第4章一次函数（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

第4章 一次函数（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、函数的概念 1）函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 注：判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。 知识点二、函数的三种表示方法 1）函数关系有三种表示方法： ①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律 ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算 ③图像法：只能表示函数关系，不能确切得出函数 2）函数的三种表示方法的优缺点： ⑴列表法：对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 ⑵关系式法：全面、准确，但较抽象。 ⑶图象法：直观、形象、规律明显，但不精确。 知识点三、函数的自变量的取值范围 1）自变量的取值范围 整式：自变量取一切实数；分式：分母不为零；偶次方根：被开方数为非负数；零指数与负整数指数幂：底数不为零；在实际问题中：自变量的取值范围必须保证每个量都有意义。 2）函数值：自变量中每个x所对的y的值，即为函数值。 知识点四、函数的图像及画法 1）函数的图像：对于一个函数，把自变量与应变量的值分别作为点的横坐标、纵坐标，坐标平面内由这些点组成的图形。 如：某天气温随时间的变化 2）已知函数解析式，绘制函数图像步骤： ①确定自变量的取值范围；②列表：列出若干自变量与对应应变量的值；③描点：在坐标轴上对应点描点 ④连线：平滑曲线依次连接。 知识点五、一次函数与正比例函数的概念 1）一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。故正比例函数是特殊一次函数。 2）函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。 3）两个函数图象的交点坐标：就是两个解析式组成的方程组的解。 知识点六、一次函数的图象性质 一次（正比例）函数的图象与性质 1）一次函数图象是一条直线； 2）已知两点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； 4）过象限、增减性 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 随的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 随的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 知识点七．一次函数（，为常数，）沿坐标轴平移个单位长度后的函数关系式 平移 平移变换后的函数关系式 沿轴 向上平移个单位长度 向下平移个单位长度 沿轴 向右平移个单位长度 向左平移个单位长度 知识点八．一次函数（，为常数，）关于坐标轴对称后的函数关系式 关于坐标轴对称 对称变换后的函数关系式 关于轴对称 关于轴对称 知识点九.函数图象大小比较 函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低。 知识点十、分段函数 有的题目中，如下左图，当自变量 x 发生变化时，随着 x 的取值范围不同，y 和 x 的函 数关系也不同，它们之间或者不再是一次函数，或者虽然还是一次函数，但函数的解析式发 生了变化。这种变化反映在函数图像上时的主要特征，就是由一条直线变成几条线段或射线， 我们把这类函数归类为分段函数。 在有的题目中，如下右图，含有两个一次函数的图像，我们需要对两个函数的相关变量 进行对比。 知识点十一、利用一次函数的知识解应用题的一般步骤 （1）设定实际问题中的变量（2）建立一次函数表达式； （3）确定自变量的取值范围，保证函数具有实际意义； （4）解答一次函数实际问题，如最大（小）值；（5）写出答案 考点1：函数的概念 【例题1】（23-24八年级全国·期末）下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，满足，则是的函数 D．在中，是常量，，是自变量，是的函数 【变式1】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）下列曲线中，表示是的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】（22-23八年级·全国·假期作业）某条河受暴雨袭击，水位的变化情况如下表： 时间/h 0 4 8 12 16 20 24 水位/m 2 2.5 3 4 5 6 8 （1）上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 ． （2）12h时，水位是 ． （3） 至 水位上升最快． 【变式3】（22-23八年级·上海·假期作业）下列各式中，是否是的函数？为什么？ (1)； (2)． 考点2：函数的图象 【例题2】（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）下列四个图象中，y不是x的函数图象的是（    ） A．    B．    C．    D．    【变式1】（23-24八年级上·浙江金华·期末）科学课上，老师将一块铁块绑在细绳上，并挂在弹簧测力计上．现将该铁块慢慢从水面上方一定距离浸入水中，直至完全浸没．将过程中弹簧测力计的示数（纵坐标）记为，铁块离开原位的距离（横坐标）为．则下列F关于S的函数图像正确的一项是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）有一块长方形菜园，一边利用足够长的墙，另三边用总长度为的篱笆组成，设长方形的长为，宽为，则下列函数图象能反映与关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）手机导航不仅可以借助互联网提供道路实况，确定最优路线，还可以提供更详细的衍生信息，如限速拍照，就近停车场等等．王叔叔驾车到外地出差，出发时手机有的电量，如果只开手机导航，每小时耗电，则王叔叔手机的剩余电量（%）与行驶时间t（时）之间的函数关系，用下面哪幅图表示最为合适（    ） A． B． C． D． 考点3：一次函数的性质 【例题3】（24-25八年级上·全国·期末）一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（24-25八年级上·四川达州·期中）关于直线l： ，下列说法不正确的是（      ） A．点在l上 B．l经过第二、三、四象限 C．l经过定点 D．当时，y随x 的增大而减小 【变式2】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知直线与轴的正半轴相交，随的增大而增大，且为整数． （1） ； （2）若，则的取值范围为 ． 【变式3】（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数 (1)为何值时，随着的增大而减小？ (2)为何值时，它的图象经过原点． 考点4：一次函数与一元一次方程 【例题4】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线分别与x的负半轴和y的正半轴交于点A和点B，若，，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·江苏镇江·期末）一次函数中，与的部分对应值如下表： 那么一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，一次函数的图象经过点A．方程的解是 ． 【变式3】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，一次函数的图象为直线，求关于的方程的解．    考点5：确定一次函数表达式 【例题5】（22-23八年级上·江苏淮安·期末）在平面直角坐标系中，把一次函数向下平移5个单位后，得到的新的一次函数的表达式是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向下平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22八年级上·重庆·期中）将一次函数的图象进行上下平移，使得平移之后的图象经过点，则平移之后图象的解析式为 ． 【变式3】（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，求一次函数解析式． 考点6：一次函数的实际应用 【例题6】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）暑假的某一天，同学甲去同学乙家约乙一起去图书馆借书，然后一起回甲家学习，已知同学甲家、同学乙家、图书馆在同一直线上，图中的折线反应了甲离甲家的距离与时间之间的关系，下列说法正确的是（   ） A．乙家离图书馆的距离为 B．甲、乙一起回甲家的速度为 C．甲去乙家等待了 D．甲、乙在图书馆借书用了 【变式1】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发．设普通列车行驶的时间为x（小时）两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系的图象大致如图所示，则下列说法错误的是（   ） ①动车的速度是270千米/小时； ②点B的实际意义是两车出发后3小时相遇； ③甲、乙两地相距1000千米； ④普通列车从乙地到达甲地时间是9小时． A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【变式2】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）某水果店销售某种新鲜水果，出售量与销售额（元）之间的函数关系如图所示．若小强同学在该家水果店一次购买该种水果，需要付款 元． 【变式3】（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）【新情境】手机功能越来越多，人们利用手机导航、网上购物等等，手机让现代人的生活更为丰富和便捷．人们对上网流量的需求量越来越大，通讯公司推出了两种“流量包”业务供客户选择，套餐A：20元的月租，按照0.1元/MB收费；套餐B：无月租，按照0.2元/MB收费． 小思仔细阅读了通讯公司的“流量包”套餐业务，发现网费与上网流量有关联．小思设采用套餐A的网费为（元），采用套餐B的网费为（元），上网流量为x（MB）． (1)请分别直接写出（元）与x（MB），（元）与x（MB）之间的关系式； (2)求当上网流量为多少MB时，套餐A，B的费用恰好相同； (3)如果小思每个月的上网流量都不少于380MB，请帮助小思从A，B中选择使用哪一种套餐更省钱? 考点7：一个思想——分类讨论思想 【例题7】（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，直线l：交x轴于点A，交y轴于点，点在直线l上，已知M是x轴上的动点．当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，点M的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1】（20-21八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（　　） A．2或+1 B．3或 C．2或 D．3或+1 【变式2】（23-24八年级上·河南焦作·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与全等，则点D的坐标为 ． 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点C的坐标为．点A在x轴的负半轴上，连接，三角形的面积为5． (1)求点A的坐标； (2)动点P从点C出发以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴方向运动，设点P的运动时间为t，连接，三角形的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，t为何值时，把三角形的面积分成两部分？ 一、单选题 1．（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（    ） A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 2．（2023·辽宁沈阳·中考真题）已知一次函数的图像如图所示，则，的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2024·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（23-24八年级下·全国·期末）下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，满足，则是的函数 D．在中，是常量，，是自变量，是的函数 二、填空题 5．（2024·内蒙古包头·中考真题）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式 ． 6．（2024·西藏·中考真题）将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 ． 7．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为 ． 三、解答题 8．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是　　　　，乙货车的速度是　　　　； (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 9．（2023·江苏南京·中考真题）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度． 一、单选题 1．（2024八年级上·全国·专题练习）下列图象中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数，与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数的图象沿y轴向下平移5个单位，所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·全国·期中）对于直线的图象，下列说法正确的是（    ） A．可以由直线沿轴向下平移4个单位得到 B．与直线互相平行 C．与直线的交点为 D．当时， 5．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）若函数是关于x的一次函数，则m的值为（    ） A．1或 B． C．1 D．2 6．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）已知点、点在一次函数图象上，，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）若一次函数在的范围内的最大值比最小值大，则下列说法正确的是（    ） A．k的值为2或－2 B．的值随的增大而减小 C．k的值为1或－1 D．在的范围内，的最大值为 8．（2024八年级上·全国·专题练习）一次函数（，是常数）与（、是常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）某次航展中，歼模型飞机在某内飞行的高度与时间之间的关系大致如图所示．下列结论错误的是（   ） A．在范围内，飞机高度有两次 B．在范围内，飞机高度在不断下降 C．在范围内，飞机高度有四次 D．在范围内，飞机有二次连续攀升 10．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时 ，主要依据的是下表中的数据： 鸭的质量/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 … 烤制时间/分钟 40 60 80 100 120 … 设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟．当千克时，t的值为（   ） A．130 B．140 C．150 D．160 二、填空题 11．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）若一次函数的图形不经过第三象限，则的取值范围是 ． 12．（23-24八年级上·广东揭阳·期末）在一次函数图象上有和两点，且，则 （填“，或”）． 13．（23-24八年级上·山东济南·期末）若点与点都在直线上，那么m n（填“”、“”或“”）． 14．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）已知一次函数的图象经过点，，则 ．（填“”“”或“”） 15．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）直线经过点，则一次方程一个解为 ． 16．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）点在一次函数的图像上，当时，，则a的取值范围是 ． 17．（22-23八年级上·江苏·周测）变量，有如下关系：①；②；③．其中是的函数的是 ．（填序号） 18．（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A，B，则的周长为 ． 三、解答题 19．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知一次函数，求： (1)为何值时，随的增大而减小? (2)为何值时，该一次函数图像与轴的交点在轴下方? 20．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交于两点． (1)求点和点的坐标； (2)若点是射线上一点，且的面积为，求点的坐标． 21．（23-24八年级上·浙江温州·开学考试）已知关于x的一次函数． (1)当k满足什么条件时，它的图象经过原点？ (2)当k满足什么条件时，y随x的增大而减小？ (3)当k满足什么条件时，它的图象经过第一、二、四象限？ 22．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知一次函数． (1)若函数图象经过第一、二、三象限，求k的取值范围； (2)若函数图象平行于直线，求这个函数的表达式． 23．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知函数， (1)画出这个函数的图象； (2)写出函数与轴的交点坐标，与轴的交点坐标； (3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积． 24．（21-22八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知点C为直线上在第一象限内的一点，若点关于原点对称． (1)求的值； (2)将直线沿射线方向平移个单位，求平移后的直线解析式． 25．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）在2012年日市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点的王芳同学所跑的路程 s（米）与所用时间 t （秒）之间的函数图象为折线OBCD．和她同时起跑的李梅同学前600米的速度保持在5米/秒，后来因为体力下降，速度变慢，但还保持匀速奔跑，结果和王芳同学同时到达终点． (1)直接在图中画出李梅同学所跑的路程s（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象； (2)求王芳同学测试中的最快速度； (3)求李梅同学在起跑后多少秒追上王芳同学，这时她们距离终点还有多少米？ 26．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与直线（横坐标为的所有点组成的直线），直线（纵坐标为的所有点组成的直线）分别交于点A，B，直线与直线交于点． (1)若直线与轴负半轴交于点，与轴交于点，且三角形的面积为2，求的值． (2)横、纵坐标都是整数的点叫作整点，记线段，，围成的区域（不含边界）为． ①当时，结合函数图象，求区域内的整点个数； ②若区域内没有整点，直接写出的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 一次函数（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、函数的概念 1）函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 注：判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。 知识点二、函数的三种表示方法 1）函数关系有三种表示方法： ①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律 ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算 ③图像法：只能表示函数关系，不能确切得出函数 2）函数的三种表示方法的优缺点： ⑴列表法：对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 ⑵关系式法：全面、准确，但较抽象。 ⑶图象法：直观、形象、规律明显，但不精确。 知识点三、函数的自变量的取值范围 1）自变量的取值范围 整式：自变量取一切实数；分式：分母不为零；偶次方根：被开方数为非负数；零指数与负整数指数幂：底数不为零；在实际问题中：自变量的取值范围必须保证每个量都有意义。 2）函数值：自变量中每个x所对的y的值，即为函数值。 知识点四、函数的图像及画法 1）函数的图像：对于一个函数，把自变量与应变量的值分别作为点的横坐标、纵坐标，坐标平面内由这些点组成的图形。 如：某天气温随时间的变化 2）已知函数解析式，绘制函数图像步骤： ①确定自变量的取值范围；②列表：列出若干自变量与对应应变量的值；③描点：在坐标轴上对应点描点 ④连线：平滑曲线依次连接。 知识点五、一次函数与正比例函数的概念 1）一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。故正比例函数是特殊一次函数。 2）函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。 3）两个函数图象的交点坐标：就是两个解析式组成的方程组的解。 知识点六、一次函数的图象性质 一次（正比例）函数的图象与性质 1）一次函数图象是一条直线； 2）已知两点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； 4）过象限、增减性 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 随的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 随的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 知识点七．一次函数（，为常数，）沿坐标轴平移个单位长度后的函数关系式 平移 平移变换后的函数关系式 沿轴 向上平移个单位长度 向下平移个单位长度 沿轴 向右平移个单位长度 向左平移个单位长度 知识点八．一次函数（，为常数，）关于坐标轴对称后的函数关系式 关于坐标轴对称 对称变换后的函数关系式 关于轴对称 关于轴对称 知识点九.函数图象大小比较 函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低。 知识点十、分段函数 有的题目中，如下左图，当自变量 x 发生变化时，随着 x 的取值范围不同，y 和 x 的函 数关系也不同，它们之间或者不再是一次函数，或者虽然还是一次函数，但函数的解析式发 生了变化。这种变化反映在函数图像上时的主要特征，就是由一条直线变成几条线段或射线， 我们把这类函数归类为分段函数。 在有的题目中，如下右图，含有两个一次函数的图像，我们需要对两个函数的相关变量 进行对比。 知识点十一、利用一次函数的知识解应用题的一般步骤 （1）设定实际问题中的变量（2）建立一次函数表达式； （3）确定自变量的取值范围，保证函数具有实际意义； （4）解答一次函数实际问题，如最大（小）值；（5）写出答案 考点1：函数的概念 【例题1】（23-24八年级全国·期末）下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，满足，则是的函数 D．在中，是常量，，是自变量，是的函数 【答案】B 【分析】根据函数的定义解答即可． 本题考查对函数概念的理解，认识变量和常量． 【详解】解：与不是唯一的值对应，故选项错误； B．当取一值时，有唯一的值与之对应，故选项正确； C．与不是唯一的值对应，故选项错误； D．在中，、是常量，是自变量，是的函数，故选项错误． 故选B． 【变式1】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）下列曲线中，表示是的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的基本概念，熟练掌握如果x取任意一个量，y都有唯一的一个量与x对应，那么相应地x就叫做这个函数的自变量或如果y是x的函数，那么x是这个函数的自变量是解题的关键． 根据函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y有且只有一个值与之相对应，所以y是x的函数，故本选项符合题意； B．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； C．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； D．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】（22-23八年级·全国·假期作业）某条河受暴雨袭击，水位的变化情况如下表： 时间/h 0 4 8 12 16 20 24 水位/m 2 2.5 3 4 5 6 8 （1）上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 ． （2）12h时，水位是 ． （3） 至 水位上升最快． 【答案】 水位 时间 时间 水位 【分析】根据函数的概念，利用表格得出各时间对应的水位，再找出水位上升最快的时段即可． 【详解】解：（1）由表可知：反映了时间和水位之间的关系，自变量是时间，因变量是水位； （2）由表可以看出：12时，水位是4米； （3）由表可以看出：在相等的时间间隔内，20时至24时水位上升最快． 故答案为：水位；时间；时间；水位；4；20；24． 【点睛】本题考查了函数的表示方法及函数的有关概念，根据表格得出各时间对应的水位是解题的关键． 【变式3】（22-23八年级·上海·假期作业）下列各式中，是否是的函数？为什么？ (1)； (2)． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)不是，理由见解析 【分析】本题主要考查了函数的定义，对于两个变量，对于其中一个变量的任意取值（取值范围内），另一个变量都有唯一的值与之对应，那么就是的函数，熟知函数的定义是解题的关键． （1）根据函数的概念进行求解即可； （2）根据函数的概念进行求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，对于任意的的值，都有唯一的值与之对应， ∴是的函数； （2）解：∵在中，对于任意一个正数的值，都有两个值与之对应， ∴不是的函数． 考点2：函数的图象 【例题2】（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）下列四个图象中，y不是x的函数图象的是（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【分析】本题考查函数的图象，根据函数的定义可知：对于x的任何值y都有唯一的值与之相对应，紧扣概念，分析图象即可得到结论． 【详解】根据函数的定义可知，只有D选项不能表示函数关系， 故选D． 【变式1】（23-24八年级上·浙江金华·期末）科学课上，老师将一块铁块绑在细绳上，并挂在弹簧测力计上．现将该铁块慢慢从水面上方一定距离浸入水中，直至完全浸没．将过程中弹簧测力计的示数（纵坐标）记为，铁块离开原位的距离（横坐标）为．则下列F关于S的函数图像正确的一项是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查的函数的实际应用，理解弹簧测力计的示数（纵坐标）的变化情况是解本题的关键，由铁块排开水的体积的变化得到浮力的变化可得答案． 【详解】解：将该铁块慢慢从水面上方一定距离浸入水中，直至完全浸没． ∴过程中弹簧测力计的示数（纵坐标）先不变，再逐渐变小，最后再不变， ∴符合题意的图象是C． 故选C 【变式2】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）有一块长方形菜园，一边利用足够长的墙，另三边用总长度为的篱笆组成，设长方形的长为，宽为，则下列函数图象能反映与关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，根据菜园三边的和为，进而可得（），进而可求解，理解题目中的数量关系，得出与关系式是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 即：（）， 函数图象能反映与关系的是A， 【变式3】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）手机导航不仅可以借助互联网提供道路实况，确定最优路线，还可以提供更详细的衍生信息，如限速拍照，就近停车场等等．王叔叔驾车到外地出差，出发时手机有的电量，如果只开手机导航，每小时耗电，则王叔叔手机的剩余电量（%）与行驶时间t（时）之间的函数关系，用下面哪幅图表示最为合适（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了函数图象，特别应注意自变量的取值范围，它决定了图象的画法．根据手机剩余电量=原有的电量-t小时消耗的电量，可列出函数关系式，得出图象． 【详解】解：由题意得，手机的剩余电量w（%）与行驶时间t（时）之间的函数关系式为：， 结合解析式可得出图象： 故选：B． 考点3：一次函数的性质 【例题3】（24-25八年级上·全国·期末）一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的性质，先根据一次函数中，判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴此函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·四川达州·期中）关于直线l： ，下列说法不正确的是（      ） A．点在l上 B．l经过第二、三、四象限 C．l经过定点 D．当时，y随x 的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质．解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质． 对于A，C两选项，根据函数图象上的点一定满足函数解析式，分别将两点的横坐标代入解析式，计算y值看是否等于纵坐标，即可； 再利用一次函数的k值的正负决定图象经过的象限及增减性，即可判断B、D的正误． 【详解】解：A、当时，，即点在l上，故A正确，不符合题意； B、当时，经过第一、二、三象限，故B不正确，符合题意； C、当时，，即经过定点，故C正确，不符合题意； D、当时，随的增大而减小，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知直线与轴的正半轴相交，随的增大而增大，且为整数． （1） ； （2）若，则的取值范围为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． （1）根据一次函数的图象与系数的关系得出关于的不等式组，求出的取值范围再根据是整数求出的值． （2）根据当时，直线的函数表达式为．所以随的增大而增大，再根据求出的范围． 【详解】解：（1）根据一次函数的性质，由题意可得 解得． 又因为是整数， 所以． 故答案为：2 （2）当时，直线的函数表达式为． ∵， ∴随的增大而增大， 当时，； 当时，， 故当时，的取值范围为． 故答案为： 【变式3】（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数 (1)为何值时，随着的增大而减小？ (2)为何值时，它的图象经过原点． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，掌握在一次函数中，当，y随x的增大而减小成为解题的关键． （1）根据一次函数，随着的增大而减小，据此列不等式求解即可； （2）将代入求得k的值即可． 【详解】（1）解：∵随着的增大而减小， ∴，解得：， ∴当，随着的增大而减小． （2）解：∵函数图象经过原点， ∴将代入，得，解得：， ∴当时，图象经过原点． 考点4：一次函数与一元一次方程 【例题4】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线分别与x的负半轴和y的正半轴交于点A和点B，若，，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：关于x的方程的解，是直线与x轴交点的横坐标，理解这一关系是解题的关键；由题意得点A的坐标，从而可求得方程的解． 【详解】解：由题意知，直线与x的负半轴交点点A，且， ∴， ∴关于x的方程的解为； 故选：B． 【变式1】（23-24八年级上·江苏镇江·期末）一次函数中，与的部分对应值如下表： 那么一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次的关系．任何一元一次方程都可以转化为，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．此题实际上是求当时，所对应的的值．根据表格求解即可． 【详解】解：根据上表中的数据值，当时，， 即一元一次方程的解是． 故选：D 【变式2】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，一次函数的图象经过点A．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，一次函数的图象为直线，求关于的方程的解．    【答案】关于x的方程的解为． 【分析】根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，，利用待定系数法即可求得m、n的值，从而得到方程，解方程即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴关于x的方程为， ∴， 故关于x的方程的解为． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数的解析式，解一元一次方程，求得m、n的值是解题的关键． 考点5：确定一次函数表达式 【例题5】（22-23八年级上·江苏淮安·期末）在平面直角坐标系中，把一次函数向下平移5个单位后，得到的新的一次函数的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数平移的规律：上加下减，即可解答． 【详解】解：把一次函数向下平移5个单位后， 可得新的一次函数的表达式是， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数平移的规律，熟知该规律是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向下平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换．根据一次函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”解答即可． 【详解】解：将函数的图象向下平移3个单位长度得到一次函数的解析式为． 故选C． 【变式2】（21-22八年级上·重庆·期中）将一次函数的图象进行上下平移，使得平移之后的图象经过点，则平移之后图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数图像平移规律：上加下减，左加右减，进行解答即可． 【详解】解：设一次函数平移后的解析式为：， ∵移之后的图象经过点， ∴， 解得：， ∴平移之后图象的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握函数图像的平移规律：上加下减，左加右减是解本题的关键． 【变式3】（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，求一次函数解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了两直线平行问题，求一次函数解析式．根据互相平行的两直线解析式的k值相等，得到一次函数的解析式为，再把点代入解析式求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴， ∴一次函数为， ∵一次函数过点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为：． 考点6：一次函数的实际应用 【例题6】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）暑假的某一天，同学甲去同学乙家约乙一起去图书馆借书，然后一起回甲家学习，已知同学甲家、同学乙家、图书馆在同一直线上，图中的折线反应了甲离甲家的距离与时间之间的关系，下列说法正确的是（   ） A．乙家离图书馆的距离为 B．甲、乙一起回甲家的速度为 C．甲去乙家等待了 D．甲、乙在图书馆借书用了 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象与行程问题的综合，根据图示分析进水判定即可求解． 【详解】解：A、乙家离图书馆的距离为，故选项错误，不符合题意； B、甲、乙一起回甲家的速度为，故选项错误，不符合题意； C、甲去乙家等待了，故选项错误，不符合题意； D、甲、乙在图书馆借书用了，故选项正确，符合题意； 故选：D ． 【变式1】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发．设普通列车行驶的时间为x（小时）两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系的图象大致如图所示，则下列说法错误的是（   ） ①动车的速度是270千米/小时； ②点B的实际意义是两车出发后3小时相遇； ③甲、乙两地相距1000千米； ④普通列车从乙地到达甲地时间是9小时． A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：①普通列车的速度是（千米小时）， 设动车的速度为千米小时， 根据题意，得：， 解得：， 动车的速度为250千米小时， 故①错误； ②如图，出发后3小时，两车之间的距离为0，可知点的实际意义是两车出发后3小时相遇， 故②正确； ③由时，知，甲地和乙地相距1000千米， 故③正确； ④由图象知时，动车到达乙地， 时，普通列车到达甲地， 即普通列车到达终点共需12小时， 故④错误； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）某水果店销售某种新鲜水果，出售量与销售额（元）之间的函数关系如图所示．若小强同学在该家水果店一次购买该种水果，需要付款 元． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意求出时与之间的函数关系式，再把代入计算可得答案． 【详解】解：当时，设与之间的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：， ， 当时，， 小强同学在该家水果店一次购买该种水果，需要付款元， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）【新情境】手机功能越来越多，人们利用手机导航、网上购物等等，手机让现代人的生活更为丰富和便捷．人们对上网流量的需求量越来越大，通讯公司推出了两种“流量包”业务供客户选择，套餐A：20元的月租，按照0.1元/MB收费；套餐B：无月租，按照0.2元/MB收费． 小思仔细阅读了通讯公司的“流量包”套餐业务，发现网费与上网流量有关联．小思设采用套餐A的网费为（元），采用套餐B的网费为（元），上网流量为x（MB）． (1)请分别直接写出（元）与x（MB），（元）与x（MB）之间的关系式； (2)求当上网流量为多少MB时，套餐A，B的费用恰好相同； (3)如果小思每个月的上网流量都不少于380MB，请帮助小思从A，B中选择使用哪一种套餐更省钱? 【答案】(1)， (2)当上网流量为200MB时，套餐A，B的费用恰好相同 (3)选择套餐A更省钱 【分析】本题考查一次函数的应用，写出函数关系式是解题的关键． （1）由“月租费每流量费流量的数和每流量费流量数”分别写出与、与的关系； （2）令，求出的值即可； （3）当时，比较与的大小，从而判断哪种套餐更省钱． 【详解】（1）解：根据题意，得，， （2）当套餐，的流量费用恰好相同时，得，解得， 当上网流量为200时，套餐，的费用恰好相同． （3）由题意可知，当时，， ， ， 选择套餐更省钱． 考点7：一个思想——分类讨论思想 【例题7】（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，直线l：交x轴于点A，交y轴于点，点在直线l上，已知M是x轴上的动点．当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，点M的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据题意，可以求得点A点B和点P的坐标，设出点M的坐标再根据分类讨论的方法结合勾股定理即可求得点M的坐标． 【详解】解：∵直线l：交x轴于点A，交y轴于点 ∴当， ，， 解得，， ∴点A坐标为， ∵点在直线l上 ∴当，， 解得，即 设M点坐标为 当 时，此时点P与点M横坐标相同，即 ， ∴； ②当时，此时 ， ， ，根据勾股定理得 ，解得，， ∴； 综上所述∴或； 故选B． 【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，动点中的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 【变式1】（20-21八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（　　） A．2或+1 B．3或 C．2或 D．3或+1 【答案】D 【分析】利用一次函数与坐标轴的交点求出△AOB的两条直角边，并运用勾股定理求出AB．根据已知可得∠CAD＝∠OBA，分别从∠ACD＝90°或∠ADC＝90°时，即当△ACD≌△BOA时，AD＝AB，或△ACD≌△BAO时，AD＝OB，分别求得AD的值，即可得出结论． 【详解】解：∵直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点， 当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝2， ∴A（1，0），B（0，2）． ∴OA＝1，OB＝2． ∴AB＝． ∵AP⊥AB，点C是射线AP上， ∴∠BAC＝90°，即∠OAB＋∠CAD＝90°， ∵∠OAB＋∠OBA＝90°， ∴∠CAD＝∠OBA， 若以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则∠ACD＝90°或∠ADC＝90°， 即△ACD≌△BOA或△ACD≌△BAO． 如图1所示，当△ACD≌△BOA时，∠ACD＝∠AOB＝90°，AD＝AB， ∴OD＝AD＋OA＝＋1； 如图2所示，当△ACD≌△BAO时，∠ADC＝∠AOB＝90°，AD＝OB＝2， ∴OD＝OA＋AD＝1＋2＝3． 综上所述，OD的长为3或＋1． 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·河南焦作·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与全等，则点D的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，先求出两点的坐标，进而求出的长，分或两种情况进行讨论求解即可．利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴点B的坐标为， ∴， 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示， ∵，， ∴， 当以C、D、A为顶点的三角形与全等时，共有或两种情况， 当时，， ∴点D的坐标为，即； 当时，， ∴点D的坐标为． 综上所述，点D的坐标为或． 故答案为：或． 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点C的坐标为．点A在x轴的负半轴上，连接，三角形的面积为5． (1)求点A的坐标； (2)动点P从点C出发以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴方向运动，设点P的运动时间为t，连接，三角形的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，t为何值时，把三角形的面积分成两部分？ 【答案】(1) (2) (3)1或1.5 【分析】本题考查一次函数的几何应用、坐标与图形、三角形的面积，数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）设点A坐标为，利用坐标与图形性质求解即可； （2）分当点P在上运动时和当点P在射线上运动时两种情况，利用三角形的面积求解关系式即可； （3）分当点P在上运动时和当点P在线段上运动时，利用面积关系求解t值即可． 【详解】（1）解：设点A坐标为， 由题意可知：，，， ∴， 解得， ∵点A在x轴的负半轴上， ， 点A坐标为； （2）解：当点P在上运动时，即， 由题意可知，，， ∴， 当点P在射线上运动时，即， 由题意可知，，， ∴， 综上所述，． （3）解：当点P在上运动时， 由题意可知，，， 当时，即， 解得：， 当时，即， 解得：， ∵，， ∴当点P在上运动时，不满足把三角形的面积分成两部分， 综上所述，或． 一、单选题 1．（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（    ） A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键． 根据函数图象分析即可． 【详解】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速运动， 则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意． 故选：C． 2．（2023·辽宁沈阳·中考真题）已知一次函数的图像如图所示，则，的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是数形结合．根据一次函数的图像所在的象限并结合一次函数的性质即可求解． 【详解】解：一次函数的图像过一、三象限， ， 一次函数的图像与轴交于负半轴， ， 故选：B． 3．（2024·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图像，掌握根据k，b的符号正确判断一次函数图象经过的象限是解题的关键．根据k，b的符号判断直线所经过的象限，然后确定必不经过的象限即可． 【详解】解：∵由已知，得：， ∴图象经过第一、二、三象限， ∴图象不经过第四象限． 故选：D． 4．（23-24八年级下·全国·期末）下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，满足，则是的函数 D．在中，是常量，，是自变量，是的函数 【答案】B 【分析】根据函数的定义解答即可． 本题考查对函数概念的理解，认识变量和常量． 【详解】解：与不是唯一的值对应，故选项错误； B．当取一值时，有唯一的值与之对应，故选项正确； C．与不是唯一的值对应，故选项错误； D．在中，、是常量，是自变量，是的函数，故选项错误． 故选B． 二、填空题 5．（2024·内蒙古包头·中考真题）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是一次函数的性质，能根据题意判断出k、b的符号是解答此题的关键．先根据一次函数的图象经过一、二、三象限判断出函数k及b的符号，再写出符合条件的一次函数解析式即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过一、二、三象限， ∴， ∴符合该条件的一个一次函数的表达式是：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 6．（2024·西藏·中考真题）将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质-平移，根据一次函数平移的特点求解即可，掌握一次函数平移的特点是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为： ， 故答案为：． 7．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积．根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，得出点C的坐标及的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，，解得：， ∴点C的坐标为，， ∴． 故答案为：9． 三、解答题 8．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是　　　　，乙货车的速度是　　　　； (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【答案】(1)30，40 (2)的函数解析式是 (3)经过1.5h或或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等 【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键． （1）由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为，乙货车到达配货站路程为，到达后返回，所用时间为，根据速度=距离÷时间即可得； （2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象结合已知条件可知和点，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案； （3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地后、甲货车卸货，半小时后继续驶往B地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x的值即可得答案． 【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，所以甲货车到达配货站之前的速度是（） ∴乙货车到达配货站路程为，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，总路程为240km，总时间是6h， ∴乙货车速度， 故答案为：30；40 （2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象可知和点 设 ∴ 解得：， ∴甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式 （3）设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等， ①两车到达配货站之前：， 解得：, ②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：， 解得：， ③甲货车在配货站卸货后驶往B地时：， 解得：， 答：经过或或甲、乙两货车与配货站的距离相等． 9．（2023·江苏南京·中考真题）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度． 【答案】该学生接温水的时间为，接开水的时间为 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键．设该学生接温水的时间为，则接温水，开水，由物理常识的公式可得方程，解方程即可． 【详解】解：设该学生接温水的时间为， 根据题意可得：， 解得， ， ， ， 该学生接温水的时间为，接开水的时间为． 一、单选题 1．（2024八年级上·全国·专题练习）下列图象中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断． 【详解】 解：A、 表示y不是x的函数，该选项不符合题意的； B、 表示y是x的函数，该选项是符合题意的； C、 表示 y不是x的函数，该选项不符合题意的； D、 表示 y不是x的函数，该选项不符合题意的； 故选：B． 2．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数，与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点问题，与x轴的交点，则，把代入函数表达式，即可求得交点坐标． 【详解】解：当时，即， 解得：， ∴一次函数，与x轴的交点坐标为， 故选：D． 3．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数的图象沿y轴向下平移5个单位，所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，难度不大，要注意上下平移后k值不变．根据平移的规律 “上加下减，左加右减”进行解答即可． 【详解】解：一次函数的图象沿y轴向下平移5个单位， 所得图象的函数解析式为：， 故选：B． 4．（24-25八年级上·全国·期中）对于直线的图象，下列说法正确的是（    ） A．可以由直线沿轴向下平移4个单位得到 B．与直线互相平行 C．与直线的交点为 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质，两条直线平行的条件等知识．利用一次函数的性质一一判断即可． 【详解】解：A选项的说法错误，应该是可以由直线沿轴向上平移4个单位得到； B选项的说法错误．的值不同，两直线不平行； C选项的说法错误．联立得，解得，则， 与直线的交点为； D选项的说法正确． 故选：D． 5．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）若函数是关于x的一次函数，则m的值为（    ） A．1或 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据形如、是常数且的函数叫做一次函数进行求解是解题的关键． 根据一次函数的定义列出有关的方程，继而求出的值． 【详解】解：函数是一次函数， ， ， 故选：C． 6．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）已知点、点在一次函数图象上，，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 由且，可得出y随x的增大而减小，结合一次函数的性质可得出求解即可． 【详解】解：∵点、点在一次函数图象上，，， ∴y随x的增大而减小， ∴，解得：， ∴m的取值范围是． 故选A． 7．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）若一次函数在的范围内的最大值比最小值大，则下列说法正确的是（    ） A．k的值为2或－2 B．的值随的增大而减小 C．k的值为1或－1 D．在的范围内，的最大值为 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：当时，y=2k+1 当时， 当时，随的增大而增大 则由题意可得： 此时在的范围内，的最大值为 当时，随的增大而减小 则由题意可得： 此时在的范围内，的最大值为 故选：． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）一次函数（，是常数）与（、是常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象和正比例函数与其系数的关系；根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，， ∴， 由正比例函数经过二四象限，则，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； B、由一次函数图象可知，， ∴， 由正比例函数经过二四象限，则，故该选项正确，符合题意； C、由一次函数图象可知，， ∴， 由正比例函数经过二四象限，则，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； D、没有正比例函数图象，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 9．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）某次航展中，歼模型飞机在某内飞行的高度与时间之间的关系大致如图所示．下列结论错误的是（   ） A．在范围内，飞机高度有两次 B．在范围内，飞机高度在不断下降 C．在范围内，飞机高度有四次 D．在范围内，飞机有二次连续攀升 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图像，解题的关键是数形结合．根据某一分钟内歼模型飞机高度与时间之间的函数图像逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、结合图像，在范围内，飞机高度有两次，故该选项正确，不符合题意； B、结合图像，在范围内，飞机高度在不断下降，故该选项正确，不符合题意； C、在范围内，飞机高度有三次，故该选项不正确，符合题意； D、在范围内，飞机有二次连续攀升，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 10．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时 ，主要依据的是下表中的数据： 鸭的质量/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 … 烤制时间/分钟 40 60 80 100 120 … 设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟．当千克时，t的值为（   ） A．130 B．140 C．150 D．160 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，熟练判断函数是一次函数，并运用待定系数法求解是解题的关键．根据表格信息，看出t是x的一次函数，确定函数的解析式后，代入确定函数值即可． 【详解】解：从表中可以看出，烤鸭的质量每增加1千克，烤制的时间增加40分钟，由此可知烤制时间t与烤鸭质量的函数关系式为． 当千克时，分钟． 故选：D． 二、填空题 11．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）若一次函数的图形不经过第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一次函数的图象不经过第三象限列出关于的不等式组，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图形不经过第三象限， ∴且， 解得：． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·广东揭阳·期末）在一次函数图象上有和两点，且，则 （填“，或”）． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．根据一次函数的图像进行解答即可． 【详解】解：一次函数是单调递减的函数， 由于， ， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·山东济南·期末）若点与点都在直线上，那么m n（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合，即可得出． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵点与点都在直线上，且， ∴． 故答案为：． 14．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）已知一次函数的图象经过点，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数解析式得到随的增大而增大，即可判断与的大小． 【详解】解：一次函数的图象经过点，， 又，， ， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）直线经过点，则一次方程一个解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，先求解，再解方程即可． 【详解】解：由图知：直线经过点， 即； ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）点在一次函数的图像上，当时，，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．根据一次函数的图像，当时，y随着x的增大而减小分析即可． 【详解】当时，随着的增大而减小， 故答案为：． 17．（22-23八年级上·江苏·周测）变量，有如下关系：①；②；③．其中是的函数的是 ．（填序号） 【答案】①③ 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的定义判断即可． 【详解】解：①，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符合题意； ②，任意给一个正数x，y都有两个值与x对应，不符合函数的定义，不符合题意； ③，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符合题意； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了函数的概念，关键是对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即一一对应． 18．（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A，B，则的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点问题，掌握求解一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 先令求出x的值，令求出y的值，得出A、B两点的坐标，再分别求出、、的长，将它们相加即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，，则A的坐标， 当时，，则B的坐标， ∴，，， ∴的周长． 故答案为：． 三、解答题 19．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知一次函数，求： (1)为何值时，随的增大而减小? (2)为何值时，该一次函数图像与轴的交点在轴下方? 【答案】(1) (2)，且 【分析】本题主要考查了一次函数图像与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质．当，随的增大而增大，图像一定过第一、三象限；当，随的增大而减小，图像一定过第二、四象限；当，图像与轴的交点在轴上方；当，图像过原点；当，图像与轴的交点在轴下方． （1）根据随的增大而减小时，，即可求解； （2）根据题意可得：，且，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 时，随的增大而减小； （2）由题意得：，且， 解得：，且， ，且时，该一次函数图像与轴的交点在轴下方． 20．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交于两点． (1)求点和点的坐标； (2)若点是射线上一点，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，一次函数与几何图形面积的综合， （1）根据一次函数与坐标轴的交点的计算方法即可求解； （2）设，根据三角形的面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点， 令，则；令，则； ∴； （2）解：∵点是射线上一点， 设， ∵的面积为，且， ∴， 解得，， ∴， ∴． 21．（23-24八年级上·浙江温州·开学考试）已知关于x的一次函数． (1)当k满足什么条件时，它的图象经过原点？ (2)当k满足什么条件时，y随x的增大而减小？ (3)当k满足什么条件时，它的图象经过第一、二、四象限？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题考查了一次函数的定义与性质，是基础知识，需熟练掌握． （1）由一次函数经过原点可得，由此求出满足条件的k值； （2）根据一次函数图象的性质可知，据此求出k满足的条件； （3）由该函数的图象经过第一、二、四象限，可得且，解不等式组即可确定k的取值． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过原点， ∴， 解得； （2）解：∵一次函数的图象y随x的增大而减小， ∴， 解得； （3）解：∵该函数的图象经过第一、二、四象限， ∴且， 解得 22．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知一次函数． (1)若函数图象经过第一、二、三象限，求k的取值范围； (2)若函数图象平行于直线，求这个函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是两条直线相交或平行问题，考查一次函数的系数与图象，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据若图象经过一、二、三象限，，解不等式组即可解决问题； （2）根据图象平行于直线，所以相同即可求得，从而求得直线为． 【详解】（1）解：∵函数图象经过一、二、三象限， ∴， 解得． （2）∵一次函数的图象与直线平行， ∴，解得：． ∴， ∴这个函数的表达式为． 23．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知函数， (1)画出这个函数的图象； (2)写出函数与轴的交点坐标，与轴的交点坐标； (3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)函数与轴的交点坐标为，轴的交点坐标； (3) 【分析】本题考查了画一次函数图象，一次函数图象与坐标轴交点，坐标与图形，掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合的思想是解题关键． （1）利用描点法画出函数图象即可； （2）根据（1）作答即可； （3）根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：， 当时，；当时，， 描点画图如下： （2）解：由（1）可知，函数与轴的交点坐标为，轴的交点坐标； （3）解：此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为． 24．（21-22八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知点C为直线上在第一象限内的一点，若点关于原点对称． (1)求的值； (2)将直线沿射线方向平移个单位，求平移后的直线解析式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了代数式求值、一次函数的图象与性质及一次函数的平移变换，运用数形结合的思想解决问题． （1）根据题意求得，代入代数式即可求出答案； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法即可求出直线的解析式，设直线平移后与射线的交点为D，过D作轴于点E，根据题意可知，，即将直线沿射线方向平移个单位，其实是先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，根据函数平移的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点关于原点对称， ∴， ∴； （2）设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线为， 设直线平移后与射线的交点为D， 过D作轴于点E， ∵沿射线方向平移个单位， ∴， ∴， ∴将直线沿射线方向平移个单位，其实是先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度． ∴， 即．    25．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）在2012年日市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点的王芳同学所跑的路程 s（米）与所用时间 t （秒）之间的函数图象为折线OBCD．和她同时起跑的李梅同学前600米的速度保持在5米/秒，后来因为体力下降，速度变慢，但还保持匀速奔跑，结果和王芳同学同时到达终点． (1)直接在图中画出李梅同学所跑的路程s（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象； (2)求王芳同学测试中的最快速度； (3)求李梅同学在起跑后多少秒追上王芳同学，这时她们距离终点还有多少米？ 【答案】(1)见解析； (2)王芳同学测试中的最快速度为6米/秒； (3)李梅同学在起跑后秒追上王芳同学，这时她们距离终点还有米． 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，描点法画函数图象的运用，一次函数的交点坐标点的运用，解答本题时正确理解函数图象表示的意义是关键． （1）求出李梅同学前600米的时间就可以确定李梅600米时的图象位置，再连接、就可以画出图象； （2）根据函数图象求出王芳跑，，三段路程的速度，再比较大小就可以求出王芳的最快速度； （3）运用待定系数法求出的解析式和的解析式，再根据一次函数与二元一次方程的关系就可以求出李梅同学在起跑后追上王芳同学的时间和离终点的距离． 【详解】（1）解：由题意，得:， ∴李梅运动中的图象经过， ∴在平面直角坐标系中描出这点，再连接，就可以画出李梅同学所跑的路程（米）与所用时间（秒）之间的函数图象，如图： （2）由图象，得 王芳段的速度为：米/秒； 王芳段的速度为：米/秒； 王芳段的速度为：米/秒； ∴， ∴王芳同学测试中的最快速度为6米/秒； （3）设直线的解析式为，由题意，得， 解得：，即， 设直线的解析式为，由题意，得, 解得：，即， 当时，， ∴， 当时，， 距离终点还有：． 答：李梅同学在起跑后秒追上王芳同学，这时她们距离终点还有米． 26．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与直线（横坐标为的所有点组成的直线），直线（纵坐标为的所有点组成的直线）分别交于点A，B，直线与直线交于点． (1)若直线与轴负半轴交于点，与轴交于点，且三角形的面积为2，求的值． (2)横、纵坐标都是整数的点叫作整点，记线段，，围成的区域（不含边界）为． ①当时，结合函数图象，求区域内的整点个数； ②若区域内没有整点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①1个；②或 【分析】本题考查一次函数图象上点的特征，图形与坐标，能够数形结合解题，根据变化分析区域内整数点的情况是解题的关键． （1）令，求出点N的坐标，令，求出点M的坐标，从而得到，的长，根据三角形的面积公式即可求解； （2）①当时，，，，画出函数的图象，根据图象即可求得在区域内有1个整数点； ②当时，区域内必含有坐标原点，故不符合题意；当时，依照在每一个小正方形边长范围内讨论：当时；当时；…；重点分析的情形，找到规律，以此类推，得出当以后的情况即可得到答案． 【详解】（1）解：对于直线， 令，则；令，则； ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， 经检验，是该方程的解． （2）解：①当时， ∵点A为直线与直线的交点， 解方程组得， ∴， ∵点B为直线与直线的交点， 解方程组得， ∴， ∵点C为直线与直线的交点， ∴， 如图， ∴在W区域内有1个整数点； ②根据题意，作出图象，如图所示： 当时， 当时， ∵直线与直线交于点A，与直线交于点B，直线与直线交于点． ∴、、， 当时，如图所示，区域内必含有坐标原点，故不符合题意； 当时， 点的横坐标为， 判断出点始终在直线的右侧， 下面依照在每一个小正方形边长范围内讨论： 当时，如图所示： 内点的横坐标在到0之间，故时，内无整点； 当时，如图所示： 内存在的整数点横坐标只能为，此时边界上两点坐标为和，则，只要不是整数，上必有整点；但时，只有两个边界点为整点，故当时，内无整点； 当时，如图所示： 横坐标为的边界点为和，线段长度为，上必有整点，故当时，内有整点； 依此类推，以后的情形与情况一样，同理可知内有整点； 综上所述：或时，内没有整数点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$