专题04走进几何世界（基础+中等类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

专题04走进几何世界思维导图 【类型覆盖】 类型一、常见的几何体 【解惑】下面的几何体中，属于柱体的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【融会贯通】 1．下列四个几何体中，棱锥是（    ） A． B． C． D． 2．给出以下几何体，其中是柱体的有 ．（填序号） 3．在横线上写出每个几何体的名称：                              类型二、点、线、面、体关系 【解惑】把卫星看成点，则卫星在预定轨道飞行留下的痕迹体现了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交成线 【融会贯通】 1．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 2．我们已经认识了“点动成线，线动成面，面动成体”的数学事实，则“汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹”这一现象说明了 的数学事实 3．灯笼是一种古老的汉族传统工艺品．你见过一种折叠灯笼（如图）吗？它未提起时看起来是平面的，可是提起来后却变成了美丽的灯笼，这个过程可近似的用数学原理来解释： ．    类型三、几何体展开图的认识 【解惑】图所示的平面图形经过折叠后能围成棱柱的是（　　） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【融会贯通】 1．如图是某几何体的展开图，该几何体是（     ） A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．棱锥 2．下面的图形经过折叠可以围成的几何体名称是 ． 3．如图是某立体图形的展开图，则这个立体图形的名称是 ． 类型四、几何体中的点、棱、面 【解惑】下列立体图形中，由五个面围成的是（   ） A．三棱柱 B．圆柱 C．四棱柱 D．五棱柱 【融会贯通】 1．如图，几何体球的面数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．一个八棱柱有 个面． 3．设六棱柱有个面，条棱，个顶点，则 ． 类型五、正方体面对面的字或图案 【解惑】如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字是（    ）． A．我 B．中 C．国 D．梦 【融会贯通】 1．在下列四个正方体中，只有一个是用如图所示的纸片折叠而成的，那么这个正方体是（   ） A． B． C． D． 2．将如图所示的正方体的展开图重新折叠成正方体，和“你”字相对的汉字是 . 3．一个正方体的六个面分别标有数字，从三个不同的方向看到的情形如图所示，则数字的对面是 ． 类型六、补一个面使图形围成正方体 【解惑】如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【融会贯通】 1．将下图补充一个黑色小正方形，使它折叠后能围成一个正方体，下列补充正确的(　　) A． B． C． D． 2．小强有6个大小一样的正方形，他已用5个正方形拼成了如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的图形能够折叠成一个封闭的正方体盒子，他的第6个正方形可放在 的位置（填写序号）． 3．如图有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使它能折成一个正方体，共有 种添法． 类型七、求两点折叠的距离 【解惑】如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【融会贯通】 1．图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形的顶点A、B在图2围成的小正方体上的距离是 ．    3．如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上两点间的距离为 ． 类型八、平面图形旋转后所得的立体图形 【解惑】如图，将长方形绕着虚线旋转一周，可以得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，左边的图形绕虚线旋转一周，形成的几何体是（    ） A． B． C． D． 2．已知长方形的长和宽分别为，，以它的一边为轴，将长方形旋转一周，所得几何体的体积为 （结果保留）， 3．如图，是一个长为，宽为的长方形，现将长方形绕虚线旋转一周． (1)旋转后得到的几何体的名称是______； (2)求所得的这个几何体的下底面积．（结果保留） 类型九、由展开图计算几何体的表面积和体积 【解惑】如图中，甲的表面积（   ）乙的表面积． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【融会贯通】 1．我国古代数学名著《九章算术》中指出：底面为正方形的长方体体积是“方自乘，以高乘之即积尺”．即先用底面边长乘边长，再乘高得到长方体的体积．如果底面边长为a，高为h，底面积为S，体积为V，能完整表述这个方法的选项是（    ） A． B． C． D． 2．一个半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，这个平行四边形的面积是 ．（结果保留） 3．下面是一个长方体（单位：），我们能看到的三个面（如图）分别标有A、B、C，另三个面分别标有D、E、F． (1)D面与A面相对，E面与C面的面积相等，求E面的面积和这个长方体的体积． (2)下面关于这个长方体展开图各面字母标注正确的是　　． 类型十、七巧板 【解惑】如图，用一块正方形厚纸板做了一套七巧板，现用它拼出一座桥（如图），那么这座桥的阴影部分面积占正方形面积的（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．（组合图形求面积）用边长为的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成 “小天鹅”图案（如图），其中阴影部分的面积为（    ） ． A． B． C． D． 2．七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，整个七巧板拼图是个正方形，若七巧板中标有“3”的平行四边形的面积 ，则标有“5”的正方形的面积S₅的值为 ． 3．七巧板是中国传统的智力玩具，由七块板组成，包括五个等腰直角三角形、一个正方形、一个平行四边形．若正方形的边长为4，按图1的方式画线，然后沿实线分割，得到一副七巧板，如图2所示． (1)求的面积； (2)选择图2中的若干块（每块只能用一次），拼成面积为8的正方形，请画出三种不同类型的拼法，并标好各块序号． 【一览众山小】 1．下列四个图形中，不能够围成一个正方体的是（     ） A． B． C． D． 2．用一个平面截下列几何体，①正方体②球体③圆柱④圆锥，截面可能是三角形的是（    ） A．① B．①② C．①④ D．①③④ 3．如图是一个长方体的表面展开图，若正方体相对面上的两数之积相等，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 4．一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于 立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中， 不带红色的小正方体的个数等于 ， 那么两面带红色的小正方体的个数等于 ． 5．一个长方体的展开图如图所示，每个面分别标上的了六个数字（数字在长方体的内侧），已知3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形．这个长方体的体积是 ． 6．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“的”字所在的面相对的面上标汉字是 ． 7．请写出图中的平面图形绕其所画虚线旋转一周之后形成的立体图形的名称． ①___________；    ②___________；    ③___________． 8．小明在学习《展开与折叠》这一课后，明白了正方体能展开成多种平面图形课后，小明用剪刀将一个正方体纸盒剪开，一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的（1）和（2），根据你所学的知识解答： (1)小明想把剪断的（2）重新粘贴到（1）上去，而且经过折叠后，仍然可以还原成一个正方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸盒粘贴到（1）中的什么位置？请在图（1）的备用图上补全画出所有可能的情况； (2)小明将若干个同样大小的正方体纸盒搭建成一个几何体，该几何体的三视图如下： ①请你观察：小明用了多少个正方体盒子组成这个几何体？ ②若正方体纸盒的棱长为，求出小明所搭的几何体的表面积包括底面． 9．综合与实践：用一张正方形的纸片制作一个无盖长方形盒子． 如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． (1)如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，请你用含，的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积________． (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入如表： 剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（   ） A．一直增大　B．一直减小　C．先增大后减小　D．先减小后增大 (4)为了得到边长为的无盖长方体盒子的最大容积，小明请教学习编程的哥哥后得到；当剪去小正方形的边长为原正方形纸片边长的时，此时容积最大，请你求出此时无盖长方体的最大容积：________． 10．欧拉（，1707年1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献.他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式. (1)观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数 4 ______ ______ ______ 棱数 6 ______ ______ ______ 面数 4 ______ ______ ______ (2)分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系为：______；一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱.请问该多面体表面三角形与八边形的个数之和是多少？ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04走进几何世界思维导图 【类型覆盖】 类型一、常见的几何体 【解惑】下面的几何体中，属于柱体的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查认识立体图形，解题的关键是熟练的掌握认识立体图形． 根据柱体、锥体、球体的形体特征进行判断即可． 【详解】解：图中的几何体从左到右依次是：长方体、圆柱、四棱柱、三棱锥、圆锥、三棱柱， 因此柱体有：长方体、圆柱、四棱柱、三棱柱，共4个， 故选：D． 【融会贯通】 1．下列四个几何体中，棱锥是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了棱锥．熟练掌握棱锥的定义是解题的关键． 根据棱锥的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A是棱柱，B是圆柱，C是棱锥，D是圆锥， 故选：C． 2．给出以下几何体，其中是柱体的有 ．（填序号） 【答案】①③④⑥ 【分析】本题考查了认识立体图形，解题的关键是掌握柱体、锥体和球体的概念并结合实物进行区分． 【详解】解：柱体的序号为：①③④⑥， ②是球体，⑤是锥体， 故答案为：①③④⑥． 3．在横线上写出每个几何体的名称：                              【答案】 球/球体 圆锥 三棱锥 圆柱/圆柱体 六棱柱 【分析】此题主要考查了认识几何体，根据所给图形的特征进行判断，熟记常见立体图形的特征是解题的关键． 【详解】解：根据几何体的特征可知，依次为：球、圆锥、三棱锥、圆柱、六棱柱， 故答案为：球、圆锥、三棱锥、圆柱、六棱柱． 类型二、点、线、面、体关系 【解惑】把卫星看成点，则卫星在预定轨道飞行留下的痕迹体现了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交成线 【答案】A 【分析】本题考查点，线，面，体之间的关系，根据题意，卫星看成点，故体现了点动成线，即可． 【详解】解：由题意，得：把卫星看成点，则卫星在预定轨道飞行留下的痕迹体现了点动成线； 故选∶A． 【融会贯通】 1．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案．熟练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键． 【详解】解：打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为线动成面， 故选：B 2．我们已经认识了“点动成线，线动成面，面动成体”的数学事实，则“汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹”这一现象说明了 的数学事实 【答案】线动成面 【分析】此题主要考查了点、线、面、体，从运动角度得出是解题关键． 从运动的观点来看，线动成面，进而得出答案． 【详解】解：“汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹”这一现象说明了线动成面的数学事实．  故答案为：线动成面． 3．灯笼是一种古老的汉族传统工艺品．你见过一种折叠灯笼（如图）吗？它未提起时看起来是平面的，可是提起来后却变成了美丽的灯笼，这个过程可近似的用数学原理来解释： ．    【答案】面动成体 【分析】本题考查了根据点、线、面、体的相关知识，根据点、线、面、体相关的知识进行解答即可． 【详解】解：依题意，由平面图形变成立体图形的过程是面动成体， 故答案为：面动成体． 类型三、几何体展开图的认识 【解惑】图所示的平面图形经过折叠后能围成棱柱的是（　　） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了棱柱的展开图，掌握棱柱的特点及展开图的特点是解题的关键． 【详解】解：①②③能围成棱柱，④围成棱柱时，有两个面重合，不能围成棱柱， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图是某几何体的展开图，该几何体是（     ） A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．棱锥 【答案】B 【分析】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键． 根据几何体的展开图可直接进行排除选项． 【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱． 故选：B． 2．下面的图形经过折叠可以围成的几何体名称是 ． 【答案】三棱柱 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记三棱柱的特征及正方体展开图的各种情形． 【详解】根据题意得，有2个三角形的面，3个长方形的面， ∴围成的几何体名称是三棱柱． 故答案为：三棱柱． 3．如图是某立体图形的展开图，则这个立体图形的名称是 ． 【答案】三棱柱 【分析】本题考查了几何体的展开图，熟悉三棱柱的展开图特点，是解答此题的关键． 【详解】解：因为三棱柱的展开图为三个长方形和两个三角形，所以这个立体图形是三棱柱． 故答案为：三棱柱． 类型四、几何体中的点、棱、面 【解惑】下列立体图形中，由五个面围成的是（   ） A．三棱柱 B．圆柱 C．四棱柱 D．五棱柱 【答案】A 【分析】本题考查了对立体图形构成的面数的理解，特别是柱和棱柱的面数．柱和棱柱由侧面和底面构成，其中棱柱的侧面数等于其底面边数，而柱的底面为圆形，只有两个底面和侧面数．据此即可求解． 【详解】解：A：三棱柱有5个面：3个侧面和2个底面，符合题意； B：圆柱有3个面：1个侧面和2个底面，不符合题意； C：四棱柱有6个面：4个侧面和2个底面，不符合题意； D：五棱柱有7个面：5个侧面和2个底面，不符合题意； 故选：A ． 【融会贯通】 1．如图，几何体球的面数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题主要考查了球的面数，熟练掌握球的定义是解答此题的关键．根据球的定义解答即可． 【详解】解：球有一个面组成，因此几何体球的面数是1个． 故选：A． 2．一个八棱柱有 个面． 【答案】10/十 【分析】此题考查了立体图形的面，理解棱柱的面=棱柱数+上下两个底面，据此解答 【详解】解：一个八棱柱有个面， 故答案为10 3．设六棱柱有个面，条棱，个顶点，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了几何体中的点，面，棱的特点，六棱柱有上下2个底面，6个侧面，共8个面，有18条棱，12个顶点，据此求解即可． 【详解】解：六棱柱有上下2个底面，6个侧面，共8个面，有18条棱，12个顶点， ∴， ∴， 故答案为：． 类型五、正方体面对面的字或图案 【解惑】如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字是（    ）． A．我 B．中 C．国 D．梦 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“你”与“梦”相对，面“我”与面“中”相对，“的”与面“国”相对． 故选：C． 【融会贯通】 1．在下列四个正方体中，只有一个是用如图所示的纸片折叠而成的，那么这个正方体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体侧面展开图，熟练掌握正方体侧面展开图是解题的关键． 根据正方体的侧面展开图特点一一排除即可． 【详解】解：由图可知，A、B的正方体展开后，黑点所在的面分别在小三角形所在面的上面和右边，与所给纸片不符，故不符合要求；可排除； C的小圆圈的右边是空白，与所给纸片不符合，故不符合要求；也可排除； 故选：D． 2．将如图所示的正方体的展开图重新折叠成正方体，和“你”字相对的汉字是 . 【答案】快 【分析】此题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，用正方体及其表面展开图的特点，从相对面入手，分析及解答问题． 【详解】解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，  ∴和“你”字相对的汉字是“快”．  故答案为：快．  3．一个正方体的六个面分别标有数字，从三个不同的方向看到的情形如图所示，则数字的对面是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体对面的数字，根据第二个和第三个正方体可知，和数字相邻的数有，即得到数字对面是，据此即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由第二个和第三个正方体可知，和数字相邻的数有， ∴数字对面是， 即数字的对面是， 故答案为：． 类型六、补一个面使图形围成正方体 【解惑】如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】C 【分析】利用正方体的展开图的特征解答即可． 【详解】解：如图所示，不同的选法有2处， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开图．解题的关键是掌握四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形． 【融会贯通】 1．将下图补充一个黑色小正方形，使它折叠后能围成一个正方体，下列补充正确的(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能围成正方体的“一四一”，“二三一”，“三三”，“二二二”的基本形态要记牢，解题时，据此即可判断答案． 【详解】解：A、出现“凹”字的，不能组成正方体，错误； B、能组成正方体，正确； C、有两个面重合，不能组成正方体，错误； D、四个方格形成的“田”字的，不能组成正方体，错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了展开图折叠成正方体的知识，解题关键是根据正方体的特征，或者熟记正方体的11种展开图，只要有“田”，“凹”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 2．小强有6个大小一样的正方形，他已用5个正方形拼成了如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的图形能够折叠成一个封闭的正方体盒子，他的第6个正方形可放在 的位置（填写序号）． 【答案】③ 【分析】根据正方体的表面展开图分析即可求解． 【详解】解：如图所示， 故答案为：③． 【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，理正方体的表面展开图的模型是解题的关键．正方体的表面展开图用‘口诀’：一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面，间二、拐角邻面知． 3．如图有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使它能折成一个正方体，共有 种添法． 【答案】4/四 【分析】按照正方体及其表面展开图的特点分析作出图形即可. 【详解】解：一共有以下4种添法： 故答案为：4． 【点睛】本题考查正方体的表面展开图，解题的关键是熟练掌握正方体的11种展开图. 类型七、求两点折叠的距离 【解惑】如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 【融会贯通】 1．图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离． 【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置， 蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了展开图折成几何体，判断出、的在正方体中的位置是解题的关键． 2．如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形的顶点A、B在图2围成的小正方体上的距离是 ．    【答案】1 【分析】本题考查了展开图折成几何体，判断出A、B两点在正方体上的位置是解题关键．由展开图折叠成几何体可知，正方体上的顶点A、B是同一棱上的两个端点，据此即可得到答案． 【详解】解：由展开图折叠成几何体可知，正方体上的顶点A、B是同一棱上的两个端点， 即A、B的距离是正方体的棱长1， 故答案为：1． 3．如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上两点间的距离为 ． 【答案】3 【分析】将正方体的展开图叠成一个正方体，A、B刚好是同一个面的对角线，于是可以求出结果． 【详解】将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为两倍对角线为6，那么对角线的长度就是， 即正方体上两点间的距离为：3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开与折叠，将正方体的展开图正确折叠是解题的关键，难点在于确定A、B两点折叠后的位置． 类型八、平面图形旋转后所得的立体图形 【解惑】如图，将长方形绕着虚线旋转一周，可以得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查点，线，面，体，掌握立体图形的展开图的特点是解题的关键，根据平面图形的旋转与立体图形的展开图的关系即可求解． 【详解】 解：将长方形绕着虚线旋转一周，可以得到的立体图形是， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，左边的图形绕虚线旋转一周，形成的几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的旋转，熟练掌握图形的旋转是解题关键．根据面动成体的原理即可解答． 【详解】解：图中的图形绕虚线旋转一周，形成的几何体是两个底面相等的圆锥， 观察四个选项可知，选项C符合题意， 故选：C． 2．已知长方形的长和宽分别为，，以它的一边为轴，将长方形旋转一周，所得几何体的体积为 （结果保留）， 【答案】或 【分析】本题考查立体图形的知识，解题的关键是分类讨论：以的边为旋转轴；以的边为旋转轴，得到立体图形，根据圆柱的体积，进行计算，即可． 【详解】解：∵长方形旋转一周得到圆柱体， ∴当以的边为旋转轴时，圆柱体的高为，底面半径为，此时体积为：； 当以的边为旋转轴时，圆柱体的高为，底面半径为，此时体积为：； 故答案为：或． 3．如图，是一个长为，宽为的长方形，现将长方形绕虚线旋转一周． (1)旋转后得到的几何体的名称是______； (2)求所得的这个几何体的下底面积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题主要考查了面动成体，求圆柱的底面积： （1）长方形绕其一边旋转一周得到的几何体为圆柱，据此可得答案； （2）圆柱的底面是圆，根据圆的面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：长方形绕虚线旋转一周得到的几何体为圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：， ∴所得的这个几何体的下底面积为． 类型九、由展开图计算几何体的表面积和体积 【解惑】如图中，甲的表面积（   ）乙的表面积． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】C 【分析】此题是考查表面积的区别和求法．根据表面积是指物体所有面的总面积．根据表面积的意义，可知甲的表面积等于乙的表面积． 【详解】解：甲的表面积等于乙的表面积都等于24个小正方形的面积． 故选：C． 【融会贯通】 1．我国古代数学名著《九章算术》中指出：底面为正方形的长方体体积是“方自乘，以高乘之即积尺”．即先用底面边长乘边长，再乘高得到长方体的体积．如果底面边长为a，高为h，底面积为S，体积为V，能完整表述这个方法的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方体体积的计算方法可知，长方体的体积底面积高，据此解答．本题主要考查长方体体积的计算方法及应用． 【详解】解：如果底面边长为，高为，底面积为，体积为，且长方体的体积=底面积×高 ∴能完整表述这个方法的选项是． 故选：B 2．一个半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，这个平行四边形的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查求圆柱体展开图的面积，直接利用展开图的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，平行四边形的面积为：； 故答案为：． 3．下面是一个长方体（单位：），我们能看到的三个面（如图）分别标有A、B、C，另三个面分别标有D、E、F． (1)D面与A面相对，E面与C面的面积相等，求E面的面积和这个长方体的体积． (2)下面关于这个长方体展开图各面字母标注正确的是　　． 【答案】(1)E面的面积为，长方体的体积为． (2)B． 【分析】本题考查了长方体的展开图，长方体的表面积和体积，根据相邻面的情况确定出相邻的四个字母是确定对面上的字母的关键． 根据长宽=长方形的面积，长宽高长方体的体积可解答； 根据D面与A面相对，E面与C面相对可得正确的长方体的展开图． 【详解】（1）解：∵E面与C面的面积相等， ∴E面的面积C面的面积， 由图可知：长方体的体积 （2）解：由图可知：这个长方体展开图各面字母标注正确的是B， 故答案为：B． 类型十、七巧板 【解惑】如图，用一块正方形厚纸板做了一套七巧板，现用它拼出一座桥（如图），那么这座桥的阴影部分面积占正方形面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平面图形的认识．读图分析阴影部分与整体的位置关系，易得阴影部分的面积即为原正方形的面积的一半． 【详解】解：读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半， 则阴影部分面积占正方形面积的． 故选：A． 【融会贯通】 1．（组合图形求面积）用边长为的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成 “小天鹅”图案（如图），其中阴影部分的面积为（    ） ． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查组合图形的面积，根据图示可知，“小天鹅”图案是由边长是分米的正方形切拼而成，所以“小天鹅”图案的面积等于这个正方形的面积．根据阴影部分的面积占整个正方形面积的分率求解即可． 【详解】如图： 答：阴影部分的面积为 故选： B． 2．七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，整个七巧板拼图是个正方形，若七巧板中标有“3”的平行四边形的面积 ，则标有“5”的正方形的面积S₅的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了七巧板拼接图形，根据，，结合题意，即可求解． 【详解】解：设标有4和6的三角形面积分别为， 根据题意可得，又， ∴， 故答案为：3． 3．七巧板是中国传统的智力玩具，由七块板组成，包括五个等腰直角三角形、一个正方形、一个平行四边形．若正方形的边长为4，按图1的方式画线，然后沿实线分割，得到一副七巧板，如图2所示． (1)求的面积； (2)选择图2中的若干块（每块只能用一次），拼成面积为8的正方形，请画出三种不同类型的拼法，并标好各块序号． 【答案】(1)1 (2)见解析 【分析】本题主要考查了七巧板的问题： （1）根据题意得：正方形是由16个完全一样的三角形组成的，从而得到，即可求解； （2）根据①与②的面积之和为8，①与③与⑤与⑦的面积之和为8，③与④与⑤与⑥与⑦的面积之和为8，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：正方形是由16个完全一样的三角形组成的， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴； （2）解：如图， 【一览众山小】 1．下列四个图形中，不能够围成一个正方体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了展开图折叠成几何体，只要有“田”，“凹”字格的展开图都不是正方体的表面展开图，据此特点求解即可． 【详解】解：A、C、D经过折叠均能围成正方体；B折叠后有重叠的面，不能围成正方形．  故选：B． 2．用一个平面截下列几何体，①正方体②球体③圆柱④圆锥，截面可能是三角形的是（    ） A．① B．①② C．①④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了截一个几何体，正确认识几何体的形状是解题的关键．本题根据各立体图形的形状结合实际操作进行判断即可． 【详解】解：由题意得，截面的形状可能是三角形的有①正方体；④圆锥； 故选：C． 3．如图是一个长方体的表面展开图，若正方体相对面上的两数之积相等，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查正方体的展开图，解题的关键是掌握正方体展开图中对应面的关系．利用空间想象能力得出相对面的对应关系，从而求出a、b的值，即可求出结果． 【详解】解：根据正方体的展开图，可知：2和6是相对面，a和是相对面，4和b是相对面， ∵正方体相对面上的两数之积相等， , ,, . 故答案为：B. 4．一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于 立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中， 不带红色的小正方体的个数等于 ， 那么两面带红色的小正方体的个数等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了立体图形，由不带红色的小正方体的个数等于 ，说明这个长方体是的长方体，那么三面涂色的顶点处，两面带红色的小正方体都在这个长方体的棱上，正确理解立体图形的特点是解题的关键． 【详解】解：∵是质数， ∴只能是的无红色， ∴原来大小是， 把它看成三层：第一层：棱块有（个）， 第二层：只有个； 第三层：同第一层个， ∴两面带红色的小正方体的个数共个， 故答案为：． 5．一个长方体的展开图如图所示，每个面分别标上的了六个数字（数字在长方体的内侧），已知3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形．这个长方体的体积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方体的展开图形、有理数的混合运算的应用，先求出5号面的面积，由图可得3、6都是长方体，且面积相等，从而得出号面的面积，最后根据长方体体积公式计算即可得解． 【详解】解：∵5号面是一个边长3厘米的正方形， ∴5号面的面积为， 由图可得3、6都是长方体，且面积相等， ∵3、5、6三面面积之和是， ∴号面的面积为， ∴这个长方体的体积是， 故答案为：． 6．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“的”字所在的面相对的面上标汉字是 ． 【答案】国 【分析】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正确判断正方体展开图中“相对的面在展开图中隔一相对”是正确解答的关键．根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “祖”与“厉”是相对的面， “国”与“的”是相对的面， “我”与“害”是相对的面， 故答案为：国． 7．请写出图中的平面图形绕其所画虚线旋转一周之后形成的立体图形的名称． ①___________；    ②___________；    ③___________． 【答案】①圆锥；②球体；③圆柱 【分析】本题主要考查了面动成体，熟记各种图形旋转得出的立体图形是解题关键．直角三角形绕直角边旋转一周得到的立体图形是圆锥，长方形绕一边旋转一周得到的立体图形是圆柱，半圆绕直径旋转一周得到的立体图形是球，据此可得答案． 【详解】解：直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周得到的图形为圆锥； 半圆沿着它的直径旋转一周得到的图形为球体； 长方形绕着它的一边旋转一周得到的图形为圆柱； 故答案为：①圆锥；②球体；③圆柱． 8．小明在学习《展开与折叠》这一课后，明白了正方体能展开成多种平面图形课后，小明用剪刀将一个正方体纸盒剪开，一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的（1）和（2），根据你所学的知识解答： (1)小明想把剪断的（2）重新粘贴到（1）上去，而且经过折叠后，仍然可以还原成一个正方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸盒粘贴到（1）中的什么位置？请在图（1）的备用图上补全画出所有可能的情况； (2)小明将若干个同样大小的正方体纸盒搭建成一个几何体，该几何体的三视图如下： ①请你观察：小明用了多少个正方体盒子组成这个几何体？ ②若正方体纸盒的棱长为，求出小明所搭的几何体的表面积包括底面． 【答案】(1)见解析 (2)①个；②表面积为平方厘米 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，求几何体的表面积： （1）根据正方体展开图“33型”有1种，“222型”有1种，“141型”有6种，“132型”有3种，结合已给图形进行求解即可； （2）①根据从不同方向看的图形分别确定每个位置小正方体的个数即可得到答案；②根据几何体表面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：①如图所示，每个位置的小立方体数如下所示： ∴小明用了个正方体盒子组成这个几何体； ②， 答：表面积为平方厘米． 9．综合与实践：用一张正方形的纸片制作一个无盖长方形盒子． 如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． (1)如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，请你用含，的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积________． (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入如表： 剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（   ） A．一直增大　B．一直减小　C．先增大后减小　D．先减小后增大 (4)为了得到边长为的无盖长方体盒子的最大容积，小明请教学习编程的哥哥后得到；当剪去小正方形的边长为原正方形纸片边长的时，此时容积最大，请你求出此时无盖长方体的最大容积：________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)C (4) 【分析】本题考查认识立体图形，掌握长方体的展开与折叠以及底面积、体积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据长方体的展开与折叠的特征即可得出长方体盒子的高，再根据盒子“底面”的长、宽根据面积公式即可得出答案，根据体积计算公式进行计算即可； （2）把，，以及，代入进行计算即可； （3）根据表格的数据变化情况即可求解； （4）求出当，时，计算的值即可． 【详解】（1）解：如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为，底面积为，这个无盖长方体纸盒的容积； 故答案为：； （2）解：当，时，， 当，时，， 填表如下 剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 588 576 500 384 252 128 36 0 （3）解：由统计表中的数据发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小， 故选：C； （4）解：当，时，体积最大， 最大体积为， 故答案为：． 10．欧拉（，1707年1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献.他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式. (1)观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数 4 ______ ______ ______ 棱数 6 ______ ______ ______ 面数 4 ______ ______ ______ (2)分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系为：______；一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱.请问该多面体表面三角形与八边形的个数之和是多少？ 【答案】(1)6，9，5；8，12，6；6，12，8 (2)，20 (3) 【分析】（1）观察图形，直接写出答案即可； （2）分析表格中的数据，发现；根据，，列方程求解； （3）根据有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，得到总棱数，根据即可求解． 本题考查了探索规律，几何体中的点、棱、面，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． 【详解】（1）解：依题意，三棱柱的顶点数是6，棱数是9，面数是5； 正方体的顶点数是8，棱数是12，面数是6； 正八面体的顶点数是6，棱数是12，面数是8； 故答案为：6，9，5；8，12，6；6，12，8； （2）解：分析表中的数据，能发现、、之间的关系为：， ，，， ， ， 故答案为：，20； （3）解：依题意，设该多面体表面三角形的个数为个，八边形的个数为个， 有48个顶点，每个顶点处都有3条棱， 共有（条， ，解得． ． ∴该多面体表面三角形与八边形的个数之和是． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$