可得出结论；（2）分∠ACE=30°，45°，120°，135°及165°进行解答． 【详解】（1）∠ACB+∠DCE=180°，理由是： ∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB ∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180° （2）存在. 当∠ACE=30°时，AD∥BC，理由如下，如图1所示： ∵∠ACE=∠DCB=30°，∠D=30°， ∴∠DCB=∠D， ∴AD∥BC； 当∠ACE=∠E=45°时，AC∥BE，理由如下，如图2所示： ∵∠ACE=∠DCB=45°，∠B=45°， ∴BE⊥CD， 又∵AC⊥CD， ∴AC∥BE； 当∠ACE=120°时，AD∥CE，理由如下，如图3所示： ∵∠ACE=120°， ∴∠DCE=120°-90°=30°， 又∵∠D=30°， ∴∠DCE=∠D， ∴AD∥CE； 当∠ACE=135°时，BE∥CD，理由如下，如图4所示： ∵∠ACE=135°， ∴∠DCE=135°-90°=45°， ∵∠E=45°， ∴∠DCE=∠E， ∴BE∥CD； 当∠ACE=165°时，BE∥AD．理由如下： 延长AC交BE于F，如图5所示： ∵∠ACE=165°， ∴∠ECF=15°， ∵∠E=45°， ∴∠CFB=∠ECF+∠E=60°， ∵∠A=60°， ∴∠A=∠CFB， ∴BE∥AD． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$