23.1 成比例线段（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

第二十三章 图形的相似 23.1 成比例线段（6大题型提分练） 知识点一、线段的比与成比例线段 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）． 成比例线段 四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点二、比例的性质 基本性质 合比的性质 等比性质 题型一 比例的性质 1．若x与2，5，8构成比例，则x的最大值为（   ） A．20 B．10 C．40 D．3.2 【答案】A 【分析】本题考查了比的运算，解题的关键是理解题意，正确列出比例式．根据题意可知时最大，求解即可． 【详解】解：根据题意可知时最大， 解得：． 故选：A． 2．如果，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题关键．根据题意设，，再代入化简即可． 【详解】解：， 设，， ， 故选：C． 3．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，由得，则设，得到，，然后把，代入中进行分式的运算即可． 【详解】解：， ， 设，则，， ． 故答案为：． 4．若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，根据题意设，，将其代入中求解，即可解题． 【详解】解：， 设，， 则， 故答案为：． 5．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质等知识点，可设，可得，，，再根据可得关于k的方程，解方程求出k，进一步计算即可得解，熟练掌握设k法得到关于k的方程是解决此题的关键． 【详解】设，则，，， 依题意有， 解得， ∴，，， ∴． 题型二 比例线段 1．一幅地图上，用的线段表示的实际距离，它的比例尺是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例尺，根据比例尺为图上线段的长度与实际距离的比值，求解即可． 【详解】解：， ∴比例尺为：； 故选A． 2．在一幅地图上，用表示，这幅地图的比例尺为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例尺，解题的关键是掌握：比例尺图上距离实际距离，根据题意代入数据可直接得出这张地图的比例尺，注意单位要统一． 【详解】解：∵， ∴这幅地图的比例尺为． 故选：D． 3．在的地图上，相当于实际 ． 【答案】0.2 【分析】本题考查了两条线段的比．设两地的实际距离为，根据比例尺的定义得到，利用比例的性质易求得x的值，注意单位统一． 【详解】解：设两地的实际距离为， ∵比例尺为， ∴， ∴． 故答案为：． 4．已知两条线段的长为和，则它们的比例中项线段长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了线段的比．根据比例的性质列方程求解即可．设它们的比例中项为，根据比例中项的定义可知，，代入数据可直接求得的值，注意两条线段的比例中项为正数． 【详解】解：设它们的比例中项为， 是长度分别为1、4的两条线段的比例中项， ， 即， （负数舍去）， 它们的比例中项线段长为． 故答案为：2． 5．国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答） 【答案】公里 【分析】此题主要考查了比例线段，掌握比例尺是本题的关键，注意单位的统一． 根据比例尺图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有多少公里． 【详解】解：设国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有x公里，依题意有： ：：， 解得． 答：国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有公里． 题型三 成比例线段 1．下列线段中，能成比例的是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选：D． 2．下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、∵，故不符合题意； B、∵，故符合题意； C、∵，故不符合题意； D、∵，故不符合题意． 故选：B． 3．若线段a、b、c、d是成比例线段，且，则 ． 【答案】/8厘米 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段， ∴，即， ∴， 故答案为：． 4．已知线段，，则的比例中项是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段的比，根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果，即，那么 b 叫做 a 与 c 的比例中项．设线段 m，n 的比例中项为 x，根据比例中项的定义可知，，代入数据可直接求得 x的值，注意两条线段的比例中项为正数． 【详解】解：设线段 m，n 的比例中项为 x， ∵x是长度分别为2、8的两条线段的比例中项， ∴， 即， ∴（负数舍去）． 故答案为：4． 5．已知四个数a，b，c，d成比例． (1)若，，，求d； (2)若， ，，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义． （1）根据四个数a，b，c，d成比例，得出，然后代入数据进行计算即可； （2）根据四个数a，b，c，d成比例，得出，然后代入数据进行计算即可． 【详解】（1）解：∵四个数a，b，c，d成比例， ∴， ∵，，， ∴， 即， ∴． （2）解：∵四个数a，b，c，d成比例， ∴， ∵， ，， ∴， 即． ∴． 题型四 黄金分割 1．如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割点：线段上一点分线段对应成比例，且短线段比长线段等于长线段比全线段，等于，则这个点叫线作段的黄金分割点．根据黄金分割点进行判断即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点， ， ， 故错误的是选项B， 故选：B． 2．线段，点是上靠近点的黄金分割点，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．识记黄金分割的公式：较短的线段原线段的倍，较长的线段原线段的倍，可以提高解题速度．根据黄金分割的定义，知为较长线段，则，代入数据即可得出的值． 【详解】解：∵点是上靠近点的黄金分割点， ∴，为较长线段； ∴． 故选：B． 3．如果一个矩形的宽与长的比值正好是黄金比，人们就称它为“黄金矩形”．现需设计一扇符合黄金矩形的窗户，若窗户的长为2米，则窗户的宽为 米（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例线段，利用黄金比的定义即可求出答案． 【详解】解：黄金矩形的宽与长之比为黄金比的倒数，即， 已知窗户的长为2米，则窗户宽为长乘以黄金比得倒数，即米． 故答案为：． 4．若，P为的黄金分割点且，则长为 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义得出，从而表示出，然后代入数值计算即可得解． 【详解】解∶∵P为的黄金分割点且， ∴， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 5．如图，点是线段的黄金分割点，，计算线段的黄金比的值． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割点的比例公式即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， 线段的黄金比的值为． 题型五 黄金分割 1．如图，直线，两直线和与，，分别相交于点A、B、C和点D、E、F．下列各式中，不一定成立的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，根据平行线分线段成比例的性质（三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例），逐项分析推出正确的比例式，运用排除法即可找到正确的选项，关键在于认真的逐项分析找到成比例的线段． 【详解】解：如图：∵直线， ∴，，， ∴A、B、D选项中的等式成立，C选项中的等式不一定成立， 故选：C． 2．如图，已知，直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是一道关于平行线分线段成比例的题目，掌握平行线分线段成比例的相关知识是解答本题的关键．根据平行线分线段成比例定理，即可进行判断． 【详解】解：A．∵， ∴，故A正确； B．根据无法判断，故B错误； C．∵， ∴， ∵， ∴，故C错误； D．∵， ∴， ∵， ∴，故D错误． 故选：A． 3．如图，直线，已知，，， ． 【答案】 【分析】此题考查平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 4．如图所示，若，则．依据是 ． 【答案】平行线分线段成比例定理 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理求解．掌握平行线分线段成比例定理是关键． 【详解】∵ ∴． ∴依据是平行线分线段成比例定理． 故答案为：平行线分线段成比例定理． 5．如图，在中，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例；由平行可得，结合已知条件和比例的性质即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型六 由平行截线求相关线段的长或比值 1．如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，根据平行线分线段成比例定理得出，即可得出答案． 【详解】解∵，， ， ∵， ， ， 故选：A． 2．如图，两条直线和被三条平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，若，，则的长为（    ） A． B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例得到，又由，即可得到答案． 【详解】解：∵两条直线和被三条平行线所截，，， ∴， ∴, 故选：A 3．如图，在中，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 4．如图，、相交于点，点、分别在、上，．若，则 ． 【答案】18 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：由平行截线求相关线段的长或比值；由，得出，结合线段和差关系，即，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：18． 5．如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，注意对应线段是解答的关键．利用平行线分线段成比例得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， 解得：， ∴． ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴，． 1．若，则下列等式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质，根据比例的基本性质判断即可，掌握比例的基本性质是解题的关键． 【详解】解；A、根据比例的基本性质可以推出，故选项不符合题意； B、根据比例的基本性质可以推出，故选项不符合题意； C、根据比例的基本性质可以得到，故选项不符合题意； D、根据比例的基本性质可以得到，不能推出，故选项符合题意； 故选：D． 2．已知线段，点C是线段AB的黄金分割点（），则AC的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割的定义得到AC=AB，把AB=10cm代入计算即可． 【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）， ∴AC=AB， 而AB=10cm， ∴AC=×10=（5-5）cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点． 3．根据，可以组成的比例有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 故选：A． 4．若点C是线段的黄金分割点，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割点的定义等知识点，根据黄金分割点的定义，可能是较长线段，也可能是较短线段；则或，代入数据计算即可，理解黄金分割点的概念是解题的关键，特别注意这里的可能是较长线段，也可能是较短线段． 【详解】根据题意得： 当是较长线段时，， ∵， ∴， 当是较短线段时，， ∵， ∴， 故选：D． 5．如图，在中，D，E，F分别是边上的点，，且，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用．熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键． 根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．根据比例的性质得到，代入所求的式子计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 7．在比例尺是的地图上，如果某条道路长约为，那么它的实际长度约为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了比例尺，根据，即可解答． 【详解】因为比例尺为，且图上距离是， 所以实际距离是． 故答案为：12． 8．2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段的黄金分割点，，则 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，若一个点是一条线段的黄金分割点，则较短边与较长边的比，解题的关键是根据黄金分割的定义列式计算，即可解答． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 9．如图，交于点，，，，当 时，可与平行． 【答案】 【分析】本题考查平行线截线段对应成比例，根据平行线截线段对应成比例求解即可得到答案； 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 10．如图，直线，直线被直线所截.若，，，则的长为 . 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据直线，可得，且，代入计算即可求解． 【详解】解：∵直线， ∴，且， ∴， 故答案为： ． 11．已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的知识，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，结合可求得的值，然后计算的值即可． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 解得 ， ∴． 12．已知线段，，． (1)求线段与线段的比和线段与线段的比； (2)如果线段、、、成比例，求线段的长． (3)在比例式或中，我们把称为、的比例中项，那么本题中是和的比例中项吗？为什么？ 【答案】(1)； (2) (3)是和的比例中项，理由见解析 【分析】本题比例线段，掌握比例线段的定义和比例中项是解题的关键． （1）根据；，，即可求得的值，的值； （2）根据线段、、、是成比例线段，可得，再根据，即可得出线段的长； （3）根据，，可得，进而得出是和的比例中项． 【详解】（1）解：，， ； ，， ； （2）解：线段、、、是成比例线段， ， ， ； （3）解：，， ， 是和的比例中项． 13．先化简，再求值：，其中x为黄金分割比． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算分式的混合运算，再把代入计算即可. 【详解】解： ， ∵x为黄金分割比，则， ∴原式. 14．如图，在梯形中，，M、N分别是、中点，试判断、、延长线是否交于一点，并证明． 【答案】交于一点，见解析 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的应用，延长、交于点P，连接，交于点，由得到，，则，由N为中点得到，则，即为中点，由已知M为中点，即可得到结论． 【详解】解：三线延长线交于一点， 证明如下：延长、交于点P，连接，交于点， ∵， ∴，， ∴； ∵N为中点， ∴， ∴，即为中点， 又∵M为中点， ∴M与重合，即P、M、N三点共线， ∴、、延长线交于一点P． 15．如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理并找准对应线段是解题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； （2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，即，即可得到的长， 【详解】（1）解：∵，，，， ， 即， 解得：； （2）解：∵，， ， 即， 解得：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 图形的相似 23.1 成比例线段（6大题型提分练） 知识点一、线段的比与成比例线段 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）． 成比例线段 四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点二、比例的性质 基本性质 合比的性质 等比性质 题型一 比例的性质 1．若x与2，5，8构成比例，则x的最大值为（   ） A．20 B．10 C．40 D．3.2 2．如果，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则 ． 4．若，则的值为 ． 5．已知，，求的值． 题型二 比例线段 1．一幅地图上，用的线段表示的实际距离，它的比例尺是（    ） A． B． C． D． 2．在一幅地图上，用表示，这幅地图的比例尺为（    ） A． B． C． D． 3．在的地图上，相当于实际 ． 4．已知两条线段的长为和，则它们的比例中项线段长为 ． 5．国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答） 题型三 成比例线段 1．下列线段中，能成比例的是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 2．下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．若线段a、b、c、d是成比例线段，且，则 ． 4．已知线段，，则的比例中项是 ． 5．已知四个数a，b，c，d成比例． (1)若，，，求d； (2)若， ，，求c． 题型四 黄金分割 1．如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．线段，点是上靠近点的黄金分割点，则的值为（   ） A． B． C． D．或 3．如果一个矩形的宽与长的比值正好是黄金比，人们就称它为“黄金矩形”．现需设计一扇符合黄金矩形的窗户，若窗户的长为2米，则窗户的宽为 米（结果保留根号）． 4．若，P为的黄金分割点且，则长为 5．如图，点是线段的黄金分割点，，计算线段的黄金比的值． 题型五 黄金分割 1．如图，直线，两直线和与，，分别相交于点A、B、C和点D、E、F．下列各式中，不一定成立的是（） A． B． C． D． 2．如图，已知，直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线，已知，，， ． 4．如图所示，若，则．依据是 ． 5．如图，在中，，，，求证：． 题型六 由平行截线求相关线段的长或比值 1．如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，两条直线和被三条平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，若，，则的长为（    ） A． B．5 C．6 D．8 3．如图，在中，，则的长是 ． 4．如图，、相交于点，点、分别在、上，．若，则 ． 5．如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长． 1．若，则下列等式不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知线段，点C是线段AB的黄金分割点（），则AC的长为（    ） A． B． C． D． 3．根据，可以组成的比例有（   ） A． B． C． D． 4．若点C是线段的黄金分割点，且，则（    ） A． B． C． D．或 5．如图，在中，D，E，F分别是边上的点，，且，那么的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知，则 ． 7．在比例尺是的地图上，如果某条道路长约为，那么它的实际长度约为 ． 8．2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段的黄金分割点，，则 ．（结果保留根号） 9．如图，交于点，，，，当 时，可与平行． 10．如图，直线，直线被直线所截.若，，，则的长为 . 11．已知，且，求的值． 12．已知线段，，． (1)求线段与线段的比和线段与线段的比； (2)如果线段、、、成比例，求线段的长． (3)在比例式或中，我们把称为、的比例中项，那么本题中是和的比例中项吗？为什么？ 13．先化简，再求值：，其中x为黄金分割比． 14．如图，在梯形中，，M、N分别是、中点，试判断、、延长线是否交于一点，并证明． 15．如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$