期中真题必刷易错60题（23个考点专练）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

期中真题必刷易错60题（23个考点专练） 一．集合的表示法（共1小题） 1．（2023秋•南开区期中）已知集合，且，则等于　　 A．， B．，2，3， C．，2，3， D．，2，3， 二．集合的包含关系判断及应用（共2小题） 2．（2024秋•辽宁期中）已知集合，，且，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C． D． 3．（2023秋•长沙期中）设，，若，则实数的值构成集合是 　　． 三．子集与真子集（共1小题） 4．（2023秋•景德镇期中）集合，1，的真子集的个数是　　． 四．并集及其运算（共3小题） 5．（2023秋•仓山区校级期中）已知集合，，，，若，，，则　　． 6．（2023秋•宿州期中）已知，，若，则　　． 7．（2023秋•江阴市校级期中）符号表示不大于的最大整数，例如：，，． （1）已知，，分别求两个方程的解集、； （2）设方程的解集为，集合，若，求的取值范围． 五．交集及其运算（共1小题） 8．（2023秋•桥西区校级期中）已知，，或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 六．交、并、补集的混合运算（共6小题） 9．（2023秋•巧家县校级期中）已知集合，____． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答． ①函数的定义域为集合； ②不等式的解集为． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 10．（2023秋•平潭县校级期中）已知集合，． （1）求，； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 11．（2023秋•东城区校级期中）设全集，集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，，求实数的值． 12．（2023秋•阳高县校级期中）已知集合，． （1）若，求、； （2）若，求实数的取值范围． 13．（2023秋•广陵区校级期中）设全集为，，． （1）求． （2）若，，求实数的取值范围． 14．（2023秋•船营区校级期中）已知全集，集合，集合求 （1） （2） 七．集合的交并补混合运算（共3小题） 15．（2023秋•海沧区校级期中）设集合，． （1）若时，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 16．（2023秋•简阳市校级期中）已知，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 17．（2023秋•顺德区校级期中）已知且，，求： （1）； （2）． 八．必要不充分条件的应用（共1小题） 18．（2023秋•红山区校级期中）已知集合或，． （1）若，求，； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 九．存在量词和存在量词命题（共1小题） 19．（2023秋•番禺区校级期中）下列说法正确的是　　 A．命题“，”的否定是“，” B．是的充分不必要条件 C．的单调减区间为，， D．若命题“，”是假命题，则的取值范围为 一十．命题的真假判断与应用（共1小题） 20．（2023秋•郊区校级期中）下面命题正确的是　　 A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“若，则”的否定是“存在，则”． C．设，，则“且”是“”的必要而不充分条件 D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 一十一．基本不等式及其应用（共5小题） 21．（2024秋•巴楚县期中）设，，且，则的最小值为　　 A． B． C． D． 22．（2023秋•茶陵县期中）已知，，且，则的最小值是　　 A．10 B．15 C．18 D．23 23．（2023秋•李沧区校级期中）已知正数，满足，则　　 A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为2 24．（2023秋•保定期中）设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为，则有：，，，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家．．提出了“均值”，即，其中为有理数．下列关系正确的是　　 A．，， B．，， C．， D．， 25．（2023秋•东宝区校级期中）如图，为梯形，其中，，设为对角线的交点．表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），表示平行于两底且使梯形与梯形相似的线段，表示平行于两底且过点的线段，表示平行于两底且将梯形分为面积相等的两个梯形的线段，试研究线段，，，与代数式，，，之间的关系．并据此得到它们之间的一个大小关系．你能用基本不等式证明所得的结论吗？ 一十二．二次函数的性质与图象（共1小题） 26．（2023秋•东宝区校级期中）已知二次函数，为实数） （1）若时，且对，恒成立，求实数的取值范围； （2）若时，且对，，恒成立，求实数的取值范围； （3）对，时，恒成立，求的最小值． 一十三．二次函数的应用（共2小题） 27．（2023秋•台山市校级期中）在人与自然的斗争中，病毒是一个可怕的敌人，为了抗击某种“疫情”，某制药厂最近新增了一条生产线，该生产线的年固定成本为250万元，每生产千箱防疫物资需另投入成本万元．当年产量大于或等于80千箱时，（万元）；当年产量不足80千箱时，（万元）．每千箱产品的售价为60万元，该厂生产的产品能全部售完．年产量为　　千箱时，该厂当年的利润最大？ A．80 B．90 C．95 D．100 28．（2023秋•邢台期中）已知某污水处理厂的月处理成本（万元）与月处理量（万吨）之间的函数关系可近似地表示为．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元． （1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？ （2）请写出该厂每月获利（万元）与月处理量（万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值． 一十四．一元二次不等式及其应用（共12小题） 29．（2023秋•浙江期中）若不等式的解集为，则函数的零点为　　 A．和 B．和 C．2和 D．和3 30．（2023秋•汉寿县校级期中）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为　　 A． B．，， C．， D．，， 31．（2023秋•浙江期中）设，若不等式的解集为，，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 32．（2023秋•开福区校级期中）关于的不等式在区间，上有解，则实数的取值范围为　　 A． B．， C． D．， 33．（2023秋•泰兴市期中）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是　　 A． B．不等式的解集为 C．的最大值为 D．关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 34．（2023秋•兴庆区校级期中）已知关于的不等式的解集为或，则的解集为 　　． 35．（2023秋•拱墅区校级期中）不等式的解集是，则不等式的解集是　 　． 36．（2024秋•肥城市校级期中）已知集合，． （1）求，； （2）已知集合，若满足_______，求实数的取值范围． 请从①，②，③中选一个填入（2）中横线处进行解答． 37．（2023秋•邗江区校级期中）已知集合， （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 38．（2023秋•沧州期中）已知，． （1）当时，若，同时成立，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 39．（2023秋•衡阳县校级期中）已知关于的不等式． （Ⅰ）若不等式的解集为，，，求实数的值； （Ⅱ）若，求不等式的解集． 40．（2023秋•海淀区校级期中）已知函数． （1）当时，解不等式； （2）若不等式的解集为，若，，求的取值范围． 一十五．解一元二次不等式（共1小题） 41．（2023秋•茶陵县期中）求下列不等式的解集： （1）； （2）． 一十六．判断两个函数是否为同一函数（共1小题） 42．（2023秋•凉州区校级期中）下列各组函数中表示同一个函数的是　　 A．， B．， C．． D．， 一十七．简单函数的值域（共1小题） 43．（2023秋•灵寿县校级期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，，，，已知函数，则函数的值域为　　 A． B． C．，2， D．，1，2， 一十八．由函数的单调性求解函数或参数（共2小题） 44．（2023秋•民乐县校级期中）已知是定义在上的减函数，并且，求实数的取值范围． 45．（2023秋•东城区校级期中）已知函数． （1）求的定义域； （2）证明：函数在上为减函数． 一十九．函数的最值（共1小题） 46．（2023秋•仁寿县期中）定义某种运算，，设，则在区间，上的最小值 　　． 二十．函数的奇偶性（共3小题） 47．（2023秋•衡阳县校级期中）设函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列说法一定正确的有　　 ①； ②； ③； ④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 48．（2023秋•沙市区校级期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式为 　　． 49．（2023秋•海淀区校级期中）已知函数是定义在上的偶函数．当时，，则当时，　　． 二十一．奇函数偶函数的判断（共2小题） 50．（2023秋•兰州期中）已知函数是奇函数．则实数的值为　　． 51．（2023秋•礼泉县期中）函数的定义域为，且，已知为奇函数，当时，，则当时，的递减区间是 　　 二十二．奇偶性与单调性的综合（共1小题） 52．（2023秋•七里河区校级期中）设奇函数在上为增函数，且（1），则不等式的解集为　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 二十三．分段函数的应用（共8小题） 53．（2023秋•德州期中）德国数学家狄利克雷，是解析数论的创始人之一．他提出了著名的狄利克雷函数：，以下对的说法错误的是　　 A． B．的值域为， C．存在是无理数，使得 D．，总有 54．（2023秋•南安市期中）已知函数的值域为，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 55．（2023秋•温州期中）已知，若是的最小值，则的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 56．（2023秋•江津区校级期中）若函数，，．用表示，中的较大者，记，，则　　 A． B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的值域为 57．（2023秋•诸暨市校级期中）设，则下列选项中正确的有　　 A．若有两个不同的实数解，则， B．若有三个不同的实数解，则， C．的解集是，， D．的解集是，， 58．（2023秋•金水区校级期中）已知函数，以下结论正确的是　　 A．在区间，上先增后减 B． C．若方程在上有6个不等实根，2，3，4，5，，则 D．若方程恰有3个实根，则 59．（2024春•眉山期中）已知且，函数满足对任意不相等的实数，，都有，成立，则实数的取值范围　　． 60．（2023秋•莱西市期中）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 （单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷易错60题（23个考点专练） 一．集合的表示法（共1小题） 1．（2023秋•南开区期中）已知集合，且，则等于　　 A．， B．，2，3， C．，2，3， D．，2，3， 【分析】由已知，应该是6的正因数，所以可能为1，2，3，6，又，得到． 【解答】解：因为集合，且， 所以可能为1，2，3，6， 所以可取4，3，2， 所以，2，3，； 故选：． 【点评】本题考查了集合元素的属性；注意元素的约束条件是解答的关键． 二．集合的包含关系判断及应用（共2小题） 2．（2024秋•辽宁期中）已知集合，，且，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C． D． 【分析】由集合，，且，由集合包含关系的定义比较两个集合的端点可直接得出结论． 【解答】解：已知集合，，且， 当时，，解得， 当时，，并且满足，即．所以， 综上实数的取值范围为：，， 故选：． 【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题解题的关键是根据题设中的条件作出判断，得到参数所满足的不等式，从而得到其取值范围，此类题的求解，可以借助数轴，避免出错． 3．（2023秋•长沙期中）设，，若，则实数的值构成集合是 　　． 【分析】本题的关键是由求出的元素，再由，若，求出值，注意空集的情况 【解答】解：， ， 又， ①时，，显然 ②时，，由于 故答案为： 【点评】本题主要考查集合的包含关系、判断及应用，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征． 三．子集与真子集（共1小题） 4．（2023秋•景德镇期中）集合，1，的真子集的个数是　7　． 【分析】由真子集的概念一一列出即可． 【解答】解：集合，1，的真子集有：，，，，，，，，，，共7个 故答案为：7 【点评】本题考查集合的真子集个数问题，属基础知识的考查． 四．并集及其运算（共3小题） 5．（2023秋•仓山区校级期中）已知集合，，，，若，，，则　0　． 【分析】根据知，求出的值，再验证是否满足题意即可． 【解答】解：集合，，，， 若，，，则， 或， 当时，不满足题意， ． 故答案为：0． 【点评】本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题． 6．（2023秋•宿州期中）已知，，若，则　2或3　． 【分析】求出集合，利用，推出是的子集，是空集，，，，时分别求出的值即可． 【解答】解：，， 又，则 若中方程仅有一解则有，即，解之：符合题意 若中方程有两解，则有，，即：，解之： 综上可知：的值为或． 故答案为：或 【点评】本题是中档题，考查集合之间的基本运算，考查分类讨论思想，是易错题，常考题． 7．（2023秋•江阴市校级期中）符号表示不大于的最大整数，例如：，，． （1）已知，，分别求两个方程的解集、； （2）设方程的解集为，集合，若，求的取值范围． 【分析】（1）根据符号的定义求解即可． （2）将，化为，再分三种情况去绝对值解不等式可得集合，然后对分类讨论，解得集合，根据，列式可求得的取值范围． 【解答】解：（1）因为表示不大于的最大整数， 所以若，则，即方程的解集； 同理，得，即方程的解集为． （2）因为方程，所以， 该不等式等价于或或， 解得或或； 所以该不等式的解集为，，． 又集合， 若，则，满足． 若，则，，， 因为，所以，解得． 若时，则，，， 因为，所以，解得． 综上知，的取值范围是或或． 【点评】本题考查了取整函数的定义，并集的性质和一元二次不等式的解法，考查了运算求解能力，是中档题． 五．交集及其运算（共1小题） 8．（2023秋•桥西区校级期中）已知，，或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 【分析】（1）根据，知集合、无公共元素，进而构造关于的不等式组，求得的取值范围； （2）根据，知，构造关于的不等式组，求得的取值范围． 【解答】解：（1），，或． 若，则， 解得， 的取值范围为，； （2），，或． 若，则， ，或， 解得，或； 的取值范围是，，． 【点评】本题考查了集合关系中的参数取值问题，根据集合的关系，构造不等式组是解题的关键． 六．交、并、补集的混合运算（共6小题） 9．（2023秋•巧家县校级期中）已知集合，____． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答． ①函数的定义域为集合； ②不等式的解集为． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【分析】（1）时集合，化简集合，计算和即可； （2）由得出，讨论和时，即可求出的取值范围． 【解答】解：（1）时，集合， 若选①，则， 所以， 或，所以； 若选②，则， 所以， 或，所以； （2）若，则， 当时，有，解可得， 当时，必有，解得， 综上可得：的取值范围是：，． 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 10．（2023秋•平潭县校级期中）已知集合，． （1）求，； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 【分析】（1）解一元二次不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解作答． （2）由（1）的结论，利用集合的包含关系列式求解作答． 【解答】解：（1）不等式可化为，即， 解得或，所以或，所以， 因为，所以或， 所以或． （2）由（1）知，，因， 当，即，时，满足，则； 当时，，解得； 综上，实数的取值范围是． 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了解一元二次不等式的问题，是基础题． 11．（2023秋•东城区校级期中）设全集，集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，，求实数的值． 【分析】（1）化简集合，求出时集合，再计算即可； （2）由，代入集合求不等式的解集即可； （3）讨论的取值范围，根据题意求解即可． 【解答】解：（1）全集，集合，或； 时，，所以； （2）若，则，整理得，解得或， 所以实数的取值范围是或； （3）因为，，，显然； 当时，，若，，则，此时的值不存在； 当时，，若，，则，解得； 综上，． 【点评】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题． 12．（2023秋•阳高县校级期中）已知集合，． （1）若，求、； （2）若，求实数的取值范围． 【分析】（1）由时求出集合，再根据交集、并集和补集的定义计算即可； （2）根据得，讨论时和时，求出对应实数的取值范围． 【解答】解：（1）时，集合， ，， 所以，； 又，，， 所以，； （2）由，得， ①当时，，解得； ②时，应满足， 解得， 即； 综上知，实数的取值范围是． 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了分类讨论思想，是基础题． 13．（2023秋•广陵区校级期中）设全集为，，． （1）求． （2）若，，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据并集与补集的定义，计算即可； （2）根据知，列出不等式组求出实数的取值范围． 【解答】解：（1）全集为，， ， ， ； （2）， 且，知， 由题意知，， 解得， 实数的取值范围是，． 【点评】本题考查了集合的定义与应用问题，是基础题． 14．（2023秋•船营区校级期中）已知全集，集合，集合求 （1） （2） 【分析】（1）根据补集与并集的定义，进行计算即可； （2）根据补集与交集的定义，计算即可得出结论． 【解答】解：（1）全集，集合， ，，； 又集合， ，，； （2），，， ，． 【点评】本题考查了交集、并集和补集的定义与应用问题，是基础题目． 七．集合的交并补混合运算（共3小题） 15．（2023秋•海沧区校级期中）设集合，． （1）若时，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【分析】（1）由，得到集合，结合集合的交集、并集和补集的运算，即可求解； （2）根据题意，转化为集合是集合的真子集，结合集合的关系，列出不等式组，即可求解． 【解答】解：（1）当时，集合，， 可得， 又由或，所以或． （2）由题意知，集合，， 因为“”是“”的充分不必要条件，即集合是集合的真子集， 可得且等号不能同时成立，解得， 所以实数的取值范围是． 【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了充分必要条件的应用问题，是基础题． 16．（2023秋•简阳市校级期中）已知，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【分析】（1）首先解绝对值不等式求出集合，再根据并集的定义计算可得； （2）依题意可得或，解得即可． 【解答】解：（1）由，即，即，解得， 所以， 当时， 所以 （2）因为，显然， 所以或， 解得或， 即实数的取值范围为，，． 【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了集合思想，是基础题． 17．（2023秋•顺德区校级期中）已知且，，求： （1）； （2）． 【分析】（1）求出集合，，根据集合的并集运算即得答案； （2）求出集合的补集，根据集合的交集运算即可得答案． 【解答】解：（1）因为， 且，， 则，． （2）由（1）可知，，，， 故． 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题． 八．必要不充分条件的应用（共1小题） 18．（2023秋•红山区校级期中）已知集合或，． （1）若，求，； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 【分析】（1）根据交集，并集，补集的概念进行求解； （2）根据题目条件得到是的真子集，列不等式组，求出答案即可． 【解答】解：（1）时，，所以或， ，或， 所以； （2）由题意得是的真子集， 所以时，，解得； 时，或， 解得， 综上，的取值范围是或． 【点评】本题考查了集合的运算以及集合之间的关系应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题． 九．存在量词和存在量词命题（共1小题） 19．（2023秋•番禺区校级期中）下列说法正确的是　　 A．命题“，”的否定是“，” B．是的充分不必要条件 C．的单调减区间为，， D．若命题“，”是假命题，则的取值范围为 【分析】根据存在量词命题的否定可以判断； 根据充分条件和必要条件的定义即可判断； 根据函数单调性定义可以判断； 由命题是假命题可知，函数的图像全部在轴上方，则且△，即可判断． 【解答】解：对于，命题“，”的否定是“，”，选项正确； 对于，由题意知，当时，，所以，充分性成立， 当时，若，则不能得到，必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，选项正确； 对于，由（1）可知，单调递减区间不是，，，选项错误； 对于，由命题“，”是假命题可知，函数的图像全部在轴上方， 当时，则△，即△，得， 当时，因为不成立，所以原命题是假命题成立， 综上，的取值范围是，，选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了推理与判断能力，是基础题． 一十．命题的真假判断与应用（共1小题） 20．（2023秋•郊区校级期中）下面命题正确的是　　 A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“若，则”的否定是“存在，则”． C．设，，则“且”是“”的必要而不充分条件 D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 【分析】分别判断充分性与必要性，即可得出选项是否正确； 根据全称量词命题的否定是存在量词命题，判断选项是否正确． 【解答】解：对于，时，，充分性成立， 时，有或，必要性不成立，是充分不必要条件，所以正确； 对于，命题“任意，则”的否定是“存在，则”，所以正确； 对于，，，则且时，，充分性成立， 时，不能得出且，必要性不成立，是充分不必要条件，所以错误； 对于，设，，时，不能得出，充分性不成立； “”时，得出，必要性成立，是必要不充分条件，所以正确． 故选：． 【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了充分条件与必要条件的判断问题，是基础题． 一十一．基本不等式及其应用（共5小题） 21．（2024秋•巴楚县期中）设，，且，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【分析】由，化，利用基本不等式求出它的最小值． 【解答】解：由，，且， 则， 当且仅当，即，即且时取“”； 所以的最小值为． 故选：． 【点评】本题考查了利用基本不等式求最值的问题，也转化求解能力，是基础题． 22．（2023秋•茶陵县期中）已知，，且，则的最小值是　　 A．10 B．15 C．18 D．23 【分析】化简，从而利用基本不等式求最值． 【解答】解：， （当且仅当，即，时，等号成立） 故选：． 【点评】本题考查了基本不等式的应用，同时考查了整体思想的应用，是基础题． 23．（2023秋•李沧区校级期中）已知正数，满足，则　　 A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为2 【分析】中，利用基本不等式可求出的最大值； 中，利用完全平方式和的最大值可求出的最小值； 中，利用基本不等式可求得的最小值； 中，根据的最大值为，结合对勾函数的性质可求得的最小值． 【解答】解：对于，因为，所以， 当且仅当时“”成立，所以的最大值为，选项正确； 对于，因为，当且仅当时取“”， 所以的最小值为，选项正确； 对于，因为，当且仅当时取“”， 所以的最小值为8，选项错误； 对于，因为的最大值为，且在，内单调递减， 所以的最小值为，选项错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及利用配方法求函数的最值问题，也考查了分析问题和转化思想，是中档题． 24．（2023秋•保定期中）设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为，则有：，，，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家．．提出了“均值”，即，其中为有理数．下列关系正确的是　　 A．，， B．，， C．， D．， 【分析】根据基本不等式比较大小可判断四个选项． 【解答】解：对于，，当且仅当时，等号成立，所以选项正确； 对于，，当且仅当时，等号成立，所以选项错误； 对于，，当且仅当时，等号成立，所以选项正确； 对于，当时，由可知，，所以选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了利用基本不等式比较大小的应用问题，是基础题． 25．（2023秋•东宝区校级期中）如图，为梯形，其中，，设为对角线的交点．表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），表示平行于两底且使梯形与梯形相似的线段，表示平行于两底且过点的线段，表示平行于两底且将梯形分为面积相等的两个梯形的线段，试研究线段，，，与代数式，，，之间的关系．并据此得到它们之间的一个大小关系．你能用基本不等式证明所得的结论吗？ 【分析】根据题中所给的梯形模型，结合平行线分线段成比例定理、相似、面积相等等方式，建立得到几个平均数，再利用基本不等式和作差法比较大小． 【解答】解：因为是梯形的中位线，所以， 因为梯形与梯形相似，所以，， 因为，，所以，同理可得， 所以， 因为， 设这三个梯形的高分别为，，，且， 所以， 所以． 所以， 所以④， 由图可知，，即． 证明：显然． ， ，，． 所以． 【点评】本题考查不等式的性质及证明，考查学生数学建模、逻辑推理以及数学运算等数学核心素养，属于较难的题目． 一十二．二次函数的性质与图象（共1小题） 26．（2023秋•东宝区校级期中）已知二次函数，为实数） （1）若时，且对，恒成立，求实数的取值范围； （2）若时，且对，，恒成立，求实数的取值范围； （3）对，时，恒成立，求的最小值． 【分析】（1）二次函数可化为，讨论、，根据二次函数的图象开口方向，确定对称轴所在的位置，判断函数的单调性，从而求出的取值范围； （2）二次函数化为，对，，恒成立，转化为关于的一次函数，令函数值大于0即可求出的取值范围； （3）利用判别式△得出，代入中利用基本不等式求出最小值． 【解答】解：（1）二次函数，当时，，所以，即， 所以函数化为， 因为，恒成立， 所以当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为， 若，则，函数在内有最小值为，解得，所以； 若，则，函数在内单调递增，令，解得，所以； 若，则，函数在内单调递减，令，解得，所以不存在； 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴为， 函数在内单调递减，有最小值为，解得，所以的值不存在； 综上，实数的取值范围是，； （2）时，，二次函数化为， 对，，恒成立，即，解得， 所以实数的取值范围是，； （3）对，时，恒成立，所以，解得； 所以， 当且仅当，即时取“”， 所以的最小值为1． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，以及基本不等式的应用问题，是难题． 一十三．二次函数的应用（共2小题） 27．（2023秋•台山市校级期中）在人与自然的斗争中，病毒是一个可怕的敌人，为了抗击某种“疫情”，某制药厂最近新增了一条生产线，该生产线的年固定成本为250万元，每生产千箱防疫物资需另投入成本万元．当年产量大于或等于80千箱时，（万元）；当年产量不足80千箱时，（万元）．每千箱产品的售价为60万元，该厂生产的产品能全部售完．年产量为　　千箱时，该厂当年的利润最大？ A．80 B．90 C．95 D．100 【分析】求得当年的利润的解析式，结合二次函数的性质、基本不等式求得正确选项． 【解答】解：设年产量为千箱，当年的利润为万元， 由题意知， 化简得， 当时，， 由二次函数的性质可知，当时，取最大值950， 当时，． 当且仅当，即时，取得最大值1000， 又因为，所以当年产量为100千箱时，该厂当年的利润取得最大值1000万元． 故选：． 【点评】本题考查了利润函数的应用问题，也考查了二次函数的性质和基本不等式求最值问题，是中档题． 28．（2023秋•邢台期中）已知某污水处理厂的月处理成本（万元）与月处理量（万吨）之间的函数关系可近似地表示为．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元． （1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？ （2）请写出该厂每月获利（万元）与月处理量（万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值． 【分析】（1）先求得，利用基本不等式求得正确答案． （2）先求得的解析式，然后根据二次函数的性质求得正确答案． 【解答】解：（1）依题意，，解得， 所以， ， 当且仅当时等号成立， 所以当每月污水处理量为100万吨时，每万吨的处理成本最低． （2）依题意，， 当万吨时，取得最大值为万元． 【点评】本题考查了基本不等式与二次函数的性质应用问题，是中档题． 一十四．一元二次不等式及其应用（共12小题） 29．（2023秋•浙江期中）若不等式的解集为，则函数的零点为　　 A．和 B．和 C．2和 D．和3 【分析】根据不等式的解集求出、的值，代入函数中求解即可． 【解答】解：不等式的解集为， 所以和2是方程的解， 由根与系数的关系知，，解得，； 所以函数可化为， 令，得，解得或， 所以函数的零点为和3． 故选：． 【点评】本题考查了不等式与对应方程和函数的关系应用问题，是基础题． 30．（2023秋•汉寿县校级期中）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为　　 A． B．，， C．， D．，， 【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出、的值，再求对应不等式的解集． 【解答】解：关于的不等式的解集为， 所以1、2是方程的两实数根， 由根与系数的关系得， 解得，； 所以不等式化为， 即， 解得或； 则该不等式的解集为，，． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题目． 31．（2023秋•浙江期中）设，若不等式的解集为，，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】由一元二次不等式解集得到参数关系，写出函数，再比较各函数值的大小． 【解答】解：由不等式的解集为，，所以， 即，所以， 所以，（2），（3），且， 所以． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了三个“二次”的关系应用问题，是基础题． 32．（2023秋•开福区校级期中）关于的不等式在区间，上有解，则实数的取值范围为　　 A． B．， C． D．， 【分析】关于的不等式在区间，上有解，等价于，，，求出在，的最大值即可． 【解答】解：关于的不等式在区间，上有解， 等价于，，； 设，，， 则函数在，单调递减， 且当时，函数取得最大值（1）； 所以实数的取值范围是． 故选：． 【点评】本题考查了函数的单调性、分离参数法，考查了等价转化能力，是综合性题目． 33．（2023秋•泰兴市期中）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是　　 A． B．不等式的解集为 C．的最大值为 D．关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 【分析】由已知结合二次不等式与二次函数，二次方程的转化关系检验各选项即可判断． 【解答】解：关于的不等式的解集为或， 所以和4是方程的两根，且，选项正确； 由根与系数的关系知，，所以，； 所以不等式可化为，即，解得或，选项错误； 由，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，选项正确； 关于的不等式可化为， 令，对称轴，， 因为不等式的解集中仅有两个整数，所以这两个整数是0，1或0，； 当这两个整数是0和1时， 则，解得， 当整数是0和时，由于对称轴时，根据对称性可知，此时显然不符合题意，选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了“三个二次”的关系，也考查了根与系数的关系和一元二次不等式的解法，属于中档题． 34．（2023秋•兴庆区校级期中）已知关于的不等式的解集为或，则的解集为 　　． 【分析】根据不等式的解集得出与、的关系，代入不等式中化简求解即可． 【解答】解：关于的不等式的解集为或，所以和3是方程的解， 由根与系数的关系知，，解得，， 所以不等式可化为，即， 可化为，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想，是基础题． 35．（2023秋•拱墅区校级期中）不等式的解集是，则不等式的解集是　　． 【分析】通过不等式的解集，推出不等式对应方程的根，然后求出所求不等式的解集． 【解答】解：不等式的解集是， 所以， 即， 不等式可化为， 即， 解得， 所以该不等式的解集为． 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目． 36．（2024秋•肥城市校级期中）已知集合，． （1）求，； （2）已知集合，若满足_______，求实数的取值范围． 请从①，②，③中选一个填入（2）中横线处进行解答． 【分析】（1）化简集合，根据集合的运算法则求解即可． （2）选①或选②或选③，都得出，讨论和，列出不等式求得的取值范围． 【解答】解：（1）因为集合，， 所以，， 所以或． （2）选①时，，所以， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上，的取值范围是． 选②时，，所以，以下解法同选①． 选③时，，所以，以下解法同选①． 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了分类讨论思想，是基础题． 37．（2023秋•邗江区校级期中）已知集合， （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【分析】（1）化简集合、，根据交集、补集和并集的定义计算即可； （2）根据得出，利用判别式△求出的取值范围． 【解答】解：（1）集合， 时，，所以， 因为或， 所以或或； （2）若，则，所以△， 解得， 所以实数的取值范围是． 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题． 38．（2023秋•沧州期中）已知，． （1）当时，若，同时成立，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【分析】（1）解不等式得出、；利用，同时成立求实数的取值范围． （2）根据是的充分不必要条件，讨论的取值范围，即可求出结果． 【解答】解：（1）时，解不等式，得； 解不等式，得； 若，同时成立，则， 所以实数的取值范围是． （2）由（1）知，， ， 即， ①当时，， 若是的充分不必要条件，则，解得； ②当时，， 此时不可能是的充分不必要条件，不符合题意． 综上，实数的取值范围是． 【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了充分必要条件，是中档题． 39．（2023秋•衡阳县校级期中）已知关于的不等式． （Ⅰ）若不等式的解集为，，，求实数的值； （Ⅱ）若，求不等式的解集． 【分析】（Ⅰ）根据不等式的解集与对应方程的关系，代入求解即可． （Ⅱ）讨论和，，分别求出对应不等式的解集． 【解答】解：（Ⅰ）因为不等式的解集为，，， 所以且和1是对应方程的解， 所以，解得． （Ⅱ）时，不等式为，解得； 时，不等式化为， 不等式对应方程的根为和1， 若，则，不等式化为，解得或； 若，则不等式化为， 当时，，解不等式得； 当时，，不等式化为，解得； 当时，，解不等式得； 综上知，时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为，，； 时，解不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为，． 【点评】本题考查了不等式与对应方程的关系应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是中档题． 40．（2023秋•海淀区校级期中）已知函数． （1）当时，解不等式； （2）若不等式的解集为，若，，求的取值范围． 【分析】（1）分，和三种情况讨论，从而求出不等式的解集； （2）根据题意得出对任意的，，不等式恒成立，转化为不等式恒成立，再构造函数，求出函数的最大值即可． 【解答】解：（1）因为函数，所以不等式可化为，即； ①当时，即时，不等式为，解得； ②当时，即时，不等式为，因为，所以解不等式得，或； ③当时，即时，不等式为， 因为，所以，所以，解不等式得； 综上知，时，不等式的解集为，； 时，不等式的解集为，，； 时，不等式的解集为，． （2）因为不等式的解集为，且，， 所以对任意的，，不等式恒成立，即恒成立， 因为恒成立，所以恒成立， 设，，，则，所以， 因为，当且仅当，即时取“”， 所以，当且仅当时取“”， 所以当时，的最大值为， 所以的取值范围是，． 【点评】本题考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是难题． 一十五．解一元二次不等式（共1小题） 41．（2023秋•茶陵县期中）求下列不等式的解集： （1）； （2）． 【分析】（1）根据一元二次不等式求解集即可； （2）根据分式不等式的解法求解即可． 【解答】解：（1）不等式可化为， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）不等式可化为， 即， 再化为， 等价于， 解得， 所以不等式的解集为． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题． 一十六．判断两个函数是否为同一函数（共1小题） 42．（2023秋•凉州区校级期中）下列各组函数中表示同一个函数的是　　 A．， B．， C．． D．， 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可． 【解答】解：对于，，与的对应关系不同，不是同一函数； 对于，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于，，与的定义域不同，不是同一函数； 对于，，与的定义域不同，不是同一函数． 故选：． 【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题． 一十七．简单函数的值域（共1小题） 43．（2023秋•灵寿县校级期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，，，，已知函数，则函数的值域为　　 A． B． C．，2， D．，1，2， 【分析】变换得到，确定的值域，计算得到答案． 【解答】解：因为， 当时，，则，所以， 即，所以的值域为，1，2，． 故选：． 【点评】本题考查了求函数的值域应用问题，是基础题． 一十八．由函数的单调性求解函数或参数（共2小题） 44．（2023秋•民乐县校级期中）已知是定义在上的减函数，并且，求实数的取值范围． 【分析】先将题中条件：“”移项得：，再结合是定义在上的减函数，脱去符号：“”，转化为关于的一元不等式组，最后解得实数的取值范围．必须注意原函数的定义域范围． 【解答】解：在上是减函数 由，得 即 解得， 的取值范围是 【点评】本题考查了函数的定义域、数单调性的性质、函数的单调性的反向应用，考查学生的转化能力，属于基础题． 45．（2023秋•东城区校级期中）已知函数． （1）求的定义域； （2）证明：函数在上为减函数． 【分析】（1）由分母，求出函数的定义域即可；（2）首先，任设两个变量，然后，作差比较，最后，得到结论． 【解答】解：（1）由分母，得函数的定义域是， （2）任设，， 且， ， ， ， 函数在上是减函数． 【点评】本题主要考查函数的定义域问题，单调性的定义，借助于函数单调性定义求解时，一定要注意所取的自变量的任意性，属于基础题． 一十九．函数的最值（共1小题） 46．（2023秋•仁寿县期中）定义某种运算，，设，则在区间，上的最小值 　　． 【分析】由定义可知，；从而化简，从而讨论求最小值． 【解答】解：， ， ； 故 ， 故当，时， ； 当，时， （3）； 故在区间，上的最小值为； 故答案为：． 【点评】本题考查了学生对新定义的接受与转化能力，同时考查了分段函数的最值问题，属于难题． 二十．函数的奇偶性（共3小题） 47．（2023秋•衡阳县校级期中）设函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列说法一定正确的有　　 ①； ②； ③； ④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】由题意得，且且（1），从而可得函数为周期函数，从而依次判断即可． 【解答】解：是偶函数，， 令得，，即， 是奇函数，且（1）， ， ， （1）， 故①②③正确； 若，则满足以上性质， 但不恒成立，故④错误； 故选：． 【点评】本题考查了函数的性质的综合应用，是中档题． 48．（2023秋•沙市区校级期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式为 　　． 【分析】首先考虑时的情况，利用奇函数的定义即可获得函数值，然后考虑时的情况，任设， 则，利用已知条件：当时，和函数是定义在上的奇函数，化简即可获得时的解析式．最后写成分段函数的形式即可． 【解答】解：由题意可知： 当时，函数是定义在上的奇函数，，； 当时，任设，则，又因为：当时，， 所以：，又因为函数是定义在上的奇函数， ， ． 所以函数在上的解析式为：． 故答案为：． 【点评】本题考查的是函数的奇偶性和解析式求解的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、奇函数的定义以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思． 49．（2023秋•海淀区校级期中）已知函数是定义在上的偶函数．当时，，则当时，　　． 【分析】先设得，代入已知的解析式求出，再由偶函数的关系式求出． 【解答】解：设，则， 当时，，， 是定义在上的偶函数， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了利用函数奇偶性求函数的解析式，即求谁设谁，利用负号转化到已知范围内，求出的关系式，再利用偶函数的关系式求出的表达式，考查了转化思想． 二十一．奇函数偶函数的判断（共2小题） 50．（2023秋•兰州期中）已知函数是奇函数．则实数的值为　1　． 【分析】先求出函数自变量的取值范围，发现有0，再根据奇函数定义域内有0函数值为0的结论，把代入解析式即可求实数的值． 【解答】解：由题得其自变量的取值须满足，即为，中间有0， 又因为奇函数中，所以有． ． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查奇函数的性质．如果一个函数是奇函数，那么其定义域关于原点对称，且对定义域内的所有自变量，都有成立．（注意奇函数定义域内有0，函数值一定为． 51．（2023秋•礼泉县期中）函数的定义域为，且，已知为奇函数，当时，，则当时，的递减区间是 　，　 【分析】由为奇函数，利用换元法得，再设，则，代入解析式求出，由关系式求出 ，根据二次函数的单调性求出它的减区间． 【解答】解：由题意知，为奇函数，则， 令，则，故，即， 设，则， 当时，，， ，函数的对称轴 故所求的减区间是． 故答案为：． 法二：当时，，函数图象开口向上，对称轴， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 又为奇函数，关于原点对称，则关于点对称，且在对称区间内的单调性相同， 所以当时，的递减区间是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查对单调性和奇偶性的理解，判断函数奇偶性和求函数单调区间的基本方法以及函数解析式的求解方法的掌握，关键利用奇函数的定义推出的关系式；并且函数的单调性、奇偶性是高考函数题的重点考查内容． 二十二．奇偶性与单调性的综合（共1小题） 52．（2023秋•七里河区校级期中）设奇函数在上为增函数，且（1），则不等式的解集为　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论． 【解答】解：奇函数在上为增函数，（1） 在上为增函数，（1） 则不等式等价为不等式， 即 即当时，，即， 当时，，解得， 即不等式的解集为，， 故选：． 【点评】本题主要考查不等式的解法，此类问题往往借助于函数图象分析．奇函数的图象关于原点成中心对称． 二十三．分段函数的应用（共8小题） 53．（2023秋•德州期中）德国数学家狄利克雷，是解析数论的创始人之一．他提出了著名的狄利克雷函数：，以下对的说法错误的是　　 A． B．的值域为， C．存在是无理数，使得 D．，总有 【分析】根据狄利克雷函数的定义与性质，对选项中的命题判断正误即可． 【解答】解：对于，当为有理数时，，所以； 当为无理数时，，所以， 所以，选项正确； 对于，因为，所以的值域为，，选项正确； 对于，当为无理数时，也是无理数，所以； 当为无理数时，，所以，选项错误； 对于，当为有理数时，也是有理数，也是有理数，所以； 当为无理数时，也是无理数，也是无理数，所以， 所以，选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，理解狄利克雷函数的定义是解题的关键，是基础题． 54．（2023秋•南安市期中）已知函数的值域为，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】运用分段函数以及一次函数，简化函数的单调性，函数的值域列出不等式组，求解即可． 【解答】解：函数的值域为， 可得：，解得． 故选：． 【点评】本题考查分段函数的知识，值域的求法，是基础题． 55．（2023秋•温州期中）已知，若是的最小值，则的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】法1：利用排除法进行判断， 法2：根据二次函数的图象以及基本不等式的性质即可得到结论． 【解答】解：法一：排除法． 当时，结论成立，排除； 当时，不是最小值，排除、，选． 法二：直接法． 由于当时，在时取得最小值为， 由题意当时，， 若，此时最小值为， 故， 即，解得，此时， 若，则，条件不成立， 故选：． 【点评】本题主要考查函数最值的应用，根据分段函数的性质，结合二次函数的图象和性质是解决本题的关键． 56．（2023秋•江津区校级期中）若函数，，．用表示，中的较大者，记，，则　　 A． B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的值域为 【分析】先利用定义求出的解析式，根据解析式结合二次函数及一次函数的性质作出函数图象，利用图象法即可得解． 【解答】解：令，即，解得或，此时； 令，即，解得，此时； 所以，作出函数的图象，如图所示： 从图象上看，函数无最大值和最小值，值域为． 故选：． 【点评】本题考查了函数的图象与性质应用问题，是基础题． 57．（2023秋•诸暨市校级期中）设，则下列选项中正确的有　　 A．若有两个不同的实数解，则， B．若有三个不同的实数解，则， C．的解集是，， D．的解集是，， 【分析】根据题意画出函数的图象，结合图象求解即可． 【解答】解：画出函数的图象，如图所示： 由图可知，与，的图象有两个交点，则，选项错误； 与，的图象有三个不同的交点时，，，所以选项正确； 不等式的解集是，，，所以选项正确； 令，由，即，可得或， 则或，解得或或， 所以的解集是，，，选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式解集的判断问题，是中档题． 58．（2023秋•金水区校级期中）已知函数，以下结论正确的是　　 A．在区间，上先增后减 B． C．若方程在上有6个不等实根，2，3，4，5，，则 D．若方程恰有3个实根，则 【分析】求得在区间上的解析式，并画出图象，对选项进行分析，从而确定正确答案． 【解答】解：当，时，，，． 当，时，，，， 当时，． 由此画出在区间上的图象如图所示， 对于，由图可知，在区间，上先增后减，选项正确． 对于，，（1）， 所以，选项正确． 对于，的图象与有6个交点，不妨设， 结合二次函数的对称性可知，，所以，选项错误． 对于，方程恰有3个实根，即图象与直线有3个公共点， 直线恒过点， 由，消去并化简得， △，解得或（舍去）． 此时直线与的图象有3个公共点，如图所示． 由，消去并化简得， △，解得或（舍去）， 此时直线与的图象有2个公共点； 直线过点，，斜率为，直线， 结合图象可知，要使图象与直线有3个公共点，则需． 综上所述，的取值范围是，选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了分段函数应用问题，也考查了函数与方程的应用问题，是难题． 59．（2024春•眉山期中）已知且，函数满足对任意不相等的实数，，都有，成立，则实数的取值范围　，　． 【分析】由题意可知在上为增函数，对各段考虑即有，即，①，②注意，有，即有③，求出三个的交集即可． 【解答】解：由于函数，又对任意实数，都有成立， 则在上为增函数． 当时，函数为增，则有，即，① 当时，函数为增，则有，② 由在上为增函数，则，即有③， 由①②③可得的取值范围为：． 故答案为：，． 【点评】本题考查分段函数及运用，考查函数的单调性及运用，注意各段的单调性，以及分界点的情况，属于易错题和中档题． 60．（2023秋•莱西市期中）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 （单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义． 【分析】（1）由题意知求出时的取值范围即可； （2）分段求出的解析式，判断的单调性，再说明其实际意义． 【解答】解；（1）由题意知，当时， ， 即， 解得或， 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当时， ； 当时， ； ； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数所占比为时，人均通勤时间最少． 【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$