第三章：圆锥曲线的方程章末重点题型复习（16大题型，培优版）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

第三章：圆锥曲线的方程章末重点题型复习 题型一 圆锥曲线的定义 1．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）“平面内一动点满足到两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义，结合必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】“点的轨迹是以，为焦点的椭圆” “为常数”； 反之不成立，若常数两个定点的距离，其轨迹不是椭圆． 因此“平面内一动点满足到两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件． 故选：D． 2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点，动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．线段 C．双曲线的一支 D．双曲线 【答案】C 【分析】根据题意，计算A，B之间的距离，比较可得，由双曲线的定义分析可得答案. 【详解】根据题意，点，则， 若动点P满足，且， 则P的轨迹是以A，B为焦点双曲线的右支， 故选：C. 3．（23-24高二下·青海·期末）已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义求解． 【详解】由题意及抛物线定义，点M到C的准线的距离为6， 所以点M到y轴的距离为. 故选：C． 4．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）椭圆的短轴长为 ，该椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 . 【答案】 【分析】现根据椭圆方程得到的值，再结合椭圆的几何性质及定义即可求解. 【详解】由椭圆， 则，即， 所以短轴长为，该椭圆上一点到两个焦点的距离之和为. 故答案为：2 ；. 5．（24-25高二·上海·随堂练习）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】结合双曲线的定义求得的轨迹方程. 【详解】设，，由题意知动点M满足， 故动点M的轨迹是射线． 故答案为： 题型二 椭圆、双曲线的定义的应用 1．（24-25高二上·全国·课后作业）对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上 【答案】B 【分析】对A，根据的取值，即可判断选项.；对B若为负角，即，双曲线标准方程的形式，即可判断；对C，当时，结合圆的标准方程的形式，即可判断；对D，变形后结合椭圆的标准方程的形式，即可判断选项. 【详解】对A，当，即时，曲线的方程为， 此时曲线为两条平行的直线，故A错误； 对B，若为负角，即，则， 此时曲线为双曲线，故B正确； 对C，若为正角，即，当时，， 则曲线的方程为1，是圆，故C错误； 对D，若为椭圆，则，又可变形为， 则为焦点在轴上的椭圆，故D错误． 故选：B． 2．（多选）（23-24高二上·山东青岛·期中）已知曲线．下列结论正确的有（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则是圆，其半径为 D．若，，则是两条直线 【答案】AD 【分析】将方程，转化为，判断选项ABC，再根据，判断选项D. 【详解】方程，化为，表示椭圆，且其焦点在轴上，则，即，故A正确； 若，表示椭圆，且其焦点在x轴上，则，即，故B错误； ，表示圆，即，其半径为故C错误； 当，时，，则是两条直线，故D正确， 故选：AD 3．（多选）（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知曲线，则（    ） A．当时，是圆 B．当时，是焦距为4的椭圆 C．当是焦点在轴上的椭圆时， D．当是焦点在轴上的椭圆时， 【答案】AB 【分析】根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，当时，曲线为，此时曲线表示圆，所以选项A正确； 对于选项B，当时，曲线为，此时曲线为椭圆且椭圆的焦距为，所以选项B正确； 对于选项C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项C错误； 对于选项D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项D错误， 故选：AB. 4．（多选）（23-24高二上·河北·阶段练习）已知曲线的方程为，则（    ） A．当时，曲线表示一个圆 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 【答案】ACD 【分析】根据双曲线、椭圆及圆的方程判断即可. 【详解】当时，曲线是，故A正确； 当时，曲线表示一个圆，故B错误； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故D正确. 故选：ACD. 5．（多选）（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知方程，则（    ） A．存在实数，使得该方程对应的图形是圆 B．存在实数，使得该方程对应的图形是平行于轴的两条直线 C．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线 D．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆 【答案】ACD 【分析】对ACD采用举例法即可判断其正确，对B分析出为定值，显然不可能. 【详解】对A，取，此时方程为，表示的图形为圆，故A正确； 对B，，若要该方程对应的图形是平行于轴的两条直线， 则必须满足为一个定值，显然不成立，故B错误； 对C，取，则方程为，其对应的图形是焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对D，取，此时方程为，其对应的图形是焦点在轴上的椭圆，故D正确. 故选：ACD. 题型三 圆锥曲线的标准方程 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是 . 【答案】 【分析】设椭圆方程为，得到方程组，求出，得到答案. 【详解】设椭圆方程为，则， 解得，故椭圆方程为. 故答案为： 2．（21-22高二下·上海杨浦·阶段练习）与椭圆有相等的焦距，且过圆的圆心的椭圆的标准方程为 ． 【答案】或 【分析】根据圆的一般方程得出其圆心坐标，再根据椭圆的定义计算即可. 【详解】由题意可知， 即其圆心为， 因为椭圆的焦距为， 所以与该椭圆等焦距的椭圆的焦点为或， 若焦点为，则圆心到两焦点的距离之和为， 所以相应椭圆方程为； 若焦点为，则圆心到两焦点的距离之和为， 所以相应椭圆方程为. 故答案为：或. 3．（23-24高二下·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合的值，设出双曲线方程，将点坐标代入，计算参数即可． （2）结合已知双曲线，设出所求双曲线方程，代入点的坐标，计算参数，即可求出答案． 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）设所求双曲线的方程为． 双曲线过点， ， 解得或（舍去）． 双曲线的标准方程为． 4．（23-24高二下·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为． (2)过点，且焦点在坐标轴上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求椭圆的焦点坐标，设双曲线方程，结合题意列式求解即可； （2）结合题意，利用待定系数法即可求取双曲线的标准方程． 【详解】（1）椭圆的两个焦点为、， 故该双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为， 令，即有，解得， 故有，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）设双曲线的方程为，． 因为点，在双曲线上， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为． 5．（23-24高二下·全国·课后作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点F关于准线的对称点为； (2)关于y轴对称，与直线相交所得线段的长为12． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可知抛物线焦点在y轴上，设其方程为，根据焦点和准线求得，即可得方程； （2）设抛物线方程为，根据弦长列式求解即可. 【详解】（1）显然抛物线焦点在y轴上， 设其方程为，焦点，准线， 依题意，，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）设抛物线方程为，由，得， 于是，解得，即， 所以所求抛物线的标准方程为. 题型四 椭圆、双曲线的离心率 1．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再求出切线与直线的斜率，列式求解即可. 【详解】依题意，，由代入椭圆方程得，不妨设， 则切线，即，切线的斜率， 直线的斜率，则，所以. 故选：C 2（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，与轴相交于，两点，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆M与x轴相切与焦点F，设，则，所以圆的半径为，利用是直角三角形，即可求出椭圆的离心率． 【详解】圆与轴相切于焦点，轴，可设， 在椭圆上，，解得：，圆的半径为； 作轴，垂足为， ，， 为直角三角形，，， ，即，又，所以， 故选：D. 3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题意利用点差法可得，设双曲线的方程为，结合渐近线可得，即可得离心率. 【详解】设，则，且， 因为，两式相减可得， 整理可得，即，可得， 即双曲线的渐近线方程为， 设双曲线的方程为，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：D. 4．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线C:（，）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若，则C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据题干条件先得到和的值，然后利用三角函数和双曲线渐近线方程分别表示，化简得到的值，最后利用可得双曲线的离心率. 【详解】如图所示， 由题意可知，，， ，， 设双曲线的一条渐近线的倾斜角为， 则，又， ，解得， . 故答案为：. 5．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）椭圆C的左、右焦点分别为，，上顶点为A，直线另交椭圆C与点B，若，则C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】作出辅助线，由三角形相似得到，，求出，代入椭圆方程，求出，求出答案. 【详解】如图，过B作轴于H，设椭圆方程为， ，，易知，所以， 又，，所以，，得到， 代入椭圆方程得，整理得到，所以. 故答案为： 题型五 椭圆、双曲线离心率的取值范围 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点在椭圆内部，整理不等式可得离心率. 【详解】将直线整理可得， 易知该直线恒过定点， 若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点在椭圆内部； 易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得， 整理可得，即， 解得. 故选：A 2．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是 ． 【答案】 【分析】探求动点的轨迹，找出满足的不等关系，再转化为离心率解之即可. 【详解】因为动点满足，所以在以为直径的圆上. 又因为在椭圆上运动时，至少有两个位置使得， 所以， 则，即， 同除得，解之得. 故答案为： 3．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于等于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的不等关系，即双曲线的离心率范围可求． 【详解】圆，双曲线的渐近线为， 圆与双曲线的渐近线有公共点， 圆心到渐近线的距离， ，，即， ． 故答案为：． 4．（23-24高二下·上海·期中）若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据椭圆和双曲线方程可得出的表达式，再结合并利用对勾函数性质可求得的最大值为. 【详解】由椭圆可得， 由双曲线可得， 所以， 又，由对勾函数性质可得，当且仅当时，等号成立； 所以， 即的最大值为，当且仅当时，等号成立； 故答案为： 5.（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是上的一点，直线的方程为，且于．若四边形为平行四边形，求的离心率的取值范围． 【答案】 【分析】利用条件设P表示Q，由平行四边形的性质及椭圆的性质得出不等关系计算即可. 【详解】注意到直线，设，则， 又四边形为平行四边形，所以， 即，所以，解得， 故的离心率的取值范围为． 题型六 双曲线的渐近线 1．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线的斜率，一个焦点为，则双曲线的顶点到渐近线的距离为 （   ） A．3 B． C． D．6 【答案】B 【分析】由渐近线的斜率和焦点坐标，解出，进而求出顶点坐标与渐近线方程，再根据距离公式求解即可. 【详解】依题意可知，，， 因为，所以，所以，， 所以双曲线的一个顶点为，一条渐近线方程为， 由双曲线的对称性可知，双曲线的顶点到渐近线的距离为. 故选：B 2．（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）已知双曲线与椭圆的焦距相等，且其中一个顶点坐标为，则的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】利用给定条件和椭圆中基本量的关系求出双曲线中基本量的关系，再得到渐近线方程即可. 【详解】在中，，所以， 因为双曲线与椭圆的焦距相等， 所以在双曲线中，， 因为其中一个顶点坐标为，所以， 故，所以的渐近线方程为. 故答案为： 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作的切线与的两支分别交于两点，若，则的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】设过的直线与相切于点，过点作于，由相似可得，再结合双曲线定义和余弦定理可得，运算得解. 【详解】设过的直线与相切于点，过点作于， 易知，由相似比得， 所以，又，所以， 又点在上，所以，则， 在中，由余弦定理得，， 结合，代入化简得， 所以，即， 故渐近线方程为． 故答案为：．    4.（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）设直线与双曲线（，）两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是 【答案】 【分析】直接利用直线和双曲线的位置关系，双曲线的渐近线方程，建立方程组，进一步求出，最后求出渐近线方程． 【详解】双曲线的两条渐近线方程为， 设,，,，的中点坐标为,； 所以，， 两式相减得：，化简得：， 由于点,在直线上，则①， 由于， 所以，②， 联立①②得：，，代入，得到， 所以渐近线的方程为． 故答案为：． 5．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，.过点的直线与轴交于点，与交于点，且，点在以为直径的圆上，则的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】设，则，利用勾股定理得到 ，则得到，最后再利用余弦定理得到齐次方程即可. 【详解】依题意，设，则， 因为点在以为直径的圆上，则， 在Rt中，，则， 故或(舍去)，所以， 则，故， 所以在中， ， 整理得，则，则，则， 故的渐近线方程为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用双曲线的定义和勾股定理得到，最后再利用余弦定理得到齐次方程， 题型七 和差最值问题 1．（22-23高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线右焦点为C，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差大于第三边的几何性质求解即可． 【详解】设C为双曲线右焦点，则，， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 故选：D． 2．（23-24高二上·全国·单元测试）已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义和三点共线取得最值的性质，可得最大值． 【详解】由题意可设双曲线的方程为， 则，即，得到，所以， 由双曲线的定义可得， 则， 当三点共线时，取得等号，则的最大值为， 故选：C． 3．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作垂直于准线且交准线于H，则的周长转化成即可求解. 【详解】由题意，抛物线的准线，过点作垂直于准线且交准线于H，则， 由题可知，的周长为，又， 如图，，当三点共线时， 的周长最小，且最小值为. 故选：C. 4．（2024高二上·全国·专题练习）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值与最小值的和为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合线段和差的三角不等式列式，即可求解. 【详解】设椭圆的左焦点为，可得， 由椭圆定义知， 又由点在椭圆内，，直线交椭圆于， 因为，即， 当且仅当点共线时取等号， 当点与重合时，，则， 当点与重合时，，则， 所以的最大值和最小值为，可得. 故答案为：. 5．（23-24高二下·广东湛江·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点P作垂直于准线，易知当三点共线时，的周长最小，即可求解． 【详解】抛物线的准线，，过点P作垂直于准线， 由题可知，的周长为， 又， 易知当三点共线时，的周长最小，且最小值为． 故答案为： 题型八 直线与圆锥曲线的位置关系 1．（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 2．（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由直线与圆相离得，则点在椭圆的内部，由此即可得解. 【详解】由题意直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，即， 而，即点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆的交点个数是2. 故选：D. 3．（2024高三·全国·专题练习）过点与抛物线只有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．0条 【答案】C 【分析】分直线斜率存在与斜率不存在，设出方程，结合题意计算即可得. 【详解】当直线斜率存在时， 设直线的斜率等于，则当 时，直线的方程为， 满足直线与抛物线仅有一个公共点， 当时，设直线的方程为， 代入抛物线的方程可得：， 有，解得，故切线方程为， 当斜率不存在时，直线方程为，该直线也与抛物线相切， 故满足条件的直线方程有三条. 故选：C． 4.（多选）（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）若直线与双曲线有且仅有一个公共点，则k的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】联立直线与双曲线的方程，即可根据方程根的情况求解. 【详解】把直线代入双曲线中，消，得 当，即时，直线与双曲线相交有一个交点 当，，即，时，直线与双曲线相切，有一个交点 的值为， 故选:AD 5.（2024高三·全国·专题练习）过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有 条，它们的方程分别是 ． 【答案】 和 【分析】若直线的斜率不存在，可得直线方程为满足条件；若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入到双曲线方程，分二次项系数为0和判别式等于0讨论，即可得到答案． 【详解】解：若直线的斜率不存在，则直线方程为，此时仅有一个交点，满足条件； 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组， 整理得到， 当时，方程无解，不满足条件； 当时，方程有一解，满足条件； 当时，令， 解得，此时恰好为渐近线的斜率，不满足条件， 所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为和． 故答案为：；和. 题型九 中点弦问题 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的斜率为，点两点的坐标，代入抛物线方程，作差，可得，又的中点为，即求出. 【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 2．（23-24高二上·江西·期末）已知点A，B，C是离心率为的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点D，E，F分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 【答案】3 【分析】由题意首先得，进一步由点差法得，由同理思想即可得解. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，不妨设， 因为点A，B在上，所以，两式相减，得， 因为点是的中点，所以，， 所以，即， 所以，同理，． 因为，所以．     故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：关键是得到，由此即可顺利得解. 3．（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据椭圆几何性质列方程组求解可得； （2）利用点差法即可得解. 【详解】（1）由题意可知，则. 因为， 所以椭圆的方程为. （2）设，则 两式相减得， 整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 直线和轴的交点为， 该点在椭圆内，故直线和椭圆相交，满足条件. 4．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）椭圆：的左、右焦点分别为、，为该椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)、为椭圆上的两点，且为的重心，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）根据重心坐标公式求得点的坐标，利用点差法求得直线的斜率. 【详解】（1）由题.：. （2）设，，线段中点，而， 则为的重心， ，从而， 所以，即， ，均在椭圆上， ，作差并化简得可得，即， 代入点坐标得， ， 在椭圆内部，所求直线存在， 故直线的斜率为. 【点睛】本题通过椭圆的标准方程确定和直线斜率的求解，考查了学生对椭圆的基本性质、重心的计算以及斜率公式的熟练掌握．解题过程中，椭圆的参数求解和直线的斜率计算环环相扣，体现了代数与几何的结合．通过两点间坐标的差值计算直线的斜率（点差法），体现了解析几何中的代数计算方法． 5．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上不同的两点，且直线的斜率为5，线段的中点为，证明：点在直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义可求的方程； （2）利用点差法可证点在直线. 【详解】（1）因为， 所以根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴长为4的双曲线的右支， 由，得， 所以的方程为． （2）证明：设两点的坐标分别为， 则 两式相减并整理得，， 设，依题意可得 所以， 即，所以， 即，所以点在直线上． 题型十 圆锥曲线弦长问题 1．（23-24高二下·北京·期末）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的周长为8． (1)求椭圆的方程； (2)设直线是圆的一条切线，且直线与椭圆交于，两点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由题意建立关于的方程组求出即可得解. （2）当直线l的斜率不存在时易得；当直线l的斜率存在时设其方程为，由直线l与圆相切得参数k与m的关系式，由直线与椭圆相交联立方程得韦达定理，再根据弦长公式结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，依题意，， 所求椭圆方程为. （2）①当直线l的斜率不存在时，，将其代入得， 故可得；    ②当直线l的斜率存在时，设，，， 由与圆相切，所以圆心到的距离， 所以， 由得， 所以 ， 设，则， ， 当时， 当时， ， 当且仅当即时等号成立，所以， 又因为，所以. 2．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，且，过点且与x轴不重合的直线与椭圆C交于P，Q两点，已知的周长为8． (1)求椭圆C的方程； (2)过点作直线与直线垂直，且与椭圆C交于A，B两点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义即可求的值，从而得解； （2）分的斜率不存在和存在两种情况讨论，利用弦长公式求出两个弦长，然后用二次函数知识求出范围即可得解. 【详解】（1）已知，故， 的周长为， 故，， 故椭圆C的方程为； （2）    ①当的斜率不存在时，则的斜率为0， 设P的坐标为，Q的坐标为，代入方程， 解得，同理可得，所以，AB为长轴， ∴； ②当的斜率存在时且不为0，则的斜率存在且不为0，设，， 设直线的方程为，则直线的方程为， 将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得： ，， ∴，， ∴， 同理，， ∴， 令，则， ∴， ∵，∴，∴， ∴， ∴，即. 综上①②可知，的取值范围为. 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆C：的一个焦点坐标为，离心率， (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，椭圆C与直线相交于两个不同的点A、B，线段AB的中点为M．若直线OM的斜率为，求线段AB的长． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率的值可求，进而可得，从而求得椭圆的方程. （2）将直线方程与椭圆方程联立，再由韦达定理可得的坐标，从而由直线OM斜率为解得，代入弦长公式计算可得线段的长. 【详解】（1）椭圆C的一个焦点坐标为，，又， 解得，则，所以椭圆C的方程是． （2）设， 由，消去y并整理得， 则，，， 则， 所以线段AB的中点， 直线OM斜率为，即，解得， ， 所以， 所以线段AB的长为． 4．（23-24高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线. (1)求的方程，并说明是什么曲线： (2)若直线和曲线相交于两点，求. 【答案】(1)，曲线是双曲线，除去左右顶点 (2) 【分析】（1）设，根据计算即可求出其轨迹方程，进而可得出其是何曲线； （2）利用圆锥曲线的弦长公式计算即可. 【详解】（1）设， 则， 化简得， 所以的方程为，曲线是双曲线，除去左右顶点； （2）设， 联立，消得， ， 则， 所以.    5．（21-22高二上·黑龙江佳木斯·期末）（1）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，求弦长 （2） 已知、分别是双曲线的左右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于M、N两点，求线段的长 【答案】（1）（2） 【分析】（1）直接由抛物线的定义求解即可. （2）根据弦长公式求解即可. 【详解】（1）    因为椭圆的右焦点坐标为， 抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合， 所以，即，所以抛物线方程为， 设抛物线的焦点为，准线为，则， 过作，垂足为，过作，垂足为， 由抛物线的定义知：. （2）    由双曲线的方程 得，，设 直线的方程为， 将其代入双曲线方程消去y得，， 得， . 题型十一 圆锥曲线面积问题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知为坐标原点，是圆上一点，且，线段的垂直平分线交线段于点，设动点的轨迹为曲线，且曲线与直线相切． (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线交于两点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定圆心A及半径，由垂直平分线的性质结合椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系计算即可； （2）设直线方程，联立椭圆方程，由韦达定理、弦长公式、点到直线的距离及基本不等式计算即可. 【详解】（1）由题意可知圆， 所以圆心，半径， 因为，线段的垂直平分线交线段于点，所以， 又，所以， 即点的轨迹是以点为左、右焦点的椭圆，所以曲线． 因为曲线与直线相切，故， 解得，所以的方程为． （2）由题意得直线，由，得， 令， 所以，即或． 设，则， 所以 ， 令，则， 则， 当且仅当即时，等号成立， 所以面积的最大值为． 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）设椭圆的左、右顶点分别为，右焦点，． (1)求椭圆方程及其离心率； (2)已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若的面积是面积的倍，求直线的方程． 【答案】(1)椭圆方程为，离心率为 (2) 【分析】（1）由题意可知解方程组即可求出椭圆方程与离心率. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，消元，可求出点的坐标.通过画图可得出，再代入相关点的坐标，分别求得和的面积，根据计算即可. 【详解】（1）由题意可知，解得 ， 则椭圆方程为，椭圆的离心率为. （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，，设直线方程为， 取，得， 联立得，， ，得，则． ， . 因为的面积是面积的倍， ，即，得， 直线的方程为． 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线左顶点的直线与圆相切. (1)求直线的方程； (2)若直线与双曲线交于另一点求的面积. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）已知过，讨论直线斜率是否存在，斜率不存在时不符合题意，斜率存在时设直线的点斜式方程，由直线和圆相切得到圆心到直线的距离为半径，解出的值即可得到直线方程； （2）若直线与双曲线有两个交点，则直线方程为，联立直线与双曲线方程得到点的纵坐标，由得到三角形的面积. 【详解】（1） 由知左顶点， 当直线斜率不存在时与圆不想切不符合题意； 当直线斜率存在时，设即， 由与圆相切得，解得或， 所以直线的方程为或. （2）由知，所以渐近线斜率为， 若直线的斜率为，则与双曲线只有点一个交点，不符合题意，舍去； 若直线的方程为，与双曲线有两个交点， 联立消去并整理得，解得或， 因为，所以， 又因为，所以. 4．（23-24高二下·广东梅州·期中）已知双曲线（，）的焦距为，且经过抛物线的焦点．记为坐标原点，过点的直线与相交于不同的两点，． (1)求的方程； (2)证明：“的面积为”是“轴”的必要不充分条件． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）首先求出，再求出抛物线的焦点坐标，即可求出，最后求出即可； （2）当轴时直接求出交点坐标，即可求出的面积，即可证明必要性，直线：，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由求出，即可证明. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，则，解得， 又抛物线的焦点为，所以，则， 所以的方程为. （2）当轴时，不妨设在第一象限， 由，解得或，则，， 所以，必要性得证； 依题意直线的斜率存在，设直线：，由， 消去整理得， 由且，可得且， 设，， 所以，， 所以， 则， 即，即， 整理得，解得或（满足且）， 所以当或均有的面积为，故充分性不成立， 所以“的面积为”是“轴”的必要不充分条件. 5.（23-24高二下·河北唐山·期末）已知椭圆经过点和点，椭圆的焦距为2. (1)求椭圆的方程； (2)和是椭圆上异于的两点，四边形是平行四边形，直线分别交轴于点和点是椭圆的右焦点，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）题目告诉了椭圆焦距和顶点，即知道了，再由，即可求解； （2）由对称性可设，则，通过表示直线的方程，求得的坐标，从而表示出面积，再根据点Ｐ在椭圆上，得到与的关系以及的范围，即可求解. 【详解】（1）由已知，所以，所以椭圆的方程为. （2）如图所示， 因为四边形是平行四边形， 所以线段与线段的中点重合，所以关于原点对称. 设，则且，， 所以直线的方程为， 令，得，即. 又，直线的方程为， 令，得，即. 四边形面积为， ①， 因为点在椭圆上， 所以且， 所以②， 将②代入①得， 所以当时，. 所以四边形面积的最小值为. 题型十二 圆锥曲线定点问题 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知椭圆，点为椭圆上顶点，直线与椭圆相交于两点， (1)若为的中点，为坐标原点，，求实数的值； (2)若直线的斜率为，且，证明：直线过定点，并求定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析；定点坐标 【分析】（1）直曲联立表示出韦达定理，再由中点坐标公式求出，最后结合两点间距离公式求出即可； （2）当直线的斜率不存在时，设直线方程为，则，由斜率关系求出；当直线的斜率存在时，直曲联立表示出韦达定理，再由斜率的定义结合化简得到和的关系，然后再求出直线所过定点即可； 【详解】（1） 当时，， 设， ，消去可得， ， ， 由中点坐标公式可得，， 又，解得，符合题意； （2）当直线的斜率不存在时，设直线方程为，则， 因为点为椭圆上顶点，所以， 所以，则， 所以， 当直线的斜率存在时，直线方程为， 联立椭圆方程，消去可得， ， ， 则， 将韦达定理代入上式并化简可得， 即，舍，所以， 所以直线，此时直线过定点， 综合以上可知直线过定点. 2．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作新直线， ①求直线和直线的斜率之积； ②证明：新直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析,定点的坐标为, 【分析】（1）判断点，点在椭圆上，点或在直线上，代入椭圆方程，即可求出椭圆的方程； （2）设,，当时，设,、 ,，利用点差法求出直线和直线的斜率之积；由此得直线的方程，结合方程确定直线恒过定点即可得结论． 【详解】（1）由题可知，一定在椭圆上，其中一个在椭圆上， 当椭圆过点可得， 则椭圆的方程为； 当椭圆过点可得，方程组无解， 综上，椭圆的方程为； （2）①由题可设,，当时，设,、 ,，显然， 联立，则，即， 因为为线段的中点，所以， 又， 所以，即直线和直线的斜率之积为； ②由①可得直线的斜率为， 又，所以直线的方程为， 即， 显然恒过定点,， 当时，直线即，此时为轴亦过点,； 综上所述，恒过定点,． 3．（23-24高二下·陕西延安·期末）已知双曲线经过点． (1)求的离心率； (2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由两点坐标代入待定系数求出双曲线方程，进而得离心率； （2）设点的坐标，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理表示出，，坐标表示直线的方程，由对称性知直线若过定点必在轴上，直线方程中令，代入韦达定理化简可得横坐标为定值即得证. 【详解】（1）由双曲线经过点， 则有，解得， 即双曲线的标准方程为，则， 所以离心率， 故的离心率为； （2）由（1）知的右焦点为，直线， 设，，由点N关于x轴的对称点为点P，则， 联立，得， 由题可知，即， 且， 则， 则直线的直线方程为， 由对称性可知，直线若过定点，则必在轴上， 令，得 当，且时， ， 所以直线过定点. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的一般解法 （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点，或以曲线上的点为参数，设点，利用点在曲线＝0上，即消参. （2）特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，再加以证明. 4．（23-24高二下·云南玉溪·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，双曲线与抛物线 交于点. (1)求的方程； (2)作直线与的两支分别交于点，使得，求证：直线过定点. 【答案】(1)的方程分别为，； (2)证明见解析 【分析】（1）由双曲线的右焦点坐标和点的坐标，联立方程组，求得的值，求得双曲线的标准方程；将点的坐标代入抛物线方程，求得的值，进而求得抛物线的标准方程； （2）先设定直线的方程，并与双曲线方程联立，由韦达定理形式表达，化简表达式，进而证明结论即可. 【详解】（1）双曲线的焦点为，过点， 则有，解得，则， 由抛物线也过，得，，则， 所以的方程分别为，. （2）由于点在双曲线左右两支上，则直线的斜率存在， 设的方程为：， 由，消去y得：， ，即， ，， 即 ， 又，故， 由，得， 即 ， 整理得：，即， 显然不在直线上，即， 于是，满足， 因此直线的方程为，即， 恒过定点，所以直线过定点. 【点睛】思路点睛：直线过定点问题的一般解法有以下几种：（1）特殊值法：对题中所给的直线方程里的未知量设特殊值，可得到特定的直线，求出交点后再将交点代入原方程验证，如果满足则证明该点是直线恒过的定点；（2）构造法：通过构造一个过定点的直线方程，与原方程联立求解，得出定点的坐标；（3）换元法：将直线方程通过换元转化为点斜式，从而证明直线恒过某定点，并求出定点坐标；（4）参数分离法：将直线方程中的参数分离，通过解方程组得出定点坐标. 5．（24-25高二上·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形. (1)求拋物线的方程； (2)如图， 抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）记准线与轴交于点，在中，求出焦准距，即可求解抛物线方程. （2）设，联立抛物线方程，韦达定理，根据倾斜角互补即斜率之和为0，化简求得，即可得解. 【详解】（1）如图，记准线与轴交于点，在中，， 所以. 故抛物线. （2）因为垂直于轴的直线与抛物线仅有一个公共点，所以必有斜率， 设， 由且， 因为位于轴同侧，所以，则， 由得，所以， 又点，直线和的倾斜角互补，所以， 所以，所以， 即，解得， 所以直线恒过定点. 题型十三 圆锥曲线定值问题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，若为上一点，当最大时，． (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，点关于轴的对称点为（与不重合），直线与轴交于点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据焦点三角形，结合余弦定理以及基本不等式即可求解的最小值为，即可求解， （2）联立直线与椭圆方程可得韦达定理，根据点斜式求解直线方程，令，代入化简即可求解的值. 【详解】（1）设，则， 又，当且仅当时取等号， 所以，即的最小值为， 所以，又，解得， 所以的方程为． （2）设，，易知， 联立得， 则， 因为，则直线的方程为， 令，得， 故 ，所以为定值． 2．（22-23高二上·四川成都·阶段练习）已知定圆，动圆N过点且与圆M相切，记动圆的圆心N的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程； (2)已知两定点和，过B的动直线交轨迹E于P，Q两点.若直线AP的斜率为，直线AQ的斜率为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合椭圆定义，用定义法求轨迹E的方程即可； （2）易判断直线PQ斜率非零，令直线方程，利用斜率公式将与韦达定理关联，代入化简求值即可得解. 【详解】（1）由点在定圆M：内， 知圆N与圆M内切，于是有， 由椭圆的定义可知， 动圆的圆心N的轨迹为一个以，为焦点，以4为长轴长的椭圆， 即，所以， 故点N的轨迹P的方程为. （2）当直线PQ斜率为零时，或两点重合，不满足题意， 设直线PQ方程为， 由，得，易知， 设点，所以， 于是 . 故为定值（与直线的斜率无关）. 3．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上． (1)求的方程； (2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，为定值． 【分析】（1）根据已知列方程组求解求出双曲线方程； （2）先联立方程组求出两根和两根积，再应用弦长公式，最后计算得出定值. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为， 由题意可得，解得，所以的方程为． （2） 假设存在常数满足条件，由（1）知， 设直线， 联立方程得，消去，整理可得， 所以，， ． 因为直线过点且与的左、右两支分别交于，两点，所以两点在轴同侧，所以． 此时，即，所以． 设，将代入抛物线方程，得， 则， 所以 ． 所以． 故当时，为定值，所以，当时，为定值． 4．（23-24高二下·甘肃·期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合双曲线渐近线求出即可得双曲线的方程. （2）按直线的斜率是否存在进行分类讨论，与双曲线渐近线方程联立求出，并求出原点O到直线l的距离，再计算推理即得. 【详解】（1）设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为， 焦点F到渐近线的距离为， 由实轴长是虚轴长的倍，得， 所以双曲线的标准方程为. （2）由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 当直线的斜率不存在时，的方程为，，， 当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且， 由消去y得， 由，得， 由，得，不妨设与的交点为，则点的横坐标， 同理得点的横坐标，则， 而原点到直线的距离，因此， 所以的面积为定值，且定值为. 【点睛】易错点点睛：第二问中注意讨论直线l的斜率存在与不存在两种情况，以及由动直线l与双曲线C恰有1个公共点，直曲联立后由得到参数的关系. 5．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）已知抛物线的准线与轴的交点为 . (1)求的方程，若经点的直线与有且只有一个公共点时，求直线的方程. (2)若过点的直线与抛物线交于，两点.求证： 为定值. 【答案】(1)，直线的方程为或或 (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的准线求参数，即可写出抛物线方程，再分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立、消元，根据求出，即可得到直线方程； （2）设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，表示出，，再代入韦达定理计算可得. 【详解】（1）抛物线的准线方程为，依题意，解得， 所以抛物线， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由， 消去整理得，则，解得或， 所以直线的方程为或， 综上可得直线的方程为或或. （2）依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，. ∴ . ∴为定值. 题型十四 圆锥曲线定直线问题 1．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证：点M在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出，即可得出椭圆的方程； （2）设，，直线的方程为，与椭圆方程联立得到，代入的表达式，即可得出为定值；设，则，求出直线AP、BQ的方程，联立即可求出点M的坐标，从而可知其在定直线上． 【详解】（1）依题可得，解得：，所以， 即椭圆的方程为． （2）设，，因为直线过点且斜率不为0， 所以可设的方程为，代入椭圆方程得，， 其判别式，所以，. 两式相除得，即． 因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为， 点的坐标为，所以，． 从而． 设，则，所以直线的方程为：， 直线的方程为，联立可得， 所以直线与直线的交点的坐标为，所以点在定直线上. 2．（22-23高二上·贵州铜仁·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知的周长是18，，是轴上关于原点对称的两点，若，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动直线过定点与曲线交于不同两点，（点在轴上方），在直线上取点，使得，，.（，且）证明：当直线运动过程中，点在某定直线上，并求出该定直线方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据可得是的重心，取点，并设，，由几何关系得，满足椭圆定义，按椭圆定义求方程即可. （2）设出的坐标，根据题意，，（，且），代入坐标并整理可得，，再由点，在椭圆上，得到，，由并结合③④可得定直线方程为 。 【详解】（1），是的重心， 取点，， 不妨设，，则，，且 ， 所以点是以，为焦点的椭圆（除去长轴端点）， 设椭圆的方程是，则，， 于是，即，从而， 点的轨迹方程为. （2）设，，，，（，且）， 于是，， ，， 从而，， 又点，在椭圆上，即， ， 由并结合③④可得 ， 即点总在定直线上. 3．（23-24高二下·山西运城·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程; (2)已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由可求，利用两点斜率公式表示，由条件列方程求，由此可得双曲线方程； （2）设的方程为， ，利用设而不求法可得， 求直线直线与直线的交点坐标，由此证明结论. 【详解】（1）由题意可知， 因为，所以. 设，则，所以， 又， 所以. 所以双曲线的方程为. （2）若直线的斜率为，则直线与双曲线交于点，与条件矛盾， 所以直线的斜率不能为0， 设的方程为. 联立，化简得 所以，所以， ， 直线AD的方程为， 直线BE的方程为. 联立直线AD与BE的方程，得， 所以， 所以， 所以 . 所以点的横坐标始终为1，故点在定直线上. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 4．（23-24高二上·云南·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在，且定直线方程为 【分析】（1）分析可知，可得出，利用三角形的面积公式可求出的值，进而可得出、的值，由此可得出双曲线的方程； （2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，将直线、的方程联立，求出这两条直线交点的横坐标，即可得出结论. 【详解】（1）解：因为双曲线的离心率为，可得，则， 则，可得，则，， 因此，双曲线的方程为. （2）证明：若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得 ，解得. 因此，点在定直线上. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 5．（23-24高二下·甘肃·期末）已知拋物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求拋物线的标准方程； (2)已知过点的直线与分别交于点与点，延长交于点，线段与的中点分别为． ①证明：点在定直线上； ②若直线，直线的斜率分别为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）根据抛物线的定义，把到的距离与到点的距离之和的最小值转化为到准线的距离为和到点的距离之和的最小值，在根据平面几何即可得出答案； （2）①设，计算出直线的方程和直线的方程，然后联立并根据韦达定理即可证明；②计算出，再根据基本不等式求解. 【详解】（1）抛物线的准线方程为，设点到准线的距离为． 由抛物线的定义，得，解得， 当且仅当三点共线时，等号成立，所以抛物线的标准方程为． （2）①设， 直线的方程为，直线的方程为， 联立消去整理得， 所以，同理可得， 所以直线的方程为， 即，同理直线的方程为． 联立，得，即， 即，即， 所以，即点在直线上． ②由题意可知，的斜率存在且均不为0， 因为，所以设直线的方程为，则直线的方程为， 由①知，．所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，又易知， 所以的取值范围为 题型十五 圆锥曲线角度问题 1．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆C：，若椭圆的焦距为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点． (1)求椭圆方程； (2)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由焦距是4求出，将代入椭圆方程求出，得到答案； （2）根据题意有，转化为，由韦达定理代入运算得解. 【详解】（1）由题意，，将点代入椭圆方程得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）在轴上存在点使得，理由如下： 设,直线， 联立与椭圆可得， 则， 因为，所以，即， 整理得，即， 即， 则，又，解得， 所以在轴上存在点使得. 2．（24-25高二上·河南新乡·阶段练习）已知圆O的方程为，与x轴的正半轴交于点N，过点作直线与圆O交于两点．    (1)若坐标原点O到直线的距离为1，求直线的方程； (2)如图所示，已知点， 一条斜率为的直线交圆于两点，连接试问是否存在锐角，，使得为定值?若存在，求出该定值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在， 【分析】（1）利用设直线方程，求点到直线的距离即可得解； （2）利用方程组思想，研来交点与定点的斜率，再利用正切的和角公式来计算，即可得出定值. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，原点O到直线的距离为3，不符合题意； 当直线的斜率存在时，可设直线：， 由原点O到直线的距离为1可得：，解得， ∴直线的方程为或. （2）设直线：，，    如图可记，， 联立方程，得   ∴，， ∴，， ∴ ∵，都是锐角   ∴的定值． 即存在锐角，满足，． 3．（23-24高二下·海南海口·期末）已知双曲线的离心率为，且的右焦点到渐近线的距离为. (1)求的标准方程； (2)过点作直线与的右支相交于两点，为原点，证明：为锐角. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的性质及点到直线的距离计算即可； （2）设直线的方程及坐标，利用韦达定理及向量的数量积公式证明的余弦值为正即可. 【详解】（1）设，则， 易知的渐近线方程为， 由对称性知焦点到两条渐近线的距离相同，即， 又， 则双曲线方程为：； （2）由上知，不妨设的方程为及， 显然，异号， 则，， 联立，整理得， 则， 易知， 而异号，则， 所以，即， 即为锐角，得证. 4．（24-25高二下·上海·单元测试）设椭圆的右焦点为F，过F的直线l与C交于A、B两点，点M的坐标为． (1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； (2)设O为坐标原点，证明：． 【答案】(1)或． (2)证明见解析 【分析】（1）求出点A的坐标，代入直线的点斜式方程可得答案； （2）分直线与x轴重合、与x轴垂直、与x轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来表示，从而证得结果. 【详解】（1）由已知得，l的方程为， 则点A的坐标为或， 所以，或， 所以AM的方程为或； （2）当l与x轴重合时，， 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以． 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为， 、，则，， 直线MA、MB的斜率之和为． 由，得． 将代入得． 所以，，． 则． 从而，故MA、MB的倾斜角互补，所以． 综上，．    5．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆. (1)若椭圆的左右焦点分别为为的上顶点，求的周长； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据椭圆方程求出，然后根据椭圆的定义可求得结果； （2）设直线的方程为，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，再由题意可得可求得直线的斜率的取值范围. 【详解】（1）由题意得， 所以， 所以的周长为； （2）显然不满足题意，设直线的方程为， 由，得， 由，得， 则， ， 因为为锐角，不共线，所以， 所以，所以， 所以 ， 解得， 因为 所以解得或， 所以实数的取值范围为 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将为锐角转化为，则，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题. 题型十六 圆锥曲线向量问题 1.（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆O：交x轴于M，N两点，过以为长轴，离心率为的椭圆C的左焦点F的直线l交椭圆C于A，B，分别交y轴和圆O于P，    (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，，求证：为定值； (3)过原点O作直线l的垂线交直线于点试探究：当点H在圆O上运动时不与M，N重合，直线与圆O是否保持相切？若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)直线HK与圆O相切；证明见解析 【分析】（1）由离心率和间关系可直接得到椭圆方程； （2）设出直线方程，直曲联立表示出韦达定理，再结合题意，用坐标表示出向量关系，结合韦达定理化简即可； （3）设出点坐标，表示出直线的方程，得到点坐标，再由化简即可； 【详解】（1）由，解得，又因为，所以， 所以， 所以椭圆C的标准方程为 （2）证明，如图，由题设知直线l的斜率存在，    设直线l的方程为：，则点， 将直线l代入椭圆方程可得， 设，， ，， 由，可得， 由，可得 知， 故 （3）点H在圆O上运动时，直线与圆O相切， 证明：设，则， ，， 直线的方程为， 即点， ，， ，即，故直线与圆O相切． 2．（2024高二上·全国·专题练习）已知椭圆的上、下顶点分别为，，其右焦点为F，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若点，在直线BP上存在两个不同的点，满足．若直线与直线分别交C于点M，N（异于点A），证明：P，M，N三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意知，，由条件化简得，所以，进而可求椭圆方程； （2）假设，，由条件化简得；假设直线MN的方程为，，，联立直线MN及椭圆方程，由韦达定理得到；由，得，同理可得，代入并化简可得，因此直线MN的方程为，进而可知MN经过定点，进而得证. 【详解】（1）由题意知，，． 由，得， 即， 所以． 又，所以， 故椭圆C的方程为． （2）    因为点，， 所以． 根据题意设，， 则，， 所以，即． 根据题意可知：直线MN的斜率一定存在． 设直线MN的方程为，，． 联立得． 则． 因为直线AM过点， 所以，即，解得， 同理可得． 代入（*）式，得， 所以． 因为M，N异于点A，直线MN的方程为， 所以， 则，即， 所以， 则直线MN的方程为，恒过点， 因此P，M，N三点共线． 【点睛】关键点点睛：本题的关键有两点：一是由条件化简得；二是由斜率相等，得到，，然后整体代入，用韦达定理即可化简. 3．（24-25高三上·四川绵阳·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为的一条渐近线方程为，过且与轴垂直的直线与交于两点，且的周长为16. (1)求的方程； (2)过作直线与交于两点，若，求直线的斜率． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将代入曲线E得，故得，从而结合双曲线定义以及题意得，解出即可得解. （2）由题意得直线的斜率存在且不为0，设，接着与曲线E联立方程结合韦达定理求得和，由得，与韦达定理结合即可求出，进而即可得直线的斜率. 【详解】（1）将代入，得， 所以，所以， 所以由题得，， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，显然当直线的斜率不存在或的斜率为0时，不成立，    故直线的斜率存在，且不为0，设，，， 联立， 则，且即， ， 又，所以，所以， 所以由得，解得，故， 故直线的斜率为或. 4．（23-24高二下·四川德阳·期末）已知抛物线C：的焦点F到顶点的距离为1. (1)求抛物线C的方程； (2)过焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，，求直线l在x轴上的截距的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知的焦准距得出即可写出抛物线方程； （2）先设直线方程，再联立方程，结合向量的线性关系，得出，最后应用导函数正负结合单调性得出参数范围. 【详解】（1）由题意得：，所以，从而抛物线C的方程为：. （2） 由（1）知，且必然存在斜率，故可设：，，. 由得：，， 则，由得：， 从而， 令，由于， 则， 所以在上单调递增，从而， 即， 所以直线在轴上的截距的取值范围为. 5．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，过点作的准线的垂线，垂足为为坐标原点. (1)证明：三点共线； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据抛物线求焦点坐标，设直线方程为，与抛物线联立方程组，利用韦达定理计算的斜率判断三点共线； （2）根据（1）结合，得，，代入计算得，即得直线的方程. 【详解】（1） 证明：拋物线的焦点坐标为， 设直线的方程为，点， 联立，消去得，则， 所以，因为，所以， 又，所以， 即，所以三点共线. （2）因为，所以，于是，即， 由（1）知， 所以直线的方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！81 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章：圆锥曲线的方程章末重点题型复习 题型一 圆锥曲线的定义 1．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）“平面内一动点满足到两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点，动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．线段 C．双曲线的一支 D．双曲线 3．（23-24高二下·青海·期末）已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 4．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）椭圆的短轴长为 ，该椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 . 5．（24-25高二·上海·随堂练习）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 题型二 椭圆、双曲线的定义的应用 1．（24-25高二上·全国·课后作业）对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上 2．（多选）（23-24高二上·山东青岛·期中）已知曲线．下列结论正确的有（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则是圆，其半径为 D．若，，则是两条直线 3．（多选）（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知曲线，则（    ） A．当时，是圆 B．当时，是焦距为4的椭圆 C．当是焦点在轴上的椭圆时， D．当是焦点在轴上的椭圆时， 4．（多选）（23-24高二上·河北·阶段练习）已知曲线的方程为，则（    ） A．当时，曲线表示一个圆 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 5．（多选）（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知方程，则（    ） A．存在实数，使得该方程对应的图形是圆 B．存在实数，使得该方程对应的图形是平行于轴的两条直线 C．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线 D．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆 题型三 圆锥曲线的标准方程 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是 . 2．（21-22高二下·上海杨浦·阶段练习）与椭圆有相等的焦距，且过圆的圆心的椭圆的标准方程为 ． 3．（23-24高二下·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 4．（23-24高二下·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为． (2)过点，且焦点在坐标轴上． 5．（23-24高二下·全国·课后作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点F关于准线的对称点为； (2)关于y轴对称，与直线相交所得线段的长为12． 题型四 椭圆、双曲线的离心率 1．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，与轴相交于，两点，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线C:（，）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若，则C的离心率为 . 5．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）椭圆C的左、右焦点分别为，，上顶点为A，直线另交椭圆C与点B，若，则C的离心率为 . 题型五 椭圆、双曲线离心率的取值范围 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是 ． 3．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ． 4．（23-24高二下·上海·期中）若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最大值为 ． 5.（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是上的一点，直线的方程为，且于．若四边形为平行四边形，求的离心率的取值范围． 题型六 双曲线的渐近线 1．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线的斜率，一个焦点为，则双曲线的顶点到渐近线的距离为 （   ） A．3 B． C． D．6 2．（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）已知双曲线与椭圆的焦距相等，且其中一个顶点坐标为，则的渐近线方程为 . 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作的切线与的两支分别交于两点，若，则的渐近线方程为 ． 4.（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）设直线与双曲线（，）两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是 5．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，.过点的直线与轴交于点，与交于点，且，点在以为直径的圆上，则的渐近线方程为 . 题型七 和差最值问题 1．（22-23高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·单元测试）已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二上·全国·专题练习）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值与最小值的和为 . 5．（23-24高二下·广东湛江·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为 ． 题型八 直线与圆锥曲线的位置关系 1．（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 3．（2024高三·全国·专题练习）过点与抛物线只有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．0条 4.（多选）（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）若直线与双曲线有且仅有一个公共点，则k的取值可能为（    ） A． B． C． D． 5.（2024高三·全国·专题练习）过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有 条，它们的方程分别是 ． 题型九 中点弦问题 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江西·期末）已知点A，B，C是离心率为的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点D，E，F分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 3．（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 4．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）椭圆：的左、右焦点分别为、，为该椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)、为椭圆上的两点，且为的重心，求直线的斜率. 5．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上不同的两点，且直线的斜率为5，线段的中点为，证明：点在直线上． 题型十 圆锥曲线弦长问题 1．（23-24高二下·北京·期末）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的周长为8． (1)求椭圆的方程； (2)设直线是圆的一条切线，且直线与椭圆交于，两点，求的最大值． 2．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，且，过点且与x轴不重合的直线与椭圆C交于P，Q两点，已知的周长为8． (1)求椭圆C的方程； (2)过点作直线与直线垂直，且与椭圆C交于A，B两点，求的取值范围. 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆C：的一个焦点坐标为，离心率， (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，椭圆C与直线相交于两个不同的点A、B，线段AB的中点为M．若直线OM的斜率为，求线段AB的长． 4．（23-24高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线. (1)求的方程，并说明是什么曲线： (2)若直线和曲线相交于两点，求. 5．（21-22高二上·黑龙江佳木斯·期末）（1）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，求弦长 （2） 已知、分别是双曲线的左右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于M、N两点，求线段的长 题型十一 圆锥曲线面积问题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知为坐标原点，是圆上一点，且，线段的垂直平分线交线段于点，设动点的轨迹为曲线，且曲线与直线相切． (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线交于两点，求面积的最大值． 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）设椭圆的左、右顶点分别为，右焦点，． (1)求椭圆方程及其离心率； (2)已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若的面积是面积的倍，求直线的方程． 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线左顶点的直线与圆相切. (1)求直线的方程； (2)若直线与双曲线交于另一点求的面积. 4．（23-24高二下·广东梅州·期中）已知双曲线（，）的焦距为，且经过抛物线的焦点．记为坐标原点，过点的直线与相交于不同的两点，． (1)求的方程； (2)证明：“的面积为”是“轴”的必要不充分条件． 5.（23-24高二下·河北唐山·期末）已知椭圆经过点和点，椭圆的焦距为2. (1)求椭圆的方程； (2)和是椭圆上异于的两点，四边形是平行四边形，直线分别交轴于点和点是椭圆的右焦点，求四边形面积的最小值. 题型十二 圆锥曲线定点问题 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知椭圆，点为椭圆上顶点，直线与椭圆相交于两点， (1)若为的中点，为坐标原点，，求实数的值； (2)若直线的斜率为，且，证明：直线过定点，并求定点坐标． 2．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作新直线， ①求直线和直线的斜率之积； ②证明：新直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 3．（23-24高二下·陕西延安·期末）已知双曲线经过点． (1)求的离心率； (2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 4．（23-24高二下·云南玉溪·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，双曲线与抛物线 交于点. (1)求的方程； (2)作直线与的两支分别交于点，使得，求证：直线过定点. 5．（24-25高二上·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形. (1)求拋物线的方程； (2)如图， 抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标. 题型十三 圆锥曲线定值问题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，若为上一点，当最大时，． (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，点关于轴的对称点为（与不重合），直线与轴交于点，证明：为定值． 2．（22-23高二上·四川成都·阶段练习）已知定圆，动圆N过点且与圆M相切，记动圆的圆心N的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程； (2)已知两定点和，过B的动直线交轨迹E于P，Q两点.若直线AP的斜率为，直线AQ的斜率为，求证：为定值. 3．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上． (1)求的方程； (2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由． 4．（23-24高二下·甘肃·期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值． 5．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）已知抛物线的准线与轴的交点为 . (1)求的方程，若经点的直线与有且只有一个公共点时，求直线的方程. (2)若过点的直线与抛物线交于，两点.求证： 为定值. 题型十四 圆锥曲线定直线问题 1．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证：点M在定直线上. 2．（22-23高二上·贵州铜仁·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知的周长是18，，是轴上关于原点对称的两点，若，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动直线过定点与曲线交于不同两点，（点在轴上方），在直线上取点，使得，，.（，且）证明：当直线运动过程中，点在某定直线上，并求出该定直线方程. 3．（23-24高二下·山西运城·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程; (2)已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上. 4．（23-24高二上·云南·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 5．（23-24高二下·甘肃·期末）已知拋物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求拋物线的标准方程； (2)已知过点的直线与分别交于点与点，延长交于点，线段与的中点分别为． ①证明：点在定直线上； ②若直线，直线的斜率分别为，求的取值范围． 题型十五 圆锥曲线角度问题 1．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆C：，若椭圆的焦距为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点． (1)求椭圆方程； (2)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由． 2．（24-25高二上·河南新乡·阶段练习）已知圆O的方程为，与x轴的正半轴交于点N，过点作直线与圆O交于两点．    (1)若坐标原点O到直线的距离为1，求直线的方程； (2)如图所示，已知点， 一条斜率为的直线交圆于两点，连接试问是否存在锐角，，使得为定值?若存在，求出该定值，若不存在，说明理由． 3．（23-24高二下·海南海口·期末）已知双曲线的离心率为，且的右焦点到渐近线的距离为. (1)求的标准方程； (2)过点作直线与的右支相交于两点，为原点，证明：为锐角. 4．（24-25高二下·上海·单元测试）设椭圆的右焦点为F，过F的直线l与C交于A、B两点，点M的坐标为． (1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； (2)设O为坐标原点，证明：． 5．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆. (1)若椭圆的左右焦点分别为为的上顶点，求的周长； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围. 题型十六 圆锥曲线向量问题 1.（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆O：交x轴于M，N两点，过以为长轴，离心率为的椭圆C的左焦点F的直线l交椭圆C于A，B，分别交y轴和圆O于P，    (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，，求证：为定值； (3)过原点O作直线l的垂线交直线于点试探究：当点H在圆O上运动时不与M，N重合，直线与圆O是否保持相切？若是，请证明；若不是，请说明理由． 2．（2024高二上·全国·专题练习）已知椭圆的上、下顶点分别为，，其右焦点为F，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若点，在直线BP上存在两个不同的点，满足．若直线与直线分别交C于点M，N（异于点A），证明：P，M，N三点共线． 3．（24-25高三上·四川绵阳·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为的一条渐近线方程为，过且与轴垂直的直线与交于两点，且的周长为16. (1)求的方程； (2)过作直线与交于两点，若，求直线的斜率． 4．（23-24高二下·四川德阳·期末）已知抛物线C：的焦点F到顶点的距离为1. (1)求抛物线C的方程； (2)过焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，，求直线l在x轴上的截距的取值范围. 5．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，过点作的准线的垂线，垂足为为坐标原点. (1)证明：三点共线； (2)若，求直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$