第3章概率的进一步认识（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

第3章 概率的进一步认识（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点1.利用树状图或表格求概率（重点）（难点） 1.树状图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图. 树状图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点归纳：(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 2.表格法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用表格法. 表格法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点归纳：（1）表格法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）表格法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 知识点2用频率估计概率（重点） 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 要点归纳：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 考点1：两个方法 方法1：求随机事件概率的方法 【例题1】（24-25九年级上·全国·期中）小刚、小强计划利用暑期从A，B，C三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）在一个不透明的盒子中装有颗黑、白两种颜色的棋子，除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一颗棋子，记下颜色后放回盒子中，记为一次试验，通过大量试验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在，则盒子中黑色棋子可能有（    ） A．5颗 B．10颗 C．18颗 D．26颗 【变式2】．（24-25九年级上·河南平顶山·阶段练习）一个不透明的袋子中装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球记下颜色后不放回，再从袋子里取出1个球，则两次取出的都是红球的概率是 ． 【变式3】（23-24九年级上·广东惠州·期末）为弘扬中华传统文化，“诵读经典，传承文明”，我校近期举办了“国学经典诵读大赛”，诵读的篇目分成四种类型：A．蒙学今诵；B．爱国传承；C．励志劝勉；D．愚公移山，每种类型的篇目数相同，参赛者需从这四种类型中随机抽取一种诵读类型．小新和小远也参加了这次大赛，小新先抽取了一种诵读类型后不放回，小远再从剩余的诵读类型中任意抽取一种，请用画树状图或列表法求他们中有一人抽到“C．励志劝勉”的概率． 方法2：用频率估计概率的方法 【例题2】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一个黑色不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计20个，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.4，由此可估计袋子中白球的个数约为 个． 【变式2】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）在一个不透明的盒子里装有若干个白球和35个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从盒子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在左右，请估计盒子里白球的个数． 【变式3】（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）“强国必须强语，强语助力强国，”为全面落实国家语言文字方针政策，弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织学生参加了“推广普通话，奋进新征程”为主题的朗诵比赛，该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A(优秀)，B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：    (1)这次调查活动共抽取 人： (2)“C”等所在扇形的圆心角的度数为 度； (3)请将条形统计图补充完整（要求在条形图上方表明人数）； (4)学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生做“推广普通话宣传员”，请用列表或画树状图法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率． 考点2：两种思想 思想1：数形结合思想 【例题3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色就可以配成紫色，则可以配成紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，甲为四等分数字转盘，乙为三等分数字转盘．同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后（若指针指在边界处重转），两个转盘指针指向数字之积不超过4的概率是 ． 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某校九（1）班的余老师和九（3）班的王老师两人在玩转盘游戏时，把转盘、分成3等份、4等份，并在每一份内标有数字（如图）．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，余老师胜；指针所在区域的数字之积为偶数时，王老师胜．如果指针恰好在分割线上，则需重新转动转盘．      (1)用树状图或列表的方法，求余老师获胜的概率； (2)这个游戏规则对余老师、王老师双方公平吗？请判断并说明理由． 思想2：方程思想 【例题4】（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为（   ） A．8 B．12 C．15 D．20 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近，则x的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为 ． 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）数学老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 23 31 60 130 203 250 摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.253 0.25 (1)根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_______；（精确到0.01） (2)估算袋中白球的个数． 一、单选题 1．（2020·江苏徐州·中考真题）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东济南·中考真题）3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参力口其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（2020·辽宁营口·中考真题）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823 “射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　　） A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84 二、填空题 5．（2023·辽宁鞍山·中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 个． 6．（2024·山东泰安·中考真题）某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是 ． 7．（2024·内蒙古·中考真题）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为 ． 三、解答题 8．（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． (1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________． (2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 9．（2024·西藏·中考真题）为了纪念西藏民主改革65周年，弘扬爱国主义精神，学校举办了“感悟历史奇迹，担当时代使命”的历史知识竞赛活动．从七、八年级中各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（单位：分）如下： 七年级：80  96  82  92  89  84  73  90  89  97 八年级：94  82  95  94  85  89  92  79  98  93 请根据以上信息，解答下列问题： (1)七年级这10名学生成绩的中位数是________；八年级这10名学生成绩的众数是________； (2)若成绩90分以上（含90分）定为优秀等次，请估计八年级400名学生中有多少名学生能达到优秀等次； (3)根据本次竞赛成绩，七、八年级各推荐了两名学生，学校准备再从这四名学生中随机抽取两人参加市级竞赛，请用列表或画树状图的方法求抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率． 10．（2020·江苏泰州·中考真题）一只不透明袋子中装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： （1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到），由此估出红球有______个． （2）现从该袋中摸出个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到个白球，个红球的概率． 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在，和．由此，推测口袋中黄色球的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容，每位参加活动的同学应从这四个主题中随机选取一个，李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在一个不透明的袋子里有红球、黄球共10个；这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程．小明通过多次试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数可能是（    ） A．4 B．6 C．9 D．10 4．（24-25九年级上·全国·期中）小花同学从初中三个年级上下册共六本数学书中随机抽两本，刚好抽到同一年级数学书的概率是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙不是从同一节车厢上车的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（   ） A． B． C． D．1 7．（24-25九年级上·全国·期中）小王、小李和小张3名都报名参加所在社区的志愿工作，但社区根据实际情况只需要他们中的2人．有人建议他们采用随机抽签的方式确定参加人，则小王和小李同时参加的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 100 200 400 800 1000 “射中九环以上”的次数 87 172 336 679 850 “射中九环以上”的频率 0.87 0.86 0.84 0.85 0.85 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（   ） A．0.84 B．0.85 C．0.86 D．0.87 9．（24-25九年级上·陕西·阶段练习）在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数分布表： 试验种子数粒 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数m 4 45 92 188 476 951 1900 2850 发芽频率 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 根据试验结果，若需要保证的发芽数为2500粒，则以下四个数与需试验的种子数最接近的粒数为（   ） A．2500 B．2700 C．2800 D．3000 10．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果0.25的实验最有可能的是（   ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．挪一枚一元硬币，落地后正面朝上 C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D．挪一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 二、填空题 11．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）布袋中有2个红球和1个百球，它们除颜色外其他都一样，如果从布袋中一次摸出两个球，那么一次摸出的两个球都是红球的概率为 ． 12．（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段练习）在一个不透明的袋子中装有若干个白球和个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机换出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在近，则袋子中白球约有 个 13．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）在不透明袋子里装有8个白球和黑球，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2513．估计袋中黑球有 ． 14．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，计算了某一结果出现的频率，并绘制了表格，则该结果发生的概率约为 （精确到0.01）． 试验次数 100 500 1000 2000 4000 频率 0.37 0.32 0.34 0.339 0.333 15．（24-25九年级上·北京·期中）在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球．若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，摸到一个黄球奖励一个“莲莲”．一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，则得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率 ． 16．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由此可估计这种树苗移植1200棵，成活的大约有 棵． 17．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为 ． 18．（24-25九年级上·重庆·开学考试）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1、2、3，这些卡片除数字不同外其余均相同，小明从盒子里随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后在随机抽一张卡片，则两次抽取的卡片之积是偶数的概率是 ． 三、解答题 19．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）一个不透明的布袋里只有2个红球和2个白球（仅颜色不同）． (1)若从中任意摸出一个球，是红球的概率为多少？ (2)若从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，再摸出一个球，两个都是红球的概率为多少？（请用列表或画树状图的方法来表示） 20．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是（滑板）的概率是_____； (2)体育老师想从中选出两个项目，然后做成手抄报给同学们普及一下，他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率． 21．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． (1)请估计：当很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到），假如你摸一次，你摸到白球的概率为 ； (2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ (3)在（）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 22．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）有一个圆形转盘，分黑色、白色两个区域． (1)某人转动转盘，对指针落在黑色区域或白色区域进行了大量试验，得到数据如下表： 实验次数n（次） 10 100 2000 5000 10000 50000 100000 白色区域次数m（次） 3 34 680 1600 3405 16500 33000 落在白色区域频率 0.3 0.34 0.34 0.32 0.34 0.33 0.33 请你利用上述实验，估计转动该转盘指针落在白色区域的概率为___________． (2)若该圆形转盘白色扇形的圆心角为，黑色扇形的圆心角为，转动转盘两次，请用画树状图或列表的方法求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率． 23．（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）“2024年9月22日，太原举行马拉松比赛”，赛事共有四项：A“马拉松”、B“半程马拉松”、C“迷你马拉松”、D“家庭亲子跑”．小凡、小明和小颖参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到四个项目组． (1)为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小凡对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“迷你马拉松”人数 21 45 79 200 401 参加“迷你马拉松”频率 ______ ①请填出表中所缺的数据． ②请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率______．（精确到） ③若本次参赛选手大约有40000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少？ (2)利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组的概率． 24．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）用频率估计概率需要大量重复试验，当重复试验的次数大量增加时，频率就稳定在相应的概率附近，下图是某项试验示意图． (1)下列事件比较符合该试验的有________（填序号）； ①掷一次骰子点数大于2； ②从2个男生，2个女生中随机挑选2名学生去参加比赛，选中1男1女； ③从一副扑克牌中抽一张牌，颜色是红桃； ④6个形状相同的球中有2个红球，摸一次摸到红球． (2)这幅图中的频率是不是关于试验次数的函数？请说明理由． 25．（24-25九年级上·浙江温州·期中）2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，某4档电视台A、B、C、D在同一时间进行了现场直播，直播节目表如下表所示．小夏和小王都是体育迷，他们在各自家里同一时间观看了直播节目． 电视台 A B C D 直播节目 乒乓球 篮球 射击 网球 (1)小夏收看了乒乓球直播的概率为________； (2)请用列表或画树状图的方法求小夏和小王收看同一个直播节目的概率． 26．（23-24九年级上·四川成都·期中）某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳等4项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查的总人数为______人． (2)扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为_______．若该学校共有学生1200名，请估计参加“游泳”的有________人． (3)通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学参加新一轮比赛．请用画树状图或列表法求出参加新一轮比赛的2名同学恰为一男一女的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 概率的进一步认识（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点1.利用树状图或表格求概率（重点）（难点） 1.树状图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图. 树状图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点归纳：(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 2.表格法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用表格法. 表格法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点归纳：（1）表格法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）表格法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 知识点2用频率估计概率（重点） 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 要点归纳：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 考点1：两个方法 方法1：求随机事件概率的方法 【例题1】（24-25九年级上·全国·期中）小刚、小强计划利用暑期从A，B，C三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好到一处的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图： 共有9种等可能的结果数，其中两人恰好到一处的结果数为3， 小刚、小强两人恰好选到一处的概率， 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）在一个不透明的盒子中装有颗黑、白两种颜色的棋子，除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一颗棋子，记下颜色后放回盒子中，记为一次试验，通过大量试验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在，则盒子中黑色棋子可能有（    ） A．5颗 B．10颗 C．18颗 D．26颗 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解． 【详解】解：设盒子中黑色棋子可能有x颗， 经检验，符合题意． ∴盒子中黑色棋子可能有颗． 故选：C． 【变式2】．（24-25九年级上·河南平顶山·阶段练习）一个不透明的袋子中装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球记下颜色后不放回，再从袋子里取出1个球，则两次取出的都是红球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了画树状图求概率，正确画出树状图成为解题的关键． 先根据题意画出树状图确定所有等可能出现的结果数，其中两次取出的都是红球的情况数，然后用概率公式求解即可． 【详解】解：结合题意画出树状图如下： 所有等可能出现的结果有20种，其中两次取出的都是红球的情况有2种； ∴两次取出的都是红球的概率是：． 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·广东惠州·期末）为弘扬中华传统文化，“诵读经典，传承文明”，我校近期举办了“国学经典诵读大赛”，诵读的篇目分成四种类型：A．蒙学今诵；B．爱国传承；C．励志劝勉；D．愚公移山，每种类型的篇目数相同，参赛者需从这四种类型中随机抽取一种诵读类型．小新和小远也参加了这次大赛，小新先抽取了一种诵读类型后不放回，小远再从剩余的诵读类型中任意抽取一种，请用画树状图或列表法求他们中有一人抽到“C．励志劝勉”的概率． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合题意的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：∵根据据题意画图如下： 共有种等可能的情况，其中他们中有一人抽到“C．励志劝勉”的有种， 则他们中有一人抽到“C．励志劝勉”的概率是． ∴他们中有一人抽到“C．励志劝勉”的概率是． 方法2：用频率估计概率的方法 【例题2】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目部分数目相应频率．部分的具体数目总体数目相应频率． 由图可知，成活概率在上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值约是． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一个黑色不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计20个，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.4，由此可估计袋子中白球的个数约为 个． 【答案】8 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，进而即可求解． 【详解】解：根据题意得：（个）， ∴估计袋子中白球的个数约为8个； 故答案为：8． 【变式2】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）在一个不透明的盒子里装有若干个白球和35个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从盒子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在左右，请估计盒子里白球的个数． 【答案】15个 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得摸到白球的概率为，再根据概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设盒子里白球的个数为x个， ∵经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在左右， ∴摸到白球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴估计盒子里白球的个数为15个． 【变式3】（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）“强国必须强语，强语助力强国，”为全面落实国家语言文字方针政策，弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织学生参加了“推广普通话，奋进新征程”为主题的朗诵比赛，该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A(优秀)，B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：    (1)这次调查活动共抽取 人： (2)“C”等所在扇形的圆心角的度数为 度； (3)请将条形统计图补充完整（要求在条形图上方表明人数）； (4)学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生做“推广普通话宣传员”，请用列表或画树状图法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率． 【答案】(1)50 (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数； （2）用成绩为C等级的人数所占百分比乘以即可求出C等级所在扇形圆心角的度数； （3）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图； （4）根据题意画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联、树状图或列表法求概率等知识，根据题意正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：（人）， ∴这次调查活动共抽取50人， 故答案为：50； （2）解：“”等所在扇形的圆心角的度数为， 故答案为：； （3）解：A等级的人数为：（人）， 补全条形统计图，如图所示：    （4）解：画树状图如下：    由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中抽出的两名学生恰好是甲和乙的结果数有2种， ∴抽出的两名学生恰好是甲和乙的的概率为． 考点2：两种思想 思想1：数形结合思想 【例题3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色就可以配成紫色，则可以配成紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数以及可配成紫色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中可配成紫色的结果有种， （可配成紫色）， 故选：A 【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了几何概率，计算阴影区域的面积在总面积中占的比例是解题关键．利用指针落在阴影区域内的概率阴影部分面积总面积，分别求出概率比较即可． 【详解】解：A、指针落在阴影区域内的概率为； B、指针落在阴影区域内的概率是； C、指针落在阴影区域内的概率为； D、指针落在阴影区域内的概率为， ， 指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是D选项． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，甲为四等分数字转盘，乙为三等分数字转盘．同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后（若指针指在边界处重转），两个转盘指针指向数字之积不超过4的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比. 列举出所有情况，看两个转盘指针指向数字之积不超过4的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中数字之积不超过4的结果有7种，所以两个转盘指针指向数字之积不超过4的概率是． 故答案为： 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某校九（1）班的余老师和九（3）班的王老师两人在玩转盘游戏时，把转盘、分成3等份、4等份，并在每一份内标有数字（如图）．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，余老师胜；指针所在区域的数字之积为偶数时，王老师胜．如果指针恰好在分割线上，则需重新转动转盘．      (1)用树状图或列表的方法，求余老师获胜的概率； (2)这个游戏规则对余老师、王老师双方公平吗？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏规则对余老师、王老师双方不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性： （1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到转出的两个数字之积为奇数的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； （2）同（1）求出王老师获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中转出的两个数字之积为奇数的结果数有4种， ∴余老师获胜的概率为； （2）解：这个游戏规则对余老师、王老师双方不公平，理由如下： 由（1）可知，转出的两个数字之积为偶数的结果数有8种， ∴王老师获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏规则对余老师、王老师双方不公平． 思想2：方程思想 【例题4】（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为（   ） A．8 B．12 C．15 D．20 【答案】D 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为， ∴， ∴． 经检验，  是方程的解，且符合题意． 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近，则x的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，一已知概率求数量，解分式方程，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，则摸出黑球的概率为，再由概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近， ∴摸出黑球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了由频率估计概率，由题意得出摸到红球的概率为0.4，从而得到，计算即可得解，解题的关键是掌握利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率． 【详解】解：∵通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4， ∴摸到红球的概率为0.4， ∴， ∴m约为， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）数学老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 23 31 60 130 203 250 摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.253 0.25 (1)根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_______；（精确到0.01） (2)估算袋中白球的个数． 【答案】(1)0.25 (2)3个 【分析】本题考查由频率估计概率，已知概率求数量．理解在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率是解题关键． （1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可； （2）设白球有x个，根据摸出黑球的概率列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近， ∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； （2）解：设白球有x个， ∵估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴袋中白球的个数是3个． 一、单选题 1．（2020·江苏徐州·中考真题）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值即可得答案． 【详解】解：设袋子中红球有x个， 根据题意，得： 解得 答：袋子中红球有5个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率．根据题意，列出表格，可得一共有9种等可能结果，其中两次都摸出白球的有4种，再由概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，列出表格如下： 红 白1 白2 红 （红，红） （白1，红） （白2，红） 白1 （红，白1） （白1，白1） （白2，白1） 白2 （红，白2） （白1，白2） （白2，白2） 一共有9种等可能结果，其中两次都摸出白球的有4种， 所以两次都摸出白球的概率是． 故选：C 3．（2024·山东济南·中考真题）3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参力口其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是解题的关键．画树状图，共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种， 小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为， 故选：C． 4．（2020·辽宁营口·中考真题）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823 “射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　　） A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84 【答案】B 【分析】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论． 【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近， ∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键． 二、填空题 5．（2023·辽宁鞍山·中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 个． 【答案】 【分析】利用频率估计随机摸出1个球是红球的概率为，根据概率公式即可求出答案． 【详解】解：设红球有个， 则， 答：红球的个数约为个． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的红球个数． 6．（2024·山东泰安·中考真题）某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 先列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：将《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》、《朝花夕拾》分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B D A （A，A） （A，B） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） 共有9种等可能的结果，其中小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果有2种， ∴小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率为． 故答案为：． 7．（2024·内蒙古·中考真题）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得随机两次取出卡片的所有等可能的结果，再找出两次取到相同图案的卡片的结果，然后利用概率公式求解即可得． 【详解】解：将这4张卡片记为，画出树状图如下： 由图可知，随机两次取出卡片的所有等可能的结果共有16种，其中，两次取到相同图案的卡片的结果有4种， 则两次取到相同图案的卡片的概率为， 故答案为：． 三、解答题 8．（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． (1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________． (2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 【答案】(1)0.3 (2) 【分析】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键． （1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可； （2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，摸出黄球的频率是， 故答案为：0.3； （2）解：画树状图得， 共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果， ∴两次摸出的小球都是红球的概率为． 9．（2024·西藏·中考真题）为了纪念西藏民主改革65周年，弘扬爱国主义精神，学校举办了“感悟历史奇迹，担当时代使命”的历史知识竞赛活动．从七、八年级中各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（单位：分）如下： 七年级：80  96  82  92  89  84  73  90  89  97 八年级：94  82  95  94  85  89  92  79  98  93 请根据以上信息，解答下列问题： (1)七年级这10名学生成绩的中位数是________；八年级这10名学生成绩的众数是________； (2)若成绩90分以上（含90分）定为优秀等次，请估计八年级400名学生中有多少名学生能达到优秀等次； (3)根据本次竞赛成绩，七、八年级各推荐了两名学生，学校准备再从这四名学生中随机抽取两人参加市级竞赛，请用列表或画树状图的方法求抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率． 【答案】(1)；94 (2)估计八年级400名学生中有名学生能达到优秀等次 (3) 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）用总人数乘以样本中优秀等次人数所占比例即可得解； （3）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：将七年级这10名学生成绩按从小到大排列为：73，80，82，84，89，89，90，92，96，97，处在中间的两个数为89，89，故中位数为； 八年级这10名学生成绩出现次数最多的是94，故中位数为94； （2）解：（名）， 故估计八年级400名学生中有名学生能达到优秀等次； （3）解：令七年级的两名学生为、，八年级的两名学生为、， 列表得： 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中抽到一名七年级学生和一名八年级学生的情况有种， 故抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率为． 【点睛】本题考查了中位数、众数、由样本估计总体、列表法或画树状图求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 10．（2020·江苏泰州·中考真题）一只不透明袋子中装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： （1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到），由此估出红球有______个． （2）现从该袋中摸出个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到个白球，个红球的概率． 【答案】（1）0.33，2；（2）． 【分析】（1）通过表格中的数据，随着次数的增多，摸到白球的频率越稳定在0.33左右，进而得出答案；利用频率估计概率，摸到白球的概率0.33，利用概率的计算公式即可得出红球的个数； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸到一个白球一个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：（1）随着摸球次数的越来越多，频率越来越靠近0.33，因此接近的常数就是0.33； 设红球由个，由题意得： ，解得：，经检验：是分式方程的解； 故答案为：0.33，2； （2）画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，摸到一个白球，一个红球有4种情况， ∴摸到一个白球一个红球的概率为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率的方法，理解频率、概率的意义以及频率估计概率的方法是解决问题的关键；还考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A的概率． 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在，和．由此，推测口袋中黄色球的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此即可求解； 【详解】解：推测口袋中黄色球的个数有：个， 故选：D 2．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容，每位参加活动的同学应从这四个主题中随机选取一个，李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，画树状图，共有种等可能的结果，其中李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的结果有种，再由概率公式求解即可，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：把“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容分别记为， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的结果有种 ∴他们两人选取的主题不同的概率是， 故选：． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在一个不透明的袋子里有红球、黄球共10个；这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程．小明通过多次试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数可能是（    ） A．4 B．6 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，用频率估计概率，根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值得到从这10个球中摸出一个球，摸到红球的概率为，再用球的总数乘以摸到红球的概率即可求出红球的个数． 【详解】解：∵小明通过多次试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右， ∴从这10个球中摸出一个球，摸到红球的概率为， ∴袋子中红球的个数可能是， 故选：A． 4．（24-25九年级上·全国·期中）小花同学从初中三个年级上下册共六本数学书中随机抽两本，刚好抽到同一年级数学书的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用列举法求概率，依据题意，正确画出树状图是解题关键．画出树状图，用符合条件的情况数除以所有等可能发生的情况数即可． 【详解】解：记初一年级的数学教材为，初二年级的数学教材为，初三年级的数学教材为， 由题意，画出树状图如下所示： 由此可知，从书包里随机取出两本数学教材共有30种结果，它们每一种出现的可能性都相等；其中，取出的两本数学教材恰好是同一年级的数学教材的结果共有6种， 则所求的概率为， 故选A． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙不是从同一节车厢上车的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．画树状图，共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把3节车厢分别记为、、， 画树状图如图： 共有9种等可能的结果，甲和乙不是从同一节车厢上车的结果有6种， 甲和乙从同一节车厢上车的概率为， 故选：A． 6．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查几何概率问题，首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率． 【详解】解：∵圆被等分成4份，其中红色部分占1份， ∴落在红色区域的概率=． 故选：A． 7．（24-25九年级上·全国·期中）小王、小李和小张3名都报名参加所在社区的志愿工作，但社区根据实际情况只需要他们中的2人．有人建议他们采用随机抽签的方式确定参加人，则小王和小李同时参加的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，弄清题意是解本题的关键．列表得出所有等可能的情况数，找出小王和小李同时参加的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：列表如下： 所有等可能的情况有6种，其中小王和小李同时参加的情况数有2种， 小王和小李同时参加的概率为， 故选：． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 100 200 400 800 1000 “射中九环以上”的次数 87 172 336 679 850 “射中九环以上”的频率 0.87 0.86 0.84 0.85 0.85 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（   ） A．0.84 B．0.85 C．0.86 D．0.87 【答案】B 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．根据大量的试验结果稳定在0.85即可得出结论． 【详解】解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.85， 这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.85． 故选：B． 9．（24-25九年级上·陕西·阶段练习）在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数分布表： 试验种子数粒 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数m 4 45 92 188 476 951 1900 2850 发芽频率 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 根据试验结果，若需要保证的发芽数为2500粒，则以下四个数与需试验的种子数最接近的粒数为（   ） A．2500 B．2700 C．2800 D．3000 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，根据图表中数据得出种子的发芽率大约，进而利用需要保证的发芽数为2500粒，则需试验的种子数粒数为x，得出等式求出即可 【详解】解：利用图表中数据可得出：种子的发芽率大约， ∴需要保证的发芽数为2500粒，则需试验的种子数粒数为x，根据题意得出： ， 解得：， ∴需试验的种子数最接近的粒数为2700. 故选：B 10．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果0.25的实验最有可能的是（   ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．挪一枚一元硬币，落地后正面朝上 C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D．挪一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 【答案】D 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 【详解】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明陆机出的是“剪刀”的概率为，故A选项错误； B、掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率是；故B选项错误： C、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故C选项错误： D、挪一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为，故D选项正确． 故选：D． 二、填空题 11．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）布袋中有2个红球和1个百球，它们除颜色外其他都一样，如果从布袋中一次摸出两个球，那么一次摸出的两个球都是红球的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．画树状图，共有6个等可能的结果，摸到的两个红球的结果有2个，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图：    共有6个等可能的结果，摸到的两个红球的有2种结果， 摸到的两个红球的概率是：． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段练习）在一个不透明的袋子中装有若干个白球和个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机换出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在近，则袋子中白球约有 个 【答案】 【分析】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据口袋中有若干个白球和5个红球，利用白球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可． 【详解】解：设袋中白球有x个， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是方程的解， 所以袋中白球有个， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）在不透明袋子里装有8个白球和黑球，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2513．估计袋中黑球有 ． 【答案】6 【分析】本题考查了运用频率估算概率，概率的计算. 根据题意，设有个白球，则有个黑球，根据概率公式的计算方法即可求解，掌握概率的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设有个白球，则有个黑球， ， 解得，，即白球有2个， ∴黑球有（个）， 故答案为：6 ． 14．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，计算了某一结果出现的频率，并绘制了表格，则该结果发生的概率约为 （精确到0.01）． 试验次数 100 500 1000 2000 4000 频率 0.37 0.32 0.34 0.339 0.333 【答案】0.33 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，由表中数据可判断频率在0.33左右摆动，于是利用频率估计概率可判断该结果发生的概率为0.33． 【详解】解：根据某一结果出现的频率统计表，估计在一次实验中该结果出现的概率为0.33， 故答案为：0.33． 15．（24-25九年级上·北京·期中）在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球．若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，摸到一个黄球奖励一个“莲莲”．一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，则得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列举法求概率的知识．根据题意作图树状图，可知共有6种可能情况，而满足条件的有2种情况，进而求概率即可． 【详解】解：根据题意，可作树状图如下， 由树状图可知，共有6种可能情况，满足条件的有2种情况， 所以，得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率为． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由此可估计这种树苗移植1200棵，成活的大约有 棵． 【答案】960 【分析】本题考查利用样本的频率估计总体的数量，根据图形可以发现，在0.8附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据概率总体数量即可． 【详解】解：由图形可得，可估计这种树苗移植成活的概率约是0.8， ∴这种树苗移植1200棵，成活的大约有：（棵）， 故答案为：960． 17．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明阴影部分的面积三角形的面积，求出三角形的面积，可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点． ，，， ， 由旋转变换的性质可知，， ， ， ，， 现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·重庆·开学考试）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1、2、3，这些卡片除数字不同外其余均相同，小明从盒子里随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后在随机抽一张卡片，则两次抽取的卡片之积是偶数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上数字之积是偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： 共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之积是偶数的有5种情况， 两次两次抽取的卡片上数字之积是偶数的概率． 故答案为：． 三、解答题 19．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）一个不透明的布袋里只有2个红球和2个白球（仅颜色不同）． (1)若从中任意摸出一个球，是红球的概率为多少？ (2)若从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，再摸出一个球，两个都是红球的概率为多少？（请用列表或画树状图的方法来表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列举法求概率，解题关键是熟练运用列表法或树状图法列出所有可能，再根据事件发生的可能数求概率． （1）直接利用概率公式计算； （2）列表展示所有16种等可能的结果数，找出两次摸出都是红球的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：从中任意摸出一个球，摸出红球的概率为； （2）解：列表得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有16种等可能的结果数，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，两次摸出都是红球的结果数是4种， 两个都是红球的概率为． 20．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是（滑板）的概率是_____； (2)体育老师想从中选出两个项目，然后做成手抄报给同学们普及一下，他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确画出树状图是解题的关键． （1）直接运用概率公式求解即可； （2）先画出树状图，可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是共C（冲浪）和D（运动攀岩）的结果有2种，最后由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：体育老师想从中随机抽取一张，恰好抽到是（滑板）的概率是； 故答案为：； （2）解：画树状图如下： ， 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的结果数为2， 体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率． 21．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． (1)请估计：当很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到），假如你摸一次，你摸到白球的概率为 ； (2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ (3)在（）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1)，； (2)估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有个、个； (3)需要往盒子里再放入个白球． 【分析】（）根据统计图容易得出结果； （）由摸到白球的概率将会接近，则白球，故黑球； （）设需要往盒子里再放入个白球； 根据题意得出方程，解方程即可； 本题考查了利用频率估计概率、概率公式，解分式方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据统计图可知：当很大时，摸到白球的概率将会接近，假如你摸一次，你摸到白球的概率为， 故答案为：，； （2）解：∵摸到白球的概率将会接近， ∴摸到白球（个）， ∴黑球（个）， 答：估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有个、个； （3）解：设需要往盒子里再放入个白球， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：需要往盒子里再放入个白球． 22．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）有一个圆形转盘，分黑色、白色两个区域． (1)某人转动转盘，对指针落在黑色区域或白色区域进行了大量试验，得到数据如下表： 实验次数n（次） 10 100 2000 5000 10000 50000 100000 白色区域次数m（次） 3 34 680 1600 3405 16500 33000 落在白色区域频率 0.3 0.34 0.34 0.32 0.34 0.33 0.33 请你利用上述实验，估计转动该转盘指针落在白色区域的概率为___________． (2)若该圆形转盘白色扇形的圆心角为，黑色扇形的圆心角为，转动转盘两次，请用画树状图或列表的方法求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列表法和树状图法求解概率，列表法可不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合两步完成的事件，而树状图法适合两步或者两步以上完成的事件，也考查根据频率估计概率． （1）根据实验得到的数据知，当实验次数越多时，频率越接近概率，据此解答即可； （2）根据红白所对应的圆心角度数，可以知道红白分别所占圆心角的比例，并按照比例划分，画出树状图，得到所有情况，根据概率所求情况数与总情况数之比，即可求解． 【详解】（1）解：根据表格数据可知：随实验次数增加，落在白色区域频率接近， 故转动该转盘指针落在白色区域的概率为； （2）解：白色扇形的圆心角为，占一个圆的三分之一，黑色扇形的圆心角为，占一个圆的三分之二，因此，把一个圆平均分成三份； 设白色扇形区域为白，黑色扇形区域为黑1、黑2，可得下面的图表： 树状图为： 从树状图可知：共有9种等可能的结果，其中指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的有4种， 一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率为． 23．（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）“2024年9月22日，太原举行马拉松比赛”，赛事共有四项：A“马拉松”、B“半程马拉松”、C“迷你马拉松”、D“家庭亲子跑”．小凡、小明和小颖参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到四个项目组． (1)为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小凡对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“迷你马拉松”人数 21 45 79 200 401 参加“迷你马拉松”频率 ______ ①请填出表中所缺的数据． ②请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率______．（精确到） ③若本次参赛选手大约有40000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少？ (2)利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组的概率． 【答案】(1)①；②；③16000人 (2) 【分析】（1）①用频数除以总数即可得到答案；②根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值进行求解即可；③用总人数乘以参加“迷你马拉松”人数的概率即可得到答案． （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②观察表格可知，说着调查人数的增多，参加“迷你马拉松”频率稳定在左右， ∴估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率， 故答案为：； ③人， ∴估计参加“迷你马拉松”的人数是16000人； （2）解：列表如下； 小明        小颖 A B C D A B C D 由表格额裤子，总共有16种等可能的结果，其中小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”目组的结果有7种， ∴P（至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组）． 【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，用频率估计概率，已知概率求数量，求频率等等，熟知相关知识是解题的关键． 24．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）用频率估计概率需要大量重复试验，当重复试验的次数大量增加时，频率就稳定在相应的概率附近，下图是某项试验示意图． (1)下列事件比较符合该试验的有________（填序号）； ①掷一次骰子点数大于2； ②从2个男生，2个女生中随机挑选2名学生去参加比赛，选中1男1女； ③从一副扑克牌中抽一张牌，颜色是红桃； ④6个形状相同的球中有2个红球，摸一次摸到红球． (2)这幅图中的频率是不是关于试验次数的函数？请说明理由． 【答案】(1)①② (2)是，理由见解析 【分析】本题考查的是函数的定义，利用频率估计概率．利用列表法求解随机事件的概率； （1）利用概率公式或列表法分别求解①②③④的概率，再与题干事件的概率进行比较即可得到结论； （2）根据函数的定义：设有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，从而可得答案． 【详解】（1）解：由图可得：某项试验的频率稳定在附近， ①掷一次骰子点数大于2的频率是，故符合题意； ②从2个男生，2个女生中随机挑选2名学生去参加比赛，选中1男1女； 列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 ∴从2个男生，2个女生中随机挑选2名学生去参加比赛，选中1男1女的概率是，符合题意； ③从一副扑克牌中抽一张牌，颜色是红桃的概率是，故不符合题意； ④6个形状相同的球中有2个红球，摸一次摸到红球的概率是，故不符合题意； 故答案为：①② （2）解：这幅图中的频率是关于试验次数的函数，理由如下： ∵对于每1个不同的试验次数，都有唯一的一个频率与之对应， ∴这幅图中的频率是关于试验次数的函数． 25．（24-25九年级上·浙江温州·期中）2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，某4档电视台A、B、C、D在同一时间进行了现场直播，直播节目表如下表所示．小夏和小王都是体育迷，他们在各自家里同一时间观看了直播节目． 电视台 A B C D 直播节目 乒乓球 篮球 射击 网球 (1)小夏收看了乒乓球直播的概率为________； (2)请用列表或画树状图的方法求小夏和小王收看同一个直播节目的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式即可得； （2）列表得出所有等可能的情况数，找出小夏和小王收看同一个直播节目的情况数，即可求出所求概率． 【详解】（1）解：小夏收看了乒乓球直播的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 小夏 小王 A B C D A B C D ∴共有16种等可能的结果，其中能同时看同一个直播节目的有4种， ∴P（两人同时看同一个直播节目）． 26．（23-24九年级上·四川成都·期中）某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳等4项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查的总人数为______人． (2)扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为_______．若该学校共有学生1200名，请估计参加“游泳”的有________人． (3)通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学参加新一轮比赛．请用画树状图或列表法求出参加新一轮比赛的2名同学恰为一男一女的概率． 【答案】(1)40 (2)；420 (3) 【分析】（1）用参加足球的学生人数除以其所占的百分比可得本次抽样调查的总人数； （2）用乘以本次抽样调查中参加排球的学生所占的百分比，即可求出扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数；根据用样本估计总体，用1200乘以扇形统计图中“游泳”对应的百分比，即可得出答案； （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及到市上参加比赛的两人恰为一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：本次抽样调查的总人数为（人． 故答案为：40． （2）解：参加排球项目的学生人数为（人）． 扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为． 故答案为：． （人． 参加“游泳”的人数大约为420人． （3）解：将两名男生分别记为，，两名女生分别记为， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中到市上参加比赛的两人恰为一男一女的结果有：，，，，，，，，共8种， 到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率为． 【点睛】本题考查用列表法与树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 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