第13课时　二次函数的图象和性质（一） 课件 2025年中考数学一轮总复习

第一部分　考点梳理 第三章　函数及其图像 第13课时　二次函数的图象和性质（一） 知识点1 二次函数的定义及表达式 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c （a，b，c为常数，a≠0）的函数，叫 做二次函数. 知识点2 二次函数的图象和性质 函数 y＝a（x－ h）2＋k（a＞ 0） y＝ax2＋bx＋c （a＜0） 图象 开口 方向 开口向 ⁠ 开口向 ⁠ 上　 下　 知识点2 二次函数的图象和性质 对称 轴 直线 ⁠ 直线 ⁠ ⁠ 顶点 坐标 （ ， ） （ ⁠，　 ） x＝h　 x＝－ h　 k － 增减 性 当 ⁠ 时，y随x的增 大而 ⁠⁠； 当 ⁠ 时，y随x的增 大而 ⁠ 当 ⁠ 时，y随x的增大 而 ⁠； 当 ⁠ 时，y随x的增大 而 ⁠ 最值 当x＝ ⁠ 时，y有最 ⁠值为 ⁠ 当x＝ ⁠ 时，y有最 ⁠ 值为 ⁠ x＜h　 减小 x＞h　 增大　 x＜－ 　 增大　 x＞－ 　 减小　 h　 小　 k　 － 　 大　 　 知识点3 抛物线y＝ax2＋bx＋c中系数 a，b，c的几何意义 字母 字母符号 图象特征 a （决定开 口方向和 开口大 小） a＞0 开口向 ⁠ a＜0 开口向 ⁠ 越大 开口越 ⁠ 越小 开口越 ⁠ a，b（决定对称轴置） b＝0 对称轴为 ⁠ 上　 下　 小　 大　 y轴　 字母 字母符号 图象特征 a，b （决定对 称轴位 置） ab＞0 对称轴在y 轴 ⁠侧 ab＜0 对称轴在y 轴 ⁠侧 左　 右　 字母 字母符号 图象特征 c （决定与 y轴交点 位置） c＝0 抛物线经过原点 c＞0 与y轴 ⁠半轴 相交 c＜0 与y轴 ⁠半轴 相交 b2－4ac （决定与 x轴交点 个数） b2－4ac ＝0 与x轴有 ⁠个 交点 正　 负　 一　 字母 字母符号 图象特征 b2－4ac （决定与 x轴交点 个数） b2－4ac ＞0 与x轴有 ⁠个 交点 b2－4ac ＜0 与x轴有 ⁠个 交点 两　 0　 特殊关系： ①当x＝±1时，y＝a±b＋c； ②若a±b＋c＞0，则x＝±1时，y＞0. 名师指津 1. 掌握二次函数的图象与性质，要熟悉 系数a，b，c的几何意义（即a，b，c 与图象的位置关系）. 2. 在借助二次函数图象来解决问题时， 要充分利用抛物线的对称性、增减性、 最大值或最小值. 考点一　二次函数的概念 例1　 （1）下列函数中：①y－x2＝0； ②y＝x2＋ ；③y＝（x＋2）·（x－2）－（x－1）2；④y＝ ；⑤y＝x（5－x），是以x为自变量的二次函数的是 ⁠ ⁠；（填序号） ①⑤ （2）如果函数y＝（m－3） ＋ 3x－1是二次函数，那么m的值为 ⁠ ⁠. [思路点拨] （1）判断是不是二次函数， 要先化为一般式来判断；（2）二次函数 的二次项系数不为0. －1 考点二　二次函数的图象和性质 例2　 （1）（2024·外语校）已知抛物 线y＝－x2＋4x＋c上有两点P（x1，y1），Q（x2，y2）.若x1＜2＜x2，且x1 ＋x2＞4，则y1与y2的大小关系是（　C　） A. y1＜y2 B. y1＝y2 C. y1＞y2 D. 无法确定 C （2）函数y1＝ax2＋bx＋c与y2＝ 的图 象如图1所示，若y1，y2均随着x的增大 而减小，则（　D　） A. x＜－1 B. －1＜x＜0 C. 0＜x＜2 D. x＞1 D 图1　　 （3）如图2是一次函数y＝kx＋b的图 象，则二次函数y＝kx2＋bx＋2的图象 可能为（　C　） A B C D C 图2 （4）（2024·陕西）已知一个二次函数y ＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的几 组对应值如下表： x … －4 －2 0 3 5 … y … －24 －8 0 －3 －15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的 是（　D　） D A. 图象的开口向上 B. 当x＞0时，y的值随x的值增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线x＝1 （5）若关于x的方程x2＋4x＋a＝0有两 个不相等的实数根，则抛物线y＝x2＋ （a－4）x－5的顶点在第 象限. 四　 考点三　二次函数图象与系数a，b，c的关系 例3　 （1）（2024·遂宁）如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x＝－1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0）， 与y轴的交点B在（0，－2）与（0，－3）之间（不含端点），则下列结论正确的有（　B　） ①abc＞0；②9a－3b＋c＞0；③ ＜a＜1；④若方程ax2＋bx＋c＝x＋1的两根为m，n（m＜n），则－3＜m＜1＜n. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 图1　 B （2）（2024·绥化）二次函数y＝ax2＋ bx＋c（a≠0）的部分图象如图2所示， 对称轴为直线x＝－1，则下列结论：① ＞0；②am2＋bm≤a－b（m为任意实 数）；③3a＋c＜1；④若M（x1，y）， N（x2，y）是抛物线上不同的两个点， 则x1＋x2≤－3.其中正确的结论有（　B　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 　 图2 1. 关于二次函数y＝（x－2）2＋3，下 列说法正确的是（　D　） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是（－2，3） C. 当x＞2时，y随x的增大而减小 D. 该函数图象与y轴的交点坐标是（0，7） D 2. （2024·凉山州）抛物线y＝ （x－1）2＋c经过（－2，y1），（0，y2）， （ ，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关 系正确的是（　D　） A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y3＞y1 C. y3＞y1＞y2 D. y1＞y3＞y2 D 3. （2024·眉山）如图，二次函数y＝ax2 ＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于点A （3，0），与y轴交于点B，对称轴为直 线x＝1，下列四个结论： ①bc＜0； ②3a＋2c＜0； ③am2＋bm≥a＋b （m为任意实数）； ④若－2＜c＜－1，则－ ＜a＋b＋c＜－ . 其中正确结论的个数为（　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C （第3题） $$