第三章：圆锥曲线的方程（单元测试）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

第三章：圆锥曲线的方程 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．（河北省沧州市八县2024-2025学年高二上学期10月期中联考数学试题）已知椭圆的两个焦点分别为，，点是上一点，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏扬州·期中）抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（    ） A． B． C．12 D． 4．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（    ） A． B．且 C． D． 6．（24-25高二上·重庆·阶段练习）过定点的直线与抛物线交于两点，的值为（    ） A． B．5 C． D．4 7．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过且斜率为3直线交于，两点，则的内切圆半径为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二上·江西新余·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则椭圆的离心率可以是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（   ）. A． B． C． D． 11．（24-25高二上·全国·单元测试）加斯帕尔・蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．若为正方形，则的边长为 C．椭圆的蒙日圆方程为 D．长方形的面积的最大值为14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高二上·江西新余·阶段练习）椭圆的焦点为，点在该椭圆上，若，则的大小为 ． 13．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知为椭圆上的左右顶点，设点为椭圆上异于的任意一点，直线的斜率分别为，若椭圆离心率为，则为 ． 14．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知双曲线的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 16．（15分）（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知双曲线的顶点为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线的左顶点作直线与的一条渐近线垂直，垂足为为坐标原点，求的面积. 17．（15分）（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知动点在抛物线上，，点到的准线的距离为，且的最小值为5. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，求的斜率. 18．（17分）（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知双曲线，点，坐标原点. (1)直线经过点A，与的两条渐近线分别交于点.若面积为，求直线的方程； (2)如图，直线交双曲线的右支于不同两点.若，求实数的取值范围. 19．（17分）（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆：，，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的蒙日圆为圆. (1)求圆的方程； (2)已知点是椭圆上的任意一点，点为坐标原点，直线与圆相交于、两点，求证：； (3)过点作互相垂直的直线、，其中交圆于、两点，交椭圆于、两点，求四边形面积的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章：圆锥曲线的方程 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．（河北省沧州市八县2024-2025学年高二上学期10月期中联考数学试题）已知椭圆的两个焦点分别为，，点是上一点，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可求得，代入点的坐标，可求得，可求椭圆方程. 【详解】因为点是椭圆上一点，且， 所以，解得，所以椭圆方程为， 又点是椭圆上一点，所以，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：B. 2．（23-24高二上·江苏扬州·期中）抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，直接求出焦点坐标及准线方程，即可求解. 【详解】因为抛物线的焦点为，准线为， 所以抛物线的焦点到准线的距离是， 故选：D. 3．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（    ） A． B． C．12 D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 又，所以， 即实数的值为12. 故选：C 4．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的性质，即可解题. 【详解】由题意可知，所以，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D. 5．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（    ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点在x轴上的椭圆的标准方程列出不等式即可求解. 【详解】，即， 因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得. 故选：. 6．（24-25高二上·重庆·阶段练习）过定点的直线与抛物线交于两点，的值为（    ） A． B．5 C． D．4 【答案】B 【分析】设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数，从而求得的值. 【详解】依题意可知直线与轴不重合、与轴不平行， 设直线的方程为， 由，消去并化简得， ， 解得，设， 则， ， 所以. 故选：B 7．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，以及正三角形的性质求得也即椭圆的离心率. 【详解】如图所示不妨设椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的上顶点. 依题意可知，是正三角形. 因为在中，， 所以，即椭圆的离心率. 故选：A 8．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过且斜率为3直线交于，两点，则的内切圆半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点斜式求出直线的方程与椭圆联立可以两交点纵坐标，根据椭圆的性质以及三角形面积公式可求的半径. 【详解】依题意，直线的方程为即， 联立解得，所以，从而， 的周长为，面积为， 又，所以. 故选：A 二、多项选择题择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二上·江西新余·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则椭圆的离心率可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据已知条件列不等式，求得的取值范围，进而求得离心率的取值范围，从而确定正确答案. 【详解】依题意，则， 由于在椭圆内部，所以， 则， 即，令，则， 解得，即，所以， 所以，即， 所以AB选项正确，CD选项错误. 故选：AB 10．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（   ）. A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，按直角顶点为点和焦点分类求出点坐标. 【详解】椭圆的焦点，设， 由为直角三角形，则直角可能为 若为直角，则，由，得； 若为直角，则，由，得； 若为直角，则在圆上， 由，解得， 所以点坐标可能是AD. 故选：AD 11．（24-25高二上·全国·单元测试）加斯帕尔・蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．若为正方形，则的边长为 C．椭圆的蒙日圆方程为 D．长方形的面积的最大值为14 【答案】ACD 【分析】根据椭圆方程可求得离心率，知A正确；根据蒙日圆方程定义可知C正确；结合长方形的对角线长和基本不等式可求得B错误D正确. 【详解】对于A，由椭圆的方程知，则， 椭圆的离心率，A正确； 对于C，由A知，椭圆对应的蒙日圆方程为，C正确； 对于B，由C可知，正方形是圆的内接正方形，正方形对角线长为圆的直径， 正方形的边长为，B错误； 对于D，设长方形的长和宽分别为长方形的对角线长为椭圆对应蒙日圆的直径， 长方形的面积（当且仅当时取等号）， 即长方形的面积的最大值为14，D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高二上·江西新余·阶段练习）椭圆的焦点为，点在该椭圆上，若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】由椭圆方程，结合椭圆的定义求，在焦点三角形中应用余弦定理求的余弦值，进而确定其大小. 【详解】∵，， ∴， ∴，又，， ∴，由余弦定理，得， ∴. 故答案为： 13．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知为椭圆上的左右顶点，设点为椭圆上异于的任意一点，直线的斜率分别为，若椭圆离心率为，则为 ． 【答案】/-0.25 【分析】由题意可得，设，由题意可得的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得. 【详解】解：由题意可得，设，, 则由在椭圆上可得， 直线与的斜率之积为， 椭圆离心率为，可得，即， 故． 即． 故答案为：． 14．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为 . 【答案】/ 【分析】记线段的长度为，表达的函数，利用,；，结合二次函数的性质即可求的最小值． 【详解】设，记线段的长度为，是椭圆上任意一点， 设,,, 所以：． 由于，故时，有最小值，且的最小值， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知双曲线的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【答案】(1) (2)23 【分析】（1）利用点到直线的距离公式列和离心率列方程求，即可得到双曲线的方程； （2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可. 【详解】（1）由题意知，解得， 则， 所以双曲线的方程为. （2）记双曲线的左焦点为，则， 可得， 当三点共线时，最小， 且最小值为.故的最小值为. 16．（15分）（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知双曲线的顶点为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线的左顶点作直线与的一条渐近线垂直，垂足为为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意易求得的值，即得双曲线标准方程； （2）利用点到直线的距离公式求得，利用直角三角形求得，将其代入三角形面积公式计算即得. 【详解】（1）因为双曲线的顶点为，且过点， 所以，且，解得. 故双曲线的标准方程为. （2） 如图，由双曲线方程，可得其渐近线方程为， 任选一条渐近线，因可得， 又，所以， 故. 17．（15分）（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知动点在抛物线上，，点到的准线的距离为，且的最小值为5. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，求的斜率. 【答案】(1) (2)4或 【分析】（1）利用抛物线的定义转化一个距离，则可用两点间距离线段最短得解； （2）利用方程组思想结合韦达定理，转化到坐标法来研究，即可得解. 【详解】（1）设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得， 则， 当三点共线且点在线段上时，取得最小值， 则，整理得，解得或， 因为，所以，故的方程为. （2）设过点的直线. 联立，消元得，则， 由， 得 代入韦达定理得： 化简得， 得或. 故的斜率为4或. 18．（17分）（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知双曲线，点，坐标原点. (1)直线经过点A，与的两条渐近线分别交于点.若面积为，求直线的方程； (2)如图，直线交双曲线的右支于不同两点.若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求渐近线方程，进而求点的坐标，可得，结合面积公式运算求解； （2）分析可知线段的中垂线经过A点，设的中点为，利用点差法可得，结合点与双曲线的位置关系运算求解即可. 【详解】（1）对于双曲线，可知，且焦点在x轴上， 则双曲线的渐近线为，且直线的斜率为，倾斜角为， 设， 联立方程，解得，即， 可得， 同理可得， 则解得， 所以直线的方程为. （2）由（1）可知：或， 因为，则线段的中垂线经过A点， 设的中点为， 则，且，， 因为，两式作差得， 整理可得，即，可得， 又因为，则， 联立方程，解得，即， 因为点在双曲线右支上，且在右支的内部， 则，所以.且在上， 则，可得， 所以实数的取值范围为. 19．（17分）（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆：，，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的蒙日圆为圆. (1)求圆的方程； (2)已知点是椭圆上的任意一点，点为坐标原点，直线与圆相交于、两点，求证：； (3)过点作互相垂直的直线、，其中交圆于、两点，交椭圆于、两点，求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据蒙日圆定义及椭圆方程直接得解； （2）设，根据椭圆方程，焦点坐标直接计算，再由圆的几何性质计算即可得证； （3）分类讨论，当斜率存在且不为0时，根据可得，分别求出，利用换元法求出的取值范围即可. 【详解】（1）椭圆：中，， 所以所求圆的方程为； （2）如图， 设，则， 又、， ， 同理， ， . （3）①当斜率不存在，斜率为0时，方程为，原点到的距离为， 所以，， 所以四边形面积； ②当斜率存在，斜率不为0时，设的方程为， 则的方程为即， 则原点到的距离为， 所以， 设、，联立与的方程，即， 消去得， 由于在椭圆内部，所以直线与必相交且， 所以 ， 因为, 所以四边形面积 ， 令，则， 故 ， ，，    令，则， 则在单调递减， 当时；当时，，所以. 综上：. 【点睛】关键点点睛：表示出四边形的面积后，能够恰当经过两次换元，转化为二次函数求最值，是解题的关键，对运算能力要求较高. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$