4.1.1实数指数幂及其运算（同步课件）数学人教B版2019必修第二册

4.1 指数与指数函数 4.1.1 实数指数幂及其运算 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 情境引入 情境与问题：国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013年为亿元，2014年、2015年、2016年的年增长率分别为，，. 你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长率，并于2013年的经费支出为基础，预测2017年及以后各年的经费支出吗？ 为了解决类似情境中的问题，我们需要对指数运算有更多的了解. 新知探索 初中我们已经学习了整数指数幂的知识，例如 ，，. 一般地，中的称为底数，称为指数. 整数指数幂运算的运算法则有： ，，. 一般地，中的称为底数，称为指数. 新知探索 另外，初中我们还学习了平方根和立方根： (1)如果，则称为的平方根(或二次方根)：当时，有两个平方根，它们互为相反数，正的平方根记为，负的平方根记为；当时，只有一个平方根，记为；当时，在实数范围内没有平方根. 例如，______. 二次根式的运算法则有，，. 新知探索 (2)如果，则称为的立方根(或三次方根)，在实数范围内，任意实数有且只有一个立方根，记作. 例如，______. 尝试与发现：类比二次方根和三次方根，给出四次方根和五次方根的定义. 一般地，给定大于的正整数和实数，如果存在实数，使得 ，则称为的次方根. 新知探索 例如，因为方程的实数解为与，所以与都是的次方根；因为，而且只有一个实数解，所以的次方根为. 根据方程解的情况不难看出： (1)的任意正整数次方根均为，记为. (2)正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为的次算术根，记为，负的方根记为；负数的偶次方根在实数范围内不存在，即当且为偶数时，在实数范围内没有意义. (3)任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为.而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数. 新知探索 当有意义的时候，称为根式，称为根指数，称为被开方数. 注意，虽然我们不知道等的精确的小数形式(计算器和计算机上给出的值都是近似值)，但是按照定义，我们知道的一些性质，比如等. 一般地，根式具有以下性质： (1). (2)当为奇数时，；当为偶数时，. 例如，，，. 新知探索 尝试与发现：你能想出一个新的二次根式符号的表示方法，使成为的特例，成为的特例吗？ 现在来将整数指数幂运算推广到分数指数幂运算.同以前一样，我们希望推广后，有关的运算性质仍然能保持，比如在指数是分数时仍然成立，举例来说，应该满足，这表示应该是的平方根，但是的平方根有两个，即和，为了方便起见，我们规定. 新知探索 又如和这样的运算，如果规定，， 则，， 即分数指数幂运算可以像整数指数幂那样运算. 为了方便起见，我们约定底数.于是，当时，规定 ，(，，且为既约分数). 新知探索 需要注意的是，上式在不是既约分数(即，有大于的公因数)时可能会有歧义.例如，是有意义的，而是没有意义的.因此，以后无特别说明时，我们都认为分数指数幂中的指数都是既约分数. 负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似，即时， 规定(，). 新知探索 现在我们已经将整数指数幂推广到了分数指数幂(即有理数指数幂).一般情况下，当与都有有理数时，有运算法则： ，，. 例如，，， ， ，， . 例题 例1 求证：如果，是大于的自然数，那么. 证明：假设，即或， 根据不等式的性质与根式的性质，得或. 这都与矛盾，因此假设不成立，从而. 利用例1的结论，可以证明(留作练习)： (1)如果，是正有理数，那么； (2)如果，是正有理数，那么，； (3)如果，，且与均为有理数，那么. 新知探索 尝试与发现：根据前面的知识，猜测与的相对大小，以及与的大小. 有理数指数幂还可以推广到无理数指数幂，下面我们通过一个例子来描述其中的思想. 应该怎样理解这个数呢？ 不难猜出，. 就像在计算圆的面积时，我们常常取为一样，在精度要求不高的前提下，我们可认为. 新知探索 因为是一个无理数(即无限不循环小数)，我们写不出它的精确的小数形式，但是因为，所以， 同样 ， ， ， . 新知探索 ，，，； ，， 中的数，随着指数的变化，也都会越来越接近一个实数，这个实数就是. 也就是说，两个序列 ，，，，，； ，，，，， 中的数，随着小数点后位数的增加，都越来越接近，从而两个序列 新知探索 可以证明，对任意实数和，类似前述有理指数幂的运算法则仍然成立. 一般地，当且是无理数时，都是一个确定的实数，我们可以用上述类似的方法找出它的任意精确度的近似值.因此，当，为任意实数时，可以认为实数指数幂都有意义. 例题 例2 计算下列各式的值： (1)；(2). 解(1)：. 解(2)： 例题 例3 化简下列各式： (1)；(2). 解(1)：原式. 解(2)：原式 新知探索 如图所示，前面三个是在符号计算模式下的输入和所得的结果，后面两个是在数值计算模式下得到的结果. 实数指数幂的值可以通过计算器或者计算机软件方便地求得. 在中，在“运算区”利用符号“”，就可以得到实数指数幂的精确值或近似值. 新知探索 下面我们来求本小节情境与问题中的年平均增长率. 情境与问题：国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013年为亿元，2014年、2015年、2016年的年增长率分别为，，. 你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长率，并于2013年的经费支出为基础，预测2017年及以后各年的经费支出吗？ 新知探索 假设年平均增长率为，则应该有 ， 从而 . 由此可预测年的科研和开发机构基础研究经费支出为 (亿元). 其他年份的预测值可用类似的方法算出. 练习 题型一：根式的化简与求值 例1.化简： (1)(2) (3). 解：(1) (2)显然，有意义，所以. 即 (3) 练习 方法技巧： 1.有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简. 2.有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负. 3.在含有多个绝对值的式子中，常利用零点分段法，结合数轴完成，去绝对值. 练习 变2.设,求的值. 解：原式, 而∴分情况讨论： 当时，原式； 当时，原式. 综上， 练习 题型二：根式与分数指数幂的互化 例2.将下列根式化成分数指数幂形式. 解：(1) (2). (3) (4) 练习 方法技巧： 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： (1)必须同底数幂相乘，指数才能相加. (2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 练习 变2.用分数指数幂表示下列各式： 解：(1) (2)； (3) 练习 题型三：指数幂的化简与求值 例3.计算下列各式（式中字母都是正数）. . 解：(1)原式 (2)原式； (3)原式 练习 方法技巧： 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： (1)必须同底数幂相乘，指数才能相加. (2)运算的先后顺序. 2.当底数是具体实数时，无论是小数还是分数，都先改写成分数指数幂的形式，再结合着指数幂的运算法则来解决问题. 练习 变3.化简或计算下列各式： 解：(1)原式 (2)原式 练习 例4.已知，求下列各式的值： 题型四：含条件的求值问题 解：将两边同时平方，得：. (1) (2)将两边同时平方，得：.∴ (3) 练习 方法技巧： 条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程. 练习 变4.若等于（ ）. A.0 B. C. D. 解：将两边同时平方，得：. 又，∴. ∴ 课堂小结&作业 课堂小结： (1)有理数指数幂的运算法则； (2)根式的概念； (3)分数指数幂的概念及运算法则. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P8—P9的练习，练习； (3)课本P14的习题的第1题；习题的第1、2题；习题的第1题. 谢谢学习 Thank you for learning $$