精品解析：2024—2025学年人教版九年级上册数学期末考试模拟试卷

人教版2024—2025学年九年级上册数学期末考试模拟试卷 一、选择题 1. 某种植物细胞的直径约为，用科学记数法表示这个数为（ ） A. B. C. D. 2. 点P（4，3）到x轴的距离为（　　） A 4 B. 3 C. 5 D. 7 3. 如图，点分别是的边的中点，，则的长是（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 若与是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 1 5 如图，四边形内接于，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在正比例函数＝（m﹣4）x的图象上，并且x1＜x2，y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A. m＜4 B. m＞4 C. m≤4 D. m≥4 7. 如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( ) A. B. C. D. 8. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. 60° B. 65° C. 75° D. 80° 9. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. -2.5 D. 2.5 10. 如图，四边形OABC是矩形，等腰△ODE中，OE＝DE，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B、E在反比例函数y＝的图象上，OA＝5，OC＝1，则△ODE的面积为（　　） A. 2.5 B. 5 C. 7.5 D. 10 11. 在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣x图象上有三点（x1，m）、（x2，m）、（x3，m），则x1+x2+x3的结果是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 12. 如图，在中，，，E是AB中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点E和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，当点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与重叠部分面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 一次函数的图像与轴的交点坐标是__． 14. 若方程的一个根是a，则的值为_____． 15. 一组数据：、、、、、的众数是，在这组数据的中位数是___________； 16. 已知是整数，则满足条件的最小自然数的值为___________； 17. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是_____． 18. 如图，点是双曲线：（）上的一点，过点作轴的垂线交直线：于点，连结，.当点在曲线上运动,且点在的上方时，△面积的最大值是______. 三、解答题 19. 计算：. 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）： 组别 分数 人数 第1组 90＜x≤100 8 第2组 80＜x≤90 a 第3组 70＜x≤80 10 第4组 60＜x≤70 b 第5组 50＜x≤60 3 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求出a，b的值； （2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角度数； （3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？ 22. 某超市经销A、B两种商品，A种商品每件进价20元，售价30元；B种商品每件进价35元，售价48元． （1）该超市准备用800元去购进A、B两种商品若干件，怎样购进才能使超市经销这两种商品所获利润最大？（其中B种商品不少于7件） （2）在“五•一”期间，该商场对A、B两种商品进行如下优惠促销活动： 打折前一次购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过400元 售价打八折 超过400元 售价打七折 促销活动期间小颖去该超市购买A种商品，小华去该超市购买B种商品，分别付款210元与268.8元．促销活动期间小明决定一次去购买小颖和小华购买的同样多的商品，他需付款多少元？ 23. 已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图①）. （1）求证：BM=DN； （2）如图②，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形； （3）在（2）的条件下，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，求 的值． 24. 如图，已知抛物线与关于轴对称，与轴交于点，与轴交于点和． （1）的解析式 ，试猜想出与一般形式抛物线关于轴对称的二次函数解析式为 ． （2），的中点是点，则＝ ． （3）如果过点的一条直线与图象相交于另一点，，满足，，则点的坐标为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版2024—2025学年九年级上册数学期末考试模拟试卷 一、选择题 1. 某种植物细胞的直径约为，用科学记数法表示这个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：0.00015＝． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定a与n的值是解题的关键． 2. 点P（4，3）到x轴的距离为（　　） A. 4 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度解答． 【详解】解：∵点P（4，3）， ∴点P（4，3）到x轴的距离为|3|＝3， 故选B． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度是解题的关键． 3. 如图，点分别是的边的中点，，则的长是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，由题意，结合三角形中位线的定义可得是的中位线，再由中位线的性质代值求解即可得到答案，熟记三角形中位线的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：点分别是的边的中点， 是的中位线，则， 故选：B． 4. 若与是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，以及相反数相加和为0，求出x的值，即可求解． 【详解】解：∵与是同一个数的两个不相等的平方根， ∴，解得：， ∴， ∴这个数是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，以及相反数相加和为0． 5. 如图，四边形内接于，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数． 【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝400， ∴∠C＝1800－400＝1400， 故选D. 【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，解题关键在于利用圆内接四边形的对角互补 6. 已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在正比例函数＝（m﹣4）x的图象上，并且x1＜x2，y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A. m＜4 B. m＞4 C. m≤4 D. m≥4 【答案】A 【解析】 【分析】利用正比例函数的增减性得出m﹣4的符号，进而求出m的取值范围． 【详解】解：∵正比例函数y＝（m﹣4）x图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）， 当x1＜x2时，y1＞y2， ∴y随x的增大而减小， ∴m﹣4＜0， 解得：m＜4， 故选A． 【点睛】此题主要考查了正比例函数的增减性，得出m﹣4的符号是解题关键． 7. 如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形是平行四边形． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵对角线上两点、满足， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 8. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A 60° B. 65° C. 75° D. 80° 【答案】D 【解析】 【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数，进而求出∠CDE的度数． 【详解】∵， ∴，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， . 故答案为D. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键． 9. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. -2.5 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二元一次方程组解法求出x、y用t表示出来，然后代入4x-3y=5中，求t即可. 【详解】解：，①×3－②×2，得y=t，把y=t代入①得，x=2t， ∵ 4x-3y=5， ∴ 8t-3t=5， ∴ t=1. 故本题答案为：B. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组及一元一次方程的解法，熟练掌握其解法并正确求出二元一次方程组的解是解题的关键. 10. 如图，四边形OABC是矩形，等腰△ODE中，OE＝DE，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B、E在反比例函数y＝的图象上，OA＝5，OC＝1，则△ODE的面积为（　　） A. 2.5 B. 5 C. 7.5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】过E作EF⊥OC于F，由等腰三角形的性质得到OF＝DF，于是得到S△ODE＝2S△OEF，由于点B、E在反比例函数y＝的图象上，于是得到S矩形ABCO＝k，S△OEF＝k，即可得到结论． 【详解】解： 过E作EF⊥OD于F， ∵OE＝DE， ∴OF＝DF， ∴S△ODE＝2S△OEF， ∵点B、E在反比例函数y＝的图象上， ∴S矩形ABCO＝k，S△OEF＝k， ∴S△ODE＝S矩形ABCO＝5×1＝5， 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 11. 在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣x的图象上有三点（x1，m）、（x2，m）、（x3，m），则x1+x2+x3的结果是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征即可求得结果． 【详解】解：如图，在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣x的图象上有三点A（x1，m）、B（x2，m）、C（x3，m）， ∵y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0） ∴抛物线的对称轴为直线x＝m+1， ∴＝m+1， ∴x2+x3＝2m+2， ∵A（x1，m）在直线y＝﹣x上， ∴m＝﹣x1， ∴x1＝﹣2m， ∴x1+x2+x3＝﹣2m+2m+2＝2， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想画出函数图形． 12. 如图，在中，，，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点E和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，当点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与重叠部分面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件得到△ABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，当移动的距离＜a时，如图1S=正方形的面积△EE′H的面积=；当移动的距离＞a时，如图2，S=S△AC′H=，根据函数关系式即可得到结论； 【详解】解：∵在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵EF⊥BC，ED⊥AC， ∴四边形EFCD是矩形， ∵E是AB的中点， ∴EF=，DE=， ∴EF=ED， ∴四边形EFCD是正方形， 设正方形的边长为a，如图1， 当移动的距离＜a时，S=正方形的面积-△EE′H的面积=； 当移动的距离＞a时，如图2， S=S△AC′H=， ∴S关于t的函数图象大致为C选项， 故选C 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型． 二、填空题 13. 一次函数的图像与轴的交点坐标是__． 【答案】 【解析】 【分析】令一次函数解析式中，则可得出关于的一元一次方程，解方程得出值，从而得出一次函数图像与轴的交点坐标． 【详解】解：对于一次函数 令，则有， 解得， ∴一次函数的图像与轴的交点坐标为． 故答案：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点、解一元一次方程等知识，熟知一次函数图像上各点的坐标的特征是解答此题的关键． 14. 若方程的一个根是a，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，得到，整体代入求值即可． 【详解】解：∵程的一个根是a， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 一组数据：、、、、、的众数是，在这组数据的中位数是___________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一组数据的中位数和众数，众数是一组数据中出现次数最多的数值,有时众数在一组数中有好几个. 中位数是一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列，处在中间位置的一个数（或最中间的两个数据的平均数）．根据数据的众数是5可求得x的值，进而可求得中位数． 【详解】解：∵、、、、、的众数是， ∴， 即、、、、、的中位数为， 故答案为：． 16. 已知是整数，则满足条件的最小自然数的值为___________； 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义得出，再根据是整数，且是自然数，求解即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得，则． 根据是整数，且是自然数， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，不符题意． 所以自然数的值可以为2、9、14、17、18， 故满足条件的最小自然数为2． 故答案为：2． 17. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y=-x+a的图象都在y=bx-4的图象下方，所以不等式-x+a＜bx-4的解集为x＞1； 【详解】解：当时，函数的图象都在的图象下方， 所以不等式的解集为； 故答案为． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 18. 如图，点是双曲线：（）上的一点，过点作轴的垂线交直线：于点，连结，.当点在曲线上运动,且点在的上方时，△面积的最大值是______. 【答案】3 【解析】 【分析】令PQ与x轴的交点为E，根据双曲线的解析式可求得点A、B的坐标，由于点P在双曲线上，由双曲线解析式中k的几何意义可知△OPE的面积恒为2，故当△OEQ面积最大时△的面积最大.设Q（a，）则S△OEQ= ×a×（）==，可知当a=2时S△OEQ最大为1，即当Q为AB中点时△OEQ为1，则求得△面积的最大值是是3. 【详解】 ∵交x轴为B点，交y轴于点A, ∴A（0，-2），B（4，0） 即OB=4，OA=2 令PQ与x轴的交点为E ∵P在曲线C上 ∴△OPE的面积恒为2 ∴当△OEQ面积最大时△的面积最大 设Q（a, ） 则S△OEQ= ×a×（）== 当a=2时S△OEQ最大为1 即当Q为AB中点时△OEQ为1 故△面积的最大值是是3. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数几何图形面积问题，二次函数求最大值，解本题的关键是掌握反比例函数中k的几何意义，并且建立二次函数模型求最大值. 三、解答题 19. 计算：. 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了实数的加减乘除混合运算，特殊角三角函数值,熟练掌握实数的加减乘除混合运算是解题的关键．先分别计算负指数幂运算，零指数幂运算，特殊角三角函数值，二次根式的化简，再求和，即得答案． 【详解】 ． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算−化简求值，原式利用平方差公式，多项式除以单项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把m与n的值代入计算即可求出值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】 ， 当，时，原式． 21. 为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）： 组别 分数 人数 第1组 90＜x≤100 8 第2组 80＜x≤90 a 第3组 70＜x≤80 10 第4组 60＜x≤70 b 第5组 50＜x≤60 3 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求出a，b的值； （2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数； （3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？ 【答案】（1）a＝12，b＝7；（2）27°；（3）900人 【解析】 【分析】（1）根据第三组人数和所占比例求出抽取学生人数，再根据抽取学生人数和比例分别求出第2组和第4组人数； （2）求出第五组人数所占比例，可得 “第5组”所在扇形圆心角的度数； （3）先求出成绩高于80分人数所占比例，根据全校人员可得成绩高于80分的人数． 【详解】解：（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人）， 第2组人数 40×30%＝12（人）， 第4组人数 40﹣8﹣12﹣10﹣3＝7（人）， ∴a＝12，b＝7； （2）360°×=27°， ∴“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°； （3）1800×＝900（人）， ∴成绩高于80分的共有900人． 【点睛】本题考查了统计图和样本估计总体，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键． 22. 某超市经销A、B两种商品，A种商品每件进价20元，售价30元；B种商品每件进价35元，售价48元． （1）该超市准备用800元去购进A、B两种商品若干件，怎样购进才能使超市经销这两种商品所获利润最大？（其中B种商品不少于7件） （2）在“五•一”期间，该商场对A、B两种商品进行如下优惠促销活动： 打折前一次购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过400元 售价打八折 超过400元 售价打七折 促销活动期间小颖去该超市购买A种商品，小华去该超市购买B种商品，分别付款210元与268.8元．促销活动期间小明决定一次去购买小颖和小华购买的同样多的商品，他需付款多少元？ 【答案】（1）购进A商品26件，购进B商品8件才能使超市经销这两种商品所获利润最大 （2）小明付款382.2元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用， （1）两个关系式为：利润＝A种商品的利润＋B种商品的利润，进而根据函数的特点及自变量的取值得到利润最大的购买方案； （2）易得小颖购买的商品没有打折，让总价钱除以商品的单价即为相应的件数，小华购买的商品打了8折，求得小华购买商品的原价，进而得到相应的数量，根据打折方案得到相应的价钱即可； 得到总利润的关系式是解决此题的关键． 【小问1详解】 设利润为W，B种商品购进x件， ， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∵，且为整数，A种商品的件数也为整数， ∴时，利润最大，A种商品的件数为件， 答：A种商品26件，B种商品8件时，利润最大； 【小问2详解】 小颖购买A商品的件数为：（件）, ∵不是48的整倍数， ∴小华购买B商品的件数为（件）， 小明一次购买需付原价为：， ∴实际付款为：（元）． 23. 已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图①）. （1）求证：BM=DN； （2）如图②，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形； （3）在（2）的条件下，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，求 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）＝ . 【解析】 【详解】（1）连接BD，则BD过点O． ∵AD∥BC， ∴∠OBM=∠ODN． 又OB=OD， ∠BOM=∠DON， ∴△OBM≌△ODN． ∴BM=DN； （2）∵矩形ABCD， ∴AD∥BC，AD=BC． 又BM=DN， ∴AN=CM． ∴四边形AMCN是平行四边形． 由翻折得，AM=CM， ∴四边形AMCN是菱形； （3）∵ 又∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3， ∴DN︰CM=1︰3 设DN=k，则CN=CM=3k． 过N作NG⊥MC于点G，则CG=DN=k，MG=CM-CG=2k． NG=， ∴MN= ∴ 24. 如图，已知抛物线与关于轴对称，与轴交于点，与轴交于点和． （1）的解析式 ，试猜想出与一般形式抛物线关于轴对称的二次函数解析式为 ． （2），的中点是点，则＝ ． （3）如果过点的一条直线与图象相交于另一点，，满足，，则点的坐标为 ． 【答案】（1）； （2） （3）或或或. 【解析】 【分析】（1）可先求出抛物线的顶点坐标，然后根据两抛物线关于轴对称得出所求抛物线的顶点，可用顶点式二次函数通式来设所求的抛物线的解析式，然后将两函数轴的交点的坐标代入所求的抛物线中即可得出其解析式，两抛物线关于轴对称，其开口方向，开口大小以及与y轴的交点都一样，因此的值不变，而两函数的对称轴关于轴对称，因此值互为相反数，进而求解； （2）先求出的坐标，过点作，那么关键是求出和的长，可在直角三角形中，用的长和的正弦值求出的长，然后在直角三角形中，根据勾股定理求出的长，据此可得出的值； （3）可设直线的解析式为，由于是两函数的交点，因此可联立两函数的解析式，用表示出的值，当时，当时分别来求解． 【小问1详解】 解：在中 ，， 的顶点为， 抛物线与关于轴对称， 的顶点的为． 设， 与轴交点， 即与轴的交点， ， ∴所求二次函数为：． 猜想： 与一般形式抛物线关于轴对称的二次函数解析式是． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：过点作． 抛物线与轴的交点， ∵当时，， ∴与y轴交点，中点， 是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ． 在中，， ． 故答案为：． 【小问3详解】 解：设过点的直线为， 则， ， 则， 解得，， 则，， 当时，由已知是方程的解， 故， 即， 化简， 则，． ∴点的坐标是或． 当时，则， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 综上所述，的坐标是：或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了关于轴对称的函数解析式的关系，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数解析式的确定、轴对称图形、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$