1.5三角函数的应用 解答题专题提升训练 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

2024-2025学年北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》 解答题专题提升训练（附答案） 一、解答题 1．（1）； （2）． 2．计算tan1°•tan2°•tan3°•…•tan88°•tan89°的值． 3．（1）计算：；（参考公式：） （2）已知a、b是一元二次方程的两个实根，求的S值． 4．如图，在中， ，垂足为，，垂足为，与，分别相交于点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，． ①求； ②求的面积． 5．如图，在中，，是上一点，过点作，垂足为．连接并延长交于点．    (1)求证：； (2)若为的中点，，求的值． 6．如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长． 7．在综合实践课中，小明同学利用无人机测量小山的高度．如图，是小明同学，无人机飞到小山的右上方时，测得山顶的俯角为米，测得小明同学头顶的俯角为米．已知小明的身高为1.8米，求小山的高度．（已知分别与水平线垂直且在同一平面内，参考数据：，，，，，） 8．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 9．如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资，甲货轮沿港的东北方向航行40海里到达港，再沿东南方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的南偏东方向航行后到达港，再沿北偏西方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） (1)求，两港之间的距离； (2)若甲货轮的速度为20海里/小时，乙货轮的速度为30海里/小时（停靠，两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 10．冬季是滑雪的最佳时节，亚布力滑雪场有初、中、高级各类滑雪道．如图，其中的两条初级滑雪道的线路为：①；②．点A是雪道起点，点D是雪道终点，点B、C、E是三个休息区．经勘测，点B在点A的南偏东方向1800米处，点C在点B的正南方向2000米处，点D在C的西南方向，点E在点A的西南方向1300米处，点E在点D的正北方向．（参考数据：，） (1)求的长度；（精确到1米） (2)小外一家周末去亚布力滑雪，小外沿滑雪道线路①全程以5米/秒的速度滑雪，且在途经的每个休息区都各休息了5分钟；小外的爸爸比小外晚出发2分钟，以3米/秒的速度沿滑雪道线路②滑完全程，且中途没有休息．请计算说明小外和爸爸谁先到达终点D． 11．某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：      (1)探究原理：制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角是图②中的∠_____．目标P的仰角与图②中的∠_____相等，请写出这两个角相等的证明过程． (2)拓展应用：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F，E、F、H在同一直线上，分别测得点的仰角、，测得E、F间的距离2米，点、到地面的距离、均为1.5米．求PH的长（结果保留根号） 12．如图，中，，，反比例函数的图象经过点A． (1)求点A的坐标． (2)直线垂直平分，交于点，交轴于点，交轴于点，求线段的长． 13．随着南海局势的升级，中国政府决定在黄岩岛填海造陆，修建机场，设立雷达塔．某日， 在雷达塔 A 处侦测到东北方向上的点 B 处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域，且以 30 海里/时的速度往正南方向航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，这艘渔船行驶了 1 小时 10 分到达点 A 南偏东方向的 C 处，与此同时我方立即通知（通知时间忽略不 计）与 A 、C 在一条直线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截，其中海警船位于与 A 相距 100 海里的 D 处． (1)求的距离和点 D 到直线的距离； (2)若海警船航行速度为 40 海里/时，可侦测半径为 25 海里，当海警船航行 1 小时时，是否可以侦测到菲律宾渔船，为什么？（参考数据： ， ， ） 14．综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示： （1）把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过建筑物外立面的的顶部和； （2）用皮尺度量和的长度； （3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A，，，，，，均在同一平面内．测得，．请求出这两栋建筑的高度． 15．图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑，它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的，底座下方是台阶，台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面的坡度，坡面的长为． (1)计算坡面的铅直高度； (2)如图3，为了测量纪念碑的高度，亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高的测角仪，测得纪念碑碑身顶端A的仰角是，继续向纪念碑前进到达点K处，此时测得纪念碑顶端，求纪念碑的实际高度．（结果精确到，参考数据：） 16．如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为，两个车轮的圆心的连线与地面平行，测得支架，、所在直线与地面的夹角分别为、，． (1)求扶手前端到地面的距离； (2)手推车内装有简易宝宝椅，为小坐板，打开后，椅子的支点到点的距离为，，，，求坐板的宽度．（本题答案均保留根号） 17．千厮门大桥是重庆最具特色的斜拉桥之一，也是重庆的“网红打卡地”之一，某校数学兴趣小组的同学们欲测量千厮门大桥桥塔的高度，如图2，他们在桥下水平地面上架设测角仪（测角仪垂直于地面放置），此时测得桥塔最高点的，然后将测角仪沿向前水平移动132米达到点处，并测得桥塔最高点的，测角仪高度米．（点，，在同一水平线上，）（结果保留整数，参考数据：，） (1)求桥塔的高度约为多少米？ (2)如图3，在（1）的条件下，小语同学在洪崖洞的某地处测得千厮门大桥桥塔最高点的，最低点的，则小语同学所在地与的水平距离约为多少米？ 18．嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 19．阅读与思考 阅读下列材料，并解决后面的问题． 在锐角中，，，的对边分别是a，b，c，过C作于E（如图1），则，，即，，于是，即．同理有，，所以．即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． 运用上述结论和有关定理，在锐角三角形中，已知三个元素（至少有一条边），就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题： (1)如图1，在中，，，，则______； (2)如图2，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号） (3)在（2）的条件下，试求的正弦值．（结果保留根号） 20．如图1，正方形中，P是边上任意一点，Q是对角线上的点，且满足． (1)①求证：； ② ； (2)如图2，矩形中，，，P、Q分别是边和对角线上的点，，，求的长； (3)如图3，菱形中，交的延长线于点H ．若，对角线， P、Q分别是线段和上的点，， ，求的长． 参考答案： 1．解：（1） ； （2） ． 2．解：tan1°•tan2°•tan3°•…•tan88°•tan89° ＝（tan1°•tan89°）（tan2°•tan88°）…（tan44°•tan46°）•tan45° ＝1． 3．（1）解： ； （2）解： a、b是一元二次方程的两个实根， ， 解得，或，， 当，时， 则 ； 当，时， 则 ； 4．（1）证明：∵，， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在和中 ∴， ∴， ∴是菱形； （2）①解：∵， ∴， ∴， ∵,， ∴， ∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（1）证明： ，， ， ， ， ， ， ； （2）解： 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 设， ， ， ． 6．解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，如图所示： 由题意得：米，米，，， ， ， ， 在中，米， 在中，米， 米， 米， 小李到古塔的水平距离即的长为米． 7．解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ， 在中，由题意知米， ∴（米） 在中，由题意知米， ∴（米）， （米）． 答：小山的高度约为59.8米． 8．（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为，为， ∴， ， 即台阶的高度为； （2）解：如图所示，设的对边为，作于F， ∴由题意得，四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约． 9．（1）解：过点作于点， ∵甲货轮沿港的东北方向航行40海里到达港，再沿东南方向航行一定距离到达港， ∴，，海里， ∴海里， ∴海里， ∵乙货轮沿港的南偏东方向航行后到达港，再沿北偏西方向航行一定距离到达港． ∴，， ∴， 在中，， （海里），（海里）， 在中，， （海里），海里， ，两港之间的距离约为40海里； （2）解：乙货轮先到达港，理由如下： ∵甲货轮航行的路程（海里）， ∴甲货轮航行的时间（小时）， ∵乙货轮航行的路程（海里）， ∴乙货轮航行的时间（小时）， ， 乙货轮先到达港． 10．（1）解：过作于交于，过作于，过作于， 点在点的西南方向， ， 是等腰直角三角形， （米）， ，， （米）， ，，，，， 四边形，是矩形， ，，，， （米）， 米， ， 是等腰直角三角形， （米）； （2）解：滑雪道线路①全程（米）， 小外滑行的时间是（秒）（分钟）， 小外途经的每个休息区都各休息了5分钟， 小外在滑雪道线路①共用时（分钟）， （米）， （米）， 米， （米）， 是等腰直角三角形， 米， 滑雪道线路②全程（米）， 小外的爸爸滑行的时间是（秒）（分钟）， 小外的把爸爸比小外又晚出发2分钟， 小外先到达终点． 11．解：（1）目标P的仰角是图②中的  目标P的仰角与图②中的相等 证明，， ， ； （2）解：由题意可得， ，米， 由图可得，，， ，， ， ， ， 米． 故的值为米． 12．（1）解：， 点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， ． （2）解： ∴，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：． 13．（1）解：作于E，于F， 由题意得，，设海里， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：的距离为25海里，点D到直线的距离为60海里； （2）能，理由如下： 设1小时后，海警船到达点，菲律宾渔船到达点，则，， 由（1）知， ∴，， 由勾股定理，得： 故可以侦测到菲律宾渔船． 14．解：如图，由题意得，，， ，， ， ， ， ， 即， 设，可得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：两栋楼的高度为． 15．（1）解：如图所示： 过点D作于点H， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， 解得：，（负值舍去）， ∴， ∴坡面的铅直高度为； （2）设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴纪念碑的实际高度为． 16．（1）解：如图2，过作，垂足为， 又过作，垂足为，过作，垂足为，则． 则四边形为矩形，， ，、所在直线与地面的夹角分别为、， ， 则在中，． 在中，，， ． 又，前后车轮半径均为， 扶手前端到地面的距离为； （2）解：， ， ，椅子的支点到点的距离为，， ， 如图2，过作，垂足为，设， 在中，， ，， 在中，， ， ， ， 解得． ． 答：坐板的宽度为． 17．（1）解：如图所示，延长，交于点， 由题意得：，，，， 设，则， 在中，， ， 在中，，， ， 经检验是原方程的解且符合题意， 米 桥塔的高度约为米 （2）解：延长交于点，由题意可知， ，， ，， 设，则， ， ， ， 解得： 故处与的水平距离约为米 18．（1）解：∵，， ∴，结论成立； （2）解：成立．理由如下： 在中，，且， ∴，故结论成立； （3）解：，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴． 19．（1）解：由题意可知：， ∵，，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2）解：如图： 由题意可知，，，海里，， ∴， ∴，即， ∴， ∴B处与灯塔的距离为海里， 故答案为：． （3）解：如图： 由题可知，海里，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在中，海里， 海里， 在中， 海里， ∴海里， 由前面定理可知：， 则， ∴， ∴的正弦值． 20．（1）解：①四边形为正方形，，是对角线， ， ， ， ， ， ； ②四边形为正方形， ，， ， ， ； 故答案为：； （2）解：连接交于点， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ； （3）解：连接交于点， 四边形为菱形，，是对角线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形为菱形，是对角线， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$