第5章 一元一次方程知识归纳与题型训练（4类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（浙教版2024）

第5章 《一元一次方程》知识归纳与题型训练（4题型清单） 一、认识方程 方程：含有未知数的等式叫作方程． 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 二、等式的基本性质 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 要点诠释： 等式的传递性 三、一元一次方程 一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 四、一元一次方程的解法 步骤 名 称 方 法 注 意 事 项 1 去分母 在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数） ①不含分母的项也要乘以最小公倍数；②分子是多项式的一定要先用括号括起来 2 去括号 去括号法则（可先分配再去括号） 注意正确的去掉括号前带负数的括号 3 移项 把未知项移到议程的一边（左边），常数项移到另一边（右边） 移项一定要改变符号 4 合并同类项 分别将未知项的系数相加、常数项相加 单独的一个未知数的系数为“±1” 5 系数化为“1” 在方程两边同时除以未知数的系数（即方程两边同时乘以未知数系数的倒数） 不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母） 要点诠释： 上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤；解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再根据对应步骤和方法解方程； 五、一元一次方程的应用 一元一次方程应用题解题一般步骤： 步骤 具体内容 “审”（审题） “审”题目中的已知量、未知量、基本关系； “设”（设未知数） 一般原则是：问什么就设什么；或未知量较多时，设较小的量，表示较大的量 “列”【列方程】 找准题目中的等量关系，根据等量关系列出方程 “解”【解方程】 根据一元一次方程的解法解出方程，注意解方程的过程不需要在解答中体现 “验”（检验） （非必须） 检验分两步，一是检验方程是否解正确；二是检验方程的解是否符合题意 “答”（写出答案） 最后的综上所述 要点诠释： （1）利润型应用题常用等量关系： 利润=售价-进价；售价=标价×折扣；总利润=单件利润×数量； （2）行程类应用题常用等量关系： 速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （3）工程类应用题常用等量关系： 工作量=工作效率×工作时间；完成某项工作的各工作量的和=总工作量=1； 题型一　等式的基本性质 例题： 1．（2023秋•镇海区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．如果ac＝bc，那么a＝b B．如果a＝b，那么a+2＝b﹣2 C．如果a＝b，那么ac＝bc D．如果a2＝b2，那么a＝b 2．（2023秋•恩施市期末）根据等式的性质，下列变形不成立的是（　　） A．若a＝b，则2a＝2b B．若a＝b，则 C．若a＝b，则 D．若a＝b，则a+1＝b﹣1 3．（2023秋•郧阳区期末）如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（　　） A．350克 B．300克 C．250克 D．200克 巩固训练 4．（2023秋•台州期中）下列等式变形中，正确的是（　　） A．若3x﹣2＝5，则3x＝﹣7 B．若﹣8x＝4，则x＝﹣2 C．若，则2x＝6 D．若5x+2＝﹣6，则5x＝﹣8 5．（2023秋•仙居县校级期中）已知ax＝ay，下列等式变形不一定成立的是（　　） A．b+ax＝b+ay B．x＝y C．x﹣ax＝x﹣ay D．＝ 题型二　一元一次方程与方程的解 例题： 1．（2023秋•镇海区期末）下列四个方程中，属于一元一次方程的是（　　） A．2x2﹣1＝0 B．x﹣y＝12 C． D．6x＝0 2．（2023秋•玉环市期末）当关于x的方程2x﹣1＝ax+3的解为x＝1时，a的值是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．4 3．（2023秋•苍南县校级月考）整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程mx﹣n＝8的解为（　　） x ﹣1 0 1 2 mx+n ﹣8 ﹣4 0 4 A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2 4．（2023秋•椒江区校级期末）关于x的方程2a（x+5）＝3x+1无解，则a＝（　　） A．﹣5 B．0 C． D． 巩固训练 5．（2024•东阳市开学）方程（a﹣3）x|a|﹣2+2＝a+3是关于x的一元一次方程，则a＝　 　． 6．（2022秋•温州月考）已知关于x的一元一次方程2022x﹣5＝3x﹣a的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程2022（y+1）﹣3（y+1）＝5﹣a的解为（　　） A．y＝﹣1 B．y＝﹣3 C．y＝1 D．y＝3 7．（2022秋•拱墅区校级期末）已知关于x的一元一次方程的解是x＝2022，关于y的一元一次方程的解是y＝﹣2021（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（　　） A．b＝﹣y﹣1，c＝y+1 B．b＝1﹣y，c＝y﹣1 C．b＝y+1，c＝﹣y﹣1 D．b＝y﹣1，c＝1﹣y 8．（2023秋•婺城区期末）已知a，b为实数，且关于x的方程x﹣ax＝b的解为x＝6，则关于y的方程（y﹣1）﹣a（y﹣1）＝b的解为y＝　 　． 题型三　解一元一次方程 例题： 1．（2023秋•余姚市校级月考）已知方程，去分母后正确的结果是（　　） A．3（3x﹣1）﹣1＝﹣x+2 B．3（3x﹣1）﹣1＝﹣（x+2） C．3（3x﹣1）﹣6＝﹣x+2 D．3（3x﹣1）﹣6＝﹣（x+2） 2．（2023秋•诸暨市期末）把方程的分母化成整数，结果应为（　　） A． B． C． D． 3．（2024•江北区校级开学）解方程：，则x＝　 　． 4．（2024•西湖区校级模拟）某同学解方程．的过程如下框： 解：． 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得x＝60……③ 请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程． 5．（2023秋•鄞州区期末）解方程： （1）4x﹣3＝2（x﹣1）； （2）解方程：． 6．（2024•东阳市开学）解下列方程： （1）5x﹣2＝7x+8； （2）． 巩固训练 7．（2023秋•金东区期末）解方程2﹣3（2﹣3x）＝2，去括号正确的是（　　） A．2﹣6﹣9x＝2 B．2﹣6﹣3x＝2 C．2﹣6+9x＝2 D．2﹣6+3x＝2 8．（2008秋•台州期末）下面解方程变形正确的是（　　） A．方程4x+1＝2x+1，移项，得4x+2x＝0 B．方程，去分母得x+1＝3x﹣1﹣1 C．方程﹣，系数化为1得x＝﹣6 D．方程，合并，得 9．（2023秋•杭州月考）定义符号“*”表示的运算法则为a*b＝ab+3a，若（3*x）+（x*3）＝﹣27，则x＝　 　． 10．（2023秋•东阳市期末）解方程： （1）6+2（x﹣4）＝x； （2）． 11．（2023秋•宁波期末）解方程： （1）3﹣（4x﹣3）＝7； （2）． 题型四　一元一次方程的应用 例题： 1．（2023秋•荆门期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，则可列方程为（　　） A．8x+3＝7x﹣4 B．8x﹣3＝7x+4 C．＝ D． 2．（2024•嘉善县一模）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（　　） A． B． C． D． 3．（2022秋•临海市期末）如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到图（1）与图（2）．若AB＝m，则图（1）与图（2）阴影部分周长的差是（　　） A．m B． C． D． 4．（2023秋•舟山期末）根据如表素材，探索未完成任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2023年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量≤14吨）：水费为4.3元/吨，其中自来水为3.35元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 第二阶梯（14吨＜用水量≤21吨）：水费为5.97元/吨，其中自来水为5.02元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 第三阶梯（用水量＞21吨）：水费为11元/吨，其中自来水为10.05元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 素材3 如某用户2023年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 14×3.35+（15﹣14）×5.02＝51.92（元） 污水处理费 15×0.95＝14.25（元） 水费 14×4.3+（15﹣14）×5.97＝66.17（元） 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知某用户2023年12月份所缴水费中，自来水费为66.98元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2023年11月用水a吨，则应缴水费多少元？ 任务3 确定用水量 如果该用户2023年5、6月份共用水42吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费209.01元，则该用户5、6月份各用水多少吨？ 5．（2023秋•东阳市期末）列方程解应用题． 欧尚超市恰好用3200元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的与少10件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：每件商品获利＝售价﹣进价）． 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 25 40 （1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市将购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ 巩固训练 6．（2024•拱墅区校级模拟）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．其中记载了“百羊问题”：甲赶羊群逐草茂，乙拽一羊随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，所得这般一群凑（再多这样一群羊），再添半群小半（四分之一）群，得你一只来方凑（正好一百），玄机奥妙谁猜透？设这群羊共有x只，则（　　） A． B． C． D． 7．（2023秋•沭阳县月考）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（　　） A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2x+9 C． D．3（x﹣2）＝2（x+9） 8．（2023秋•路桥区期末）某种商品的进价为80元，出售时的标价为110元．为了尽快减少库存，商店准备打折出售，但要使利润率为10%，则该商品应打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 9．（2024•台州一模）某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（　　） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 10．（2024秋•浙江校级月考）上午八时，张、王两同学分别从 A、B两地同时骑摩托车出发，相向而行．已知张同学每小时比王多行2千米，到上午十时，两人仍相距36千米的路程．相遇后，两人停车闲谈了15分钟，再同时按各自的方向和原来的速度继续前进，到中午十二时十五分，两人又相距36千米的路程．A、B两地间的路程有多少千米？ 11．（2023秋•温州期末）综合与实践：设计完成工程的最短工期方案（最短工期是指完成某项工程所需的最短时间）． 【背景素材】某公司要生产某大型产品60件，已知甲，乙，丙三家子工厂完成一件产品的时间分别为4天，6天，5天．现计划：①三家子工厂同时开始生产；②分配给甲工厂的数量是丙的2倍． 【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究． 思考1（特值分析）：若该公司将20件产品分配给甲工厂，则最短工期为多少天？ 思考2（减少要素）：若不考虑素材②，仅由甲、乙两工厂完成，则当两家工厂同时完成生产时工期最短，求如何分配产品件数与最短工期． 思考3（方案探究）：如何分配三家工厂的生产任务使得工期最短，并求出最短工期．（注：如你直接挑战思考3并正确解答也给满分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 《一元一次方程》知识归纳与题型训练（4题型清单） 一、认识方程 方程：含有未知数的等式叫作方程． 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 二、等式的基本性质 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 要点诠释： 等式的传递性 三、一元一次方程 一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 四、一元一次方程的解法 步骤 名 称 方 法 注 意 事 项 1 去分母 在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数） ①不含分母的项也要乘以最小公倍数；②分子是多项式的一定要先用括号括起来 2 去括号 去括号法则（可先分配再去括号） 注意正确的去掉括号前带负数的括号 3 移项 把未知项移到议程的一边（左边），常数项移到另一边（右边） 移项一定要改变符号 4 合并同类项 分别将未知项的系数相加、常数项相加 单独的一个未知数的系数为“±1” 5 系数化为“1” 在方程两边同时除以未知数的系数（即方程两边同时乘以未知数系数的倒数） 不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母） 要点诠释： 上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤；解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再根据对应步骤和方法解方程； 五、一元一次方程的应用 一元一次方程应用题解题一般步骤： 步骤 具体内容 “审”（审题） “审”题目中的已知量、未知量、基本关系； “设”（设未知数） 一般原则是：问什么就设什么；或未知量较多时，设较小的量，表示较大的量 “列”【列方程】 找准题目中的等量关系，根据等量关系列出方程 “解”【解方程】 根据一元一次方程的解法解出方程，注意解方程的过程不需要在解答中体现 “验”（检验） （非必须） 检验分两步，一是检验方程是否解正确；二是检验方程的解是否符合题意 “答”（写出答案） 最后的综上所述 要点诠释： （1）利润型应用题常用等量关系： 利润=售价-进价；售价=标价×折扣；总利润=单件利润×数量； （2）行程类应用题常用等量关系： 速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （3）工程类应用题常用等量关系： 工作量=工作效率×工作时间；完成某项工作的各工作量的和=总工作量=1； 题型一　等式的基本性质 例题： 1．（2023秋•镇海区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．如果ac＝bc，那么a＝b B．如果a＝b，那么a+2＝b﹣2 C．如果a＝b，那么ac＝bc D．如果a2＝b2，那么a＝b 【分析】根据等式的基本性质判断即可． 【解答】解：A．当c＝0时，a不一定等于b，故该选项错误，不符合题意； B．如果a＝b，那么a+2＝b+2，故该选项错误，不符合题意； C．如果a＝b，那么ac＝bc，故该选项正确，符合题意； D．如果a2＝b2，那么a＝±b，故该选项错误，不符合题意． 故选：C． 2．（2023秋•恩施市期末）根据等式的性质，下列变形不成立的是（　　） A．若a＝b，则2a＝2b B．若a＝b，则 C．若a＝b，则 D．若a＝b，则a+1＝b﹣1 【分析】利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案． 【解答】解：A、若a＝b，则2a＝2b，正确，故此选项不符合题意； B、若a＝b，则，正确，故此选项不符合题意； C、若a＝b，则，正确，故此选项不符合题意； D、若a＝b，则a+1≠b﹣1，原变形错误，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（2023秋•郧阳区期末）如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（　　） A．350克 B．300克 C．250克 D．200克 【分析】根据等式的性质即可求出答案． 【解答】解：设苹果重为x克，香蕉重为y克， ∴2x+y＝350，x+2y＝400， 相加得：3x+3y＝750， ∴x+y＝250． ∴需要在天平右盘中放入砝码250克， 故选：C． 巩固训练 4．（2023秋•台州期中）下列等式变形中，正确的是（　　） A．若3x﹣2＝5，则3x＝﹣7 B．若﹣8x＝4，则x＝﹣2 C．若，则2x＝6 D．若5x+2＝﹣6，则5x＝﹣8 【分析】根据等式的性质逐一判断即可． 【解答】解：A选项错误，移项，得3x＝7，故错误，不符合题意； B选项错误，两边同时除以﹣8得，x＝﹣，故错误，不符合题意； C选项错误，两边同时除以﹣，得x＝﹣3，故错误，不符合题意； D选项正确，符合题意． 故选：D． 5．（2023秋•仙居县校级期中）已知ax＝ay，下列等式变形不一定成立的是（　　） A．b+ax＝b+ay B．x＝y C．x﹣ax＝x﹣ay D．＝ 【分析】根据等式的性质，可得答案． 【解答】解：A、两边都加b，结果不变，故A不符合题意； B、a＝0时两边都除以a，无意义，故B符合题意； C、两边都乘以﹣1，都加x，结果不变，故C不符合题意； D、两边都除以同一个不为零的整式结果不变，故D不符合题意； 故选：B． 题型二　一元一次方程与方程的解 例题： 1．（2023秋•镇海区期末）下列四个方程中，属于一元一次方程的是（　　） A．2x2﹣1＝0 B．x﹣y＝12 C． D．6x＝0 【分析】根据一元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、2x2﹣1＝0中，未知数的次数是2，不是一元一次方程，不符合题意； B、x﹣y＝12中，含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C、x+4＝中，含有分式，不是一元一次方程，不符合题意； D、6x＝0是一元一次方程，符合题意． 故选：D． 2．（2023秋•玉环市期末）当关于x的方程2x﹣1＝ax+3的解为x＝1时，a的值是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．4 【分析】虽然是关于x的方程，但是含有两个未知数，其实质是知道一个未知数的值求另一个未知数的值． 【解答】解：把x＝1代入2x﹣1＝ax+3，得 2﹣1＝a+3 解得：a＝﹣2， 故选：B． 3．（2023秋•苍南县校级月考）整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程mx﹣n＝8的解为（　　） x ﹣1 0 1 2 mx+n ﹣8 ﹣4 0 4 A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2 【分析】由表格可知，当x＝﹣1时，mx+n＝﹣m+n＝﹣8，进而得到m﹣n＝8，即可得出结果． 【解答】解：由表格可知，当x＝﹣1时，mx+n＝﹣m+n＝﹣8， ∴m﹣n＝8， ∴当x＝1时，mx﹣n＝m﹣n＝8； ∴mx﹣n＝8的解为x＝1； 故选：C． 4．（2023秋•椒江区校级期末）关于x的方程2a（x+5）＝3x+1无解，则a＝（　　） A．﹣5 B．0 C． D． 【分析】要使一元一次方程无解，则需要一次项系数为0，常数项不等于0，根据这个知识点可以得到关于a的方程，从而求解即可． 【解答】解：由原方程得：2ax+10a﹣3x﹣1＝0， 即（2a﹣3）x＝1﹣10a， 要使方程无解，则2a﹣3＝0， 解得：a＝， 故选：C． 巩固训练 5．（2024•东阳市开学）方程（a﹣3）x|a|﹣2+2＝a+3是关于x的一元一次方程，则a＝　﹣3　． 【分析】一元一次方程是指只含有一个未知数、未知数的系数不为0，次数为1且两边都为整式的方程；根据上述一元一次方程的定义，可列出关于a的方程和不等式，求解即可得到答案． 【解答】解：由题意得：|a|﹣2＝1，且a﹣3≠0． ∵|a|﹣2＝1，解得a＝±3；a﹣3≠0，解得a≠3， ∴a＝﹣3． 故答案为：﹣3． 6．（2022秋•温州月考）已知关于x的一元一次方程2022x﹣5＝3x﹣a的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程2022（y+1）﹣3（y+1）＝5﹣a的解为（　　） A．y＝﹣1 B．y＝﹣3 C．y＝1 D．y＝3 【分析】将关于y的一元一次方程2022（y+1）﹣3（y+1）＝5﹣a变形为2022（y+1）﹣5＝3（y+1）﹣a，由关于x的一元一次方程2022x﹣5＝3x﹣a的解为x＝2，可得出关于（y+1）的一元一次方程2022（y+1）﹣5＝3（y+1）﹣a的解为y+1＝2，解之即可得出结论． 【解答】解：关于y的一元一次方程2022（y+1）﹣3（y+1）＝5﹣a可变形为2022（y+1）﹣5＝3（y+1）﹣a， ∵关于x的一元一次方程2022x﹣5＝3x﹣a的解为x＝2， ∴关于（y+1）的一元一次方程2022（y+1）﹣5＝3（y+1）﹣a的解为y+1＝2， 解得：y＝1， ∴关于y的一元一次方程2022（y+1）﹣3（y+1）＝5﹣a的解为y＝1． 故选：C． 7．（2022秋•拱墅区校级期末）已知关于x的一元一次方程的解是x＝2022，关于y的一元一次方程的解是y＝﹣2021（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（　　） A．b＝﹣y﹣1，c＝y+1 B．b＝1﹣y，c＝y﹣1 C．b＝y+1，c＝﹣y﹣1 D．b＝y﹣1，c＝1﹣y 【分析】根据x＝2022，y＝﹣2021得到x＝1﹣y，得到的解为y＝﹣2021，类比得到答案． 【解答】解：∵x＝2022，y＝﹣2021得到x＝1﹣y， ∴的解为y＝﹣2021， ∵方程的解是y＝﹣2021， ∴b＝1﹣y，c＝y﹣1， 故选：B． 8．（2023秋•婺城区期末）已知a，b为实数，且关于x的方程x﹣ax＝b的解为x＝6，则关于y的方程（y﹣1）﹣a（y﹣1）＝b的解为y＝　7　． 【分析】根据第一个方程的解是x＝6得出第二个方程中y﹣1＝﹣6，再求出y即可． 【解答】解：∵关于x的方程x﹣ax＝b的解为x＝6， ∴关于y的方程（y﹣1）﹣a（y﹣1）＝b中y﹣1＝6， 解得：y＝7， 即关于y的方程（y﹣1）﹣a（y﹣1）＝b的解为y＝7， 故答案为：7． 题型三　解一元一次方程 例题： 1．（2023秋•余姚市校级月考）已知方程，去分母后正确的结果是（　　） A．3（3x﹣1）﹣1＝﹣x+2 B．3（3x﹣1）﹣1＝﹣（x+2） C．3（3x﹣1）﹣6＝﹣x+2 D．3（3x﹣1）﹣6＝﹣（x+2） 【分析】根据解一元一次方程的方法，首先去分母，方程两边同时乘以两个分数的最小公倍数，即可得到答案． 【解答】解：方程的两边同时乘以6，得， 整理得，3（3x﹣1）﹣6＝﹣（x+2）， 故选：D． 2．（2023秋•诸暨市期末）把方程的分母化成整数，结果应为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【解答】解：， ﹣＝16， 故选：D． 3．（2024•江北区校级开学）解方程：，则x＝　　． 【分析】根据解一元一次方程的方法求解即可． 【解答】解：， 去分母，得3×3x+6＝60﹣8x，即9x+6＝60﹣8x， 移项、合并同类项，得17x＝54， 将系数化为1，得． 故答案为：． 4．（2024•西湖区校级模拟）某同学解方程．的过程如下框： 解：． 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得x＝60……③ 请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程． 【分析】第①步是将方程中未知数的系数化为整数，而不是去分母可得出错误的步骤序号，先将系数化为整数得，再合并同类项得，最后再将未知数的系数化为1即可得出该方程的解． 【解答】解：出现错误的步骤是①， 正确的解法如下：对于方程，将系数化为整数，得：， 合并同类项，得：， 未知数的系数化为1，得：x＝6． 5．（2023秋•鄞州区期末）解方程： （1）4x﹣3＝2（x﹣1）； （2）解方程：． 【分析】（1）根据一元一次方程的解法即可求出答案； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1可求出答案． 【解答】解：（1）4x﹣3＝2（x﹣1）， 4x﹣3＝2x﹣2， 4x﹣2x＝﹣2+3， 2x＝1， x＝； （2）， 2（2x﹣1）＝6﹣3（x﹣2）， 4x﹣2＝6﹣3x+6， 4x+3x＝14， 7x＝14， x＝2． 6．（2024•东阳市开学）解下列方程： （1）5x﹣2＝7x+8； （2）． 【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【解答】解：（1）5x﹣2＝7x+8， 移项，得5x﹣7x＝8+2， 合并同类项，得﹣2x＝10， 系数化成1，得x＝﹣5； （2）， 去分母，得2（2x﹣3）﹣（7x+2）＝4， 去括号，得4x﹣6﹣7x﹣2＝4， 移项，得4x﹣7x＝4+6+2， 合并同类项，得﹣3x＝12， 系数化成1，得x＝﹣4． 巩固训练 7．（2023秋•金东区期末）解方程2﹣3（2﹣3x）＝2，去括号正确的是（　　） A．2﹣6﹣9x＝2 B．2﹣6﹣3x＝2 C．2﹣6+9x＝2 D．2﹣6+3x＝2 【分析】根据去括号法则进行变形即可． 【解答】解：2﹣3（2﹣3x）＝2， 去括号，得2﹣6+9x＝2． 故选：C． 8．（2008秋•台州期末）下面解方程变形正确的是（　　） A．方程4x+1＝2x+1，移项，得4x+2x＝0 B．方程，去分母得x+1＝3x﹣1﹣1 C．方程﹣，系数化为1得x＝﹣6 D．方程，合并，得 【分析】方程变形常用的方法有：移项、合并同类项、去分母、系数化1、去括号． 【解答】解：A、方程4x+1＝2x+1，移项得4x﹣2x＝0； B、方程＝，去分母得x+1＝3x﹣1﹣2； C、方程﹣x＝5，系数化1得x＝﹣6； D、方程+10x＝7.5+1，合并得x＝8.5．故选D． 故选：D． 9．（2023秋•杭州月考）定义符号“*”表示的运算法则为a*b＝ab+3a，若（3*x）+（x*3）＝﹣27，则x＝　﹣4　． 【分析】先根据运算法则a*b＝ab+3a转化方程，然后解出x的值即可． 【解答】解：根据题中的新定义得：3x+9+3x+3x＝﹣27， 移项合并得：9x＝﹣36， 解得：x＝﹣4， 故答案为：﹣4． 10．（2023秋•东阳市期末）解方程： （1）6+2（x﹣4）＝x； （2）． 【分析】（1）“去括号，移项，合并同类项，系数化为1”，即可解题． （2）“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1”，即可解题． 【解答】解：（1）6+2（x﹣4）＝x， 6+2x﹣8＝x， 2x﹣x＝8﹣6， x＝2； （2）解：； ， 3（20x﹣10）＝7×10x﹣3， 60x﹣30＝70x﹣3， 60x﹣70x＝﹣3+30， ﹣10x＝27， x＝﹣2.7． 11．（2023秋•宁波期末）解方程： （1）3﹣（4x﹣3）＝7； （2）． 【分析】（1）方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：（1）去括号得：3﹣4x+3＝7， 移项得：﹣4x＝7﹣3﹣3， 合并同类项得：﹣4x＝1， x系数化为1得：x＝﹣； （2）去分母得：5（x﹣1）＝10﹣2（3x+2）， 去括号得：5x﹣5＝10﹣6x﹣4， 移项得：5x+6x＝10﹣4+5， 合并同类项得：11x＝11， x系数化为1得：x＝1． 题型四　一元一次方程的应用 例题： 1．（2023秋•荆门期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，则可列方程为（　　） A．8x+3＝7x﹣4 B．8x﹣3＝7x+4 C．＝ D． 【分析】设共有x人，根据物品的价格不变列出方程． 【解答】解：设共有x人， 由题意，得8x﹣3＝7x+4． 故选：B． 2．（2024•嘉善县一模）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意设乙出发x日，甲乙相逢，则甲、乙分别所走路程占总路程的和，进而得出等式． 【解答】解：设乙出发x日，甲乙相逢，则甲出发（x﹣2）日，故可列方程为： +＝1． 故选：D． 3．（2022秋•临海市期末）如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到图（1）与图（2）．若AB＝m，则图（1）与图（2）阴影部分周长的差是（　　） A．m B． C． D． 【分析】设小长方形的宽为x，长为y，大长方形的宽为n，表示出x、y、m、n之间的关系，然后求出阴影部分周长之差即可． 【解答】解：设小长方形的宽为x，长为y，大长方形的宽为n， 由图（1）得4x＝n， 由图（2）得2x+y＝m，y＝3x， ∴5x＝m， ∴， 图（1）中阴影部分的周长为：， 图（2）中阴影部分的周长为：， ∴阴影部分的周长之差为：． 故选：C． 4．（2023秋•舟山期末）根据如表素材，探索未完成任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2023年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量≤14吨）：水费为4.3元/吨，其中自来水为3.35元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 第二阶梯（14吨＜用水量≤21吨）：水费为5.97元/吨，其中自来水为5.02元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 第三阶梯（用水量＞21吨）：水费为11元/吨，其中自来水为10.05元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 素材3 如某用户2023年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 14×3.35+（15﹣14）×5.02＝51.92（元） 污水处理费 15×0.95＝14.25（元） 水费 14×4.3+（15﹣14）×5.97＝66.17（元） 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知某用户2023年12月份所缴水费中，自来水费为66.98元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2023年11月用水a吨，则应缴水费多少元？ 任务3 确定用水量 如果该用户2023年5、6月份共用水42吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费209.01元，则该用户5、6月份各用水多少吨？ 【分析】（1）先判断12月份用水量超过14吨不超过21吨，设该用户12月份的用水量为x吨，再建立方程求解即可； （2）根据分段收费的分式分三种情况分别列代数式即可； （3）由6月份用水量超过5月份用水量，设该用户5月份的用水量为x吨，6月份的用水量为（42﹣x）吨，再分两种情况分别列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵3.35×14＝46.9＜66.98＜3.35×14+7×5.02＝82.04， ∴12月份用水量超过14吨不超过21吨， 设该用户12月份的用水量为x吨， 3.35×14+5.02（x﹣14）＝66.98， 解答x＝18， 18×0.95＝17.1（元）， 答：设该用户12月份的污水处理费为17.1元； （2）当a≤14时，应缴水费为4.3a元； 当14＜a≤21时，应缴水费为14×4.3+5.97（a﹣14）＝（5.97a﹣23.38）元； 当a＞21时，应缴水费为14×4.3+7×5.97+11（a﹣21）＝（11a﹣129.01）元； （3）设该用户5月份的用水量为x吨，6月份的用水量为（42﹣x）吨， 当x≤14时，4.3x+11（42﹣x）﹣129.01＝209.01， 解答x≈18.5＞14（不合题意，舍去）， 14＜x＜21时，5.97x﹣23.38+11（42﹣x）﹣129.01＝209.01， 解得：x＝20， ∴42﹣20＝22， 答：该户居民5，6月份各用水20吨和22吨． 5．（2023秋•东阳市期末）列方程解应用题． 欧尚超市恰好用3200元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的与少10件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：每件商品获利＝售价﹣进价）． 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 25 40 （1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市将购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ 【分析】（1）设该商场购进甲种商品x件，则购进乙种商品（x﹣10）件，所以购进这两种商品需要的总钱数为[20x+30×（x﹣10）]元，于是列方程得20x+30×（x﹣10）＝3200，解方程求出x的值，再求出代数式x﹣10的值即可； （2）甲、乙两种商品每件的利润分别为（25﹣20）元、（40﹣30）元，即可由（25﹣20）×100+（40﹣30）×40求得将购进的甲、乙两种商品全部卖完共可获利900元． 【解答】解：（1）设该商场购进甲种商品x件，则购进乙种商品（x﹣10）件， 根据题意得20x+30×（x﹣10）＝3200， 解得x＝100， ∴x﹣10＝×100﹣10＝40， 答：该商场购进甲种商品100件、乙两种商品40件． （2）（25﹣20）×100+（40﹣30）×40＝900（元）， 答：该超市将购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润900元． 巩固训练 6．（2024•拱墅区校级模拟）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．其中记载了“百羊问题”：甲赶羊群逐草茂，乙拽一羊随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，所得这般一群凑（再多这样一群羊），再添半群小半（四分之一）群，得你一只来方凑（正好一百），玄机奥妙谁猜透？设这群羊共有x只，则（　　） A． B． C． D． 【分析】设这群羊有x只，根据甲乙对话列出方程即可． 【解答】解：原文的意思是：甲赶着一群羊在草地上往前走，乙牵着一只羊从后面跟来，问甲：“你这群羊有100只吗？”甲说：“如果再多这样一群羊，再加上原来羊群的一半，又加上原来羊群的一半的一半，连你牵着的这只羊也算进去，才刚好凑满一百只．”请问甲赶着多少只羊？设这群羊有x只，则可列方程为， 故选：D． 7．（2023秋•沭阳县月考）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（　　） A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2x+9 C． D．3（x﹣2）＝2（x+9） 【分析】设车x辆，根据乘车人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：设车x辆， 根据题意得：3（x﹣2）＝2x+9． 故选：B． 8．（2023秋•路桥区期末）某种商品的进价为80元，出售时的标价为110元．为了尽快减少库存，商店准备打折出售，但要使利润率为10%，则该商品应打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【分析】设该商品打x折销售，利用利润＝售价﹣进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设该商品打x折销售， 根据题意得：110×﹣80＝80×10%， 解得：x＝8， ∴该商品打8折销售． 故选：C． 9．（2024•台州一模）某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（　　） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 【分析】设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据12月份用电量为500度，电费为319元，列出方程，解方程即可． 【解答】解：∵0.588×500＝294（元），500×0.838＝419（元）， 又∵294＜319＜419， ∴小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度， 设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据题意得： 0.588（500﹣x）+0.838x＝319， 解得：x＝100， 4800+100＝4900（度）， 答：小聪家去年全年用电量为4900度． 故选：C． 10．（2024秋•浙江校级月考）上午八时，张、王两同学分别从 A、B两地同时骑摩托车出发，相向而行．已知张同学每小时比王多行2千米，到上午十时，两人仍相距36千米的路程．相遇后，两人停车闲谈了15分钟，再同时按各自的方向和原来的速度继续前进，到中午十二时十五分，两人又相距36千米的路程．A、B两地间的路程有多少千米？ 【分析】由题意可知，从上午10时到中午12时15分共用了2小时15分钟，减去两人闲谈用去的15分，即两人共行（36+36）千米用了2小时，则两人速度和是（36+36）÷2＝36（千米/时），得两人共行36千米需要1小时，到上午十时，两人已共行了2小时，共行的路程是36×2＝72（千米），此时两人相距36千米，所以两地相距72+36＝108（千米）． 【解答】解：12时（15分）﹣10时﹣（15分）＝2小时，10时﹣8时＝2小时， 设两个人的速度和为x千米/时，根据题意得2x＝36+36， ∴x＝（36+36）÷2＝72÷2＝36（千米/时）， ∴36×2+36 ＝72+36 ＝108（千米）， 答：A、B两地相距108千米． 11．（2023秋•温州期末）综合与实践：设计完成工程的最短工期方案（最短工期是指完成某项工程所需的最短时间）． 【背景素材】某公司要生产某大型产品60件，已知甲，乙，丙三家子工厂完成一件产品的时间分别为4天，6天，5天．现计划：①三家子工厂同时开始生产；②分配给甲工厂的数量是丙的2倍． 【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究． 思考1（特值分析）：若该公司将20件产品分配给甲工厂，则最短工期为多少天？ 思考2（减少要素）：若不考虑素材②，仅由甲、乙两工厂完成，则当两家工厂同时完成生产时工期最短，求如何分配产品件数与最短工期． 思考3（方案探究）：如何分配三家工厂的生产任务使得工期最短，并求出最短工期．（注：如你直接挑战思考3并正确解答也给满分） 【分析】思考1（特值分析）：分别求出甲，乙，丙三家子工厂的工期即可求解； 思考2（减少要素）：设分配给甲工厂产品x件，则乙工厂为（60﹣x）件．根据时间的等量关系即可求解； 思考3（方案探究）：设分配给丙工厂的产品有m件，则甲为2m件，乙为（60﹣3m）件，可求当甲，乙同时完成时，工期最短，得到8m﹣6（60﹣3m），求出m，再根据m为整数分析求解． 【解答】解：【逐步挑战】 思考1（特值分析）：甲完成的时间为：20×4＝80（天）， 分配给丙工厂的数量为：20÷2＝10（件）， 乙完成的时间为：（60﹣20﹣10）×6＝180（天）， 丙完成的时间为：10×5＝50（天）， ∴该公司完成60件产品的最短工期为180天． 思考2（减少要素）：设分配给甲工厂产品x件，则乙工厂为（60﹣x）件． 由题意，得4x＝6（60﹣x）， 解得x＝36， 则60﹣x＝24． ∴此时公司分配给甲，乙工厂的产品数量分别为36件，24件，工期为144天； 思考3（方案探究）：设分配给丙工厂的产品有m件，则甲为2m件，乙为（60﹣3m）件． 甲完成的时间为：4×2m＝8m（天）， 乙完成的时间为：6（60﹣3m）天， 丙完成的时间为：5m天， ∵8m＞5m， ∴当甲，乙同时完成时，工期最短， 则8m﹣6（60﹣3m）， 解得， ∵m为整数， ∴当m＝14时，即甲比同时完成时多分配了， 完成时间为8×14＝112（天）； 当m＝13时，即乙比同时完成时多分配了， 完成时间为6×（60﹣3×13）＝126（天）， ∵112＜126， ∴当m＝14时，工期最短，为112天， 即分配给甲，乙，丙工厂的产品数量分别为28件，18件，14件． 【直接挑战思考3】 思考3（方案探究）：设分配给丙工厂的产品有m件，则甲为2m件，乙为（60﹣3m）件． 甲完成的时间为：4×2m＝8m（天）， 乙完成的时间为：6（60﹣3m）天， 丙完成的时间为：5m天， ∵8m＞5m， ∴当甲，乙同时完成时，工期最短， 则8m﹣6（60﹣3m）， 解得， ∵m为整数， ∴当m＝14时，即甲比同时完成时多分配了， 完成时间为8×14＝112（天）； 当m＝13时，即乙比同时完成时多分配了， 完成时间为6×（60﹣3×13）＝126（天）， ∵112＜126， ∴当m＝14时，工期最短，为112天， 即分配给甲，乙，丙工厂的产品数量分别为28件，18件，14件． 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