第24课时　正方形 课件 2025年中考数学一轮总复习

第一部分　考点梳理 第四章　图形的性质 第24课时　正方形 知识点1 正方形的性质和判定 性 质 边 对边平行，四边都相等 角 四个直角 对角 线 对角线互相垂直平分且相 等，每条对角线平分一组对 角 对称 性 既是轴对称图形，又是中心 对称图形 判定 （1）有一组邻边相等的 ⁠ ⁠是正方形 （2）有一个角是直角的 ⁠ ⁠是正方形 （3）对角线 ⁠ 的平行四边形是正方形 面积 公式 S＝边长2＝ ·对角线之积 矩形 菱形 互相垂直且相等　 知识点2 中点四边形 定 义 顺次连接四边形各边中点所得的四边 形，称为中点四边形 常 见 结 论 顺次连接四边形各边中点所得到的四 边形是 ⁠ 平行四边形　 常 见 结 论 顺次连接矩形各边中点所得到的四边 形是 ⁠ 顺次连接菱形各边中点所得到的四边 形是 ⁠ 顺次连接正方形各边中点所得到的四 边形是 ⁠ 顺次连接对角线相等的四边形各边中 点所得到的四边形是 ⁠ 菱形　 矩形　 正方形　 菱形　 常 见 结 论 顺次连接对角线互相垂直的四边形各 边中点所得到的四边形是 ⁠ 顺次连接对角线相等且互相垂直的四 边形各边中点所得到的四边形是 ⁠ ⁠ 矩形　 正 方形　 名师指津 1. 正方形具备等腰直角三角形、平行四 边形、矩形、菱形的所有性质，比如 45°角在正方形的证明题中往往起到重 要作用. 2. 正方形既是轴对称图形，又是中心 对称图形，因此在正方形中，所有对 称位置上的线、角、三角形都是相 （全）等的，这是解决问题的一个重 要思维和方向. 3. 中点四边形的形状只与原四边形对角 线（相等、垂直、相等且垂直）有关. 4. 中点四边形的周长是原图形对角线之 和，面积是原图形面积的一半. 5. 证明一个四边形是正方形的方法是先 证明它是矩形，再证明它是菱形；或先 证明它是菱形，再证明它是矩形，其证 明过程往往需要借助全等三角形. 6. 在正方形中求解策略是利用正方形四 个角都是直角或对角线互相垂直平分且 相等，通过勾股定理求解. 7. 正方形中的十字架模型 【模型介绍】如图1，在正方形ABCD 中，若EF⊥MN，则EF＝MN. 变形1：如图2，若AF⊥BE，则AF＝ BE. 变形2：如图3，若BE⊥MN，则BE＝ MN. 【易错点】正方形内十字架模型，垂直 一定相等，相等不一定垂直. 【解题技巧】无论怎么变，只要垂直， 十字架就相等. 考点一　正方形的性质及判定 例1　 （1）如图1，要使▱ABCD是正 方形，需增加条件.在条件①AB＝BC； ②AC＝BD；③AC⊥BD；④∠ABC＝ 90°中选取两个作为条件，不正确的是 （　B　） B A. ①和② B. ①和③ C. ②和③ D. ③和④ 图1 （2）如图2，在正方形ABCD中，点 E，F分别在BC，CD上，连接AE， AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝ α，则∠FEC一定等于（　A　） A. 2α B. 90°－2α C. 45°－α D. 90°－α A 图2 （3）（2024·南开）如图3，已知正方形 ABCD的边长为1，点E为边BC上一 点，连接AE，作∠DAE的平分线交CD 于点F，若F为CD的中点，则BE的长 为（　C　） A. B. C. D. C 图3 （4）（2024·天津）如图4，正方形 ABCD的边长为3 ，对角线AC，BD 相交于点O，点E在CA的延长线上， OE＝5，连接DE. ①线段AE的长为 ⁠； ②若F为DE的中点，则线段AF的长 为 ⁠. 2　 　 图4 例2　 如图1，在正方形ABCD中，点E 在边BC上，点F在CD的延长线上，且 DF＝BE，连接AE，AF，EF. （1）求证：△AEF是等腰直角三角形； 图1 图2 [答案] （1）证明：∵四边形ABCD为正 方形，∴∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，AB＝AD，∴∠BAE＋∠EAD＝90°，∠ADF＝90°. 在△ABE和△ADF中， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF， ∴∠DAF＋∠EAD＝90°，即∠EAF ＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形. （2）如图2，过点A作AH⊥EF，垂足 为H，交CD于点G，连接BH. ①求证：BE＝ BH－AB； 图1 图2 [答案]解：（2）①证明：如答案图，过点H作HM⊥BH交BC的延长线于点M， ∴∠BHE＋∠EHM＝90°. ∵△AEF是等腰直角三角形，AH⊥EF， ∴AH＝EH，∠AHE＝90°， ∴∠BHE＋∠AHB＝90°， ∴∠EHM＝∠AHB. ∵∠ABE＝∠AHE＝90°， （答案图） ∴∠BAH＋∠BEH＝360°－90°－90°＝180°. ∵∠BEH＋∠MEH＝180°， ∴∠BAH＝∠MEH， ∴△ABH≌△EMH（ASA）， ∴BH＝MH，AB＝EM， ∴△BHM是等腰直角三角形， ∴BM＝ BH. ∵BM＝EM＋BE＝AB＋BE， ∴BE＝ BH－AB. （答案图） ②若CE＝4，DG＝3，求BE的长. 图1 图2 [答案]解：（2） ②如答案图，连接 EG. 设BE＝x，则DF＝x. ∵CE＝4，DG＝3， ∴BC＝x＋4，FG＝x＋3， CG＝（x＋4）－3＝x＋1. ∵△AEF是等腰直角三角形，AH⊥EF， ∴AH垂直平分EF，∴EG＝FG＝x＋3. 在Rt△ECG中，由勾股定理，得 EG2＝CG2＋CE2，即（x＋3）2＝ （x＋1）2＋16，解得x＝2，∴BE＝2. （答案图） 考点二　中点四边形 例3　 （1）如图1，顺次连接四边形 ABCD各边中点得到中点四边形EFGH，下列说法中正确的是（　C　） C A. 当AC⊥BD时，四边形EFGH为菱形 B. 当AC＝BD时，四边形EFGH为矩形 C. 当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形 EFGH为正方形 D. 以上说法都不对 图1 （2）如图2，D，E，F，G分别为 AC，AB，BO，CO的中点，∠BOC＝ 90°.若AO＝3，BO＝4，CO＝3，则四 边形DEFG的周长为 ⁠. 图2 8　 1. 如图，F是正方形ABCD的对角线BD 上一点，连接AF，CF，并延长CF交 AD于点E. 若∠AFC＝140°，则∠DEC的度数为（　D　） A. 80° B. 75° C. 70° D. 65° D （第1题） 2. 已知菱形ABCD中对角线AC，BD相 交于点O，添加条件 ⁠ 可使菱形ABCD成为正方形. AC＝BD或 AB⊥BC　 3. （2024·内蒙古）如图，边长为2的正 方形ABCD的对角线AC与BD相交于点 O. E是BC边上一点，F是BD上一点， 连接DE，EF. 若△DEF与△DEC关于 直线DE对称，则△BEF的周长是 ⁠. 2 （第3题） 4. 如图，在正方形ABCD中，点F是BC 的延长线上一点，过点B作BE⊥DF于 点E，交CD于点G，连接CE. （1）若正方形ABCD的边长为3，DF＝ 4，求CG的长； （第4题） 解： （1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCG＝∠DCF＝90°，BC＝DC. ∵BE⊥DF，∴∠CBG＋∠F＝∠CDF ＋∠F＝90°，∴∠CBG＝∠CDF， ∴△CBG≌△CDF（ASA）， ∴BG＝DF＝4. 在Rt△BCG中，由勾股定理，得 BC2＋CG2＝BG2， ∴CG＝ ＝ . （2）求证：EF＋EG＝ CE. （第4题） 解：（2）证明：如图，过点C作CM⊥CE交BE于点M. ∵△CBG≌△CDF， ∴CG＝CF，∠CGB＝∠F. ∵CM⊥CE，∠DCF＝90°， ∴∠MCG＋∠DCE＝∠ECF＋∠DCE＝ 90°，∴∠MCG＝∠ECF， ∴△MCG≌△ECF（ASA）， ∴MG＝EF，CM＝CE， （答案图） ∴△CME是等腰直角三角形， ∴ME＝ CE. 又∵ME＝MG＋EG＝EF＋EG， ∴EF＋EG＝ CE. （答案图） $$