第五单元 圆（教学设计）-【大单元教学】六年级数学上册同步备课系列（人教版）

大单元教学设计 基本信息 学科 数学 实施年级 六年级 设计者姓名 井丽娜 设计者单位 呼和浩特市玉泉区小召小学 课程标准模块 图形与几何 单元名称 圆 单元课时 8课时 一、单元学习主题分析（体现学习主题的育人价值） 主题名称 圆 课标要求 内容要求：认识圆和扇形，会用圆规画圆；认识圆周率；探索圆的周长和面积计算公式，能解决简单的实际问题。在图形认识和测量的过程中，进一步形成量感、空间观念和几何直观。 学业要求：会用圆规画圆，能描述圆和扇形的特征；知道圆的周长、半径和直径，了解圆的周长与直径之比是一个定值，认识圆周率；会计算圆的周长和面积，能用相应公式解决简单的实际问题。 教学建议：教学中引导学生运用转化的思想，推导圆形的面积公式，形成空间观念和推理意识。圆的教学可以列举生活中的实例，引导学生概括圆的特点，利用圆规画圆，加深对圆的理解。引导学生经历探索周长与直径之比是个常数的过程，认识圆周率，讲述祖冲之的故事,加深对圆周率和小数数位的理解，了解中国古代数学家的杰出贡献，传播数学中的中华优秀传统文化。让学生借助操作探究和掌握圆的周长和面积公式，解决实际问题。 单元内容分析 单元内容简述 “圆”是人教版六年级上册第五单元的知识，也是小学阶段最后一个认识平面图形的单元。之前学的长方形、正方形、三角形、平行四边形和梯形都是直线图形，而圆是曲线图形，研究曲线图形的思想、方法相比较直线图形是有变化和提升的，学生不仅需要掌握圆的基础知识，还要感受“化曲为直”“等积变形”“极限”等数学思想方法，聚焦几何直观、空间观念、量感以及推理能力等数学核心素养，进一步发展问题解决的能力。 圆单元结构： 主题学情分析 学情分析工具： “圆”学情分析检测题 亲爱的同学们，你已经学习过很多图形，但还没有在数学课上学习圆，因此你可能一些关于圆的知识，或者什么都不知道，这都没有关系。以下你要做的这些题目，不计入你的考试成绩，老师主要想了解你们现在已经知道些什么。 一、选择 1.生活中，你在哪儿见过圆？（ ） A.汽车车轮 B.摩天轮 C.水杯盖 D.奥运五环 E.水纹 F.其他 2.你会选择以下的哪种工具画圆？（ ） A.用圆规画 B.用圆形的物体画 C.用其他东西画 D.其他 二、你认为圆和我们学过的平面图形，有什么相同点和不同点？ 三、请你用自己的方法在空白处画出一个圆，并试着找出圆的圆心、半径和直径。 四、想一想，车轮为什么要做成圆形的？做成其它形状行不行？ 五．你能写出圆的周长和面积公式吗? 六、你知道公式怎么来的吗? 1.逻辑起点 知识基础分析：学生在第一学段已经直观认识过圆，在第二学段学习图形的周长时，能用滚动和绕绳等方法测量圆形的周长，在第三学段又学习了多边形及面积的计算。学生对研究图形特点和计量问题积累了丰富的经验,能通过观察、实验、猜想、证明、综合实践等活动进行推理，并能比较直观地表达自己的想法。 活动经验分析：学生利用“转化思想”解决多边形的面积，积累了转化经验；能提出有关图形的特点及计量问题，可以综合运用这些知识来解决实际问题；初步形成了几何直观和空间观念，能通过观察、猜测、实验、验证等活动，进行初步的合情推理，并比较直观地表达自己的想法。 2. 现实起点 准确把握学生学习的起点，是寻找最近发展区和知识生长点的有力依据。教学设计开展前，通过前测分析，我们发现:对于圆的认识，约 90%的同学接触过圆的圆心、直径、半径等概念，65%的学生能准确举例表征，只有 15%的学生能基本准确描述概念。也就是说，大部分学生的思维还停留在水平0（视觉），仅仅对圆形有整体的直观感知，不能抽象出圆的本质概念。对于圆的周长，虽然三年级有不规则物体的周长学习，但只有约 60%的学生能通过教师提供的工具测量圆的周长。对于圆的面积，学生能用多种方法(数格子法、分割法)来思考，能感悟到数格子法、分割法求圆面积存在误差，计算困难。40%的学生已经初步了解圆周长、圆面积的计算方法，他们会用公式求圆的周长和面积，思维水平已经达到了水平1(分析)，但学生对公式的由来并不清楚，也就是在“化曲为直”“化圆为方”中存在思维断层。 3. 策略方法 曲线图形与直线图形在性质上的不同是研究难点，但在研究方法上却有紧密联系，因此要紧抓前后知识之间的联系，引导学生借由逼近、剪拼等方法，经历“化曲为直”“化圆为方”的探究过程，在实践数学思想中突破思维难点。 ①知道圆的基本特征并能正确判断一个图形是不是圆。 ②经历圆的面积推导过程，感受转化的思想方法，知道圆与割补后长方形之间的联系。 ③利用圆的面积计算公式解决简单的实际问题。 ④利用圆的面积计算公式灵活处理求圆环的面积、阴影部分面积等问题。基于学情调研的结果发现，本节课内容学生从认识直线图形发展到认识曲线图形，又是一次飞跃。但从学生思维角度看，六年级学生具有一定的抽象和逻辑思维能力。这一学段中的学生已经有了一些接触到数与计算、空间图形等较丰富的数学内容。所以在教学应注意联系现实生活，组织学生利用学具开展探索性的数学活动，注重知识发现和探索过程，使学生感悟转化、极限等数学思想，从中获得数学学习的积极情感，体验和感受数学的力量。同时在学习活动中，要使学生学会自主学习和小组合作，培养学生解决数学问题的能力。 主题概述 图形与几何教学整体规划： （1） 《圆》属于小学数学《图形与几何》领域，在小学，学习几何的价值在于:1.认识周围世界。从智育的角度来看，首先它能使学生更好地用数学的眼光认识周围的世界，我们人类活动的现实空间，其实都是由三维构成的一个几何空间。2.确定学习基础。为进一步学习数学以及其他学科，做好铺垫和准备。3.培养空间观念。空间观念是每个人都必须具备的基本素养。小学阶段是空间观念发展的关键期，错过了这个发展的关键期，有些损失甚至是不可逆的。4.发展数学思维。这部分内容也有助于发展学生的数学思维，特别是基于直观的抽象与推理。5提升应用能力。很多实际问题涉及几何概念与计算。 (2) 范希尔的几何思维水平把学生学习几何的思维分为5个水平:层次0(视觉)、层次1(分析)层次2(非形式化演绎)、层次3(形式化演绎)、层次4(严密性)。这样的分层有利于诊断学生的几何思维水平，鉴别学生的能力，并在学生原有的知识基础上改进他们的几何理解，是教学活动设计的依据。 主题分析： 单元大主题：“圆的特征与度量的本质”。 核心素养：在转化和度量思想的基础上发展学生的空间观念和推理意识。 通过对课标的解读，圆这一主题需要通过前测，了解学生对于这一主题的掌握情况，并针对问题进行课程设计。主题学习通过问题引领，学生小组讨论，通过动手操作，直观感受，体会生成过程并提升能力。教师通过几何画板等技术手段帮助学生更直观的了解圆的性质以及圆的周长中“化曲为直”面积中的极限思想。在本单元开始之前，我们让孩子寻找生活中的圆，说说你对圆有什么好奇?大问题：如何制作圆桌？ 在前测中，我们了解到学生对于图形的认识积累了丰富的经验，但是学生第一次认识曲边图形，所以对于圆的认识有些学生只关注外在，无法进入图形内部，无从下手，究其原因主要是学生不能将转化图形与圆建立关联，不能将已有经验进行迁移。所以在课堂上我们要为学生创设真实的情境,让学生在和其它图形的对比中，走进圆的内部，了解圆的特征，从而感受圆的本质。 同时，在本单元的学习中积累研究曲边图形的经验，将为以后研究圆柱和圆锥奠定基础。学生在度量曲边图形中感悟的思想方法，同样会迁移到后续圆柱、圆锥的学习。 几何画板链接： 圆的性质圆 | 网络画板，开放共享的数学实验室 (netpad.net.cn) 圆的周长：圆的展开 | 网络画板，开放共享的数学实验室 (netpad.net.cn) 圆的面积：圆的面积 | 网络画板，开放共享的数学实验室 (netpad.net.cn) 二、单元学习目标设计（基于标准、教材、情，体现素养导向） 单元学习目标 一．大概念层面 本单元基于图形的转化和度量思想，学生基于长度的测量将圆的周长测量转化为直线段测量，圆的面积转化成已知图形的面积。 具体目标： 目标编码 目标描述 110501 在问题情境中认识圆和扇形，知道他们之间的关系，理解圆的特征，会用圆规画圆，理解圆的本质。 110502 理解圆周率的意义，掌握周长和面积推导公式，会计算圆的面积和周长。 110503 能根据圆和方之间的关系，进行圆中方、方中圆、圆环等图形的面积计算。 110504 沟通平面图形面积计算公式推导过程中思想方法的一致性，从而使学生知识、方法结构化。 110505 通过观察、实验、比较、推理等过程理解圆的本质及其元素的特点，并能运用其解释和解决生活中的现象。 110506 在实验、猜想、分析中经历圆周长和面积计算的推导过程，建立曲边图形和直边图形的联系，体会“转化、等积变形、极限”等数学思想方法，发展量感、空间观念和推理意识。 110507 在解决问题的过程中体会转化的思想，了解数学的价值，感受数学与生活的密切联系。通过生活实例、数学史料，感受数学之美，了解数学文化，提高学习兴趣。 三、单元学习评价设计（多主体评价，指向学习目标的达成） 评价维度 水平划分与描述 预备级 中级 高级 认知领域 学业质量描述 认识圆和扇形，知道他们之间的关系，理解圆的特征，会用圆规画圆，理解圆的本质。理解圆周率的意义，掌握周长和面积推导公式，会计算圆的面积和周长。能根据圆和方之间的关系，进行圆中方、方中圆、圆环等图形的面积计算。 认识圆和扇形，知道他们之间的关系，理解圆的特征，会用圆规画圆，理解圆的本质。理解圆周率的意义，掌握周长和面积推导公式，会计算圆的面积和周长。能根据圆和方之间的关系，进行圆中方、方中圆、圆环等图形的面积计算。沟通平面图形面积计算公式推导过程中思想方法的一致性，通过观察、实验、比较、推理等过程理解圆的本质及其元素的特点，并能运用其解释和解决生活中的现象。 认识圆和扇形，知道他们之间的关系，理解圆的特征，会用圆规画圆，理解圆的本质。理解圆周率的意义，掌握周长和面积推导公式，会计算圆的面积和周长。能根据圆和方之间的关系，进行圆中方、方中圆、圆环等图形的面积计算。沟通平面图形面积计算公式推导过程中思想方法的一致性，通过观察、实验、比较、推理等过程理解圆的本质及其元素的特点，并能运用其解释和解决生活中的现象。在实验、猜想、分析中经历圆周长和面积计算的推导过程，建立曲边图形和直边图形的联系，体会“转化、等积变形、极限”等数学思想方法，发展量感、空间观念和推理意识。 人际领域 沟通与协作 在学习过程中，学生有机会与同学合作解决问题，交流彼此的想法和发现，合作与交流能力是现代学生必备的数学素养之一，通过小组讨论、合作探究等活动可以培养学生的这一能力。 在学习过程中，学生有机会与同学合作解决问题，交流彼此的想法和发现，合作与交流能力是现代学生必备的数学素养之一，通过小组讨论、合作探究等活动可以培养学生的这一能力。 在学习过程中，学生是有机会与同学合作解决问题，交流彼此的想法和发现，合作与交流能力是现代学生必备的数学素养之一，通过小组讨论、合作探究等活动可以培养学生的这一能力。 自我领域 学会学习与 学习心志 学生在学习过程中是否获得了成功的体验，这些积极的情感体验有助于培养学生的自信心和成就感，从而激发他们进一步学习数学的动力。 学生在学习过程中是否获得了成功的体验，这些积极的情感体验有助于培养学生的自信心和成就感，从而激发他们进一步学习数学的动力。 学生在学习过程中是否获得了成功的体验，这些积极的情感体验有助于培养学生的自信心和成就感，从而激发他们进一步学习数学的动力。 四、学习活动/任务设计（指向学习目标，强调学生的活动与体验） 课时 情境线 问题线 知识线 任务线 评价线 第一课时 圆的认识 1.生活中的圆 1.如何制作圆桌？ 2.如何画圆？3.圆的本质特征特征是什么？4.什么是扇形？圆中各部分间的关系。 1．发现生活中的圆。2．圆规画圆。3．圆的本质特征。4.扇形和圆各部分间的关系。 任务一：尝试举例。任务二：多种工具画圆。任务三：归纳圆的本质。任务四：折一折后，理解圆的特征，以及扇形的特征。 在问题情境中认识圆和扇形，知道他们之间的关系，理解圆的特征，会用圆规画圆，理解圆的本质。 第二课时 圆的周长 1、给圆桌贴装饰条，需要多长？ 1.什么是圆的周长？ 2.如何测量圆的周长？ 3.圆的周长公式。 1.理解圆的周长表征 2.探究圆周率3.多种方法测量周长4.圆周长公式。5.周长公式简单应用 任务一：用手找找圆的周长 任务二：测量圆的周长与直径任务三：探究圆周率 任务四：总结圆的周长公式 任务五；周长公式简单应用 水平1：理解圆周率的意义，掌握周长和面积推导公式，会计算圆的面积和周长。水平2：经历公式的推导过程，建立曲边图形和直边图形的联系，体会“转化、等积变形、极限”等数学思想方法，发展量感、空间观念和推理意识。 第三课时 圆的面积 1.圆形桌面刷一层保护膜，1平方米100元，需要多少钱？ 2.圆形餐桌的面积有多大？ 1.什么是圆的面积？ 2.圆的面积怎么求？3.平面图形的面积研究方法和路径？ 1．圆的面积2．推到圆的面积公式 3．建构平面图形面积研究方法和路径的一致性。 任务一：说一说圆的面积 任务二：通过剪切拼摆得到圆的面积。 任务三：想一想，拼接过程中圆的各部分和拼成图形的对应关系？ 任务四:想一想学过的平面图形面积的研究方法和公式是什么？ 水平1：知道圆的面积公式并解决简单的实际问题。 水平2：能将圆转化成学过的图形研究圆的面积，并能使用公式解决简单的实际问题。 水平3：能将圆转化成学过的多种图形研究圆的面积，并能使用公式解决简单的实际问题。并建构平面图形面积研究方法和思想的一致性。 第四课时 圆与方 1. 制作圆桌结束，我还想制作古色古香的窗户。（外圆内方，外方内圆） 2. 正方形与圆有怎样的关系？ 1. 可以通过举例探究关系。 2. 观察、思考，记录你们的发现。 3. 尝试验证你们的发现。 1. 外方内圆 2. 外圆内方 3. 通过举例子，代数式推导关系。 任务一：请你尝试独立表格，说一说你的方法， 并说一说在解答中遇到的困难。 任务二：总结规律，并用代数式验证表示关系 任务三： 用规律解决问题 层次1:学生是否能参与解决问题。 层次2：用列表、代数式解决问题，寻求解决问题的方法。 . 五、单元作业设计 单元评价目标 目标序号 内容要求 核心素养 认知类型 110501 能熟练画圆，理解并掌握圆的基本特征。 空间观念 理解 110502 理 解并掌握扇形的基本特征。 空间观念 理解 110503 能设计与圆有关的图案，感受数学之美。 创新意识 创造 110504 理解圆的周长、圆的面积计算公式推导过程，体会和掌握转化 、极限等数学思想。 几何直观 推理 意识 理解 110505 能正确并熟练地计算圆的周长和面积，并解决简单 的实际问题。 量感 应用意识 应用 110506 能综合运用圆的相关知识解决实际问题，提高问题 解决的能力。 应用意识 分析 110507 能在同伴合作中，发现并思考生活中与圆有关的 实 际问题，进一步感受数学与生活的密切联系。 几何直观 应用意识 评价 110508 能应用圆的特性独立或合作设计创作作品。 创新意识 创造 110509 能在问题解决的过程中逐步养成规范、合理、严谨 的习惯。 应用意识 评价 110510 能自主整理单元知识内容，形成认知结构。 创新意识 创造 单元评价内容 圆的认识与测量 (1) ★基础素养★ 【题1】我国古代名著《墨经》 中有这样的记载：“ 圆，一中同长也。 ”这句话的意 思是每个圆只有一个中心点，从圆心到圆上作线段，长度都相等。 （1）根据描述填一填：“一中 ”指的是圆的( ) ； “ 同长 ”指的是圆的 ( ) 相等。 （2）请你用圆规画一个圆心到圆上距离是 4 厘米的 圆，并用字母标出圆心、半径和直径。 想一想：圆规两脚打开的距离应是 ( ) 厘米。 画一画： 目标序号 110501 核心素养 空间观念 (水平二） 认知维度 理解 预估难度 易 预估时长 3 分钟 设计方式 创编 设计意图 借助《 墨经 》 中的描述渗透数学文化 ，在阅读中进一步理解 圆 的 特 征 ，并将 之 转 化 成用 圆 规 画 圆 的 技 能 ，通 过作 图 表 达 圆各 部 分 元 素的位 置关 系 ， 提 升 动 手 操作能 力。 【题2】小思制作手工作品，要准备圆形彩纸，李老师给了一张圆形彩纸样板(如图1）。 为了准备圆形彩纸，小思用下面的方法 (如图2) 对圆进行测量，寻找需要的数据，用圆 规画圆。 图1 图2 （1）观察图 2，下面的结论正确的有 ( ) 。 (多选) A.这个圆的直径是3.4cm。 B.这个圆的直径是2.4cm。 C.这个圆的半径是2.4cm。 D.这个圆的半径是1.2cm。 （2）用圆规画出一个与图1同样大小的圆。 想一想：圆规两脚打开的距离应是 ( ) 厘米。 画一画： 目标序号 110501 核心素养 空间观念(水平二） 认知维度 理解 预估难度 易 预估时长 3 分钟 设计方式 创编 设计意图 运用有关圆的特性解 决实际问题 ，能找出一维与二维图形间的 关联 ，在转化中进一步理解圆各部分元素的特征 ，培养学会用数学 的眼光观察现实世界。 ★能力素养★ 【题3】小思和小维将一张正方形的纸按照下图的步骤折4次，想剪出一个圆。(如图) 小思 ( ) 小维 ( ) （1）想象猜想：谁剪出来的图形更像圆？ (请在名字下面的括号里打“ √ ”) （2）动手验证：请按图的操作步骤先折一折，再剪一剪，把剪好的作品贴在下面， 验证谁剪出来的图形更像圆。 （3）用学过的知识解释说明上面的结果，再想一想怎样能使它进一步成为一个完美 的圆，把想法写下来。 目标序号 110501 110502 核心素养 空间观念(水平二） 认知维度 分析 预估难度 中 预估时长 8 分钟 设计方式 创编 设计意图 此题既是对圆特征的运用，也可作为割圆术的变式练习。本题 旨 在 学生了解割圆术这一古代数学文化后，在解决问题中进一步感受“ 以方近圆 ” 、 “无限接近 ”的数学思想和方法。 ★综合应用★ 【题4】数学课本上用圆创造了许多美丽的图案，下图是小思、小维利用尺规作图创造的图案。 水平一 能够用尺规作图画出圆或扇形，利用平移或旋转创造一幅图案。 水平二 能够用尺规作图画出圆或扇形，能结合其他图形 (单个) ，利用平移或 旋转创造一幅图案。 水平三 能够用尺规作图画出圆或扇形，能结合其他图形 (多个) ，利用平移或旋转创造一幅图案。 对照上面的三个水平，请你发挥想象力和创造力，再想想还能设计出怎样的图案？来 动手画一画吧，完成后，请给自己创作的图案认定水平。 我认为我的作品应该属于水平 。 目标序号 110503 核心素养 创新意识（水平三） 认知维度 创造 预估难度 中 预估时长 长周期 设计方式 创编 设计意图 在感受数学之美的同时 ，鼓励学生创新设计图案 ，培养学生 观 察、 思考、动手等多方面的能力。鼓励学生对照水平标准进行自 评， 培养学生的自我评价、自我反思的能力。 【自我评价】完成这份作业，请你给自己做个评价吧！ 自评维度 自评 我能按时并顺利完成这份作业。 ☆☆☆ 我 能认真读题、独立思考 (与同学合作交流) 、书写工整。 ☆☆☆ 我 能分析自己在完成这个作业中的优势与不足。 ☆☆☆ 我还想对自己说： 圆的认识与测量 (2) ★基础素养★ 【题1】小思和小维一块儿进行动手操作的实践活动。 (1) 小思在圆上标了一个点，记作A；再将这个圆的点A 对着直尺的刻度“0 ”放在 直尺上滚动， 回到了 A 点的位置 (如图 1) 。 从 图中你知道哪些信息？ 图1 观察上图可知，圆的 ( ) 是 6cm，我还知道： 。 (2) 小维将一个圆分成 16 等分，剪开后再拼一拼 (如图 2) 。 目标序号 110504 核心素养 几何直观（水平二） 推理意识（水平一） 认知维度 理解 预估难度 易 预估时长 6 分钟 设计方式 改编 设计意图 借 助滚 动 法 的 演 示 ， 引 导 学 生 能 够 运 用化 曲 为 直 的 方 法 解 决 有 关 圆 的 周长 的 实 际 问 题 ， 在 动 手操作的活动中引导学生整体回顾圆的 面积计算公 式的推导过程 ，培养推理意识 ，将转化 、极限的数学思想方法 显性化。 【题2】妈妈新买了一张直径是1m的圆桌(如图4) ，为减少磕碰，要给圆桌围上一圈 防撞条，还要铺上一张透明的桌垫。 （1）至少要买多长的防撞条？ （2）这张透明的桌垫至少要多大？ 目标序号 110505 核心素养 应用意识（水平二） 认知维度 应用 预估难度 易 预估时长 8 分钟 设计方式 改编 设计意图 以生活素材为例，让学生尝试运用所学知识去解答 ，并将周长与面积 的应用放在同一个问题当中 ， 学会对比 ，体现了数学知识的应用价值。 ★能力素养★ 【题3】杂技演员表演独轮车走钢丝(如图5) ，独轮车的车轮直径是 50 厘米。 图5 （1）先算一算独轮车走一圈的长度是多少米？再在图中用“ ↓ ”标出独轮车走一圈 后大致的位置。 （2）独轮车走钢丝的表演用时6分钟，每分钟独轮车可以走5圈，照这样计算，独 轮 车一共走了多少米？ 想一想：要解决这个问题，可以先求出 ？ 列式解答： 属性分析表 目标序号 110505 核心素养 几何直观（水平一） 应用意识（水平三） 认知维度 应用 预估难度 中 预估时长 6 分钟 设计方式 改编 设计意图 借助数尺将圆的周长用化曲为直的方式表示出来 ，进一步加深对 圆周长概念的理解 ，综合运用圆的周长和行程问题 的数量关系来求出 独轮车表演一共要走多少米 ，增强应用意识。 ★综合应用★ 【题4】 在中国古籍《九章算术》 中有这样的记载： （1）用本单元学习的圆的面积计算公式，计算这块田的面积是多少平方步？ 在古代， “步 ”是长度单 位 ， “平方步 ”是面积单位。 （2）《九章算术》 中提出了4 种计算圆面积的方法，请你选择其中一种算法，计算这块田的面积是多少平方步？ （3） 通过阅读和计算，你有什么感受或想法？请写一写。 感兴趣的同学还可以阅读《九章算术》 中更多与圆有关的内容哦！ 目标序号 110506 核心素养 应用意识（水平三） 认知维度 分析 预估难度 中 预估时长 长周期 设计方式 创编 设计意图 能灵活选用合适的圆的计算公式解决生活中复杂的实际问题（ 圆的面积） ， 感受圆面积计算的方法多样化，丰富学生在数学史方面的知 识，产生继续探究数 学文化的浓厚兴趣 ， 引导学生课后查阅更多的 相关资料。 【自我评价】完成这份作业，请你给自己做个评价吧！ 自 评 维 度 自 评 我能按时并顺利完成这份作业。 ☆☆☆ 我 能认真读题、独立思考 (与同学合作交流) 、书写工整。 ☆☆☆ 我 能分析自己在完成这个作业中的优势与不足。 ☆☆☆ 我还想对自己说： 生活中的圆 ★基础素养★ 【题1】手工课上，老师给了两张相同的手工纸 (如下图) ，按要求画一画。 （1）要在这张纸上剪出一个直径是2cm的圆，请在手工纸①中画出这个圆。 （2）要在圆里剪出一个最大的正方形， 请在手工纸②画出这个正方形。 2cm 2cm 手工纸① 手工纸② （3）哪张手工纸剩余的面积大？ 目标序号 110506 核心素养 应用意识（水平三） 认知维度 理解 预估难度 中 预估时长 10 分钟 设计方式 创编 设计意图 能灵活选用合适的圆的计算公式解决生活中复杂的实际问题（ 圆环、 外圆内方两种典型问题），培养学生学会将实际问题抽象成数学问题 ， 进 一步提高用数学知识解决生活实际问题的能力。 ★能力素养★ 【题2】韦阿姨是一位巧裁缝。一次，她拿着两块边角料 (如下图) ，横比竖量。最后在其中一块边角料上剪了两刀，就巧妙地拼成了一个正方形。 已知边角料①是圆形，它的直径是4米，边角料②中 AB 之间的距离是4米。 （1）你知道韦阿姨是怎么剪的吗？请在图中用虚线表示剪的两刀，并画出拼成的正 方形，并画出拼成的正方形。 （2）算一算，两块边角料的面积各是多少？ (π取值 3.14) 属性分析表 目标序号 110506，110509 核心素养 应用意识（水平三） 认知维度 应用 预估难度 中 预估时长 10 分钟 设计方式 改编 设计意图 能灵活选用合适的圆的计算公式解决生活中复杂的实际问题，在 完成此 题时 ，学生要先想象正方形布料的每一部分是由哪块 边角料的哪一部分组成 , 通过画一画，算一算，进一步加强数学知识和生活实际问题的联系 ，培养 应用意识。 ★综合应用★ 【题3】小维买披萨。今天是小维妈妈的生日，他想给妈妈买一个12英寸大的披萨， 他 英寸也是长度单位的一种。当用英寸 测量时,算出来的面积用平方英寸作单位。 来到一个餐厅准备给妈妈买披萨。 小朋友，12 英寸的披萨没有了，我给你换成一份 8 英寸和一份 4 英寸的披萨吧！ = 小维马上进行了计算：如果π取3.14，12英寸披萨的面积约为108平方英寸。 (1) 同学们，请你来帮小维算一算，餐厅师傅更换披萨的方法，可行吗？为什么？ 。 所以，用一个8英寸和一个4英寸的披萨换12英寸的披萨是 ( 合理 不合理 ) 的。 (打“ √ ”选择)（2） 小朋友，你的数学真厉害！为了表示歉意，你只用付12英寸披萨的价钱，我给你换成一份8英寸和一份10英寸的披萨吧！ 同学们，你觉得合理吗？算一算，并把你的想法写下来。 同 学们， 生活中许多事物都与数学中圆的知识有关，用数学的 眼 光 观察周围的现实世界 ，你能把它写成一篇数学 日记吗？ 目标序号 110507 核心素养 几何直观（水平三） 应用意识（水平三） 认知维度 应用 预估难度 中 预估时长 长周期 设计方式 创编 设计意图 能利用图表分析两个披萨大小关系的数学问题 ，探索出解决问题的思路 。 通过创编的数学故事，结合生活实际问题， 引发学生的质疑， 鼓励学生分析 、 判断 ，并且用 自 己喜欢的方法来解决 ，可以直接算一算 ，也可以用含有 π 的式 子表示，还可以结合画图说明…… ，激发兴趣的同 时 ，让学生会用数学的思维 思考现实世界。 【自我评价】完成这份作业，请你给自己做个评价吧！ 自 评 维 度 自 评 我能按时并顺利完成这份作业。 ☆☆☆ 我 能认真读题、独立思考 (与同学合作交流) 、书写工整。 ☆☆☆ 我 能分析自己在完成这个作业中的优势与不足。 ☆☆☆ 我还想对自己说： 神奇的圆——单元拓展作业 ★知识地图★ 你 对圆有了哪些新认识？ 让我们进入神奇的“ 圆 ”一块探究吧。 一切平面图形中最美的是圆. 毕达哥拉斯 请你整理本单元学习内容，可以是文字、表格或思维导图，也可以是其他你喜欢的方式。 高 中 阶 段圆的定义：平面 内 到 定 点的距离等于定长的点 的轨迹叫做圆。 其实小学、初中、高中 我们都会学习圆的相关知 识， 圆 的定义是什么？ 这句话中的“ 定点 ”就是指圆的 ( )，“轨迹 ”就是指圆的 ( )。 数学知识的学习是具有整体性、 联系性和一致性的。 目标序号 110510 核心素养 创新意识 （水平二） 认知维度 应用 预估难度 易 预估时长 长周期 设计方式 创编 设计意图 圆是小学阶段学生最后学习的平面图形 ，学完后，可以用学生喜欢 的方式经历一次知识地图的整理以及对未来学习的 了解 。初步学会通过具体的单元学习 内容的整理 ，运用归纳法发现关于圆的知识之间的关系与规律。 ★知识应用★ 【题1】我们周围很多事物的面都是圆形的，如车轮、马路上的井盖等。这是为什么？ 请跟我一块儿来研究“车轮为什么是圆的 ”这个问题吧! 步骤一：先用生活中常见的材料 (如橡皮泥、牙签、小棒、卡纸等) 制作车轮模型进行实验. 步骤二：将不同形状的轮子运行情况的示意图画在下面空白处。步骤三：经过实验探究，我发现： 。 从而得出：车轮的设计运用了圆的 的特性。 目标序号 110506 110507 核心素养 几何直观（水平三） 应用意识（水平三） 认知维度 应用 预估难度 中 预估时长 长周期 设计方式 创编 设计意图 能利用图表分析和实践探究 ，研究实际情境中的数学问题 ，探索解决问 题的思路 。 能灵活选用“ 同一圆内所有半径都相等这一结果 ”解决生活中复 杂的实际问题。 【题2】根据圆的特性设计创客作品。 ❖ 可以是文具 、装饰品 、玩具等 ，可利用可回收物品或手工材料等。 ❖ 先画设计图 ，附设计说明 ，注明哪里用了圆的特性 ，还可用说题的方式介绍作品。 ❖ 建议跟小组同学合作完成。 创客设计可以培养我们的创新思维和动手能力 。请你先 阅读下面的水平标准 ， 选定合适的水平设计作品。 水平一 作品为现实生活中常见物品 ，能结合圆的特性动手制作出实物且有 设计说明。 水平二 作品仿照现实生活常见物品设计 ，并增加有自己的想法或特色 ，能 结合圆的特性和其他数学特征，动手制作出实物且有设计说明。 水平三 作品有独特创意 ，能结合圆及有关的数学知识 ，动手制作出实物且 制作精美 ，设计说明完整，并运用说题对作品进行介绍。 【活 动 评 价】 这份单元拓展作业你完成得怎么样？ 根据评价标准给☆涂上颜色 ，先进行 自我评价 ， 再邀请小组成员对你进行评价吧。 方式 评价维度 星级 自 我 评价 我能准确描述出圆的特性。 ☆☆☆ 我能在合作中发现并思考与圆有关的实际问题并进行深入研究。 ☆☆☆ 我能设计美观、实用的创客作品。 ☆☆☆ 我 能在单元作业中有新的发现或新的思考。 ☆☆☆ 小 组 互评 能用认真的态度完成作业。 ☆☆☆ 能在小组实验和设计过程中承担一定的任务。 ☆☆☆ 能在作业成果的展示中展现 自 己的风采。 ☆☆☆ 目标序号 110507 110508 核心素养 创新意识（水平三） 几何直观（水平三） 应用意识（水平三） 认知维度 评价 预估难度 中 预估时长 长周期 设计方式 创编 设计意图 探索一些开放性的 、非常规的实际问题与数学问题 ，能灵活选用合适的 数学知识和方法解决生活中复杂的实际问题 。让学生经历一次数学与生活、 数学与科学的跨学科作业。在制作过程中能利用图表分析实际情境与数学问 题 ，探索出制作作品的思路 。这样 ，学生就有更多的机会从周围 熟悉的事物 中学习数学和理解数学 ，学生眼中的数学也就不再是简单的数学公式 ，而是 富有情感 、 贴 近生活 、具有活力的科学。 评价内容答案解析 《圆的认识与测量(1)》答案解析 【题1】 (1) 圆心、半径 (2) 4，图略 【题2】 (1) B D (2) 1.2，图略 【题3】 (1) 扇、 (2) 图略 【题4】在小思的名字下打“ √ ” (1) 图略 (2)同一圆内所有半径相等，小思的剪法两边长度相等，小维的剪法两边长度不相 等。 (3)折的次数尽量多，两边的长度相等，剪下来的图形越接近完美的圆。 【题5】对照相应水平进行表现性评价。 《圆的认识与测量(2)》答案解析 【题1】 (1) 周长，圆的直径大约是2cm。 (2) 【题2】 (1) C= πd＝3.14×1＝3.14 (米) (2) S= π r2＝3.14× (1÷2) 2＝0.785 (平方米) 【题3】 (1) 独轮车走一圈的长度：3.14×50＝157 (厘米)＝1.57 (米)在“ 1.5 m ”处标记。 (2) 方法一：先求独轮车每分钟共走多少米？ 1.57×5＝7.85 (米) 7.85×6＝47.1 (米) 方法二：先求独轮车6 分钟共走多少圈？ 6×5＝30 (圈) ， 1.57×30＝47.1 (米) 【题4】 (1) S= π r2＝3.14× (10÷2) 2＝78.5 (平方步) (2) 算法不唯一，例如用算法三：10×10×3÷4＝75 (平方步) (3) 例如“我发现圆的面积计算方法有很多种 ”或“通过计算我发现周长和面积之 间 有很密切的联系 ”等，合理即可。 《生活中的圆》答案解析 【题1】 (1) (2) 图略。 (3)手工材料①： (22－12) × 3.14 ＝ 9.42 (cm2) 手工材料②： 3.14×22- ×2×2×2×2 ＝4.56 (dm2) 或 1.14×22＝4.56 (dm2) 4.56＜9.42 手工材料①剩余的面积大。 答案指导意见：可以将π直接代入计算过程中，用含有π 的式子来比较，学生还可 以从 图中看出来，用文字表述合理即可。 【题2】1) 方法 1： 方法 2： (2) 边角料 1: 3×22＝12 (平方米) 边角料 2: 42－12＝4 (平方米) (1) 8 英寸的披萨面积为：3× (8÷2) 2＝48 平方英寸 4 英寸的披萨面积为：3× (4÷2) 2＝12 平方英寸 48+12=60 (平方英寸) 60＜108 不合理 (2) 8 英寸的披萨面积为：48 平方英寸 10 英寸的披萨面积为：3× (10÷2) 2＝75 平方英寸 48+75=123 (平方英寸) 123＞108 答案指导意见：学生要先进行计算得出结果，再判断是否合理，学生只要能够正确、 合理的表达自己的意见均可。 《神奇的圆——单元拓展作业》答案解析 【知识地图】指导意见：体现单元知识间的联系，注重学生自我认知结构的建立。 【题1】指导意见：关注轮子的中心或边缘、轮子的最高点的变化，从而得出结论。 画出的示意图尽可能规范，说发现时不仅描述现象，还能结合数学知识做出一定的解释。 学生的发现可以答案不唯一；同圆中所有的半径都相等。 【题2】指导意见：创客作品可以从模仿开始，要具有至少一点自己独特的设计；画 图要 求尽量标准；制作时尽量还原设计图，力求美观、实用。 评价指导意见：☆的个数代表程度，根据作业完成情况填涂☆的个数。 六、学习效果自评 学习表现 ❀❀❀ ❀❀ ❀ 认知领域 学业质量描述 能认识圆和扇形，知道他们之间的关系，理解圆的特征，会用圆规画圆，理解圆的本质。理解圆周率的意义，掌握周长和面积推导公式，会计算圆的面积和周长。能根据圆和方之间的关系，进行圆中方、方中圆、圆环等图形的面积计算。 人际领域 沟通与协作 积极参与小组活动，与他人交流互动，且能大胆表达自己的想法，在交流互动中敢于质疑，也能及时进行反思。 自我领域 学会学习与 学习心志 能利用学科知识、思想和方法，细化要解决的问题，有独立思考、合作探究的好习惯，且在解决问题的过程中敢于尝试，质疑、反思，不怕失败。 七、反思性教学改进（实施后填写） 八、课时板书设计 第一课时板书设计如下图 第二课时板书设计如下图 圆的周长C=2πr 3.14×2×27 =6.28×27 =169.56（cm） ≈170（cm） 1.7km=170000cm 170000÷170=1000（圈） 答： 170000÷170=1000（圈） 答： 围成圆的曲线的长 测量方法： 滚动法 （化曲为直） 绕绳法 圆的周长=圆周率×直径 用字母表示:C=πd ， C=2πr 计算时，π取3.14 第三课时板书设计如下图 第四课时板书设计如下 外方 圆 内方 4r2 ∶3.14r2 ∶2r2 面积比 面积差 4 ∶ 3.14 ∶ 2 假设法 设r=1m 字母表达式计算（简明） 外方内圆 a=d=2r=2×1=2米 S外方-S圆 S外方-S圆 =a2-πr2 2×2-3.14×12=0.86（㎡） =2r·2r- 3.14r2 =4r2-3.14r2 外圆内方 =0.86r2 S圆-S内方 S圆-S内方 =S圆-S三×2 =S圆-S三×2 =πr2-2ah÷2 3.14×12-2×1÷2×2=1.14(㎡) =3.14r2-2r×r÷2×2 =1.14r2 把r=1代入字母式子计算 0.86r2 1.14r2 =0.86×1×1 =1.14×1×1 =0.86(㎡) =1.14(㎡) 第1课时 圆的认识 核心素 养 量感 空间观念 几何直观 课标描述 内容要求：认识圆和扇形，会用圆规画圆； 学业要求：会用圆规画圆，能描述圆和扇形的特征；知道圆半径和直径； 教学内容分析 本节课用多元画圆突出圆的本质，在此基础上圆的认识。 学习重点：在动手操作中掌握圆的特征，学会用圆规画圆的方法。 学情分析 1.学生初步认识了圆形状，以及各部分的关系。 2.对于圆的本质是模糊的。 教学难点：探索并发现圆的特征。 学习目标确定 1.结合生活实际，通过观察，操作等活动认识圆，理解圆心、半径，直径的意义，掌握圆的特征。了解扇形和其特征。 2.经历“画圆”的过程，会用圆规画圆，探索圆的特征，积累基本的数学活动经验，发展空间观念和几何直观。 3.结合具体情境，体验数学与生活的密切联系，能用圆的知识来解释生活中的现象。 教师活动 学生活动 活动意图 学习活动设计 环节一：情境导入 1.展示生活中的圆 对比抽象出圆的概念 2.早在2300多年前，我国古代思想家墨子的《墨经》中，对圆是这样的描述的：圆，一中同长也。你是怎么理解的？ 3.大问题：生活中为什么这么多圆呢？ 4. 大任务：老师装修家，想制作一个圆形餐桌，你知道怎么制作吗？ 环节二：认识圆 1.让学生用不同工具画圆 教师为每组准备一类学具 组长上台抽取本组的工具 以下三类： 1. 圆形物品 2. 绳子 3. 直尺 4. 无工具 5. 用圆规 2.掌握圆规画圆的方法 画圆的时候要注意：针尖不能移动，圆规两脚间的距离也不能移动。 师：微课播放圆规画圆 3.明确圆规画圆与圆各部分之间的关系 ①认识圆的各部分名称 ②明晰概念 师：半径的一端在哪儿？另一端又在哪儿？ 生：一端在圆心，另一端在圆边。 师：另一个端点，我们不称它叫圆边上的点，数学上称它叫作圆上的点。 师：现在，谁来谈谈你对半径的理解？ 预设：连接圆心和圆上一点的线段叫做半径。 师：同学们画的这些直径都有什么共同的地方？ 生：两端都在圆上，过圆心。 小结：圆心就是圆正中间的点，用大写字母O表示；连接圆心和圆上一点的线段叫做半径，用字母r表示；过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径；直径用字母d表示。 想一想，圆的各部分名称与画圆之间有什么关系？ 4.观察对比直尺画圆，理解“一中同长” 使用：半径都相等 直径都相等 师：1.圆里存在多少条半径？多少条直径？ 2.在同一个圆里，直径与半径有什么关系？ 教师在学生汇报过程中，不断纠正：同一圆中，存在半径无数条、存在直径无数条；同一圆中，直径的长度是半径的两倍，半径的长度是直径的二分之一。对称轴是经过直径的直线。 前置作业一： 完成导读单 曲线围成的封闭图形 了解中华优秀传统文化 。 学生每人准备：圆规，铅笔 选择一样工具画出圆。 生：用圆形物体盖画。 生：借助绳和铅笔画。 生：用圆规画。 生：用直尺 学生汇报画圆情况。 直尺画圆： 层次一：模仿圆规画圆的原理，利用尺子和铅笔做成一个圆规所“画”出来的圆。 发现：因为尺子和铅笔的距离不能固定住，总是会跑来跑去的。 层次二：画一个正方形，从正方形中“描”一个圆。 层次三：通过一个点，画出无数条线段，“连”成一个圆。 分析不成功原因 学生画圆不成功的作品展示。 学生分析原因： a.可能是针尖被移动了。 b.可能是圆规两脚间的距离改变了。 同桌讨论，想一想，圆的各部分名称与画圆之间有什么关系？ 生：针尖所在的位置就是圆心； 生：圆规两脚间的距离就是半径； 生：针尖的位置改变了，圆的位置也会改变； 生：圆规两脚间的距离改变了，圆的大小也就改变了。 小结：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 预设： 通过圆片折一折或者通过想象表达清楚即可。 生：圆是个对称图形。 生：扇形的概念 1. 将圆的认识放在平面图形的认识体系中去学习，学生知道学习一个图形，应该先从认识入手，从圆中找点、线段和角，是出于平面图形认识的体系上去思考的，再学习有关周长面积的相关知识，帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展核心素养。单元大任务：制作圆桌贯穿圆的认识、周长以及面积。 圆的特征的探索主要是明确半径与直径的属性。即在同一圆中，半径（直径）有无数条，所有的半径（直径都相等）。在这个环节的设计中，先让学生独立思考，并在独立思考的基础上，让学生充分交流。通过这样的过程研究出圆的特征，所有的学生都会意识到自己和同伴的贡献。 2.画圆是学习圆的认识中要掌握的一项技能，但当画圆的过程或工具与圆的各部分名称（或特征）建立联系时，画圆就可以帮助学生深入理解圆的相关概念，掌握圆的特征。从这个角度，画圆的过程可以分成以下几个环节，即：①用圆形物体画圆——让学生明确圆是一条曲线围成的封闭图形；②用圆规画圆——让学生明确用圆规画圆的步骤，以及画圆的过程中，与圆的各部分名称建立联系。用圆规画圆就是运用了“一中同长”的原理 环节三：数学文化，凸显内涵 早在2300多年前，我国古代思想家墨子的《墨经》中，对圆是这样的描述的：圆，一中同长也。你是怎么理解的？ 用圆规画圆就是运用了“一中同长”的原理。 圆上的点距离圆心相等 初中：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 数学文化教学强调在教学的过程中除了要关注数学是什么，更要关注数学的形成和发展，也就是数学从哪里来、怎样发展、到哪里去的问题，这样的思考可以让数学教学变得透彻、聚焦，也更容易帮助学生走向深度学习。 环节四：圆的概念应用 1.餐桌为什么习惯用圆形呢？ 餐桌上的转盘安装在什么位置？ 2.看到了什么？各种车轮，为什么是圆形呢？ 用手中正方形、椭圆、圆当车轮，牙签当车轴在桌面上滚动。说感受。为什么圆形车轮更平稳？ Flash动画播放 3.全班同学体育课玩投球游戏，要求所有人到篮筐的距离相等，需要站成什么形状？为什么？为了位置公平，把圆画出来，这个圆怎么画？ 4.如何制作直径是1米的圆形餐桌？你能用什么方法画这个圆？ 5.淘淘参加一次课外拓展活动，需要根据提示找到活动奖品。提示上这样写道：奖品距离小旗2米处。你能帮淘淘解决这个问题吗？（用1厘米代表1米，在下图中画出奖品可能藏在的地方。） 师：大家的意见是，奖品可能所在的地点不仅形成一个圆，还有可能形成球面的一半。圆和球有什么不同？ 因为任意一个人夹菜距离一样，也就是圆一中同长。 餐桌上的转盘安装在圆心位置。 圆一中同长 半径0.5米 画圆 生1：奖品就在半径是2米的圆里面。 生2：我不同意。不是在圆里面，而是在圆的边上。 生3：也就是在半径是2米的圆的周长上。 生4：还有可能是距离旗子2米的地底下。 生5：就是像球一样，旗子是球心。 生6：准确地说，应该是一个半球。 生：圆是个平面图形，而球是个立体图形。 在此环节，通过5个不同层次的作业，促使学生应用所学知识进行解决，帮助学生反思理解圆之“源”，是对一中同长的实际应用。最后一题较为开放，不同层次的学生会有不同的想法和答案。 板书设 计 第2课时 圆的周长 核心素养 1. 以探究圆周率为载体，渗透“化曲为直”的数学转化思想。 2. 推理能力，空间观念，模型思想，求Π的值的过程，体验极限思想。 课标描述 内容要求：认识圆周率；探索圆的周长计算公式，能解决简单的实际问题。在图形认识和测量的过程中，进一步形成量感、空间观念和几何直观。 学业要求：知道圆的周长、半径和直径，了解圆的周长与直径之比是一个定值，认识圆周率；会计算圆的周长，能用相应公式解决简单的实际问题。 教学内容分析 认识圆的周长，探寻圆周率，并推导出圆的周长公式，使用公式解决实际问题。培养学生量感、空间观念和推理意识。 教学重点：理解并掌握圆周长的计算方法，会正确计算 学情分析 学生在前面的学习中已经直观地认识了圆，建立了周长的概念，并会求长方形、正方形的周长，对圆的周长有着丰富的感性经验。在此基础上，通过本节课的学习让学生经历圆周率的产生与形成过程，探究发现圆的周长计算公式，并能利用公式解决实际问题。 教学难点：探索圆周率的含义，以及推导圆周长的计算公式。 学习目标确定 1. 能理解圆的周长和圆周率的意义，能理解和掌握圆周长的计算公式，会正确地计算圆的周长且能利用圆的周长计算公式正确解决相关的生活问题。 2、通过动手实践、自主探索与合作交流等活动，体验圆周率形成的过程。发现和理解圆周长的计算方法，渗透“化曲为直”的数学转化思想，培养学生的推理、分析、概括的能力 3、通过介绍圆周率发现的曲折历史材料，对学生进行爱国主义教育，增强民族自豪感培养；感受“数学家的精神”，培养严谨求真的精神。初步养成乐于思考、善于合作、勇于质疑的良好品质。 教师活动 学生活动 活动意图 学习活动设计 一、回顾旧知，结合情景，引入课题。 1.教师：同学们，我们最近研究一种新的平面图形——圆，研究圆和研究其他平面图形一样，一般是从“形状”和“大小”两个角度研究，那你们谁能用一句话描述一下圆的形状？ 3.师：任务：想要给制作的圆形餐桌贴一圈装饰条，需要多长？ （板书课题：圆的周长） 预设： 生：圆是一个曲线图形。 生：圆，一中同长也。 一中就指圆心，同长就是指半径 生：（补充）同长还可以指直径 唤醒旧知，为下面圆的周长的概念以及研究周长与直径的关系做铺垫。让学生解释题意，感受古文之魅力，给数学课堂带来浓厚的文化气息，感受我国数学文化的源远流长。 二、自主探究，学习新知。 1.出示本节课研究四个问题 师：通过课前搜集整理调查单，我们选择了同学们对新知识感兴趣的、有价值的问题深入研究。（展示小黑板） 问题一：什么是圆的周长？ 问题二：如何测量圆的周长？ 问题三：如何计算圆的周长？ 问题四：圆的周长在生活中的实际应用？ 2．圆的周长以及测量圆的周长，渗透“化曲为直”的转化思想。 师：昨天我们在线上已经布置了对问题一二的自学，那现在我们小组合作，分享自学成果，并达成小组共性结论，时间三分钟，现在开始。 小组第一次合作，小组汇报。 问题一展讲 师（补充）：同学们，你们可以拿起你们圆形学具，用手指找找圆的周长吗？（同学比划） 问题二展讲 师（对滚动法补充）：把你的演示操作变为动态图，请同学们观看。我的补充已完毕，请接着展讲 师（补充）：请看视频，大家有没有发现不管是用绳子还是软尺、还是滚动的方法，他们都展示了一个相同的手势，（教师比划）。把一条曲线变成了直的。这种方法在数学上叫“化曲为直”。（板书“化曲为直”） 3.探索圆周率的含义，以及推导如何计算圆的周长。 （1）圆的周长与什么有关？ 师：说的很棒，其实数学家、科学家通过大量的研究实验给出了我们明确的方向，研究周长与直径的比值，那你们想感受一下其中的奥秘吗？ （2）小组合作一起发现圆周长与直径之间存在的关系。 小组进行第二次活动（教师拍照） 师：每组测量数量有限，那我们把测量的数据汇总，同学们有什么发现？同桌之间互相说说。 师：通过动手测量，难免有误差。实际上，我们人类在探索圆的周长和直径的关系时是历经了一个漫长而复杂的过程，已经发现了圆的周长和直径的准确关系。出示课件 通过这段话，你知道了什么？ （3）介绍圆周率发现的曲折历史 师：今天老师也给大家准备了一段微视频看看我们人类是怎么探索圆周率这样一个看似非常复杂的数。 师：虽然里面提到的一些方法目前我们还不懂，但是我们已经感觉到了人们一直尝试用不同的方法计算圆周率，不断的超越前人的研究成果。数学研究就得需要这样的勇气和智慧。 （4）得出公式 师：我们已经知道了“圆的周长是直径的π倍”，那如果知道圆的直径，如何求圆的周长？ 1.小组合作，解决 问题一：什么是圆的周长？ 问题二：如何测量圆的周长？ 2.汇报，交流自己的想法。 预设： 问题一：什么是圆的周长？ 生：大家已经知道围成封闭图形一周的长度就是周长，那我从圆上一点开始，绕圆一周的长度就是圆的周长，即：围成圆的曲线的长是圆的周长。 展讲问题二如何测量圆的周长。 生1：介绍滚动法（说注意点：圆上确定一点为起点与终点，不要滑动） 生2：介绍绕绳法（为了尽量贴合，我们在圆的边缘粘贴了双面胶） 生3：我们也可以用软尺绕着圆的边绕一圈，就可以直接测量出他的周长了. 预设： 生：圆的周长与直径或半径有关，当直径或半径越长时，圆周长就越大。 学生操作填写表格，学生汇报。 预设1：：我发现圆的周长总是直径的3倍多一些. 预设2：直径×3差不多就是周长 预设3：（误差较大）2.9几 预设4：全是3.14 预设： 生：我知道了圆的周长除以直径得到的倍数是一个固定的数，叫做圆周率。 生：我还知道圆周率是一个固定的数，用希腊字母π表示。（板书c:d=π） 生：π是个无限不循环小数，但在计算时我们常把它看做3.14 预设： 生： 圆的周长=圆周率×d 生：用字母表示: C=πd ， C=2πr 计算时，π取3.14 将本节课部分目标以问题形式出示给学生，把目标简化，再做循序渐进的演变。 通过学生自学，引导学生自主理解圆的周长。 渗透“化曲为直”的转化思想，通过自己操作，深刻体会操作背后的数学思想。 也易于这个年龄段的孩子理解。 围绕“圆的周长与什么有关”这一话题展开，这样的加工，更能凸显知识的本质，明确后续研究的方向，更具有挑战性，更符合教学的逻辑顺序和学生的认知心理，有利于数学思维的发展。使学生达成共识——圆的周长与它的直径有关。 测量操作实验虽然烦琐，但这是一种重要的解决问题的策略和方法，自主探讨，并通过观察，发现问题，参与合作交流，归纳总结，获取解决问题的方法，让学生获得一定的情感体验，享受了成功的愉悦。提高了学生分析，推理，概括的能力，发展了学生的空间观念。 此环节是本课的重点，也是本课的难点。 通过介绍圆周率发现的曲折历史材料，对学生进行爱国主义教育，增强民族自豪感培养；感受“数学家的精神”，培养严谨求真的精神。初步养成乐于思考、善于合作、勇于质疑的良好品质。 模型的建立 三、巩固深化，解决问题。 1.完成课本做一做1. 1.先独立完成，然后汇报结果，集体订正。 2.先观察信息，选择合适的公式。 （1）C=2πr 3.14×2×3=18.84cm （2） C=πd 3.14×6=18.84cm （3） C=2πr 3.14×2×5=31.4cm 旨在巩固对本课核心方法的掌握与模型的建立。 注意简便计算的培养。凑整。 新知4.圆的周长在生活中的实际应用 . 四、课堂总结，拓展延伸。 1.其实生活中还会有很多利用圆周长的例子，同学们只要用善于发现数学的眼光观察你的生活，你会发现生活与数学密不可分。 预设： C=2πr 3.14×2×27 =6.28×27 =169.56（cm） ≈170（cm） 1.7km=170000cm 170000÷170=1000（圈） 答： 能利用圆的周长计算公式正确解决相关的生活问题。 板书设 计 圆的周长 围成圆的曲线的长 C=2πr 3.14×2×27 =6.28×27 =169.56（cm） ≈170（cm） 1.7km=170000cm 170000÷170=1000（圈） 答： 170000÷170=1000（圈） 答： 测量方法： 滚动法 （化曲为直） 绕绳法 圆的周长=圆周率×直径 用字母表示:C=πd ， C=2πr 计算时，π取3.14 第3课时 圆的面积 核心素 养 运算能力 推理意识 空间观念 课标描 述 内容要求：探索圆的面积计算公式，能解决简单的实际问题。在图形认识和测量的过程中，进一步形成量感、空间观念和几何直观。 学业要求：会计算圆的面积，能用相应公式解决简单的实际问题。 教学内容分 析 本模块《圆的面积》这部分内容是小学阶段平面几何的最后阶段，在此之前学生已经掌握了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积公式及其推导方法，熟悉用转化的思想推导平面几何图形的面积公式；关于圆的周长学生体会了化曲为直的思想，在推导面积公式基础上进一步体会“转化”和“极限”思想，为后期圆柱、圆锥的学习做好铺垫。 教学重点：利用转化和极限思想推导圆的面积公式，会用圆的面积公式计算。 学情分 析 学生已经能够比较熟练地掌握正方形、长方形、平行四边形等基本图形的周长和面积公式，能够应用公式解决简单的实际问题。通过预习，知道圆的面积公式但部分学生对公式的推导过程不明确，为渗透“转化”和“极限”的数学思想，加深学生对推导过程的理解和记忆，应留时间让学生充分思考、探讨、交流圆面积转化的过程，明确图形变化前后相对应的量。 教学难点：对“极限”思想的感悟。 学习目标确 定 1经历圆面积计算公式推导的过程，掌握圆面积的计算公式。 2.在探究圆面积公式的活动中，体会“转化”的数学思想方法，沟通平面图形面积计算公式推导过程中思想方法的一致性，从而使学生知识、方法结构化。 3.在圆面积公式的推导过程中，体会“极限思想”。 教师活动 学生活动 活动意图 学习活动设计 环节一：问题引领，旧知回顾。 1. 圆形餐桌的面积有多大？ 如何求圆的面积？有没有方法借鉴呢？ 2.已学过的平面图形有哪些？他们的面积和推导过程是什么？ 师播放多边形面积推导视频 3.师：用割补法将新知转化为旧知，运用转化思想解决问题。圆的面积能否也通过这种方法进行推导呢，请同学们思考圆形可以如何割补成我们已经学过的图形呢？ 求圆的面积 汇报：长、正方形，平行四边形，三角形，梯形面积公式以及推导 通过回顾多边形面积公式的推导过程，揭示研究平面图形求面积的基本方法，即把要求的图形经过分割，拼摆转化成已学过的图形。用旧知识解决新问题，渗透转化思想。 环节二：小组合作，探究新知，展讲汇报 针对预习问题，回顾梳理自己的想法。 数格子法研究（视频播放） 割补法研究 1. 研究圆的面积，将圆转化成哪些平面图形？ 2. 请你思考在操作过程中什么变了什么没变，新旧图形的对应关系。 3. 圆的面积公式是什么？ 教师 1.展示转化过程 并说清楚每一部分对应圆的什么。 2. 应用几何画板进行直观感受 无限分割，体会极限思想。 （补充方法1，2） 小结：这些方法都采用了割补法，运用转化的思想将圆的面积问题解决。 形状改变，面积不变。 重点：知道转化后的图形对应圆的哪一部分。 学生活动2 预设： 1. 转化为平行四边形 2. 转化为长方形 无限分割，平行四边形逼近长方形。 3. 转化为三角形 （1） 圆均分成24份，一份近似三角形，则圆面积=24×三角形面积 =24×（×r×） =Πr 我们将圆16等分，拼成如图所示的近似三角形，三角形的底是整个周长的，三角形的高近似4个半径的长度 4. 转化为梯形 梯形的上底是圆周长的，下底是圆周长的，梯形的高相当于两个半径的长。 本节课推导圆的面积公式是重点，发现图形转化前后的对应关系是难点。通过小组合作，摆一摆、拼一拼、相互探讨等方式让学生充分感知图形转化前后的关系。对比汇报和PPT展示过程可以发现圆被平均分的份数越多，每一份的曲线化直线段，拼的图越接近长方形、三角形、梯形等，直观感受极限思想。 环节三：渗透数学文化，深化新知探究 巧用转化思想，未知变已知，与古人梦幻联动。 2.《九章算术》方田章 关于圆的面积有4种方法的求解。感兴趣的同学课下收集整理哦！ 3. 其他求圆的面积的方法。 （1）德国天文学家开普勒将圆分割成无数个“小三角形”求圆面积。 （2）拓展思维： 补充转化方法：你能看懂吗？ ①如图一个是由草绳围成的圆，沿着半径切开，把各圈线拉直后可以形成一个三角形（如图所示）。 ②如图是由一个草绳编织围成的圆，沿着直径切开可以形成一个平行四边形（如图所示）。 环节四：平面图形面积研究进行关联，结构梳理 平面图形面积研究有什么关联呢？ 几何画板演示“割圆术” 圆出于方 | 网络画板，开放共享的数学实验室 (netpad.net.cn) 学生记录，课下进行实践研究 同学们想到的转化三角形第一种和科学家的方法一致。 采用割补法，运用转化思想，将图形转化。 了解数学史，感受数学文化，在“转化”的过程中学生尝试用数学的思维思考问题，进一步发展推理意识。 通过总结，帮助学生知识结构化，感受研究方法和思想的一致性，感受关联性。尤其万能公式梯形的面积，培养学生的空间观念。再次感受极限思想。 练习： 一．解决问题： 1.圆形餐桌面积可以求了吗？ 2.圆形草坪的直径是20米，每平方米草皮8元，铺满草皮需要多少钱？ 分析：已知圆的直径，求面积的方法是先算出圆的( )，再算( )，最后算( )。 列式解答： 1. 填表，并观察圆的数据，你有什么发现？ 意图：考察学生是否能直接利用公式计算圆的半径、直接、周长和面积，巩固对公式的熟记与应用。表格从上向下的对公式转化要求从低到高，基于数据不同水平的学生会有差异性规律发现。 二．能力提升： 解决课时子问题 导学工具单完成 指定人汇报 投影展示 半径扩大2倍，直径扩大2倍，周长扩大2倍，面积扩大4倍。 学生自由选择 难度稍低为A 难度高些为B 学生经历圆割补转化为其他图形的过程，理解圆面积的推导过程。A类作业提供转化的对比观察支架，半开放式呈现图形转化推导过程。B类作业考验孩子圆转化为其他图形的推理过程，以论述题的形式完成呈现完整思路 通过习题处理，巩固所学。应用圆的面积公式解决实际问题。发现规律，培养思维。不同转化方法，培养推理意识和空间观念。 教师活动 一．解决问题： 1.圆形餐桌面积可以求了吗？ 2.圆形草坪的直径是20米，每平方米草皮8元，铺满草皮需要多少钱？ 分析：已知圆的直径，求面积的方法是先算出圆的( )，再算( )，最后算( )。 列式解答： 2. 填表，并观察圆的数据，你有什么发现？ 意图：考察学生是否能直接利用公式计算圆的半径、直接、周长和面积，巩固对公式的熟记与应用。表格从上向下的对公式转化要求从低到高，基于数据不同水平的学生会有差异性规律发现。 二．能力提升： 学生活动 解决课时子问题 导学工具单完成 指定人汇报 投影展示 半径扩大2倍，直径扩大2倍，周长扩大2倍，面积扩大4倍。 学生自由选择 难度稍低为A 难度高些为B 学生经历圆割补转化为其他图形的过程，理解圆面积的推导过程。A类作业提供转化的对比观察支架，半开放式呈现图形转化推导过程。B类作业考验孩子圆转化为其他图形的推理过程，以论述题的形式完成呈现完整思路 板书设 计 第4课时 解决问题 核心素 养 推理意识 模型思想 应用意识 课标描 述 内容要求：探索圆的面积计算公式，能解决简单的实际问题。在图形认识和测量的过程中，进一步形成量感、空间观念和几何直观。 学业要求：会计算圆的面积，能用相应公式解决简单的实际问题。 教学内容分 析 本课是学生已经学习了圆的认识、圆的周长、圆的面积、圆环等内容，积累了化曲为直、转化等思想方法，且在圆的面积计算方面并不存在困难。在研究圆的面积时，“外方内圆”和“外圆内方”组合图形中圆与方的面积关系问题是绕不开的话题。本课立足于在对话开放的趣动课堂中，着力寻找圆和方之间的关联，实现两者之间的转化，助力知识的整体建构。通过让学生解决圆的内接正方形、外切正方形与圆之间部分的面积这一实际问题，经历问题解决的全过程，并在解决具体问题的基础上发现更为一般的数学规律，提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。 教学重点：认识圆与外切正方形、内接正方形之间的联系及关系，感悟字母表达的优势，培养主动用字母表达的意识。 学情分 析 学生的知识基础有三角形、正方形的面积以及本单元已学圆的面积计算。本节课是在学生学习了圆及圆环的面积的基础上进行教学的，这是圆的面积的综合运用。主要教学圆的外切正方形和内切正方形与圆之间部分面积的计算方法，由于圆的半径与它的外切正方形及内接正方形的边长的特殊关系，所以教学中要注重画图解决问题中的作用，感知圆与正方形之间的关系。“算法多样化”是新课标的重要理念之一，提倡在本节课中学生的算法多样。 教学难点：会求圆与外切正方形、内接正方形之间的面积，体会字母列式的内在联系。 学习目标确 定 1.认识圆与外切正方形、内接正方形之间的特征。会求圆与外切正方形、内接正方形之间的面积。 2.感受可以直接用字母式子进行列式表达题意的内在联系，学会用字母进行表达和整理，感受用字母列式的优势。 3.通过学生亲身参与探究活动，体验数学学习的乐趣，激发他们积极的学习情感，养成合作探究问题的习惯，渗透传统文化思想。 教师活动 学生活动 活动意图 学习活动设计 环节一：以旧引新，导入激趣 生活中很多领域的设计中都有圆的身影，不仅是因为圆本身具有的独特的艺术美，还因为圆本身蕴含着中华文化思想，人们受到圆的形态的启发，悟出的做人的道理、智慧。 一 、发现问题 从生活实物中抽象出数学中的“外方内圆”和“外圆内方”组合图形，引导学生用数学的眼光观察现实世界。课中渗透传统文化，增加民族自豪感。 环节二：探究发现，内部关联 1.观察图片，找到圆与方的联系。 说说你的发现？ 左图：a=d=2r 右图：对角线=d=2r 圆与方是通过半径联系起来的。 2、确定探究目标和方法，进行探究。 围绕这两幅图，可以研究想到哪些问题？怎么计算？ 3.提出探究要求。 结合方与圆的联系，回顾自己的预习，组内组内进行讲解、倾听、质疑、纠正、改正预习单中错误。 任务要求： ①想一想，解决问题的整体思路是什么？②通过画一画、分一分、转一转等方法，重点思考正方形面积的计算方法；③列式解决问题，并在小组内交流。 4.回顾难点突破方法 内方的边长未知，怎样求面积。 方法多样： 1. 将正方形分割成两个三角形 2. 把正方形分割成了四个三角形 3. 把正方形沿着直径(正方形对角线)剪开，得到两个三角形，将其中一个三角形绕着直径的其中一端旋转，与另一个三角形拼成一个大三角形 即：正方形的面积还可以用 “对角线×对角线÷2”来计算 5、两种算法对比 可以用字母式表达的原因式是什么？ 两种算法你会选择哪种？ 字母因为具有抽象性，所以用字母表达更加简明，可以减少大量的计算，避免因计算出错。省时省力，提高正确率。 拓展思维：（动态圆与方的关系） 如果一个半径为3 cm的圆在一个边长为 12 cm 的正方形内任意移动，想象一下，圆与正方形能全部接触到吗?为什么? 师:那么，你能计算它的面积吗? 小结:在正方形内，圆拼摆与圆任意移动接触到的部分确实有所不同. 3、 介绍文化内涵 1. 《论语》“仁者可谓方也矣”。 古代把“内外相应，言行相称”的人称做“方者”。 1. 《淮南子·主术训》 ：“智欲圆而行欲方”，既要中庸、圆滑，同时又不能失正气、骨气和德，要在坚持原则情况下和保持独立的个性。释义：方为做人之本，圆为处世之道。 生活动2 联系旧知思考，动手尝试画一画。 联系旧知，提出可以研究的问题。 计算面积、面积差、面积比 设半径为1米进行计算 小组合作探究。 组内进行讲解、倾听、质疑、纠正。 小组板演展讲。 面积差 1、假设法 设r=1m 外方内圆 a=d=2r=2×1=2米 S外方-S圆 =a2-πr2 2×2-3.14×12=0.86（㎡） 外圆内方 正方形边长未知，分解为2个三角形 S圆-S内方 =S圆-S三×2 =πr2-2ah÷2 3.14×12-2×1÷2×2=1.14(㎡) 2、 字母表达式计算 S外方-S圆 S圆-S内方 =2r·2r- 3.14r2 =S圆-S三×2 =4r2-3.14r2 =3.14r2-2r2 =0.86r2 =1.14r2 把r=1代入字母式子计算 0.86r2 1.14r2 =0.86×1×1 =1.14×1×1 =0.86(㎡) =1.14(㎡) 得到的答案一致 面积比 通过刚才的计算得到 外方 圆 内方 4r2 ∶3.14r2 ∶2r2 = 4 ∶ 3.14 ∶ 2 分解在前期分析和设数计算时，发现圆和正方形的面积都是通过半径计算的。 生1:不能全部接触到。 生2，正方形的四条边都是直的，圆是弯曲的，正方形的四个角是接触不到的。 预设： 生1：先求出正方形面积，再求 4个圆的总面积，最后再求圆接触不到的面积(如图)，算式:12×12-3.14×32 ×4=30.96 (平方厘米) 生2：4个小圆面积就等于一个大圆面积，因此，可以使用外方内圆0.86×62=30.96 (平方厘米) 生3:以上错误。因为圆在正方形内可以随意移动刚才我们通过移动发现只有 4 个角落是接触不到的。 0.86×32 =7.74(平方厘米) 向学生展示图形面积的字母式表征，并在比较与分析中经历由特殊到一般的过程，进行合情推理。通过对“外方内圆”和“外圆内方”的联系对比，既让学生感受数学美，又将内容系统化、结构化，完善已构建的数学模型。“计算阴影部分的面积”都是以静态形式呈现，也就是说图形中的阴影部分是显的、固定的、一目了然的。“求圆接触不到的面积”其实就是计算影部分的面积，只不过此“阴影部分”是隐性的，需要学生通过动手操作空间想象才能发现。学生在之前从没有接触过类似的数学知识，因此，该题具有新颖性、趣味性与挑战性，能够激发学生的学习兴趣与欲望。 教师活动3 1. 1、右图是一面我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜的直径是24 cm。 1. 外面的圆与内部的正方形之间的面积是多少？ 2、求图中阴影面积(单位:分米) 3.乾坤大挪移 师：如果把正方形移到圆的右下角，并且它的面积是20平方分米，那么整个圆的面积是多少呢？ 学生活动3 1、 外圆内方,先求半径r=d÷2=24÷2=12(㎝) 1.14r2=1.14×12×12=164.16(㎝2) 3. 做辅助线 外圆内方的一半 1.14r2÷2=0.57r2 外方内圆 0.86r2 20r2 3.14×20=62.8（平方分米） 设计个性化练习，让不同水平的学生都能有所收获。对于无处下手的学生，可借助小贴士这一学习支架，并让它们在阅读材料的过程中让思维充分外显，逐步找到组合图形中圆与方之间的联系。从半径的转化到半径平方的转化，整体代入，进一步发展学生的代数思维。 板书设 计 外方 圆 内方 4r2 ∶3.14r2 ∶2r2 面积比 面积差 4 ∶ 3.14 ∶ 2 假设法 设r=1m 字母表达式计算（简明） 外方内圆 a=d=2r=2×1=2米 S外方-S圆 S外方-S圆 =a2-πr2 2×2-3.14×12=0.86（㎡） =2r·2r- 3.14r2 =4r2-3.14r2 外圆内方 =0.86r2 S圆-S内方 S圆-S内方 =S圆-S三×2 =S圆-S三×2 =πr2-2ah÷2 3.14×12-2×1÷2×2=1.14(㎡) =3.14r2-2r×r÷2×2 =1.14r2 把r=1代入字母式子计算 0.86r2 1.14r2 =0.86×1×1 =1.14×1×1 =0.86(㎡) =1.14(㎡) 学科网（北京）股份有限公司 合作要求： 1.每组学科长选定一人为记录员，做好数据的登记 一人为计算员，快速计算比值 2.其他组员，两两搭配，一人拿物品，一人操作 3.填表后小组共议实验的几组数据，试着总结小组的发现 物品名称 周长 直径 圆周长 与直径的比值 （保留两位小数） 小组合作探究：研究圆的周长和直径的关系（5—8分钟） 探究目的：研究圆的周长和直径的比值 探究器具：小组自备圆形物品、尺、绳子等 探究步骤： 操作员：1）先测量上述圆形物品的周长 2）在测量其直径 记录员：3）将所得结果填入记录单后 计算员：4）计算周长与直径的比值（快、准） $$