精品解析：2024——2025学年北师大版九年级上册 数学期中测试题

2024——2025学年北师大版九年级上册数学期中测试题 一、单选题 1. 对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是（　　） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 平行四边形 2. 如图，菱形对角线与交于点，点是边上中点，连接，，则菱形的周长为（ ），面积为（ ） A. 40、96 B. 20、48 C. 40、192 D. 20、24 3. 如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连结、、，添加一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 4. 陕西是中华文明和中华民族发源地之一，周秦汉唐故里，旅游资源非常丰富，在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中各选择一个景点旅游，他们通过抽签的方式确定景点，那么他们两家恰好能抽到同一景点的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ） A. AB=BE B. BE⊥DC C. ∠ADB=90° D. CE⊥DE 6. 如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，设，，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B、D在反比例函数y═（k＞0）的图象上，对角线AC与BD相交于坐标原点O，若点A（﹣1，2），菱形的边长为5，则k的值是（　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 9. 如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图．菱形的对角线相交于点O，P为边上一动点（不与点A，B重合）．于点于点F，若，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 如图，在边长为4的正方形中，E、F分别是上的动点，M、N分别是的中点，则长的最大值是________． 12. 在桌面上放有三张完全一样的卡片，正面分别标有数字，0，3．把三张卡片背面朝上，随机抽取一张，将数字记为a后，放回洗匀，再从中随机抽取一张，将数字记为b，则点刚好落在坐标轴上的概率为______． 13. 如图，矩形ABCD中，点 E、F 分别在AB、CD上，EF∥BC，EF交BD于点G.若EG＝5，DF＝2，则图中两块阴影部分的面积之和为______． 14. 如图，矩形中，两条对角线与相交于点．则这个矩形的面积为_______． 15. 如图，菱形对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为______． 16. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB于点E，连接OE，若DE＝，BE＝1，则∠ABD的度数是____________． 三、解答题 17. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，且，求菱形的高． 18. 如图，在一次数学活动中，老师准备了A、B两个可以自由转动的转盘，两个转盘均被分成三个相同的扇形，分别标有数字2，4，7和3，5，6，指针固定不动，分别转动两个转盘（指针指向两个扇形的交线时，则重新转动转盘），当转盘停止后，指针所指扇形区域的数字即为转出的数字． （1）“转盘A转出的数字是奇数”的概率为______； （2）用列表或画树状图的方法求两个转盘转出的两个数字之和为偶数的概率． 19. 如图，在正方形中，点在上，延长到，使，连接、、，若，求的长． 20. 如图，为一长方形纸片，E为上一点，将纸片沿折叠，B点落在形外F点． （1）如图1，当时，的度数为__________； （2）如图2，连，若，，求． 21. 如图，在一只不透明箱子中装有个大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字，，，，搅匀后，甲先从中随机摸出一个球（不放回），将小球上的数字记录下来，乙再从余下的个球中摸出一个球，同样将小球上的数字记录下来． （1）写出第一次摸出的小球上数字是正数的概率； （2）利用画树状图或列表的方法，求出第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为正数的概率． 22. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，直线y＝2x－6经过线段OA的中点D，与y轴交于点G，E是线段CG上一点，作点E关于直线DG的对称点F，连接BE，BF，FG．设点E的坐标为（0，m）． （1）写出点B的坐标是（　 　，　 　）； （2）当时，求点E的坐标； （3）在点E的整个运动过程中， ①当四边形BEGF为菱形时，求点E的坐标； ②若N为平面内一点，当以B，E，F，N为顶点的四边形为矩形时，m的值为　 　．（请直接写出答案） 23. 如图，在矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．将矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕所在直线与、轴分别交于点、． （1）求线段的长； （2）求点的坐标及折痕所在直线的解析式； （3）若点是平面内任意一点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点且以为边的四边形是菱形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说．明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024——2025学年北师大版九年级上册数学期中测试题 一、单选题 1. 对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是（　　） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定，掌握正方形判定定理是解题的关键． 【详解】对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是正方形， 故选A． 2. 如图，菱形对角线与交于点，点是边上的中点，连接，，则菱形的周长为（ ），面积为（ ） A. 40、96 B. 20、48 C. 40、192 D. 20、24 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD=6，然后直角三角形的性质可得CD=2OE=10，再由勾股定理可得OC=8，进而得到AC=16，即可求解。 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，， ∴AC⊥BD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD=6， ∵点是边上的中点，OE=5， ∴CD=2OE=10， ∴， ∴AC=16， ∴菱形的周长为4CD=4×10=40，面积为。 故选：A 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键。 3. 如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连结、、，添加一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．先证四边形为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， A、∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； B、∵时，又， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； C、∵， ∴平行四边形是矩形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴平行四边形是菱形，无法判定其为矩形，故选项D符合题意． 故选：D． 4. 陕西是中华文明和中华民族的发源地之一，周秦汉唐故里，旅游资源非常丰富，在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中各选择一个景点旅游，他们通过抽签的方式确定景点，那么他们两家恰好能抽到同一景点的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】采用列表法列举即可求解． 【详解】分别用A、B、C代表华山、华阳古镇、太白山三处景点，列表如下： 总的可能情况有9种，两家抽到相同景点的情况有3种， 则两家恰好能抽到同一景点的概率是3÷9=， 故选：D． 【点睛】本题考查了采用列表法或树状图法列举求概率的知识，正确作出列表是解答本题的关键． 5. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ） A. AB=BE B. BE⊥DC C. ∠ADB=90° D. CE⊥DE 【答案】B 【解析】 【分析】先证明四边形DBCE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答． 【详解】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， 又∵AD=DE， ∴DE∥BC，且DE=BC， ∴四边形BCED为平行四边形， A.∵AB=BE，DE=AD， ∴BD⊥AE， ∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意； B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意； C.∵∠ADB=90°， ∴∠EDB=90°， ∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意； D.∵CE⊥DE， ∴∠CED=90°， ∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键． 6. 如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，设，，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质和勾股定理求出，再证出平行四边形为矩形，得即可． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， 四边形是菱形，，， ，，， ，， 平行四边形为矩形， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 7. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质，识别出为斜边上的中线是解题关键． 根据菱形的面积和性质求出的长度，再结合和菱形的性质识别出为斜边上的中线，即可得出结果． 【详解】解：菱形的对角线，相交于点O，， ∴，，． ∵， ∴． ∵于点H， ∴为斜边上的中线． ∴． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B、D在反比例函数y═（k＞0）的图象上，对角线AC与BD相交于坐标原点O，若点A（﹣1，2），菱形的边长为5，则k的值是（　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据勾股定理得到OA＝ ，OD＝ ＝ ，求得直线AC的解析式为y＝﹣2x，求得BD的解析式为y＝2x，设D（a，2a），根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵点A（﹣1，2）， ∴OA＝， ∵菱形的边长为5， ∴AD＝5， ∴OD＝ ＝， ∵对角线AC与BD相交于坐标原点O， ∴直线AC的解析式为y＝﹣2x， ∴BD的解析式为y＝2x， 设D（a，2a）， ∴ ， ∴a＝2（负值舍去）， ∴D（2，4）， ∵D在反比例函数y=（k＞0）的图象上， ∴k＝2×4＝8， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 9. 如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，即可得点E在以为直径的半圆上移动，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，根据对称性有：，则有：，则线段的长即为的长度最小值，问题随之得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O， 作正方形关于直线对称的正方形， 则点D的对应点是F， 连接交于P，交半圆O于E， 根据对称性有：， 则有：， 则线段的长即为的长度最小值，E ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故的长度最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的运动路线是解题的关键． 10. 如图．菱形的对角线相交于点O，P为边上一动点（不与点A，B重合）．于点于点F，若，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，连接，证明四边形是矩形，得到：，当时，的值最小，利用，求出的最小值即可， 【详解】解：连接， 菱形， ，即， ，， 四边形是矩形， ， 当时，的值最小， ，则 ，， ， ，即的最小值为：， 故选：A． 二、填空题 11. 如图，在边长为4的正方形中，E、F分别是上的动点，M、N分别是的中点，则长的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理以及中位线定理，连接，根据题意可得，由即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵M、N分别是的中点 ∴ ∵E是上的动点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴长的最大值是：． 故答案为：． 12. 在桌面上放有三张完全一样的卡片，正面分别标有数字，0，3．把三张卡片背面朝上，随机抽取一张，将数字记为a后，放回洗匀，再从中随机抽取一张，将数字记为b，则点刚好落在坐标轴上的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先列表，再写出可能出现的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】根据题意列表如下： 0 3 0 3 共有9种等可能的结果数，点刚好落在坐标轴上共有5种， ∴点刚好落在坐标轴上的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 13. 如图，矩形ABCD中，点 E、F 分别在AB、CD上，EF∥BC，EF交BD于点G.若EG＝5，DF＝2，则图中两块阴影部分的面积之和为______． 【答案】10. 【解析】 【分析】由矩形的性质可得S△EBG=S△BGN，S△MDG=S△DFG，S△ABD=S△BDC，S△AEG=S四边形AEGM，S△FGC=S四边形GFCN，可得S四边形AEGM=S四边形GFCN，可得S△AEG=S△FGC=5，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作MN⊥AD于M，交BC于N， ∵EG=5，DF=2， ∴S△AEG=×5×2=5 ∵AD∥BC，MN⊥AD ∴MN⊥BC，且∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，EF∥BC， 易证：四边形AMGE是矩形，四边形MDFG是矩形，四边形GFCN是矩形，四边形EGNB是矩形 ∴S△EBG=S△BGN，S△MDG=S△DFG，S△ABD=S△BDC，S△AEG=S四边形AEGM，S△FGC=S四边形GFCN， ∴S四边形AEGM=S四边形GFCN， ∴S△AEG=S△FGC=5 ∴两块阴影部分的面积之和为10． 故答案为10． 【点睛】本题考查矩形的性质，证明S△AEG=S△FGC=5是解题的关键． 14. 如图，矩形中，两条对角线与相交于点．则这个矩形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，由矩形的性质可求，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 矩形的面积， 故答案为：． 15. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，菱形的面积公式，关键是掌握菱形的性质．由菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出的长，由菱形面积等于对角线乘积的一半求出菱形面积，最后再由菱形的面积求出． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，． ，， ，， ． 菱形的面积， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB于点E，连接OE，若DE＝，BE＝1，则∠ABD的度数是____________． 【答案】60°##60度 【解析】 【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，DO=BO，由勾股定理可得BD=2，由直角三角形的性质可得EO=DO=BO=1，可证△BEO是等边三角形，可得∠ABD=60°． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，DO=BO， ∵DE⊥AB，DE=，BE=1， ∴BD==2， ∴DO=BO=1， ∵DE⊥BA，DO=BO， ∴EO=DO=BO=1， ∴BE=BO=EO=1， ∴△BEO是等边三角形， ∴∠ABD=60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 三、解答题 17. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，且，求菱形的高． 【答案】9.6． 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．首先求出，再利用，即可解决问题． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， 在中，， ， ， ． 18. 如图，在一次数学活动中，老师准备了A、B两个可以自由转动的转盘，两个转盘均被分成三个相同的扇形，分别标有数字2，4，7和3，5，6，指针固定不动，分别转动两个转盘（指针指向两个扇形的交线时，则重新转动转盘），当转盘停止后，指针所指扇形区域的数字即为转出的数字． （1）“转盘A转出的数字是奇数”的概率为______； （2）用列表或画树状图的方法求两个转盘转出的两个数字之和为偶数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算、用列表法或树状图法求概率，得到所有的可能结果是解答的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）列表得到所有等可能的结果，找出两个数的和是偶数的结果数，然后利用概率公式求解即可． 小问1详解】 解：由题意，转盘A一共有3个数，转出的数字是奇数的有1种， ∴“转盘A转出的数字是奇数”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： ， 由表知，一共有9种等可能的结果，其中两个转盘转出的两个数字之和为偶数的有4种， ∴两个转盘转出的两个数字之和为偶数的概率为． 19. 如图，在正方形中，点在上，延长到，使，连接、、，若，求的长． 【答案】的长是． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质．根据正方形的性质和全等三角形的性质，可以得到和的长，的度数，然后根据勾股定理即可得到的长． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 即的长是． 20. 如图，为一长方形纸片，E为上一点，将纸片沿折叠，B点落在形外的F点． （1）如图1，当时，的度数为__________； （2）如图2，连，若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质即可得出结论； （2）先根据，得出，再由得出，由折叠知，即可求解． 【小问1详解】 解： ∵，由折叠知， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ， ， ， 由折叠知， ， ． 【点睛】本题考查的是平行线的性质与翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 21. 如图，在一只不透明的箱子中装有个大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字，，，，搅匀后，甲先从中随机摸出一个球（不放回），将小球上的数字记录下来，乙再从余下的个球中摸出一个球，同样将小球上的数字记录下来． （1）写出第一次摸出的小球上数字是正数的概率； （2）利用画树状图或列表的方法，求出第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为正数的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 分析】（）利用概率公式计算即可求解； （）根据题意，列出表格，根据表格计算即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 小问1详解】 解：第一次摸出的小球上数字是正数的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：两次随机摸球（不放回）列表如下： 第二次摸出的数字 第一次摸出的数字 差 × × × 4 × 由表可知，两次随机摸球（不放回）并将第一次记录下来的数减去第二次记录下来的数的差， 共有个等可能结果，其中结果为正数共有个等可能结果， ∴符合条件的概率． 22. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，直线y＝2x－6经过线段OA的中点D，与y轴交于点G，E是线段CG上一点，作点E关于直线DG的对称点F，连接BE，BF，FG．设点E的坐标为（0，m）． （1）写出点B的坐标是（　 　，　 　）； （2）当时，求点E的坐标； （3）在点E的整个运动过程中， ①当四边形BEGF为菱形时，求点E的坐标； ②若N为平面内一点，当以B，E，F，N为顶点的四边形为矩形时，m的值为　 　．（请直接写出答案） 【答案】（1）（6，6）；（2）E（0，2）； （3）① E（0，）； ② 4 【解析】 【分析】（1）对于y＝2x−6，令y＝0，即2x−6＝0，解得x＝3，故点D的坐标分别为（3，0）、则点A（6，0），即可求解； （2）对于y＝2x−6，令x＝0，求出G点的坐标，由对称性得出，所以，列出等式求解即可； （3）①根据菱形的性质得出EG//BF，BE＝GF＝BF＝EG，判断出BF在OA的延长线上，由BE2＝EG2列出等式，求解即可； ②当B，E，F，N四点构成的四边形为矩形时，BE＝BF，则该矩形为正方形，则∠EBF为直角，过点F作x轴的平行线交BA的延长线于点T，由三角形形全等判定推出△BCE≌△BTF（AAS），推出点A、T重合，则点F在x轴上，则AF＝CE，即可表示出点F的坐标，由GE＝GF，列出等量关系求解即可． 【详解】解：（1）对于y＝2x−6，令y＝0，即2x−6＝0，解得x＝3， ∴D的坐标分别为（3，0）， ∵线段OA的中点D，正方形OABC的边OA， ∴A（6，0）， B（6，6）， 故答案为：6；6； （2）对于y＝2x−6，令x＝0，即y＝−6， ∴ G（0，﹣6）， ∵点E关于直线DG的对称点F， ∴， ∴ 设点E的坐标为（0，m）． ∴EG＝m+6， ∵， B（6，6）， ∴， ∴， 解得m＝2， ∴E（0，2）； （3）①若四边形BEGF为菱形，则EG//BF， ∴ BF⊥x轴，即BF在BA的延长线上， 根据菱形的性质知：BE＝GF＝BF＝EG， ∵点E的坐标为（0，m）， ∴BE2＝EG2，BE2＝BC2 +CE2 ∴， 解得：， ∴E（0，）； ②如下图，当B，E，F，N四点构成的四边形为矩形时， ∵BE＝BF，则该矩形为正方形，则∠EBF为直角， 过点F作x轴的平行线交BA的延长线于点T， ∵∠CBE＋∠EBA＝90°，∠EBA＋∠FBA＝90°， ∴∠CBE＝∠FBA， ∵∠BCE＝∠BTF＝90°，BE＝BF， ∴△BCE≌△BTF（AAS）， ∴CE＝TF＝6−m，BT＝BC， 故点A、T重合，则点F在x轴上，则AF＝CE＝6−m， 故点F（12−m，0）， ∵GE＝GF， ∴GE2＝GF2，GE2＝（m＋6）2，GF2＝（12−m）2＋（−6）2 ∴（m＋6）2＝（12−m）2＋（−6）2， 解得：m＝4． 故答案为：4 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、三角形全等的性质和判定，勾股定理，熟练掌握所学性质定理是解题的关键． 23. 如图，在矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．将矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕所在直线与、轴分别交于点、． （1）求线段的长； （2）求点的坐标及折痕所在直线的解析式； （3）若点是平面内任意一点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点且以为边的四边形是菱形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说．明理由． 【答案】（1）10；（2）D（0，5），y=x+5；（3）存在，（4，0）或（-4，0）或（，0） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可求BO的长； （2）由矩形的性质可得AB=6，OA=8，设D（0，a），由勾股定理可求出a值，确定D点坐标，用待定系数法即可求出BF解析式； （3）分以OM为边和以OM为对角线两种情况，由菱形的性质求解即可． 【详解】解：（1）由题知，在矩形ABCO中，点B坐标是（6，8）， ∴BC=8，OC=6， ∴OB==10； （2）∵在矩形ABCO中，点B的坐标是（6，8）， ∴AB=6，OA=8， ∴BE=AB=6，OE=OB-BE=10-6=4， 设D（0，a），则OD=a，AD=ED=8-a， 在Rt△EOD中，DE2+OE2=OD2， 即（8-a）2+42=a2， 解得a=5， ∴D（0，5）， 设直线BF的解析式为y=kx+b， ∵点B、D在直线BF上， ∴， 解得， ∴直线BF的解析式为y=x+5； （3）存在，理由如下： ①当OM、OE都为菱形的边时，OM=OE=4， ∴M（4，0）或（-4，0）； ②当OE为菱形的边，OM为菱形对角线时，如图， 设直线OB的解析式为y=kx， 由点B在图象上知，8=6k， 解得k=， ∴直线OB的解析式为y=x， 设点E（x，x）， ，在Rt△EOG中， OG2+GE2=OE2， 即x2+（x）2=16， 解得x=，（负根舍去） ∴M（，0）， 综上，满足条件的点M的坐标为（4，0）或（-4，0）或（，0）． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合题，涉及矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，一次函数的性质等知识点，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$