13.3.2 等边三角形 课时1 等边三角形的性质 同步练习 2024--2025学年人教版八年级数学上册

数学（人教版）| 八年级（上） 同步练习 第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形 13.3.2 等边三角形 课时1 等边三角形的性质 一．选择题 1．如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 2．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（　　） A．18° B．20° C．30° D．15° 3．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 4．△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，则BC＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 6．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．100° B．90° C．80° D．60° 7．已知等腰三角形的一边长为3，一个内角为60°，则它的周长是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 8．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 9．对于边长为的等边三角形ABC建立如图直角坐标系，其中顶点A的坐标为（　　） A．（，1） B．（，） C．（，） D．（，1） 10．如图是由若干个相同的小正三角形组成的图形，小明在该图形中建立了平面直角坐标系，并测得点A的坐标是，点B的坐标是（0，﹣3），由此可知、点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 二．非选择题 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC，△BDE是等边三角形，若AD＝6，则线段BE的长为 　 　． 12．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝15cm，当衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，此时A，B两点之间的距离是 　 　cm． 3．如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，若∠1＝∠2，∠DFE＝80°，则∠EDF＝　 　度． 4．如图，点P是等边△ABC内一点，∠ACP＝∠PBC，∠BPC＝　 　°． 5．如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于 　 　． 6．在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2＝　 　度． 7．如图所示，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线上一点，CE＝CD，DM⊥BC于M．求∠BDE的度数． 8．在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE．求证：AD＝CE． 9．如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB＝DE． 20．如图，已知在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AD＝AC，连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数． 答案 一．选择题 1．如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴AD＝CD＝AC，∠DBC＝∠ABC＝30°， ∵CE＝CD， ∴CE＝AC＝3 ∴BE＝BC+CE＝6+3＝9． 故选：C． 2．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（　　） A．18° B．20° C．30° D．15° 【答案】D 【解析】解：在等边三角形ABC中，∠ACB＝60°，AB＝AC， ∵AD⊥BC， ∴点D是BC的中点， ∴AD垂直平分线段BC， ∴EB＝EC， ∴∠ECB＝∠EBC＝45°， ∴∠ACE＝15°， 故选：D． 3．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【解析】解：∵△A1B1A2为等边三角形， ∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2， ∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°， ∴∠A1B1O＝∠MON， ∴A1B1＝OA1， ∴A1B1＝A1A2＝OA1， 同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1， ∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22•OA1， A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23•OA1， … ∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1＝2n， ∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64， 故选：C． 4．△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，则BC＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】解：∵AB＝AC＝2， ∴∠C＝∠B＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴BC＝AB＝2． 故选：A． 5．如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】A 【解析】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝∠C＝60°， ∵AD是等边三角形ABC的中线， ∴∠CAD＝∠BAC＝30°，AD⊥BC， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， ∵∠AED+∠ADE+∠CAD＝180°， ∴∠ADE＝75°， ∴∠EDC＝15°， 故选：A． 6．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．100° B．90° C．80° D．60° 【答案】C 【解析】解：设AC与直线a交于D，AB与直线a交于E，如图所示： ∵直线a∥b，∠1＝40°， ∴∠ADE＝∠1＝40°， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴∠2＝180°﹣（∠A+∠ADE）＝180°﹣（60°+40°）＝80°． 故选：C． 7．已知等腰三角形的一边长为3，一个内角为60°，则它的周长是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【解析】解：∵一个等腰三角形的一个内角为60°， ∴该等腰三角形是等边三角形， 又∵其一边长为3， ∴它的周长是3+3+3＝9， 故选：C． 8．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 【答案】C 【解析】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°． ∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG， ∴∠CGD+∠CDG＝60°． ∵CG＝CD， ∴∠CGD＝∠CDG＝30°． ∵∠CDG＝∠DFE+∠E， ∴∠DFE+∠E＝30°． ∵DF＝DE， ∴∠E＝∠DFE＝15°． 故选：C． 9．对于边长为的等边三角形ABC建立如图直角坐标系，其中顶点A的坐标为（　　） A．（，1） B．（，） C．（，） D．（，1） 【答案】C 【解析】解：过A作AH⊥BC于H， ∵△ABC是等边三角形， ∴BH＝OH＝，∠ABC＝60°， ∴AH＝＝， ∴A（，）． 故选：C． 10．如图是由若干个相同的小正三角形组成的图形，小明在该图形中建立了平面直角坐标系，并测得点A的坐标是，点B的坐标是（0，﹣3），由此可知、点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由点B的坐标是（0，﹣3）可知，每个小正三角的高是3，如图，小正三角形DEF边长为a，DH＝3， 在Rt△DHF中，， ∴DF＝2HF， ∴DF2＝DH2+HF2，即， 解得， 即每个小正三角形的边长为， ∵点C是由点A向右平移个单位，向上平移3个单位得到的， ∴点C的坐标是， 故选：A． 二．非选择题 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC，△BDE是等边三角形，若AD＝6，则线段BE的长为 　6　． 【答案】6． 【解析】解：∵△BDE是等边三角形， ∴∠EBD＝60°，BE＝BD， ∵BE⊥AC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠A＝30°， ∴AB＝2BE， ∴AB＝2BD， ∴AD＝BD＝6， ∴AB＝12， ∴BE＝AB＝6， 故答案为：6． 12．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝15cm，当衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，此时A，B两点之间的距离是 　15　cm． 【答案】15． 【解析】解：连接AB，如图所示： ∵OA＝OB＝15cm，∠A＝60°， ∴△OAB为等边三角形， ∴AB＝OA＝15cm． 故答案为：15． 13．如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，若∠1＝∠2，∠DFE＝80°，则∠EDF＝　40　度． 【答案】40． 【解析】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∵∠DEC是△DBE的外角， ∴∠DEC＝∠B+∠1， 即∠DEF+∠2＝∠B+∠1， ∵∠1＝∠2， ∴∠DEF＝∠B＝60°， ∵∠DFE＝80°， ∴∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠DFE＝180°﹣60°﹣80°＝40°， 故答案为：40． 14．如图，点P是等边△ABC内一点，∠ACP＝∠PBC，∠BPC＝　120　°． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：∵△ABC的等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠ACP+∠PCB＝60°， ∵∠ACP＝∠PBC， ∴∠PCB+∠PBC＝60°， ∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°． 故答案为120． 15．如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于 　126°　． 【答案】126°． 【解析】解：∵△ABF是等边三角形， ∴AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°， 在正五边形ABCDE中，AB＝BC，∠ABC＝＝108°， ∴BF＝BC，∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝48°， ∴∠BFC＝（180°﹣∠FBC）＝66°， ∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝126°， 故答案为：126°． 16．在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2＝　240　度． 【答案】240． 【解析】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠1＝∠A+∠AED，∠2＝∠A+∠ADE， ∴∠1+∠2＝∠A+∠A+∠AED+∠ADE＝60°+180°＝240°． 故答案为：240． 17．如图所示，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线上一点，CE＝CD，DM⊥BC于M．求∠BDE的度数． 【答案】120°． 【解析】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BCD＝60°， ∵D为AC边的中点， ∴BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠E， ∵∠CDE+∠E＝∠BCD＝60°， ∴∠CDE＝∠BCD＝30°， ∴∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝120°． 18．在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE．求证：AD＝CE． 【答案】见试题解答内容 【解析】证明：在△ABC中CA＝AB，∠CAE＝∠ABD， 又∵AE＝BD， 在△CAE和△ABD中，， ∴△CAE≌△ABD（SAS）． ∴AD＝CE． 19．如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB＝DE． 【答案】见试题解答内容 【解析】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°． ∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）． 又∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠CED． 又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED， ∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°． ∴∠DBC＝∠DEC． ∴DB＝DE（等角对等边）． 20．如图，已知在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AD＝AC，连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：∵在等边三角形ABC中， ∴AB＝AC（等边三角形的意义），AD⊥BC（已知）， ∴∠CAD＝∠BAC（等腰三角形三线合一）， ∵∠BAC＝60°（等边三角形的性质）， ∴∠CAD＝30°（等量代换）， ∵AD＝AC（已知）， ∴∠ACD＝∠ADC（等边对等角）， ∵在△ACD中，∠ACD+∠ADC+∠CAD＝180°（三角形的内角和等于180度）， ∴∠ACD＝75°（等式的性质）， ∵在△ACE中，∠EAC+∠ACE+∠E＝180°（三角形的内角和等于180度）， ∴∠E＝45°（等式的性质）． 学科网（北京）股份有限公司 $$