第20课时　等腰三角形 课件 2025年九年级中考数学一轮总复习

第一部分　考点梳理 第四章　图形的性质 第20课时　等腰三角形 知识点1 角平分线和线段垂直平分线的 性质与判定 性质 判定 角 平 分 线 角平分线上 的点 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠的点，在这个角的角平分线所在的直线上 到角 两边的距离 相等　 到角两边的距离相等 性质 判定 线 段 垂 直 平 分 线 线段垂直平 分线上的 点 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠的点，在 这条线段的垂直平分 线上 到这条 线段的两个 端点的距离 相等　 到线段两个端点的 距离相等　 知识点2 等腰三角形和等边三角形的性 质与判定 性质 判定 等腰 三角 形 （1）等边对等 角； （2）等腰三角 形三线合一； （3）是轴对称 图形，有一条对 称轴 （1）定义：有 两边相等的三角 形； （2）等角对等 边 性质 判定 等边 三角 形 （1）三边相 等； （2）三个角都 相等且都等于 60°； （3）是轴对称 图形，有三条对 称轴 （1）定义：三 条边都相等的三 角形； （2）三个角都 相等的三角形； （3）一个角是 60°的等腰三角 形 知识点3 等腰三角形的性质拓展 图示 结论 等腰三角形两腰上的高、中线和两底角的角平分线分别都相等，即BD＝EC 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，即∠DBC＝ ∠A 图示 结论 等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行，即AD∥BC 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高，即DE＋DF＝BG 图示 结论 等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于腰上的高，即DF－DE＝BG 名师指津 1. 等角对等边是证边相等的常用办法. 2. 三线合一是证两条边相等、两个角相 等以及两条直线互相垂直的重要依据. 3. 分类讨论和方程思想是解决等腰三角 形多解问题的两大法宝，画出图形，数 形结合是解这类题目的基本方法.考虑全 面，分类讨论，逐一解决，不要漏解. 4. 重要结论： 考点一　角平分线的性质与判定 例1　 （1）如图1，AE，BE，CE分别 平分∠BAC，∠ABC，∠ACB， ED⊥BC于点D，ED＝3，△ABC的面 积为36，则△ABC的周长为（　C　） C A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 图1 （2）如图2，点E是BC的中点， AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，连接DE. 下列四个结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB＋CD. 其中成立的是 .（填序号） ①②④　 图2 考点二　线段垂直平分线的性质与判定 例2　 （1）如图1，在△ABC中，AB， AC的中垂线DM，EN分别交BC于点 M，N，连接AM，AN. 若∠BAC＝ 79°，则∠MAN的度数为（　C　） C A. 20° B. 21° C. 22° D. 23° 图1　　 （2）（2024·眉山）如图2，在△ABC 中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点 A，B为圆心，大于 AB的长为半径作 弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直 线交AC于点D，连接BD，则△BCD的 周长为（　C　） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 C 图2 （3）如图3，CD是∠ACE的平分线， DP垂直平分AB于点P，DF⊥AC于点 F，DE⊥BE于点E. 若BC＝3cm，AC ＝5cm，则CE＝ ⁠cm. 图3 1　 考点三　等腰三角形的性质与判定 例3　 （1）如图1，在△ABC中，D，E 分别为AB，AC边上的点，DA＝DE， DB＝BE＝EC. 若∠ABC＝130°，则 ∠C的度数为（　D　） D A. 20° B. 22.5° C. 25° D. 30° 图1 （2）如图，△ABC为等腰三角形，AB ＝BC，点F是线段CB上一点，连接AF. ①如图2，若AF⊥CB，AB＝10，BF ＝8，求线段AC的长； 图2 [答案]解： ①∵AF⊥BC，AB＝BC， AB＝10，BF＝8， ∴∠AFC＝∠AFB＝90°，CF＝2. 在Rt△ABF中，AF＝ ＝6， 在Rt△ACF中，AC＝ ＝ 2 . ②如图3，点E为线段AB上一点，连接 CE，使∠ACE＝∠B，且EA＝BF， 点D为AF的中点，连接CD. 求证： ∠ACD＝∠BCE. 图3 [答案]解： ②证明：∵∠ACE＝∠B， ∴∠ACE＋∠BCE＝∠B＋∠BCE， ∴∠ACB＝∠AEC. ∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC， ∴∠AEC＝∠BAC， ∴AC＝EC. 如答案图，延长BC至点G， 使CG＝CF，连接AG. ∵CG＝CF， 且点D为AF的中点， ∴CD∥AG， （答案图） ∴∠ACD＝∠GAC. ∵∠CEA＝∠ACB， ∴∠ACG＝∠CEB. ∵AB＝BC，AE＝BF， ∴BE＝CF＝CG. 又∵AC＝CE， ∴△ACG≌△CEB （SAS）， ∴∠GAC＝∠BCE， ∴∠ACD＝∠BCE. （答案图） 考点四　等边三角形的性质与判定 例4　　（1）（2024·自贡）如图1，等 边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减少用钢（　D　） A. （24－12 ）m B. （24－8 ）m C. （24－6 ）m D. （24－4 ）m D 图1 （2）如图2，在正方形ABCD中，E是 边AD上一动点（不与点A，D重合）. 边BC关于BE对称的线段为BF，连接 AF. ①若∠ABE＝15°，求证：△ABF是等 边三角形； 图2 [答案]解： ①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°. ∵∠ABE＝15°，∴∠CBE＝75°. 由对称的性质，得 ∠FBE＝∠CBE＝75°，BF＝BC＝BA， ∴∠ABF＝∠FBE－∠ABE＝60°， ∴△ABF是等边三角形. ②延长FA，交射线BE于点G，△BGF 能否为等腰三角形？如果能，求此时 ∠ABE的度数；如果不能，请说明理由. 图2 [答案]②解：由①得BF＝BC＝BA， ∵E是边AD上一动点， ∴BA＜BE＜BG，∴BF≠BG. 若FB＝FG，则有∠FGB＝∠FBG＝ ∠CBG， 此时E与D重合，不合题意. 若GF＝GB，连接CG 交AD于点H，如答案图， （答案图） ∵BC＝BF，∠CBG＝∠FBG，BG＝ BG， ∴△CBG≌△FBG（SAS）， ∴FG＝CG，∠BFG＝∠BCG. ∵BA＝BC＝BF，∴∠BFA＝∠BAF. ∵△CBG≌△FBG，∴∠BFG＝ ∠BCG. ∵AD∥BC，∴∠AHG＝∠BCG， ∴∠BAF＋∠HAG＝ ∠AHG＋∠HAG＝ 180°－∠BAD＝90°， （答案图） ∴∠FGC＝180°－∠HAG－∠AHG＝ 90°， ∴∠BGF＝∠BGC＝ ∠FGH＝45°. ∵GB＝GF＝GC， ∴∠GBC＝∠GCB＝ （180°－∠BGC）＝67.5°， ∴∠ABE＝∠ABC－∠GBC＝90°－ 67.5°＝22.5°. 综上所述，△BGF能为等腰三角形，此 时∠ABE的度数为22.5°. （答案图） 1. 如图，在△ABC中，AB边的中垂线 DE分别与AB，AC边交于点D，E， BC边的中垂线FG分别与BC，AC边交 于点F，G，连接BE，BG. 若△BEG的 周长为16，GE＝1，则AC的长为 （　B　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 B （第1题） 2. （2024·赤峰）等腰三角形的两边长分 别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则 这个三角形的周长为 ⁠. 3. 已知△ABC为等边三角形，点D在BC 边上. 17　 【基本图形】（1）如图1，以AD为一 边作等边△ADE，连接CE. 请直接写出 AC，CE，CD之间的数量关系； 解：（1）CE＋CD＝AC. 图1 图2 【迁移运用】（2）如图2，点F是AC边 上一点，以DF为一边作等边△DEF， 连接CE. 求证：CE＋CD＝CF； 图1 图2 解：（2）证明：如答案图1，过点D作 DG∥AB，交AC于点G. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠A＝∠B＝60°. ∵DG∥AB， ∴∠CGD＝∠A＝60°，∠CDG＝∠B ＝60°，∴△CDG为等边三角形， ∴CD＝DG＝CG. （答案图1） ∵△DEF为等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝60 °. ∴∠CDG－∠EDG＝∠EDF－∠EDG， 即∠CDE＝∠GDF， ∴△CDE≌△GDF（SAS）， ∴CE＝GF， ∴CE＋CD＝GF＋CG＝CF. （答案图1） 【类比探究】（3）如图3，点F是AC边 的延长线上一点，以DF为一边作等边 △DEF，连接CE. 试探究CE，CD， CF之间存在怎样的数量关系，请写出你 的结论，并说明理由. 图3 解： （3）CD＋CF＝CE. 理由如下： 如答案图2，过点D作DG∥AB，交AC 于点G. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠A＝∠B＝60°. ∵DG∥AB， ∴∠CGD＝∠A＝60°， ∠CDG＝∠B＝60°， ∴△CDG为等边三角形， ∴CD＝DG＝CG. ∵△DEF为等边三角形， （答案图2） ∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∴∠GDC＋∠CDF＝∠EDF＋∠CDF， 即∠GDF＝∠CDE， ∴△CDE≌△GDF（SAS）， ∴CE＝GF. ∵GF＝CF＋CG＝CF＋CD， ∴CD＋CF＝CE. （答案图2） $$