第16课时　二次函数的实际应用 课件 2025年九年级中考数学一轮总复习

第一部分　考点梳理 第三章　函数及其图像 第16课时　二次函数的实际应用 知识点 二次函数的实际应用问题常见 类型 （1）利用抛物线顶点坐标来求最值； （2）最值不在抛物线顶点处取得； （3）分段函数求最值问题； （4）复合函数求最值问题； （5）借助二次函数图象解一元二次不 等式. 名师点津 1. 若自变量之和为10的两个函数y1和y2 组成一个复合函数，若设y1的自变量为 x，则y2的自变量为10－x. 2. 借助二次函数图象解一元二次不等式 的关键是数形结合. ①y＝－10（x－ ）2＋15（x取正整数），则当x＝2或x＝3时，y取最大值； ②y＝－3（x－60）2＋1200（40＜ x≤55），则当x＝55时，y取最大值. 3. 最大值不在抛物线顶点处取得，可能 有以下两种情况： 4. 分段函数的最大值问题，需要分别求 出每段函数的最大值，然后在最大值当 中再选最大的. 考点一　二次函数区间最值 例1　 求下列函数的最值： （1）y＝2（x－3）2＋4（2≤x≤5）； [答案] 解：（1）当x＝3时，y取最小 值4； 当x＝2时，y＝6；当x＝5时，y＝12， ∴y的最大值为12. （2）y＝－2x2－16x＋3（－1≤x≤2）. [答案] 解：（2）y＝－2x2－16x＋3＝ －2（x＋4）2＋35. 当－1≤x≤2时，y随x的增大而减小， ∴当x＝－1时，y取最大值17； 当x＝2时，y取最小值－37. 考点二　利用二次函数模型解决几何面 积问题 例2　（1）如图，在等腰直角三角形 ABC中，∠A＝90°，BC＝8，点D， E分别是BC，AC边上的点， DE∥AB，则S△BDE的最大值是 ⁠； 4　 （2）（2024·湖北）如图，学校要建一 个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边 用篱笆围成.已知墙长42m，篱笆长80m. 设垂直于墙的边AB长为xm，平行于墙 的边BC为ym，围成的矩形面积为Sm2. ①求y与x，S与x的关系式； [答案] 解：①∵篱笆长80m， ∴AB＋BC＋CD＝80m. ∵AB＝CD＝xm，BC＝ym， ∴x＋y＋x＝80，∴y＝80－2x. ∵墙长42m， ∴0＜80－2x≤42，解得19≤x＜40， ∴y＝80－2x（19≤x＜40）. 矩形面积S＝BC·AB＝y·x＝（80－ 2x）x＝－2x2＋80x（19≤x＜40）. ②围成的矩形花圃面积能否为750m2？ 若能，求出x的值； [答案] 解：令S＝750，则－2x2＋80x＝ 750，整理，得x2－40x＋375＝0， 解得x1＝25，x2＝15. ∵19≤x＜40，∴x＝25. ∴当x＝25时，围成的矩形花圃面积为 750 m2. ③围成的矩形花圃面积是否存在最大 值？若存在，求出这个最大值，并求出 此时x的值. [答案] 解： S＝－2x2＋80x＝－2（x－20）2＋800. ∵－2＜0，∴S有最大值.又∵19≤x＜40， ∴当x＝20时，S取得最大值，此时S＝ 800 m2. 考点三　利用二次函数模型解决实际 问题 例3　 （2024·内江）端午节吃粽子是中 华民族的传统习俗.市场上猪肉粽的进价 比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用 5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进 的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发 现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180 盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒. （1）求这两种粽子的进价； [答案] 解：（1）设豆沙粽每盒的进价 为n元，则猪肉粽每盒的进价为（n＋ 20）元. 由题意，得 ＝ ，解得n＝30. 经检验，n＝30是原方程的解，且符合 题意， ∴n＋20＝50. 答：猪肉粽每盒的进价为50元，豆沙 粽每盒的进价为30元. （2）设猪肉粽每盒售价x元 （52≤x≤70），y表示该商家销售猪肉粽 的利润（单位：元），求y关于x的函数 表达式并求出y的最大值. [答案] 解：（2）由题意，得 y＝（x－50） ＝－10x2＋1200x－35000 ＝－10（x－60）2＋1000. ∵－10＜0，52≤x≤70， ∴当x＝60时，y取得最大值为1000元. 考点四　抛物线的实际应用 例4　 （1）（2024·天津）从地面竖直向 上抛出一小球，小球的高度h（m）与 小球的运动时间t（s）之间的关系式是 h＝30t－5t2（0≤t≤6）.有下列结论： ①小球从抛出到落地需要6s； ②小球运动中的高度可以是30m； ③小球运动2s时的高度小于运动5 s时的 高度. 其中，正确结论的个数是（　C　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 C （2）（2024·陕西）一条河上横跨着一 座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆 索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC 均垂直于桥面，如图所示，以点O为原 点，以直线FF'为x轴，以桥塔AO所在 直线为y轴，建立平面直角坐标系. 已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在 抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔 BC之间的距离OC＝100m，AO＝BC＝ 17m，缆索L1的最低点P到FF'的距离 PD＝2m.（桥塔 的粗细忽略不计） ①求缆索L1所在抛物 线的函数表达式； [答案] 解：①由题意得顶点P的坐标为 （50，2），点A的坐标为（0，17）， 设缆索L1所在抛物线的函数表达式为 y＝a（x－50）2＋2， 把（0，17）代入得17＝a（0－50）2 ＋2，解得a＝ ， ∴缆索L1所在抛物线的函数表达式为 y＝ （x－50）2＋2. ②点E在缆索L2上，EF⊥FF'，且EF ＝2.6m，FO＜OD，求FO的长. [答案] 解： ②∵缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称， ∴缆索L2所在抛物线的函数表达式为 y＝ （x＋50）2＋2. ∵EF＝2.6， ∴把y＝2.6代入，得2.6＝ （x＋50）2＋2，解得x1＝－40，x2＝－60， ∴FO＝40m或FO＝60m， ∵FO＜OD， ∴FO的长为40m. 1. 用长12m的铝合金条制成矩形窗框 （如图所示），那么这个窗户的最大透 光面积是 m2.（中间横框所占的面 积忽略不计） （第1题） 6　 2. 某商厦将进货单价为70元的某种商 品，按销售单价100元出售时，每天能卖 出20个.通过市场调查发现，这种商品的 销售单价每降价1元，日销量就增加1个. 为了获取最大利润，这种商品的销售单 价应降 元. 5　 3. （2024·广西）如图，壮壮同学投掷实 心球，出手（点P处）的高度OP是 m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m.若实心球落地点为M，则OM＝ ⁠m. （第3题） 　 4. （2024·河南）从地面竖直向上发射的 物体离地面的高度h（m）满足关系式h ＝－5t2＋v0t，其中t（s）是物体运动的 时间，v0（m/s）是物体被发射时的速 度.社团活动时，科学小组在实验楼前从 地面竖直向上发射小球. （1）小球被发射后 s时离地面的 高度最大（用含v0的式子表示）； 　 （2）若小球离地面的最大高度为20m， 求小球被发射时的速度； 解：（2）根据题意， 得当t＝ 时，h＝20， ∴－5× ＋v0× ＝20， ∴v0＝20m/s（负值舍去）. （3）按（2）中的速度发射小球，小球 离地面的高度有两次与实验楼的高度相 同.小明说：“这两次间隔的时间为3s.”已 知实验楼高15 m，请判断他的说法是否 正确，并说明理由. 解：（3）小明的说法不正确.理由如下： 由（2），得h＝－5t2＋20t. 当h＝15时，15＝－5t2＋20t， 解得t1＝1，t2＝3， ∴两次间隔的时间为3－1＝2（s）， ∴小明的说法不正确. $$